壓軸大題13 直曲結(jié)合解決圓錐曲線綜合問題（解析版）

壓軸大題13直曲結(jié)合解決圓錐曲線綜合問題壓軸壓軸秘籍1.利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解2.若直線與圓雉曲線相交于，兩點，由直線與圓錐曲線聯(lián)立，消元得到（）則：則：弦長或圓錐曲線弦長萬能公式（硬解定理）設直線方程為:y=kx+b(特殊情況要對圓錐曲線的方程為:fx,y可化為ax設直線和曲線的兩交點為Ax1,y1,Bx2,y2,AB

(2)若消去x,得ayAB處理定點問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設為），（2）利用條件找到與過定點的曲線的聯(lián)系，得到有關與的等式，（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時要將關于與的等式進行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關系，可消去變?yōu)槌?shù).處理定值問題的思路：聯(lián)立方程，用韋達定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化簡即可.壓軸訓練壓軸訓練一、解答題1．（2023·江蘇·金陵中學校聯(lián)考三模）已知橢圓E：，橢圓上有四個動點A，B，C，D，，AD與BC相交于P點.如圖所示.

(1)當A，B恰好分別為橢圓的上頂點和右頂點時，試探究：直線AD與BC的斜率之積是否為定值？若為定值，請求出該定值；否則，請說明理由；(2)若點P的坐標為，求直線AB的斜率.【答案】(1)是定值，定值為(2)【分析】（1）由題意求出直線的斜率，再求可設直線CD的方程為，設，，將直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系，然后求解即可；（2）設，，，記，表示出點的坐標，將A，D兩點的坐標代入橢圓方程，化簡得，再由可得，從而可得，進而可得直線的方程，則可求出其斜率.【詳解】（1）由題意知，，，所以，，所以，設直線CD的方程為，設，，聯(lián)立直線CD與橢圓的方程，整理得，由，解得，且，則，，所以，故直線AD與BC的斜率之積是定值，且定值為.（2）設，，，記()，得.所以.又A，D均在橢圓上，所以，化簡得，因為，所以，同理可得，即直線AB：，所以AB的斜率為.【點睛】關鍵點睛：此題考查直線與橢圓的位置關系，考查橢圓中的定值問題，解題的關鍵是設出直線CD的方程，代入橢圓方程中消元化簡，再利用根與系數(shù)的關系，再利用直線的斜率公式表示出，結(jié)合前面的式子化簡計算可得結(jié)果，考查計算能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.2．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的左頂點為，過右焦點且平行于軸的弦．(1)求的內(nèi)心坐標；(2)是否存在定點，使過點的直線交于，交于點，且滿足？若存在，求出該定點坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在定點【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓的定義以及，列出等式即可求出橢圓的方程，判斷的內(nèi)心在軸，設直線平分，交軸于點，此時為的內(nèi)心，進行求解即可；（2）設直線方程為，，，，，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到根的判別式大于零，由點、、、均在直線上，得到，此時，結(jié)合韋達定理求出，可得存在定點滿足題意．【詳解】（1）∴橢圓的標準方程為，不妨取，則；因為中，，所以的內(nèi)心在軸，設直線平分，交軸于，則為的內(nèi)心，且，所以，則；（2）∵橢圓和弦均關于軸上下對稱．若存在定點，則點必在軸上∴設當直線斜率存在時，設方程為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去得，則①∵點的橫坐標為1，均在直線上，，整理得，因為點在橢圓外，則直線的斜率必存在．∴存在定點滿足題意

