2023中考數(shù)學(xué)練習(xí) 05 六大常考全等模型（學(xué)生版+解析版）

專題05六大?？既饶Ｐ?/p>

一、【知識(shí)回顧】

①模型一：平移模型

②模型二：軸對(duì)稱（翻折）模型

③模型三：一線三等角模型（K字型）

銳角一線三等角鈍角一線三等角

直角一線三等角

兩個(gè)正方形

⑥模型六：半角模型(特殊的旋轉(zhuǎn)模型)

等邊三角形含半角(N∕Cβ=60°)等腰直角三角形含半角

AA

等邊三角形含半角(N5DC=120°)

二、【考點(diǎn)類型】

考點(diǎn)1：平移模型

典例1：（2022?廣西柳州?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)4D,C,尸在同一條直線上，AB=DE,BC=EF.有下

列三個(gè)條件：（I）AC=DF,②a43C=0Z）EF,③a4C8=0Z）FE.

⑴請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得a45BEDEf你選取的條件為（填寫序號(hào)）（只需選一

個(gè)條件，多選不得分），你判定∣3∕8O≡）M的依據(jù)是（填"SSd或"SZS"或"/S/"或"http://S"）；

⑵利用（1）的結(jié)論EWBGaaOEF.求證：ABODE.

【變式1】（2023秋?福建福州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)8,E,C,F在一條直線上，AB=DE,AC=DF,

BE=CF.求證：ZA=ZD.

考點(diǎn)2：軸對(duì)稱（翻折）模型

典例2：（2022?湖南長(zhǎng)沙?統(tǒng)考中考真題）如圖，NC平分4BZD,CB1AB,CCI40,垂足分別為5,D.

（1）求證：△/1BC三A40C;

⑵若4B=4,Co=3,求四邊形力BCO的面積.

【變式1】（2022?廣西百色?統(tǒng)考二模）如圖，在A∕8C和AOCB中，SL4=0D,NC和相交于點(diǎn)。，OA=

0D.

(I)AB=DC;

(2)A∕8ClW)C8.

考點(diǎn)3：一線三等角模型（K字型）

典例3：（2022?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）如圖，-ABC中NB=NC=30o,NDEF=30。，且點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn).將

NOEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線L）E與線段AB相交于點(diǎn)P,射線EF與射線C4相交于點(diǎn)。，連結(jié)

Sl備用圖

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段C4上時(shí),

①求證：BPE0VCEQ；

②線段BE,BP,C。之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由;

⑵當(dāng)AAPQ為等腰三角形時(shí)，求挈的值.

【變式1】（2022秋?黑龍江綏化?八年級(jí)?？计谥校┰贏BC中，ZAc8=90。，AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)

C,且AD?LMN于。,BELMN于E.

⑴當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí).

①請(qǐng)說明∕?ADCgACEB的理由；

②請(qǐng)說明。E=AO+8E的理由；

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，DE、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出等量關(guān)系，并予以

證明.

⑶當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),DE、AD,仍具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接在橫線上寫出這個(gè)

等量關(guān)系：

【變式2】（2022秋?河北邯鄲?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在。的。中，AB=AC=2,NB=NC=40。，點(diǎn)。

在線段BC上運(yùn)動(dòng)（。不與8、C重合），連接AO,作ZADE=40。，Z）E交線段AC于￡.

⑴當(dāng)ZβD4=115。時(shí)，NEDC=o,NBAD=o,NAED=°；點(diǎn)。從8向C運(yùn)動(dòng)時(shí),

ZMM逐漸≡（填"大"或"小"）；

⑵當(dāng)Z）C等于多少時(shí)，AAB睦ADCE,請(qǐng)說明理由；

⑶在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，VADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)直接寫出/8D4的度數(shù)，若不可

以，請(qǐng)說明理由.

SZAED>ZADE,

【變式3］（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，ABC中，AC=8C,ZACB=90。,A（0,3）,C（l,0）,則點(diǎn)6的坐

典例4：（2023秋?山東泰安?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B、F、C.E在一條直線上,

AC=FD,AC//FD,ZA=ZD.

⑴求證：ZSABCtZXDM;

(2)若BE=I0,FC=4,求CE的長(zhǎng)度.

【變式1］（2023春?山東濟(jì)南?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，E,尸是YABC。的對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且AF=CE,

求證：DF//BE.

典.....

A7

B

【變式2X2022?福建泉州??？既＃┰谄叫兴倪呅?5CO中，￡、f分別是A8、CD上的點(diǎn)，且AE=CQ求

證：ZDAF=ZBCE.

考點(diǎn)5：共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型（手拉手模型）

典例5：（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB,AC為邊向外作正

方形ABDE和正方形ACFG,連接CE,BG和EG,EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,下列結(jié)論:①BG=CE;②BGlaCE；

③AM是回AEG的中線；④回EAM=0ABC.其中正確的是.

