一題多解探尋圓錐曲線壓軸破解之策與算法優(yōu)化（9）斜率點差法-2022年全國高考數(shù)學乙卷20題

2022年全國乙卷圓錐曲線解答題一題多解——談談圓錐曲線壓軸題破解之策與算法優(yōu)化【方法策略簡述】一、解析幾何大題多以圓錐曲線與直線綜合應用的形式呈現(xiàn)，考察動態(tài)情形下的范圍、最值、定點、定值等問題及存在探索性問題.二、解決此類問題的方法策略主要有三種：1、根與系數(shù)的關系法（主流方法）．設出動直線的方程（），與圓錐曲線方程聯(lián)立消元得到關于的一元二次方程，得兩根之和兩根之積，同時兼顧的要求，利用兩根之和兩根之積進行整體代換整體變形而求解．2、多變量多參數(shù)聯(lián)動變換法（圓曲不聯(lián)立）．此種方法有別于方法1，不聯(lián)立方程消元求解，而是直接將所設出點的坐標代入曲線（直線）方程和題設中，得到若干個關于點的坐標與參數(shù)間的關系式，對這些關系式進行整體變形整體代換而求解．如弦中點問題常用點差法處理．此種方法對多變量多參數(shù)的代數(shù)式的駕馭能力及變換技巧是一種考驗．3、設點求點法．方法1、2均采用了設而不求的策略．當問題中直線與曲線的交點易求時，可考慮直接求出點的坐標進行求解，即設點求點法．如：動直線過曲線上一已知點時，則另一交點坐標可直接求出；再如動直線與橢圓的交點易求出．【2022?全國乙卷?20】已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．（1）求E的方程；（2）設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．【答案】（1）（2）【解析】(1)設橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.(2)方法一（聯(lián)立韋達法），所以，①若過點的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點②若過點的直線斜率存在，設.聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點方法二（不聯(lián)立斜率點差法）由題意可得直線的方程為，設，則，依題意：，所以，由變形得故兩式相減得故于是即故即，故三點共線，即直線過定點.【斜率點差法訓練題】1.已知橢圓的上頂點為，直線與橢圓交于兩點，直線的斜率分別為.若.求證：直線過定點.【證明】點，設，則，橢圓方程作如下變形：，則兩式相減得即即直線過定點.2.已知雙曲線上一點到的兩條漸近線的距離之積為.(1)求的標準方程；(2)若直線與有兩個不同的交點，且的內心恒在直線上，求在軸上的截距的取值范圍.【解析】(1)(2)的內心恒在直線上，.設，則.雙曲線的方程可變形為：所以作差得：