增分微課(2)　情境下的數列問題（解析版）

增分微課(2)情境下的數列問題類型一信息技術中的數列問題例10-1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列a1a2…an…滿足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整數m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,則稱其為0-1周期序列,并稱滿足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整數m為這個序列的周期.對于周期為m的0-1序列a1a2…an…,C(k)=1m∑i=1maiai+k(k=1,2,…,m-1)是描述其性質的重要指標.下列周期為5的0-1序列中,滿足C(k)≤15(A.11010… B.11011…C.10001… D.11001…例1[思路點撥]分別對4個選項中k=1,2,3,4時的情況進行討論,若有一個不滿足條件,就排除;由題意可得周期都是5,每個答案中都給了一個周期的排列,若需要下個周期的排列,繼續(xù)寫出,如選項C的排列為100011000110001….C[解析]對于A選項,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(1+0+0+C(2)=15∑i=15aiai+2=15×(0+1+0+1+0)=對于B選項,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(1+0+0+1+1)=對于C選項,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(0+0+0+C(2)=15∑i=15aiai+2=15×(0+0+0C(3)=15∑i=15aiai+3=15×(0+0+0C(4)=15∑i=15aiai+4=15×(1+0+0+0+對于D選項,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(1+0+0+0+1)=25>[總結反思]信息技術中的數列問題實質上是數列知識在信息技術中的應用問題,解答的關鍵是列出相關信息,合理建立數學模型——數列模型,判斷是等差數列還是等比數列模型.求解時,要明確目標,即搞清楚是求和、求通項公式,還是解遞推關系問題,最終得出結論.類型二數學文化中的數列問題例2數學家也有許多美麗的錯誤,如法國數學家費馬于1640年提出了以下猜想:Fn=22n+1(n=0,1,2,…)是質數.直到1732年才被善于計算的大數學家歐拉算出F5=641×6700417,不是質數.現設an=log2(Fn-1)(n=1,2,…),Sn表示數列{an}的前n項和,則使不等式2S1S2+22S2S3+…+2nSnA.11 B.10C.9 D.8例2[思路點撥]先求出an=2n,再求出Sn=2×(2n-1),2nSnSn+1=14×（12n-1-1C[解析]把Fn=22n+1代入an=log2(Fn-1),得an=log2(22n+1-1)=2n,故Sn=2×(1-2n)1-2=2×(2n-1),則2nSnSn+1=14×（12n-1-12n+1-1）,則不等式2S1S2+22[總結反思]對于以數學文化為背景的數列問題,解題時常受困于背景陌生、閱讀受阻,使思路無法打開.解題時應認真審題,從問題背景中提取相關信息并分析歸納,然后構造恰當的數列模型,再依據等差或等比數列的有關公式求解作答,必要時要進行檢驗.類型三數陣中的數列問題例3(多選題)將n2個數排成n行n列的一個數陣,如圖Z2-1所示,該數陣第一列的n個數從上到下構成以m為公差的等差數列,每一行的n個數從左到右構成以m為公比的等比數列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,記這n2個數的和為S.下列結論正確的有 ()圖Z2-1A.m=3B.a67=17×37C.aij=(3i-1)·3j-1D.S=14n(3n+1)(3n-例3[思路點撥]根據已知條件可求出a13,a61,列式即可求出m,從而求出通項aij,再按照分組求和法每一行分別求和,進而可得S,由此可以判斷各選項的正誤.ACD[解析]∵a11=2,a13=a61+1,∴2m2=2+5m+1,解得m=3或m=-12(舍去),∴aij=ai1·3j-1=[2+(i-1)×3]·3j-1=(3i-1)·3j-1,∴a67=17×36,∴S=(a11+a12+a13+…+a1n)+(a21+a22+a23+…+a2n)+…+(an1+an2+an3+…+ann)=a11(1-3n)1-3+a21(1-3n)1-3+[總結反思]從數列到數陣,盡管數的排列形式發(fā)生了變化,但問題的實質仍然是數列問題,只要抓住每行首項,找準每行變化規(guī)律,從數陣中構造新數列(等差數列或等比數列或周期數列等),那么解決問題的思想和方法仍然不變,可謂“形散神不散”.1.【類型1】計算機是將信息轉換成二進制進行處理的,二進制即“逢二進一”.如(1101)2表示一個二進制數,將它轉換成十進制數就是1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么將二進制數11…116位A.217-2 B.216-1C.216-2 D.215-11.B[解析](1111111111111111)2=215+214+…+22+2+1=1-2161-2=216-1.2.【類型2】“垛積術”(隙積術)是由北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng),南宋數學家楊輝、元代數學家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數列求和方法,有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等,某倉庫中部分貨物堆放成如圖Z2-2所示的“茭草垛”:自上而下,第一層有1件,以后每一層比上一層多1件,最后一層有n件.已知第一層貨物單價為1萬元,從第二層起,貨物的單價是上一層單價的45.若這堆貨物的總價是25-65·（45）n萬元,則n的值為 (圖Z2-2A.7 B.8 C.9 D.102.B[解析]由題意,設這堆貨物的總價為Sn萬元,則Sn=1+2×45+3×（45）2+…+n×（45）n-1,45Sn=45+2×（45）2+…+(n-1)（45）n-1+n×（45）n,兩式相減可得15Sn=1+45+（45）2+…+（45）n-1-n×（45）n=1-(45)