BHC

【變式1】（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：

（1）如圖1,魴4D=90。，AB=AD,過點(diǎn)8作BMC于點(diǎn)C,過點(diǎn)。作Qfa4C于點(diǎn)E.由回1+回2=回2+00

=90。，得131=00.又酎CB=酎￡7）=90。，可以推理得到EW8OΣBD∕E.進(jìn)而得到NC=,BC=4E.我

們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為"K字"模型或"一線三等角”模型；

（2）如圖2,βBAD=SCAE^90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且264尸于點(diǎn)F,Z）E與直線ZF

交于點(diǎn)G.求證：點(diǎn)G是。E的中點(diǎn)；

（深入探究）

（3）如圖，已知四邊形力88和Z）EG尸為正方形，EWEO的面積為S/,此＞CE的面積為S?,則有SS2

（填"＞、=、＜"）

（圖1）

（圖2）（圖3）

【變式2】（2020?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，AClBC,DC±EC,AC=BC.DC=EC,AE與8。

交于點(diǎn)F.

（1）求證：AE=BD;

（2）求NABD的度數(shù).

【變式3］（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在ABC、VADE中，AB=AC,AD^AE,設(shè)

ABAC=ZDAE=a連接8。，以8C、80為鄰邊作.BDFC,連接E尸.

（1）若a=60。，當(dāng)A。、AE分別與AB、AC重合時(shí)（圖1）,易得EF=CF.當(dāng)VADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到

（圖2）位置時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段EF、CF的數(shù)量關(guān)系；

（2）若&=90。，當(dāng)VAoE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到（圖3）位置時(shí)一，試判斷線段EF、CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論；

⑶若α為任意角度，AB=6,BC=4,AD=3,VAr）E繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周（圖4）,當(dāng)A、E、F≡

點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出AF的長(zhǎng)度.

考點(diǎn)6：半角模型

典例6：(2019?全國?九年級(jí)專題練習(xí))如圖所示，AABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，Δ5DC是頂角ZBZX?=120°

的等腰三角形，以O(shè)為頂點(diǎn)作一個(gè)60。的角，角的兩邊交A8、AC于M、N,連結(jié)MN,求ΔAMN周長(zhǎng).

【變式1](2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，在四邊形ABCD中，ZB=ZD=90o,E,尸分別是8C,CDt

的點(diǎn)，連接AE,AF,EF.

(1)如圖①，AB=AD,ZBAD=120°,ZEAF=GOP.求證：EF=BE+DF-,

(2)如圖②，ZBAD=?20°,當(dāng)AAEF周長(zhǎng)最小時(shí)，求N4EF+N4/它的度數(shù);

(3)如圖③，若四邊形ABS為正方形，點(diǎn)、E、尸分別在邊8C、C。上，且ZEAF=45。，若3E=3,DF=2,

請(qǐng)求出線段E尸的長(zhǎng)度.

【變式2】（2022秋?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rta∕8C和RtASCZ）中，血C=EIβ∏C=9（Γ,BC=4,

AB=AC,^CBD=30°,M,N分別在8。，CD上，0M47√=45o,則AOMN的周長(zhǎng)為

【變式3】.（2020?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD中ND=2N3=120。，AB=AD,E為

BC上一點(diǎn)，連接AE,BE=2,CD=I,若4N34￡+NBCr）=I20。，則線段CE的長(zhǎng)為

鞏固訓(xùn)練

一、單選題

L（2022秋?河北唐山?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖M5=ND,ZMBA=ZNDC9下列條件中不能判定

△ABM且ACDN的是（）

A.ZM=ZzVB.AB=CDC.AM=CND.AM//CN

2.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示的是重疊的兩個(gè)直角三角形，將其中一個(gè)直角三角形

沿BC方向平移得到皿EE若AB=IoCm,BE=6cm,O"=4cm,則圖中陰影部分面積為（）

48cm2C.49cm2D.50cm2

3.（2023秋?江蘇鹽城?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知ZABC=N840,要使一AbC-BAZ）,再添加一個(gè)條件

()

ZC=ZDC.AD=BCD.ZABD=ZBAC

4.（2023春?廣東深圳?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，AC//DF,AB//DE,AC=DF9下列條件中不能證

明aABC且ZsOM的是（）

A.ZB=ZEB.EF=BCC.AB=DED.EF//BC

5.（2023春?四川成都?九年級(jí)成都嘉祥外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，四邊形A88是菱形，MfN分別

是BC,Co兩邊上的點(diǎn)，不能保證，和aADN一定全等的條件是（）

A.BM=DNB.NBAM=NDANC.ZAMC=ZANCD.AM=AN

6.（2023秋,湖北隨州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)。，E分別在線段AB,AC上，已知AB=AC,現(xiàn)添加