【點睛】解決曲線過定點問題一般有兩種方法：①探索曲線過定點時，可設出曲線方程，然后利用條件建立等量關系進行消元，借助于曲線系的思想找出定點，或者利用方程恒成立列方程組求出定點坐標.②從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關.3．（2023·江蘇南京·南京師大附中校考一模）已知，為雙曲線C的焦點，點在C上．(1)求C的方程；(2)點A，B在C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點，點Q在直線AB上，若＋，＝0，是否存在定點T，使得|QT|為定值？若有，請求出該定點及定值；若沒有，請說明理由.【答案】(1)(2)存在T（1，－2）使|QT|為定值【分析】（1）根據(jù)題意可得，解之即可求解；（2）設直線AB的方程，，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達定理表示；由直線的點斜式方程可得PA方程，得，同理得N（0,），根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示，化簡計算可得，分類討論與的情況，即可求解.【詳解】（1）設雙曲線C的方程為，，由題意知，解得，∴雙曲線C的方程為；（2）設直線AB的方程為，，，，消去y，得，則，，，∴直線PA方程為，令，則，同理N（0,），由，可得，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，即，當時，，此時直線AB方程為，恒過定點，顯然不可能；∴，此時直線AB方程為，恒過定點，∵，∴，取PE中點T，∴，∴為定值，∴存在點使|QT|為定值.4．（2023·江蘇南京·南京市第一中學?？寄M預測）已知雙曲線，在雙曲線的右支上存在不同于點的兩點，，記直線的斜率分別為，且，，成等差數(shù)列．(1)求的取值范圍；(2)若的面積為（為坐標原點），求直線的方程．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）設，，直線，代入雙曲線方程，根據(jù)，，得，根據(jù)以及斜率公式推出，，代入可求出結(jié)果；（2）利用弦長公式求出，利用點到直線距離公式求出點到直線的距離，再利用三角形面積列式求出可得直線的方程.【詳解】（1）設，，直線，由，消去得,依題意可得，得，又，，成等差數(shù)列，所以，所以，因為不同于，即不在直線上，所以，即，所以，即，即，所以，即，代入，得，得，因為，所以，即，所以或.（2），點到直線PQ的距離，，所以，兩邊平方得，由得，代入，得，因為，所以，將代入得，整理得，所以，解得或，由（1）知，，所以,,當時，，直線的方程為，當時，，直線的方程為，綜上所述：直線PQ方程為或.

【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)以及斜率公式推出是本題解題關鍵.5．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A，，上頂點為，坐標原點到直線的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)過A點作兩條互相垂直的直線，與橢圓交于，兩點，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件列方程組求得得橢圓方程；（2）設的直線方程為，，，直線方程代入橢圓方程得，由垂直求得，再把代入，換元后利用基本不等式得最大值．【詳解】（1）由已知可得，解得，，，，所以橢圓的方程為.（2）設的直線方程為，，，聯(lián)立方程整理得，所以，因為，所以，即.所以.整理得，解得或（舍去），所以所以，令，則，此時最大值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值求法：引入?yún)?shù)設出動直線方程，代入圓錐曲線方程后應用韋達定理，用點的坐標表示出待求最值的量的表達式，如果只有一個參數(shù)，則直接代入韋達定理的結(jié)果后，利用函數(shù)知識、不等式知識或?qū)?shù)知識求得最值，如果有兩個參數(shù)，則利用韋達定理的結(jié)果和題中條件求出一個參數(shù)值或兩個參數(shù)關系，消去一個參數(shù)，然后再求得最值．6．（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學校考模擬預測）在平面直角坐標系中，已知拋物線上的點到焦點的距離的5.(1)求拋物線方程及點的坐標.(2)過點的直線交于兩點，延長，分別交拋物線于兩點.令，，，，求的最小值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線定義列式得的值，即可得拋物線方程及點的坐標；（2）設，，，，分別表示、，根據(jù)，得，代入，利用基本不等式求解．【詳解】（1）已知拋物線上的點到焦點的距離的5所以，解得，故拋物線方程為，所以，則，所以點的坐標為；（2）設，，，，，

由于A，F(xiàn)，M三點共線，故，即，同理B，F(xiàn)，N三點共線，，故直線的方程為：，即，，，由得，所以，，所以直線的方程為：，即，直線恒過定點，注意到，所以，設，，則：，，因此，所以的最小值為，此時.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．7．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知點是圓上一動點，點，線段的垂直平分線交線段于點.(1)求動點的軌跡方程；(2)定義：兩個離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關于坐標軸對稱的曲線與曲線相似，且焦點在同一條直線上，曲線經(jīng)過點.過曲線上任一點作曲線的切線，切點分別為，這兩條切線分別與曲線交于點（異于點），證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合軸對稱的性質(zhì)及橢圓定義求出方程作答.（2）由（1）及已知求出曲線的方程，驗證斜率不存在的情況，當斜率存在時，設出它們的方程，再與，的方程聯(lián)立推理作答.【詳解】（1）依題意，，

