一題多解探尋圓錐曲線壓軸破解之策與算法優(yōu)化（1）2019全國2卷21解析

2019全國高考Ⅱ卷21題“一題多解”——談?wù)剤A錐曲線壓軸題破解之策與算法優(yōu)化【方法策略簡述】一、解析幾何大題多以圓錐曲線與直線綜合應(yīng)用的形式呈現(xiàn)，考察動態(tài)情形下的范圍、最值、定點、定值等問題及存在探索性問題.二、解決此類問題的方法策略主要有三種：1、根與系數(shù)的關(guān)系法（主流方法）．設(shè)出動直線的方程（），與圓錐曲線方程聯(lián)立消元得到關(guān)于的一元二次方程，得兩根之和兩根之積，同時兼顧的要求，利用兩根之和兩根之積進行整體代換整體變形而求解．2、多變量多參數(shù)聯(lián)動變換法．此種方法有別于方法1，不聯(lián)立方程消元求解，而是直接將所設(shè)出點的坐標代入曲線（直線）方程和題設(shè)中，得到若干個關(guān)于點的坐標與參數(shù)間的關(guān)系式，對這些關(guān)系式進行整體變形整體代換而求解．如弦中點問題常用點差法處理．此種方法對多變量多參數(shù)的代數(shù)式的駕馭能力及變換技巧是一種考驗．3、設(shè)點求點法．方法1、2均采用了設(shè)而不求的策略．當問題中直線與曲線的交點易求時，可考慮直接求出點的坐標進行求解，即設(shè)點求點法．如：動直線過曲線上一已知點時，則另一交點坐標可直接求出；再如動直線與橢圓的交點易求出．【2019全國高考Ⅱ卷?21】已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.【解析】（1）直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線C是以坐標原點為中心，焦點在軸上，不包括左右兩頂點的橢圓，其方程為；（2）法一：斜率單參，設(shè)點求點【分析】（i）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出P，Q兩點的坐標，進而求出點的坐標，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求出的坐標，再求出直線的斜率，計算的值，就可以證明出是直角三角形；（ii）由（i）可知三點坐標，是直角三角形，求出的長，利用面積公式求出的面積，利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值.【解析】（i）設(shè)直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,即或,點P在第一象限，所以，因此點的坐標為直線的斜率為，可得直線方程：，與橢圓方程聯(lián)立，，消去得，（*），設(shè)點，顯然點的橫坐標和是方程（*）的解所以有，代入直線方程中，得，所以點的坐標為，直線的斜率為：,因為所以，因此是直角三角形；（ii）由（i）可知：，的坐標為，，,,因為，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當時，函數(shù)有最大值，最大值為.【評析】引入?yún)?shù)控制動態(tài)過程，思路簡單.直接算出點的坐標，直線方程，弦長，運算量大，但可以接受.思路二、多參聯(lián)動，設(shè)而不求【分析】（i）設(shè)，則，再設(shè)出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)關(guān)系，充分利用變量之間的關(guān)系去化簡計算的值，就可以證明出是直角三角形；（ii），充分利用變量之間的關(guān)系，將面積化為變量的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值.【解析】(ⅰ)設(shè)，則，設(shè)直線的方程為，由題意可知，由聯(lián)立消去得，則將點代入直線的方程為得，于是，，故，因此是直角三角形；(ⅱ)而由，故，，所以時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；故時，最大為，