以下的哪個(gè)條件仍不能判定.ABEg二48（）

C.BElACfCDlABD.BE=CD

線交BC于點(diǎn)O,若酎。E=骷，CD=3BD,則CE等于（）

A

BDC

99

A.3B.2C.-D.—

42

8.（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖,在Rt二ABC中，AB=AC9NABC=NAC6=45。，D、E是斜邊BC上

兩點(diǎn)，且ND4E=45。，若80=3,CE=4,SACE=I5,則與AAEC的面積之和為（）

BDEC

A.36B.21C.30D.22

o

9.（2022春?湖北宜昌,九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形力8C。內(nèi)接于回O,AB=AD,^BCD=120fE、F分

別為8C、Co上一點(diǎn)，的尸=30°,EF=3,DF=I,則BE的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

10.（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，C為線段/E上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），在4E同側(cè)分別作等邊

三角形/8C和等邊三角形CQE,力。與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)、Q,連結(jié)尸。,以

A.^AOB=60oB.AP=BQ

C.PQβAED.DE=DP

11.（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABC。中，CD=2AD=8,E為AQ上一點(diǎn)，F(xiàn)為DC

的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.BF=4B.ZABC>2ZABFC.ED+BC=EBD.S四邊形DEBC=?2SVEFB

12.（2019?浙江杭州?統(tǒng)考三模）如圖，0ABC的面積為9cm2,BP平分0ABC,APEIBP于P,連接PC,則回PBC

C.4.5cm2D.5cm2

13.（2022秋?福建寧德?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形/88中，點(diǎn)。為對(duì)角線ZC的中點(diǎn)，過點(diǎn)

。作射線。G、ON分別交力8、BC于點(diǎn)E、F,且I3E。廠=90。，BO、EF交于點(diǎn)P.則下列結(jié)論中:

（1）圖形中全等的三角形只有兩對(duì)；（2）正方形NBCQ的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；（3）BE+BF

22

=y∣20A;(4)AE+CF=2OP?OB.

2C.3D.4

14.（2022春?廣東江門?九年級(jí)江門市怡福中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖,正方形ABa）和正方形CG尸E的頂點(diǎn)C,

D,E在同一條直線上，頂點(diǎn)B,C,G在同一條直線上，。是EG的中點(diǎn)，/EGC的平分線G”過點(diǎn)D,

交BE于點(diǎn)H,連接"7交EG于點(diǎn)M,連接OH.以下四個(gè)結(jié)論：（T）OHLBE;②EHMSFHG；③

笠=&一1；④合皿=2-√∑?其中正確的結(jié)論有（）個(gè)

CGVHOG

A.1B.2C.3D.4

15.（2022秋?廣東深圳?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)M、N分別是正方形/8C。的邊8C、Cz）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

222

在運(yùn)動(dòng)過程中保持回M/N=45。，連接EM口加相交于點(diǎn)。，以下結(jié)論：①M(fèi)N=BM+DN；（2）BE+DF=EFi

③BC2=BF?DE;④OM=√2OF()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

二、填空題

16.（2022秋?江蘇南京?八年級(jí)南京市第二十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，AELAB,且AE=A8,BCkCD,

且BC=CD,請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算FH的長(zhǎng)為.

17.（2023秋?山東濟(jì)寧?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，ABC中，AB^AC,D,E,尸分別為邊BC,AC,AB上

的點(diǎn)，BF=CD,BD=CE.若ZA=40°,則NEDF=

18.（2023秋?福建寧德?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等腰Rt_ASC中，AC=BC,。為，ABC內(nèi)一點(diǎn)，且

ΛBCD=ΛCAD,若CO=4,則ABCO的面積為.

19.（2021?全國,九年級(jí)專題練習(xí)）在一A5C中，ZAC8=90。,CA=CB,點(diǎn)E,F在AB邊上，NECF=45。.若

AE=l0,EF=?5,則防的長(zhǎng)為.

20.（2022秋?山東濟(jì)南?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)力的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)8在y

軸上，若反比例函數(shù)y=A（k≠0）的圖象過點(diǎn)C,則女的值為.

21.（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，ABCD,NBCD=90°,A8=1,BC=CO=2,E為AD上的中點(diǎn)，則

BE=______

22.（2022秋?山東濱州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)尸是在等邊"1BC內(nèi)一點(diǎn)，PA=3,PB=4,PC=5,將

線段AP繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AP',連接PP,P'C.下列結(jié)論：①ZXAPC可以看作由/MPB繞

點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到；②線段PP=3；③四邊形APCP'的面積為6+3√5;④ZAPB=I50。.正確的

是（只填序號(hào)）.

P,

B

三、解答題

23.（2022?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）如圖，8是線段/C的中點(diǎn)，AD//BE,BD//CE,求證：_鉆慮_BCE.