由橢圓的定義知，交點的軌跡是以點為左右焦點的橢圓，且長軸長，焦距，則，所以曲線的方程為.（2）由（1）知，曲線的離心率為，且焦點在x軸上，則曲線的離心率為，曲線的焦點在x軸上，而曲線經(jīng)過點，，因此曲線的長半軸長，半焦距，短半軸長有，于是曲線的方程為，設，

當切線的斜率不存在時，的方程為，代入得，此時、與曲線都相切，為的中點，為的中點，則；當切線的斜率不存在時，同理有；當切線和的斜率都存在時，設切線的方程為，分別代入和，化簡得①，②，依題意，方程①有兩個相等的實數(shù)根，方程②有兩個不相等的實數(shù)根，于是，即，則，此時為的中點.同理可證，為的中點，因此，所以.【點睛】求橢圓的標準方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程．②待定系數(shù)法：若焦點位置明確，則可設出橢圓的標準方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設橢圓的方程為(A>0，B>0，A≠B)．8．（2023秋·江蘇·高三淮陰中學校聯(lián)考開學考試）已知雙曲線．(1)求C的右支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點（橫縱坐標均為整數(shù)的點）的個數(shù)．(2)記C的左、右頂點分別為，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P，證明：點P在定直線上．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意開始求整點通項,再應用等差數(shù)列求和個數(shù)計算即可得；（2）設出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達定理計算可得，即交點的橫坐標為定值，據(jù)此可證得點在定直線上.【詳解】（1）因為雙曲線方程為，令時,整點時為,整點個數(shù)為,區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點為個.（2）由(1)可得，設，顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點在定直線上運動.【點睛】關鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，其中根據(jù)設而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數(shù)的關系可以簡化運算，是解題的關鍵.9．（2023秋·江蘇連云港·高三校考階段練習）已知橢圓的一個焦點為，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點，求面積的最大值及此時直線的方程.【答案】(1)(2)面積的最大值為，此時直線的方程為.【分析】（1）將坐標代入橢圓方程，再結(jié)合，可求出，從而可求得橢圓方程，（2）將直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系，結(jié)合弦長公式和點到直線的距離公式即可求出面積的最大值及此時直線的方程【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為，（2）設，由，得，因為直線與橢圓交于兩點，所以，解得，所以，所以，因為點到直線的距離為，所以的面積為，當且僅當，即時取等號，所以面積的最大值為，此時直線的方程為.【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是將直線方程代入橢圓方程化簡結(jié)合根與系數(shù)的關系求解，考查計算能力，屬于較難題.10．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學考試）已知橢圓E：，四點，，，中恰有三點在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程；(2)點P為橢圓E上的一動點，設直線PA，PB的斜率分別為，.①求的值；②若不與坐標軸垂直的直線l交橢圓E于M，N兩點，O為坐標原點，，，求的面積.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）結(jié)合對稱性判定在橢圓上的三個點，利用待定系數(shù)法計算即可；（2）設，利用斜率公式結(jié)合橢圓方程計算即可求第一問，設，，利用上問及點在橢圓上得出，再由三角形面積公式計算即可.【詳解】（1）由橢圓的對稱性，顯然A，B在E上，D不可能在E上，C在E上，∴，，∴橢圓E的方程為.（2）①設，∴，.②∵，，結(jié)合上問可知∴，設，，則，

∴，即，且，，∴..11．（2023秋·江蘇·高三江蘇省梁豐高級中學校聯(lián)考階段練習）在直角坐標平面內(nèi)，已知，，動點滿足條件：直線與直線斜率之積等于，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)過直線：上任意一點作直線與，分別交于，兩點，則直線是否過定點？若是，求出該點坐標；若不是，說明理由．【答案】(1)（）；(2)是，定點為.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用斜率坐標公式列式化簡作答.（2）設出點的坐標，由已知探求出點的坐標關系，再按直線斜率存在與否分類討論求解作答.【詳解】（1）設動點，則直線、的斜率分別為，于是，整理得，顯然點不在軌跡上，所以的方程為（）.（2）設直線上的點，顯然，

