陜西省商洛市2024屆高三尖子生學(xué)情診斷考試（第二次）數(shù)學(xué)（文科）試卷

商洛市2024屆高三尖子生學(xué)情診斷考試（第二次）數(shù)學(xué)試卷（文科）考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)，，則.設(shè)，則的虛部為（）A.B.C.1D.03.一組數(shù)據(jù)：，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A.5.2B.26C.5D.4.24.設(shè)向量的夾角的余弦值為，則（）A.-1B.1C.-5D.55.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A.70B.112C.168D.2406.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A.34B.30C.26D.227.已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則（）A.B.C.D.8.已知，則（）A.B.C.D.9.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為是上的一點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一點(diǎn)，且，則的面積為（）A.B.C.D.10.數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)數(shù)列，其中從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)之和，即，這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.若，則（）A.175B.176C.177D.17811.已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，且平面，若，，則球的體積為（）A.B.C.D.12.已知函數(shù)，若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，設(shè)函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是__________.14.已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則__________.15.已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于兩點(diǎn)，則__________.16.魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾?魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具.魔方擁有競速?盲擰?單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會(huì)舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一.一個(gè)三階魔方，由27個(gè)棱長為1的正方體組成，如圖是把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動(dòng)了，則該魔方的表面積增加了__________.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（本小題滿分12分）隨著科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，科技創(chuàng)新型人才需求量增大，在2015年，國家開始大力推行科技特長生招生扶持政策，教育部也出臺(tái)了《關(guān)于“十三五”期間全面深入推進(jìn)教育信息化工作的指導(dǎo)意見（征求意見稿）》為選拔和培養(yǎng)科技創(chuàng)新型人才做好準(zhǔn)備.某調(diào)研機(jī)構(gòu)調(diào)查了兩個(gè)參加國內(nèi)學(xué)科競賽的中學(xué)，從兩個(gè)中學(xué)的參賽學(xué)員中隨機(jī)抽取了60人統(tǒng)計(jì)其參賽獲獎(jiǎng)情況，并將結(jié)果整理如下：未獲得區(qū)前三名及以上名次獲得區(qū)前三名及以上名次中學(xué)116中學(xué)349（1）試判斷是否有的把握認(rèn)為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學(xué)校有關(guān)？（2）用分層抽樣的方法，從樣本中獲得區(qū)前三名及以上名次的學(xué)生中抽取5人，再從這5人中任選3人進(jìn)行深度調(diào)研，求所選的3人中恰有2人來自中學(xué)的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.63518.（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）證明：是鈍角三角形；（2）平分，且交于點(diǎn)，若，求的周長.19.（本小題滿分12分）如圖，在多面體中，平面平面，四邊形是矩形，四邊形是邊長為2的菱形，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，且.（1）證明：；（2）若為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離.20.（本小題滿分12分）設(shè)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足，求實(shí)數(shù)的值.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.（1）證明：函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，證明：.23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.商洛市2024屆高三尖子生學(xué)情診斷考試（第二次）?數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案?提示及評(píng)分細(xì)則1.A因?yàn)椋?故選A.2.B，所以，所以的虛部為.故選B.3.A依題意這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以方差為.2.故選A.4.B設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，又，所以，所以.故選B.5.C第一次執(zhí)行，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第一次循環(huán)，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第二次循環(huán)，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第三次循環(huán)，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第四次循環(huán)，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第五次循環(huán)，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第六次循環(huán)，由112，則，又由，不成立，退出循環(huán)，則輸出.故選C.6.B設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，所以解得，所以.故選B.7.A因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.，所以只需比較的大小即可.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，?而在上單調(diào)遞減，所以，即.故選A.8.C由，可得，即，所以.故選C.9.D由題意知，設(shè)，所以，又，所以，所以，所以，解得，所以的面積.故選D.10.B由從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，，由，得，所以，將這個(gè)式子左?右兩邊分別相加可得，所以.所以，所以.故選B.11.D在中，，由余弦定理得，設(shè)外接圓的圓心為，則平面，且，而平面，因此，取的中點(diǎn)，連接，則四邊形為矩形，則，球的半徑，體積.故選D.12.C不等式等價(jià)于，令，根據(jù)題意對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以，所以.故選C.13.（開區(qū)間，半開半閉區(qū)間也正確）依題意，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.14.6由題意知，所以，解得.15.圓的圓心，半徑，由雙曲線的離心率為，得，解得，于是雙曲線的漸近線方程為，即.當(dāng)漸近線為時(shí)，點(diǎn)到此直線的距離，即直線與已知圓相離，不符合要求；當(dāng)漸近線為時(shí)，點(diǎn)到此直線的距離，則直線與已知圓相交，弦長.16.如圖，轉(zhuǎn)動(dòng)后，此時(shí)魔方相對(duì)原來魔方多出了16個(gè)小三角形的面積，俯視圖如圖，由圖形的對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形，設(shè)直角邊，則斜邊，故，可得.由幾何關(guān)系得，故轉(zhuǎn)動(dòng)后的表面積，故表面積增加了.17.解：（1）補(bǔ)全列聯(lián)表如下：未獲得區(qū)前三名及以上名次獲得區(qū)前三名及以上名次總計(jì)中學(xué)11617中學(xué)34943總計(jì)451560所以，故沒有的把握認(rèn)為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學(xué)校有關(guān).（2）由題知，用分層抽樣抽取的5人中，來自中學(xué)的有2人，記為，來自中學(xué)的有3人，記為，從這5人中任選3人進(jìn)行深度調(diào)研，所有的結(jié)果有，共10種，其中恰有2人來自中學(xué)的結(jié)果有，共6種，故所求概率.18.（1）證明：在中，，由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，因?yàn)?，所以，所以是鈍角三角形.（2）解：因?yàn)?，且，所以，由余弦定理，得，解得（?fù)值舍去），所以的周長為.19.（1）證明：連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所?（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?過在平面內(nèi)作，交棱的延長線于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于.因?yàn)椋?，所以，所?由平面，得，所以，因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，即，所以，即點(diǎn)到平面的距離為.20.解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為.因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，解得，則，故橢圓的方程為.（2）由，根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為.把代入橢圓的方程，消去整理得.設(shè)，則，則，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.①當(dāng)時(shí)，，線段的垂直平分線為軸，于是.由，解得；②當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線的方程為.由點(diǎn)是線段的垂直平分線上一點(diǎn)，令，得.因?yàn)椋?，解得，所?綜上所述，實(shí)數(shù)的值為.21.（1）證明：由題意知的定義域?yàn)?，且，令，則，所以（即）在上單調(diào)遞增，又所以在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn).（2）解：恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立.令，則，所以，令，則，令，得，令，得，所以