24.（2023秋?云南楚雄?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在四邊形ABCo中,AB//CD,ZABC=ZADC,連

接50.求證：AB=CD.

25.（2022秋?陜西安康?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在..ABC中,AB=AC,點(diǎn)。、E、尸分別在N8、BC、AC

邊上，連接DE、DF、EF,且BE=Cr，BD=CE.

⑴求證：J）EE是等腰三角形；

⑵當(dāng)NA=50。時(shí)，求N/無產(chǎn)的度數(shù).

26.（2023秋?四川廣安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，AB=AC,ZB=50o,。是邊BC上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)8,C重合），連接AO,作NADE=50。，OE與AC相交于點(diǎn)瓦

⑴當(dāng)BD=CE時(shí)，求證：AABD會(huì)ADCE;

⑵當(dāng)VADE是等腰三角形時(shí)，求—3AD的度數(shù).

27.（2022秋?廣東汕尾,八年級(jí)華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E,F在BD上,且AB=CD,

BF=DE,AE=CF,AC與30交于點(diǎn)0.求證：AE//CF.

BOFD

28.(2023?山東泰安??？寄M預(yù)測(cè))感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1,點(diǎn)Z在直線OE上,

且NEM=N54C=NAEC=90。，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一

線三等角"模型.

(1)如圖2,RtZ?ABC中，N4G?=90o,CB=。，直線EO經(jīng)過點(diǎn)C,過/作A/J_LED于點(diǎn)。,過8作BE_L￡￡>

于點(diǎn)E.求證：*BEg.CDA.

(2)如圖3,在_ABC中，。是BC上一點(diǎn)，NCM=90。，AC=AD,

ADBA=ADAB,AB=2應(yīng)，求點(diǎn)C到A3邊的距離.

(3)如圖4,在YABCo中，E為邊BC上的一點(diǎn)，尸為邊AB上的一點(diǎn).若

ADEF=NB,AB=10,應(yīng)'=6,求生的值.

29.(2022秋,江蘇無錫?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在酎BC中，AB=AC=5,BC=6,尸是BC上一點(diǎn)，

且8尸=2,將一個(gè)大小與as相等的角的頂點(diǎn)放在尸點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，使角的兩邊始終分別與

AB.NC相交，交點(diǎn)為。、E.

(1)求證：^BPD^CEP,

(2)是否存在這樣的位置，SPDE為直角三角形？若存在，求出8。的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.

30.（2021?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1,在菱形488中，AC=2,50=26，AC,8。相交于點(diǎn)。.

①求邊”8的長(zhǎng)；

（2）求取C的度數(shù)；

⑶如圖2,將一個(gè)足夠大的直角三角板60。角的頂點(diǎn)放在菱形月2CZ）的頂點(diǎn)/處，繞點(diǎn)/左右旋轉(zhuǎn)，其中三

角板60。角的兩邊分別與邊8C,Co相交于點(diǎn)E,F,連接EK判斷AZE/是哪一種特殊三角形，并說明理

由.

專題05六大?？既饶Ｐ?/p>

一、【知識(shí)回顧】

①模型一：平移模型

②模型二：軸對(duì)稱（翻折）模型

③模型三：一線三等角模型（K字型）

銳角一線三等角鈍角一線三等角

直角一線三等角

兩個(gè)正方形

⑥模型六：半角模型(特殊的旋轉(zhuǎn)模型)

等邊三角形含半角(N∕Cβ=60°)等腰直角三角形含半角

AA

等邊三角形含半角(N5DC=120°)

二、【考點(diǎn)類型】

考點(diǎn)1：平移模型

典例1：（2022?廣西柳州?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)4D,C,尸在同一條直線上，AB=DE,BC=EF.有下

列三個(gè)條件：（I）AC=DF,②a43C=0Z）EF,③a4C8=0Z）FE.

⑴請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得的5僚亞）Ef你選取的條件為（填寫序號(hào)）（只需選一

個(gè)條件，多選不得分），你判定∣3∕8CI≡）跖的依據(jù)是（填"SS受或"SZS"或"4SZ域"http://S"）；

⑵利用（1）的結(jié)論EWBGaaOEF.求證：ABODE.

【答案】⑴①，SSS

⑵見解析

【分析】⑴根據(jù)SSS即可證明0∕15C≡0ER即可解決問題；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得可得0j=aro尸，再根據(jù)平行線的判定即可解決問題.

【詳解】（I）解：在0J8C和或JE/中，

AC=DF

AB=DE,

BC=EF

3SABCS3?DEF（SSS）,

回在上述三個(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得0J86BCE居

選取的條件為①，判定a48C00DE廠的依據(jù)是SSS.（注意：只需選一個(gè)條件，多選不得分）

故答案為：①，SSS；

（2）證明：SMBC&BDEF.

SSA=蛇。尸，

^ABDE.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，和判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解

此題的關(guān)鍵.