依題意，直線的斜率滿足，且，直線斜率，則，有，設，，則（且），當直線不垂直于x軸時，設直線的方程為，消去y得，則，，又，即，則，整理得，解得或，此時方程中的，當時，直線：恒過點，當時，直線：，由于舍去，當直線時，則有，即有，而，解得，直線：過點，所以直線恒過點．12．（2023秋·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學考試）已知O為坐標原點，是橢圓C：的右焦點，過F且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A，B兩點．當A為短軸頂點時，的周長為．(1)求C的方程；(2)若線段AB的垂直平分線分別交x軸、y軸于點P，Q，M為線段AB的中點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到且，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求解.（2）解法一：設直線，聯(lián)立方程組，利用韋達定理得到，得出的垂直平分線的方程，求得，化簡，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；解法二：設，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系得到，進而得到，化簡，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）設橢圓的焦距為，因為橢圓的焦點為，可得，又因為為短軸頂點時，的周長，又由，所以，解得，所以橢圓的標準方程為．（2）解法一：因為橢圓的焦點為，設直線，聯(lián)立方程組，整理得，設，，則，，則，于是線段AB的垂直平分線的方程為，令，可得，由，令，則，因為，所以，可得，因此．解法二：因為橢圓的焦點為，設直線，聯(lián)立方程組，整理得，設，，則，，則，可得線段AB的垂直平分線的方程為，令，得，由．令，則，因為，可得，可得，因此．

【點睛】方法技巧：圓錐曲線中的最值問題是高考中的熱點問題，常涉及不等式、函數(shù)的值域問題，綜合性比較強，解法靈活多樣，但主要有兩種方法：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）平面向量；（6）導數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.13．（2023秋·江蘇連云港·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為，點，為C的左，右頂點．P為直線上的動點，與C的另一個交點為M，與C的另一個交點為N．(1)求C的方程；(2)證明：直線MN過定點．【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程，求得，即可得到C的方程；（2）根據(jù)題意，分別得到的坐標，然后分直線的斜率存在以及不存在分別討論，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意可設雙曲線方程為，左焦點為，則，離心率為，則，則，，則C的方程為.（2）

因為點，為C的左，右頂點，P為直線上的動點，所以，設，，則直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，消去可得，方程兩根為，由韋達定理可得，所以，，即；設直線方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，消去可得，方程兩根為，由韋達定理可得，則，，即；由對稱性可知，若直線過定點，則定點在軸上，當直線的斜率不存在時，，可得，此時，，則直線經(jīng)過點，當時，，，所以三點共線，即直線經(jīng)過點.綜上，直線經(jīng)過定點.14．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習）在平面直角坐標系中，已知橢圓：的左，右焦點分別為，，過點且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點（點在點，之間）.(1)記直線，的斜率分別為，，求的值；(2)設直線與交于點，求的值.【答案】(1)0(2)1【分析】（1）設直線l的方程為，聯(lián)立方程組，利用韋達定理求參數(shù)，從而得的值；（2）設由對稱關系得的方程和的方程，聯(lián)立方程組得，代入橢圓方程，得點在雙曲線上運動，且，恰好為該雙曲線的焦點，從而得的值.【詳解】（1）設直線l的方程為，，.聯(lián)立方程組，整理得，則，即，所以；（2）由（1）可知，，故直線與關于直線對稱，設直線與橢圓的另一個交點為，則與關于軸對稱，設，則.所以直線的方程為，直線的方程為，故點滿足方程組，解得，因為點在橢圓C上，所以，即，整理得，所以點在雙曲線上運動，且，恰好為該雙曲線的焦點，依題意，點在，之間，所以，得，點在雙曲線的右支上運動，所以.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.15．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習）在平面直角坐標系中，已知動圓與圓內(nèi)切，且與直線相切，設動圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線與曲線相交于，兩點和，兩點，求四邊形的面積的最小值.【答案】(1)(2)32【分析】（1）利用圓和圓，圓和直線的位置關系的性質(zhì)和拋物線的定義即可求解.（2）設直線的方程為，,聯(lián)立方程組得，再利用拋物線的的性質(zhì)求，同理求，最后利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）設圓的半徑為，圓的圓心，半徑為1，因為圓與圓內(nèi)切，且與直線相切，所以圓心到直線的距離為，因此圓心到直線的距離為，且，故圓心到點的距離與到直線的距離相等，據(jù)拋物線的定義，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線的方程為.（2）設直線的方程為，，，.聯(lián)立方程組整理得，故所以.因為，直線的方程為，同理可得.所以，當且僅當，即時，取等號.所以四邊形面積的最小值為32.

