第11講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（原卷版）

第11講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)基礎知識1.對數(shù)的概念(1)定義:在表達式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,當a與N確定之后,只有唯一的b能滿足這個式子,此時,冪指數(shù)b稱為以a為底N的,記作b=logaN,其中a稱為對數(shù)的底數(shù),N稱為對數(shù)的真數(shù),logaN稱為對數(shù)式.

(2)常用對數(shù)與自然對數(shù)以為底的對數(shù)稱為常用對數(shù),即log10N是常用對數(shù),通常簡寫為.

以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)稱為,自然對數(shù)logeN通常簡寫為.

2.對數(shù)的性質(zhì)(1)loga1=;

(2)logaa=1;(3)aloga3.對數(shù)的運算法則與換底公式(1)運算法則:a>0且a≠1,M>0,N>0loga(MN)=;

logaMα=(α∈R);

logaMN=(2)換底公式與推論換底公式:logab=logcblogca(a>0且a≠1,推論:logambn=,logab=4.對數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)概念函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)稱為函數(shù)

底數(shù)a>10<a<1圖象定義域

值域

性質(zhì)過定點,即當x=1時,y=0

在區(qū)間(0,+∞)上是函數(shù)

在區(qū)間(0,+∞)上是函數(shù)

5.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線對稱.

常用結(jié)論1.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.2.只有在定義域上單調(diào)的函數(shù)才存在反函數(shù).分類訓練探究點一對數(shù)式的化簡與求值例1(1)設g(x)=ln(2x+1),則g(4)-g(3)+g(-3)-g(-4)= ()A.-1 B.1 C.ln2 D.-ln2(2)(多選題)若10a=4,10b=25,則 ()A.a+b=2 B.b-a=1C.ab>8(lg2)2 D.b-a>lg6[總結(jié)反思](1)對數(shù)運算法則是在化為同底的情況下進行的,因此經(jīng)常會用到換底公式及其推論.在對含有字母的對數(shù)式進行化簡時,必須保證恒等變形.(2)利用對數(shù)運算法則,在真數(shù)的積、商、冪與對數(shù)的和、差、倍之間進行轉(zhuǎn)化.變式題(1)已知x,y∈N*,則log2xy= (A.xlog2y B.logC.2logxy D.lo(2)在天文學中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2-m1=52lgE1E2,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10-10.1(3)log312×log49+lg52+2lg2=探究點二對數(shù)函數(shù)的圖象及應用例2(1)函數(shù)y=1log3x圖2-11-1(2)已知x1是方程2x+2x=5的根,x2是方程2x+2log2(x-1)=5的根,則x1+x2= ()A.72 B.3 C.52 D[總結(jié)反思](1)在研究對數(shù)函數(shù)圖象時一定要注意其定義域.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.變式題(1)定義:N{f(x)g(x)}表示f(x)<g(x)的解集中整數(shù)的個數(shù).若f(x)=|log2x|,g(x)=a(x+1)2+1,且N{f(x)g(x)}=1,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.-14,0 B.-14,0C.(-∞,0] D.-1,-14(2)已知函數(shù)f(x)=log3(x+2),若a>b>c>0,則f(a)a,f(bA.f(c)c<f(b)b<fC.f(c)c<f(a)a<f探究點三解決與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題 微點1比較大小例3(1)設a=log23,b=ln3,c=12

log30.A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.c<b<a(2)(多選題)已知x>0,y>0,z>0,若-1<log3x=log5y=log7z<0,則()A.z<y<x B.x<z<yC.3x<5y<7z D.5y<3x<7z[總結(jié)反思]比較對數(shù)式的大小,一是將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的形式,再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較,二是采用中間值0或1等進行比較,三是將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式,再將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式,通過循環(huán)轉(zhuǎn)化進行比較.微點2解簡單的對數(shù)不等式例4(1)已知函數(shù)f(x)=ex,x≤0,lnx,xA.(-∞,-ln2]∪(0,e]B.(-∞,-ln2)C.(0,e]D.(-∞,-ln2)∪(0,e)(2)若loga(a+1)<loga(2a)<0(a>0,a≠1),則實數(shù)a的取值范圍是.