【變式1】(2023秋?福建福州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，點(diǎn)B,E,C"在一條直線上，AB=DE,AC=DF,

BE=CF.求證：Z4=ZD.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)BE=CF得到3C=￡F,然后證明AABC絲ADEF,即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：ElBE=CF,

團(tuán)BC=EF,

在,A8C和/>EF中，

AB=DE

■BC=EF,

AC=DF

EIVABC式VQEF(SSS).

SZA=ZD.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的

關(guān)鍵.

考點(diǎn)2：軸對(duì)稱(翻折)模型

典例2：(2022?湖南長(zhǎng)沙,統(tǒng)考中考真題)如圖，ZC平分4B2D,CBLAB,CDLAD,垂足分別為5,D.

(1)求證：AABC三AADC；

(2)若AB=4,CD=3,求四邊形/8CD的面積.

【答案】⑴見解析

(2)12

【分析】(I)由角平分線的定義和垂直的定義求出ZCAB=4C4D∕B=4。，結(jié)合已知條件，利用"AAS"即

可求證；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得AB=4。=4,8C=CO=3,根據(jù)三角形的面積公式求出又.「SAACD，再根

據(jù)四邊形ABCD的面積=S4ABC+S-CD求解即可.

【詳解】(1);NC平分ZB4。，CB1AB,CDLAD,

????CAB=/.CAD,ZB=Z.D,

?.?AC=AC,

.??△4BC三AADC(AAS);

(2)SABCW4ADC,AB=4,CD=3,

：.AB=AD=4,BC=CD=3,

■■■乙B=乙D=90°,

???S^ABC=I'AB?BC=∣×4×3=6>SXACD=∣,AD-CD=∣×4×3=6,

二四邊形ABCD的面積=SNBC+ShACD=6+6=12.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵.

【變式1](2022?廣西百色?統(tǒng)考二模)如圖，在△力BC和ADCB中，m=配),/C和。8相交于點(diǎn)O,OZ=

OD.

(I)AB=DC;

(2)^ABCWDCB.

【答案】⑴證明見解析:

(2)證明見解析

【分析】(I)證明4∕8O0Z?OCO(ASA),即可得到結(jié)論；

(2)由4N8OI3A0CO,得至UOB=OC,又OA=OD,得到BO=4C,又由EW=皿)，即可證得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：在ZU8O與AOCO÷1,

(?A=?D

OA=OD,

V?AOB=4DOC

^?ABO^?DCO(ASA)

^L4B=DC;

(2)證明：^?ABO^?DCO,

團(tuán)OB=OC

^OA=ODf

團(tuán)08+0。=OC+04,

^BD=ACf

在ZUBC與AOCB中，

AC=BD

?A=Z-D,

AB=DC

^LABC^LDCB(SAS?

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握并靈活選擇全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵

考點(diǎn)3：一線三等角模型(K字型)

典例3：(2022?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))如圖，ΛBC中NB=NC=30。，ZDEF=30°,且點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn).將

NDEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中，射線DE與線段AB相交于點(diǎn)P,射線EF與射線CA相交于點(diǎn)Q,連結(jié)

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段C4上時(shí)，

①求證：_BPE^CEQ.

②線段BE,BP,C。之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由;

(2)當(dāng)AAPQ為等腰三角形時(shí)，求黑的值.

【答案】⑴①見解析，(I)BE2=BPCQ

⑵1或3

【分析】(1)①推導(dǎo)角度關(guān)系可得回CEQ=魴尸已結(jié)合魴=回C即可得出結(jié)論；②由①中相似可得而=而，

結(jié)合8斤CE即可得出結(jié)論；

(2)。點(diǎn)可能在線段。I者線段C的延長(zhǎng)線上，分兩種情況討論，結(jié)合(1)中的相似三角形即可得

出結(jié)果.

(1)

解：①Haz)EF=30。，0B=3Oo,

^EBED+S?CEQ=150°,^BED+^BPE=150°

mCEQ=^BPE,

005=0C,

EBgPRZBCE。；

②BEZ=BPCQ,理由如下13

SISiBPESECEQ

BEBP

團(tuán)-------

CQCE

⑦BEcE=BPCQ

團(tuán)點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，

國BE=CE,

蒯E2=BPCQ;

(2)

解：①當(dāng)點(diǎn)。在線段NC上時(shí)，

0EW=18Oo-05-(≡C=12Oo,為鈍角，

^APQ為等腰三角形時(shí)有AP=AQ,

00β=SC,

^lAB=AC,

WP=CQ,

心刁

BP

②當(dāng)點(diǎn)0在線段C的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：連接尸。

O

D

A

BEC

a38NC=120°,

EB0=60°,

當(dāng)皿IP。為等腰三角形時(shí)，有EL4P。為等邊三角形

設(shè)AB=AC=2a,則BC=2√3a,

BE=CE=y∣3cι,

設(shè)AQ=AP=x,

貝IJCQ=2a+x,BP=2a-x,

由(1)得SIBE2=BPCQ

0(?J3a)2=(2a+x)(2a-x),

解得0x=",

⑦BP=a,CQ-3a,

喘二3

綜上器的值為1或3.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似綜合問題，熟練掌握一線三等角的相似三角形模型是解題關(guān)鍵.