16．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第九中學校考階段練習）已知點在運動過程中，總滿足關系式：.(1)點M的軌跡是什么曲線？寫出它的方程；(2)設圓O：，直線l：與圓O相切且與點M的軌跡交于不同兩點A，B，當且時，求弦長的最大值.【答案】(1)點M的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓，(2)2【分析】（1）根據(jù)題中關系結(jié)合橢圓定義即可得到答案；（2）設，由直線與圓相切得，再由直線與橢圓相交以及，可得，由弦長公式結(jié)合基本不等式可得答案．【詳解】（1）由關系式，結(jié)合橢圓的定義，點M的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓.∴，，，∴點M的方程為.（2）聯(lián)立方程，則，設，，則，，，直線l：與圓O相切，則，，∵，∴，解得，.當且僅當取等號.所以弦長的最大值為2.

17．（2023秋·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線過點，離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)過點的直線交雙曲線于點，，直線，分別交直線于點，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知列關于a,b,c的方程組求解即可；（2）直線聯(lián)立雙曲線方程，寫出直線，的方程，然后可得點，坐標，將比值問題轉(zhuǎn)化為縱坐標關系，利用韋達定理可得，然后可得.【詳解】（1）由題知，解得，，，；（2）設直線，，聯(lián)立，則，則，，，