n1-45-n×（45）n=5-(n+5)（45）n,所以Sn=25-5(n+5)（45）n,令Sn故選B.3.【類型3】已知“整數對”按如下規(guī)律排列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,則第68個“整數對”為 ()A.(1,12) B.(3,10) C.(2,11) D.(3,9)3.C[解析]設“整數對”為(m,n)(m,n∈N*),由已知可知點列的排列規(guī)律是m+n的值的變化是從2開始,后面依次是3,4,…,其中每取一次值m的值依次增大.當m+n=2時,只有1個“整數對”,即(1,1);當m+n=3時,有2個“整數對”,即(1,2),(2,1);當m+n=4時,有3個“整數對”,即(1,3),(2,2),(3,1);……當m+n=12時,有11個“整數對”,即(1,11),(2,10),…,(11,1).上面共有1+2+3+…+11=11×(1+11)2=66(個)“整數對所以第67個“整數對”為(1,12),第68個“整數對”為(2,11),故選C.4.【類型2】我國古代的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方,如圖Z2-3所示,將1,2,…,9填入3×3的方格內,使三行、三列和兩條對角線上的三個數字之和都等于15.一般地,將連續(xù)的正整數1,2,3,…,n2填入n×n個方格中,使得每行、每列和兩條對角線上的數字之和都相等,這個正方形叫作n階幻方.記n階幻方的對角線上的數字之和為Nn,已知圖中三階幻方的N3=15,那么N9的值為 ()圖Z2-3A.41 B.45C.369 D.3214.C[解析]由題意知,N3=13×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=15,N4=14×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16)=34,N5=15×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25)=65,…,Nn=1n(1+2+3+4+5+…+n2)=1n×n2(1+n2)2=n(n2+1)25.【類型3】下表中的數陣為“森德拉姆篩”,其特點是每行每列都成等差數列,記第i行第j列的數為ai,j,則a7,8=,表中的數2021共出現次.

5.5712[解析]根據題目所給表格規(guī)律,可知第i行中的數構成以i+1為首項,i為公差的等差數列,所以ai,j=i+1+(j-1)i=ij+1,所以a7,8=7×8+1=57.由ai,j=2021,得ij=2020=1×2020=2020×1=2×1010=1010×2=4×505=505×4=5×404=404×5=10×202=202×10=20×101=101×20,所以共出現12次2021.【類型1】某音樂酒吧的霓虹燈是用?∮?三個不同音符組成的一個有n+1(n∈N*)個音符的音符串,要求由音符?開始,相鄰兩個音符不能相同.例如當n=1時,排出的音符串是?∮,??;當n=2時,排出的音符串是?∮?,?∮?,???,??∮;….記這種含n+1個音符的所有音符串中,排在最后一個的音符仍是?的音符串的個數為an,故a1=0,a2=2,則a4=,an=.

6.62n+2·(-1)n3[解析]由題意知a1=0,a2=2=21-a1,a3=2=22-a2