【變式1](2022秋?黑龍江綏化?八年級(jí)?？计谥?在.AfiC中，NAcB=90。，AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)

C,且Az)J_MV于。,BELMN于E.

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí).

①請(qǐng)說明?ADC/ACEB的理由;

②請(qǐng)說明。E=A。+BE的理由；

⑵當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，DE、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出等量關(guān)系，并予以

證明.

⑶當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，DE、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接在橫線上寫出這個(gè)

等量關(guān)系：?

【答案】⑴①理由見解析；②理由見解析

⑵DE=AD-BE，證明見解析

（3）DE=BE-AD

【分析】本題“一線三垂直”模型即可證明全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可分別在三個(gè)圖形中證明

AD.EB.OE之間的關(guān)系.

【詳解】（1）解：①團(tuán)ACMV于。，BELMN于E,

ZADC=ZBEC=90°.

13NACB=90°,

0ZACD+ZBCE=90°,

ZACD+ZDAC^90°,

BINDAC=NBCE,

在AWC和OCEB中

ZADC=ZBEC

"ZDAC=ZBCE,

AC=BC

f3?AT>C^?CEβ,

②NAAZXTgZXCEB,

QAD=EC,CD=BE,

團(tuán)DC+CE=DE,

回AD+EB=DE,

（2）結(jié)論：DE=AD—BE,

^BE1ECfADLCEi

團(tuán)NADC=NBEC=90。，

□ZEBC+ZBCE=90o,

0ZACB=9Oo,

ΞZACE+ZBCE=90o,

團(tuán)ZACD=NEBC,

^ΛADC^ΛCEBf

0AD=EC,CD=BE,

⑦DE=EC-CD=AD—EB,

(3)結(jié)論：DE=BE-AD,

團(tuán)NAC3=90。，

⑦ZACD+NBCE=90。,

?BE±MN,ADlMN,

團(tuán)NADC=NDEC=90。,

^ZACD-FZDAC=90O,

由NDAC=NBCE,

在AWC和4c￡8中

ZADC=/BEC

,NDAC=/BCE

AC=BC

□ΔAZ>C^?CEB,

^AD=ECfCD=BE,

^DE=CD-EC=EB-AD.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判斷和性質(zhì)，靈活運(yùn)用〃一線三垂直〃模型是解題的關(guān)鍵.

【變式2】（2022秋?河北邯鄲?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在√1BC中，AB=AC=2,ZB=NC=40。，點(diǎn)。

在線段BC上運(yùn)動(dòng)（O不與尻。重合），連接AO,作ZADE=40。，OE交線段AC于￡

A

(1)當(dāng)Zβ∕M=115。時(shí)，ZEDC=o,ZBAD=o,ZAED=°；點(diǎn)。從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),

ZBOA逐漸變(填“大〃或“小〃)；

⑵當(dāng)。C等于多少時(shí)，AABD絲ADCE,請(qǐng)說明理由；

⑶在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，VADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)直接寫出/8DA的度數(shù)，若不可

以，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴25,25,65,小

⑵當(dāng)DC=2時(shí)，ΛABD^ΔDCE,理由見解析；

(3)當(dāng)ZBDA的度數(shù)為110°或80。時(shí)，VADE的形狀是等腰三角形.

【分析】(1)先求出NAZ)C的度數(shù)，即可求出NaC的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求出NAEZ)的

度數(shù)，根據(jù)點(diǎn)。從8向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，NBW逐漸增大，而23不變化，ZB+ZBAD+ZBDA=180°,即可得

到答案；

(2)根據(jù)全等三角形的判定條件求解即可；

(3)先證明當(dāng)VAOE時(shí)等腰三角形，只存在AO=E?；駻E=OE兩種情況，然后分這兩種情況討論求解即

可；

【詳解】(I)解：0ZfiDA=115°,

0ZADC=18Oo-115o=65o,

0Z4DE=4Oo,

團(tuán)ZEDC=ZADC-ZADE=25°,

ZADCZADE+ZEDCΛB+ZBAD,

團(tuán)N84f>=NfDC=25°,

EIZAED=ZEDC+ZC=65°；

回點(diǎn)。從8向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，/84。逐漸增大，而不變化，ZB+ZβAL>+ZBZM=180o,