設直線，，令，，，則，因為所以，B為PQ的中點，所以.【點睛】本題難點在于能將所求轉(zhuǎn)化為證明的問題，可以通過取特殊方程求解，然后進行合理推測，或者盡量標準作圖，通過圖象進行猜測，從而確定求解方向.18．（2023·江蘇常州·?？级＃┮阎^點的直線與雙曲線：的左右兩支分別交于、兩點.(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)設點，過點且與直線垂直的直線，與雙曲線交于、兩點.當直線變化時，恒為一定值，求點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）當時，顯然符合題意，當時，設直線的方程為，其中，設、，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、依題意可得，即可得到不等式求出的取值范圍，即可得解；（2）由（1）知，因為，設，則直線的方程為：，設，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元，即可表示出，從而表示出，即可得到時，為定值，從而求出動點的軌跡方程.【詳解】（1）當時，顯然符合題意，當時，設直線的方程為，其中，設、，與雙曲線方程聯(lián)立可得，因為直線與雙曲線交于不同的兩支，所以，又，所以，解得，即，所以且，解得或，綜上可得；（2）由（1）知，因為，所以，設，則直線的方程為：，設，直線與雙曲線方程聯(lián)立可得，即，所以，所以，得，又因為，所以，當時，即時，為定值，所以或，又因為，所以點的軌跡方程為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.19．（2023·江蘇常州·常州市第三中學?？寄M預測）已知過點的直線l與拋物線相交于A，B兩點，當直線l過拋物線C的焦點時，．(1)求拋物線C的方程；(2)若點，連接QA，QB分別交拋物線C于點E，F(xiàn)，且與的面積之比為，求直線AB的方程．【答案】(1)方程為．(2)方程為．【分析】（1）直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理和弦長公式求出的值，即可得解；（2）設直線AB的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，直線AQ的方程與拋物線聯(lián)立，設，則，設，同理可得，利用三角形面積公式可得，求解即可.【詳解】（1）設，因為拋物線C的焦點為，所以當直線l過C的焦點時，直線AB的方程為，由得．則，，整理得，所以，故拋物線C的方程為．（2）易知直線AB的斜率在且不為零，設直線AB的方程為，由得，則，即或，．易知直線AQ的方程為，由得，設，則，設，同理可得，則，得，故直線AB的方程為．20．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預測）在平面直角坐標系中，已知，兩點在橢圓：上，且直線與橢圓：有且僅有一個交點，射線與橢圓交于點．(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設：，聯(lián)立直線與橢圓：，直線與橢圓：，因為直線與橢圓：有且僅有一個交點，通過韋達定理表示出，發(fā)現(xiàn)點也是的中點，即可證明；（2）通過點到直線的距離公式和弦長公式表示高和底，代入三角形面積公式，即可求出四邊形的面積．【詳解】（1）當軸或軸時，易得點是的中點，也是的中點，所以四邊形是平行四邊形．當與軸既不垂直也不平行時，設：，：．由得，由得所以，所以是的中點．由，得，因為直線與橢圓：有且僅有一個交點，所以，化簡得，所以．由，得，所以，所以點是的中點，所以四邊形是平行四邊形．（2）當軸時，易得，，四邊形是菱形，所以四邊形的面積為．點到的距離．因為，，所以，所以的面積是，因為四邊形是平行四邊形，所以四邊形的面積為．綜上可知：四邊形的面積為．21．（2023·江蘇鹽城·?？既＃┮阎獧E圓的左、右焦點分別為，，點A在C上，當軸時，；當時，.(1)求C的方程；(2)已知斜率為-1的直線l與橢圓C交于M，N兩點，與直線交于點Q，且點M，N在直線的兩側(cè)，點．若，是否存在到直線l的距離的P點？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）利用通徑公式和橢圓定義，結(jié)合余弦定理即可建立方程，從而可求解橢圓方程；（2）由點M，N在直線的兩側(cè)可得，設直線l：，點，，聯(lián)立橢圓方程，消元，利用韋達定理可得，．根據(jù)，得到．代入斜率公式，得到，再由，求出的取值范圍即可.【詳解】（1）當軸時，，即①，當時，，在中，，由余弦定理可知，，即，整理，可得，即②，由①②，解得，．所以C的方程為．（2）設直線l：，點，，令，則，，由點M，N在直線的兩側(cè)，可得，聯(lián)立，消去x，可得，則恒成立，所以，．因為，所以，由正弦定理，得，而，即，所以，而，則，所以，則，即，即，整理，得，所以，因為，所以，又，所以，所以．令，結(jié)合，解得，則．所以時，點P到直線l的距離．【點睛】關鍵點睛：第二問中的關鍵是能把轉(zhuǎn)化為，由正弦定理，得，從而得到，即，從而利用斜率公式和韋達定理求解.22．（2023·江蘇南京·南京市第九中學?？寄M預測）橢圓E的方程為，左、右頂點分別為，，點P為橢圓E上的點，且在第一象限，直線l過點P(1)若直線l分別交x，y軸于C，D兩點，若，求的長；(2)若直線l過點，且交橢圓E于另一點Q（異于點A，B），記直線與直線交于點M，試問點M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，說明理由．【答案】(1)；(2)點M在定直線上，理由見解析.【分析】（1）設，由題意可得則，，從而可得，根據(jù)即可求解；（2）依題可設直線l的方程為，，，．求出直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，聯(lián)立直線l的方程和橢圓方程，結(jié)合韋達定理，從而可求解.【詳解】（1）設，則①，②，由①②可得，，即，（2）依題可設直線l的方程為，，，．聯(lián)立方程組，整理得，，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，因為，，由，得，得．所以.故點M在定直線上．