[總結(jié)反思]對于形如logaf(x)>b的不等式,一般轉(zhuǎn)化為logaf(x)>logaab的形式,再根據(jù)底數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為f(x)>ab或0<f(x)<ab.而對于形如logaf(x)>logbg(x)的不等式,一般要轉(zhuǎn)化為同底的不等式來解.微點3對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題例5(1)若2x+log2x=4y+2log4y,則 ()A.x>2y B.x<2yC.x=2y D.x與2y的關(guān)系不確定(2)已知函數(shù)f(x)=ln(x-a),若?x1,x2∈(a,+∞),使得[x1-f(x2)]2+[x2-f(x1)]2=4,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-∞,2-1] B.-∞,22C.(-∞,2] D.(-∞,2][總結(jié)反思]利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域、最值和復合函數(shù)的單調(diào)性問題,必須弄清三方面的問題:一是定義域,所有問題都必須在定義域內(nèi)討論;二是底數(shù)與1的大小關(guān)系;三是復合函數(shù)的構(gòu)成,即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的.另外,解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的使用.?應用演練1.【微點1】已知a=log52,b=log72,c=0.5a-2,則a,b,c的大小關(guān)系為 ()A.b<a<c B.a<b<cC.c<b<a D.c<a<b2.【微點3】如圖2-11-2,點O為坐標原點,點A(1,1),若函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)及y=logbx(b>0且b≠1)的圖象與線段OA分別交于點M,N,且M,N恰好是線段OA的兩個三等分點,則 ()圖2-11-2A.a<b<1 B.b<a<1C.b>a>1 D.a>b>13.【微點3】函數(shù)f(x)=log0.5(x2-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

4.【微點2】對任意實數(shù)x,都有l(wèi)oga(ex+3)≥1(a>0且a≠1),則實數(shù)a的取值范圍是.

5.【微點3】已知函數(shù)f(x)=|log2x|,實數(shù)a,b滿足0<a<b,且f(a)=f(b),若f(x)在[a2,b]上的最大值為2,則1a+b=同步作業(yè)1.函數(shù)f(x)=log(x-2)(3-x)的定義域是 ()A.(2,3) B.(2,+∞)C.(-∞,3) D.(2,3)∪(3,+∞)2.已知集合A={x|-1<x<1},B={x|lnx≤1},則A∩B= ()A.(-1,e] B.(0,1]C.(0,e] D.(0,1)3.函數(shù)f(x)=lg(x2-1)-lg(x-1)在[2,9]上的最大值為 ()A.0 B.1C.2 D.34.1614年納皮爾在研究天文學的過程中為了簡化計算而發(fā)明對數(shù);1637年笛卡爾開始使用指數(shù)運算;1770年,歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系,指出:對數(shù)源于指數(shù),對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù),稱為歷史上的珍聞.若2x=52,lg2=0.3010,則x的值約為 (A.1.322 B.1.410C.1.507 D.1.6695.化簡:log2.56.25+lg0.001+2lne-21+log26.函數(shù)f(x)=cosx·log21-x1+x圖K11-17.已知55<84,134<85,設a=log53,b=log85,c=log138,則 ()A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b8.已知函數(shù)f(x)=-x2+2x,x≤0,ln(x+1),x>0,若A.(-∞,0] B.(-∞,1]C.[-2,1] D.[-2,0]9.設函數(shù)f(x)=log2(x2+x+12),x>0,loA.1-32,0∪3-12,B.-∞,1-32∪3-12,C.1-32,0∪0,3-1D.-∞,1-32∪0,3-110.(多選題)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x),則下列說法正確的是 ()A.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增B.f(x)的值域是(-∞,0]C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱D.f(x)的圖象上存在兩點關(guān)于點(1,0)對稱11.已知f1(x)=log4x,f2(x)=log6x,f3(x)=log9x,若f1(n)=f2(m)=f3(m+n),則mn=12.設函數(shù)f(x)=log2(1+a·2x+4x),其中a為常數(shù).(1)若f(2)=f(-1)+4,求a的值;(2)當x∈[1,+∞)時,不等式f(x)≥x-1恒成立,求a的取值范圍.13.已知函數(shù)f(x)的定義域為D,若f(x)滿足:①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②存在[a,b]?D,使f(x)在[a,b]上的取值范圍為a2,b2.則稱y=f(x)為“半保值函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=logm(mx+t2)(m>0且m≠1)是“半保