回點(diǎn)。從8向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，NBD4逐漸變小，

故答案為：25,25,65,?。?/p>

(2)解：當(dāng)。C=2時(shí)，ΛABD^ΛDCE,

理由：回N8=NC=40°,

12NDEC+/EDC=140。，

XBZADE=Oo,

0ZAT>B+ZEZ)C=140°,

BlZADB=NDEC,

又ElAB=AC=2,

0ΛABD^ΛDCE(AAS)；

(3)解：當(dāng)/BD4的度數(shù)為110°或80。時(shí)，VAoE的形狀是等腰三角形,

理由：回NC=ZADE=40。，ZAED=NC+NEDC,

ZAED>ZADE,

13當(dāng)VAZ)E時(shí)等腰三角形，只存在AD=ED或ΛE=DE兩種情況，

當(dāng)AZ)=￡D時(shí)，

ADAE=ADEA,

EINADE=40°,

180o-ZADE

B)NDAE=NOEA==70°

2

aZBZM=ZZMC+ZC=Iioo:

當(dāng)AE=OE時(shí),

QZEAD=ZEDA=40°,

0NBDA=NDAC+ZC=80°,

綜上所述，當(dāng)/BD4的度數(shù)為110°或80。時(shí)，VAr)E的形狀是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，

熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式3](2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，ABC中，AC=Be,NAC8=9(RA(0,3),C(l,0),則點(diǎn)8的坐

標(biāo)為?

【答案】(4,1)

【分析】如圖，過點(diǎn)8作8。取軸于，根據(jù)點(diǎn)力、點(diǎn)。坐標(biāo)可得。4、OC的長(zhǎng)，根據(jù)同角的余角相等可得

團(tuán)04C=SDC8,禾IJ用44S可證明回。∕0≡O(shè)CB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得8D=0C,CD=OA,即可求出。。

的長(zhǎng)，進(jìn)而可得答案.

【詳解】如圖，過點(diǎn)B作BD取軸于

即1（0,3）,C（1,0）,

團(tuán)04=3,OC=If

0l!L4CB=9Oo,

團(tuán)團(tuán)Oe4+0DeS=90°,

團(tuán)回。ZC+團(tuán)Oe4=90°,

^OAC=IHDCBf

ZAOC=ZCDB

在團(tuán)04C和團(tuán)。CB中，'ZOAC=ZDCB,

AC=BC

能1O4C≡QCB,

⑦BD=OC=1,CD=OA=3f

團(tuán)。O=OC+S=4,

團(tuán)點(diǎn)8坐標(biāo)為（4,1）.

y↑

故答案為：（4,1）

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)4:不共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型

典例4：（2023秋?山東泰安?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)3、F、C、E在一條直線上，

AC=FD,AC//FD,ZA=ZD.

⑴求證：AABC鄉(xiāng)ADEF；

(2)若BE=IO,FC=4,求CE的長(zhǎng)度.

【答案】⑴見解析

(2)3

【分析】(1)由平行線的性質(zhì)可得/4CB=N訴根據(jù)ASA證明全等即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得.

【詳解】(1)解：證明：

AC//FD

:.ZACB=ZDFE

在，ABC與QE尸中

'NACB=NDFE

?AC=FD,

NA=NO

.?..ABC^,DEF(ASA)

(2)解：由(1)AABCmADEF

.-.BC=EF,

..BF+FC=FC+CE

.-.CE=BF

.?.BE=FC+2CE

即10=4+2CM

:.CE=3

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

【變式1】(2023春?山東濟(jì)南?九年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖，E,尸是YABCo的對(duì)角線AC上兩點(diǎn),且AF=CE,

求證：DF//BE.

PC

A----------------~^7

A

V

/B

【答案】證明見解析

［分析］借助平行四邊形的性質(zhì)，利用"SAS"證明ABE^CDF,由全等三角形的性質(zhì)可得=NaD,

然后根據(jù)"內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行"即可證明「廣〃BE.

【詳解】證明：團(tuán)四邊形ABC。是平行四邊形，

回AB=CD,AB//CD,

?/BAE=NJDCF,

又EIA尸=CE,

團(tuán)AE=CF,

國一ABE=二CZ)F(SAS)；

用NAEB=NCFD,

^DF//BE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，

證明ABE三CD尸是解題關(guān)鍵.

【變式2］(2022?福建泉州??？既?在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且AE=CF.求

證：ZDAF^ABCE.

【答案】見解析

【分析】依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得到Af>=BC,ZB=ZD,BE=DF,判定VADFMVeBE,即可得

到ZiW=ZBCE.

【詳解】在平行四邊形ABCQ中，AD=BC,AB=CD,ZB=ND,

又?.AE=CF,

.?AB-AE^CD-CF,

.-.BE=DF,

在ΛADF和ACBF中，

AD=CB

<ND=NB,

DF=BE

:.^ADF≥ACBE(SAS),

.-.ZDAF=ZBCE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等

三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.