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.23．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知拋物線與都經(jīng)過點．(1)若直線與都相切，求的方程；(2)點分別在上，且，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意求得，，利用導數(shù)的幾何意義，求得切線的方程，根據(jù)為曲線的公切線，聯(lián)立方程組，結(jié)合，進而求得的方程；（2）設，，根據(jù)，列出方程得到關系式，分類討論，即可求解．【詳解】（1）因為曲線都過點，所以，解得，即，設直線與曲線相切于點，令，可得，則切線的斜率，所以切線方程為，即，由，整理得，因為為曲線的公切線，所以，解得，所以直線的方程為，即．（2）設，，又，，所以，可得，兩式相減得到，當時，，，此時，，則，，且，可得，所以，所以；當時，，此時方程無解，（舍去），綜上，可得的面積為．24．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知拋物線和圓．(1)若拋物線的準線與軸相交于點，是過焦點的弦，求的最小值；(2)已知，，是拋物線上互異的三個點，且點異于原點．若直線，被圓截得的弦長都為2，且，求點的坐標．【答案】(1)(2)或【分析】（1）首先求出拋物線的焦點坐標與準線方程，設方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到，再根據(jù)重要不等式計算可得；（2）設，，，即可得到、的方程，由點到直線的距離公式得到、為方程的兩根，即可得到，由可得，由斜率之積為，求出，即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點為，準線為，則，設方程為，，，由，消去整理得，所以，，所以，，則，當且僅當時取等號，即的最小值為.（2）設，，，則，，圓的圓心為，半徑，所以，則，同理可得，所以、為方程的兩根，所以，又，所以，所以，即，解得，所以點坐標為或.25．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學?？寄M預測）設橢圓過點，兩點，為坐標原點.(1)求橢圓的標準方程；(2)是否存在圓心為原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在圓心為原點的圓滿足題意，且．【分析】（1）將，的坐標代入橢圓的方程，列出方程組，求得即可；（2）假設滿足題意的圓存在，當切線斜率存在時，設該圓的切線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達定理運算，同時滿足，則存在，否則不存在；當切線斜率不存在時，直接驗證即可．當滿足題意的圓存在時，利用弦長公式結(jié)合韋達定理得到，利用基本不等式求出其范圍.【詳解】（1）將，的坐標代入橢圓的方程得，解得，．所以橢圓的方程為．（2）假設滿足題意的圓存在，其方程為，其中，設該圓的任意一條切線和橢圓交于，兩點，

當直線的斜率存在時，令直線的方程為，①將其代入橢圓的方程并整理得，則，②由韋達定理得，，③因為，所以，④將①代入④并整理得，聯(lián)立③得，⑤將⑤代入②得，符合題意，因為直線和圓相切，因此，由⑤得，所以存在圓滿足題意．當切線的斜率不存在時，切線為，可得或，顯然，綜上所述，存在圓滿足題意．當切線的斜率存在時，由①③⑤得，當時，；當時，，∵，∴，當且僅當時等號成立，∴，則，當切線的斜率不存在時，易得，所以．綜上所述，存在圓心為原點的圓滿足題意，且．【點睛】方法點睛：圓錐曲線的探索性問題主要體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）探索點是否存在；（2）探索曲線是否存在；（3）探索命題是否成立．解決此類問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．其步驟為假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設出，列出關于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在．反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法．26．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預測）設拋物線C：的焦點為F，P是拋物線外一點，直線PA，PB與拋物線C切于A，B兩點，過點P的直線交拋物線C于D，E兩點，直線AB與DE交于點Q.(1)若AB過焦點F，且，求直線AB的傾斜角；(2)求的值.【答案】(1)或(2)2【分析】（1）設AB直線的方程，再和拋物線聯(lián)立，運用拋物線的定義及韋達定理可求出直線AB的傾斜角；（2）設過A點且與拋物線C相切的直線方程為，與拋物線聯(lián)立由求出直線PA的方程，同理可得直線PB方程，即可求出直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立求出，設直線PD的方程為與拋物線聯(lián)立由韋達定理表示出，，代入化簡即可得出答案.【詳解】（1）設，，，，因為直線AB的斜率不為0，所以設AB直線的方程為，聯(lián)立方程，消去y，得，所以，，所以，，所以直線的傾斜角為或.（2）設過A點且與拋物線C相切的直線方程為，（k存在，A不為原點），聯(lián)立方程，消去x得，，，即，所以，即，所以直線PA的方程為，即，同理可得，直線PB方程為：，因為點在直線PA，PB上，所以，，所以直線AB的方程為：設直線PD的方程為，聯(lián)立方程，消去x，得，得，，聯(lián)立方程，消去x，得，由于點P在拋物線的外部，點Q在拋物線的內(nèi)部，所以.