考點(diǎn)5：共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型(手拉手模型)

典例5：(2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB,AC為邊向外作正

方形ABDE和正方形ACFG,連接CE,BG和EG,EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,下列結(jié)論：①BG=CE;②BG回CE；

③AM是E)AEG的中線；④EIEAM=IaABC.其中正確的是.

【答案】①②③④

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS可證明由IBGaazfEC,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；設(shè)8G、

(%相交于點(diǎn)N,AC,BG相交于點(diǎn)K,如圖1,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得a4CE=?4G8,然后根據(jù)三

角形的內(nèi)角和定理可得回CNG=I2C4G=9CΓ,于是可判斷②；過點(diǎn)E作EP0"4的延長(zhǎng)線于P,過點(diǎn)G作

GSWM于。，如圖2,根據(jù)余角的性質(zhì)即可判斷④；利用AAS即可證明胡8HEHEZP,可得EP=4H,同理

可證G0=4∕,從而得到EP=G0,再利用AAS可證明0fPW0SlG0M,可得EN=G”,從而可判斷③，于

是可得答案.

【詳解】解：在正方形/8。E和ZeT7G中，AB=AE,AC=AG,回員4E=ISCG=90。，

EB8/E+0S/C=EICNG+SBAC,

即EICNE=血G,

WABG^AEC(SAS),

g18G=CE,故①正確；

設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N,AC,BG相交于點(diǎn)K,如圖1,

E

M

G

圖1

^ACE=^AGBi

l≡UKG二回VKG

幽CNG=田。G=90°,

OSGEICE,故②正確；

過點(diǎn)E作Ep0，4的延長(zhǎng)線于P,過點(diǎn)G作G3/M于0，如圖2,

BH

圖2

SL4H08C,

SSiABH+βBAH=90°,

^BBAE=30°,

03E4P+I38∕H=9O°,

EEM84=曲尸，即OZNAf=EWBC,故④正確;

0EW∕∕5=ElP=9Oo,AB=AE,

mABH^EAP(AAS),

⑦EP=AH,

同理可得GO=AH,

陋P=GQ,

團(tuán)在睡尸M和團(tuán)GQM中，

Np=NMQG=90。

/EMP=NGMQ,

EP=GQ

mEPλ^?GQM（AAS）f

ELE,Λ∕=GM,

a4Λ∕是a4EG的中線，故③正確.

綜上所述，①②③④結(jié)論都正確.

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出

全等三角形是難點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

【變式1】（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：

（1）如圖L團(tuán)胡。=90°,AB=AD,過點(diǎn)8作8Q3JC于點(diǎn)C,過點(diǎn)。作?！闑L4C于點(diǎn)E.由回1+回2=回2+皿

=90。，得回I=回D又酎C5=a4ED=9CΓ,可以推理得到EW8C≡1D4E.進(jìn)而得到/C=,BC=AE.我

們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為"K字"模型或"一線三等角”模型；

（2）如圖2,M4D=I3C4E=9O。，AB=AD,AC=AE,連接2C,。區(qū)且Bca4產(chǎn)于點(diǎn)F,DE與直線/F

交于點(diǎn)G.求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；

（深入探究）

（）如圖，已知四邊形N88和。為正方形，用的面積為配＞的面積為則有

3EGFEWS/,CES?,S/S2

（填"＞、=、＜"）

【答案】（1）DE-（2）見解析；（3）=

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解；

（2）分別過點(diǎn)。和點(diǎn)E作OMSFG于點(diǎn)H,EQ^FG于點(diǎn)Q,進(jìn)而可得山民4尸=aW”,然后可證EW8M3皿1”,

則有/尸=DH,進(jìn)而可得Z）H=EQ,通過證明回。“Ga3￡。G可求解問題；

(3)過點(diǎn)。作。皈/交/產(chǎn)于。，過點(diǎn)E作ENEO。交。。延長(zhǎng)線于M過點(diǎn)C作CV位。。交OQ延長(zhǎng)線

于M,山題意易得□JQC=團(tuán)90°,AD=DC,DF=DE,然后可得豳。。=ISOCM,則有的。。釀DMGMoD的DNE,

進(jìn)而可得OD=NE,通過證明MNPl≡C∕W尸及等積法可進(jìn)行求解問題.

【詳解】解：(I)^ΛABC^?DAE,^?AC=DE;

(2)分別過點(diǎn)。和點(diǎn)E作。M3尸G于點(diǎn)H,E0WG于點(diǎn)。，如圖所示：

o

ZDAH+ZADH=90f

團(tuán)NBAO=90。，

團(tuán)NBA尸+ZβA∕∕=90°,

電/BAF=ZADH,

0BClAF,

團(tuán)NB/弘=NAHr）=90。，

ΞAB=DA，

mABF^DAH,

^AF=DH,

同理可知AF=EQ,

^DH=EQf

0D∕∕0FG,EQ^FGf

?/DHG=NEQG=