【點睛】方法點睛：本題考查直線與拋物線位置關系中的定值問題，此類問題一般有兩個處理方法：（1）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消元后利用韋達定理化簡目標代數(shù)式，從而可解決定值問題；（2）設出拋物線上動點的坐標（注意用縱坐標表示橫坐標或用橫坐標表示縱坐標），把題設條件轉(zhuǎn)化為關于坐標的關系，從而可解決定值問題.27．（2023·江蘇無錫·輔仁高中?？寄M預測）已知橢圓的右焦點為，點A，B在橢圓C上，點到直線的距離為，且的內(nèi)心恰好是點D．(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知O為坐標原點，M，N為橢圓上不重合兩點，且M，N的中點H在直線上，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設橢圓的左焦點為，則，再根據(jù)的內(nèi)心恰好是點D，可得軸，求出直線的方程，再根據(jù)點到直線的距離求得即可得解；（2）設，利用點差法求得直線的斜率為，設直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，再利用弦長公式求出，利用點到直線的距離公式求出點直線的距離，再利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】（1）設橢圓的左焦點為，則，故點到直線的距離等于，因為的內(nèi)心恰好是點D，所以點到直線的距離相等且為，則即為點到直線的距離，所以，即軸，由，令，則，不妨取，則，故直線的方程為，即，則點到直線的距離為，即，又，所以，所以橢圓C的標準方程為；

（2）設，則，因為M，N為橢圓上不重合兩點，則有，兩式相減得，則，即，設直線的方程為，聯(lián)立，消得，，解得，所以，，則，原點到直線的距離，，故，當且僅當，即時，取等號，所以面積的最大值為．

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.28．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預測）已知拋物線：的焦點F也是雙曲線：的一個焦點，與公共弦的長為.(1)求的方程；(2)過F的直線l與交于A，B兩點，與上支交于C，D兩點，且與同向.（i）若，求直線l的斜率；（ii）設在點A處的切線與x軸交于點M，試判斷點F與以MD為直徑的圓的位置關系.【答案】(1)(2)（i）；（ii）點F在以MD為直徑的圓內(nèi)【分析】（1）根據(jù)弦長和拋物線方程可求得交點坐標，結(jié)合同焦點建立方程組求解可得；（2）（i）設，，，，直線方程，分別聯(lián)立拋物線方程和雙曲線方程，利用韋達定理，結(jié)合可解；（ii）利用導數(shù)求出切線方程以及點M坐標，利用判斷，從而可知為鈍角，可得結(jié)論.【詳解】（1）的焦點為，所以①又與公共弦的長為，且與都關于y軸對稱，所以公共點的橫坐標為，代入可得縱坐標為3，所以公共點的坐標為，所以②聯(lián)立①②得，，故的方程為.（2）設，，，，（i）因為與同向，且，所以，從而，即，所以，設直線l的方程為，

聯(lián)立，得，，則，，聯(lián)立，得，，則，，所以，即，所以，所以或，由圖可知，，得，故所以直線l的斜率為.（ii）由得，所以在點A處的切線方程為，令得，即，所以，而，于是，因此是銳角，從而是鈍角，故點F在以MD為直徑的圓內(nèi).【點睛】本題屬直線與圓錐曲線綜合問題，一般遵循設而不求原則，基本步驟為：1、設出點的坐標和直線方程；2、直線方程聯(lián)立圓錐曲線方程消元，得到關于x或y的一元二次方程；3、判斷判別式，利用韋達定理得到兩根和與兩根積；4、利用根與系數(shù)關系對題目條件進行轉(zhuǎn)化求解.29．（2023·江蘇揚州·江蘇省高郵中學?？寄M預測）設直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點，且三角形的面積為.(1)求的值；(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0，與交于兩個不同的點，，關于軸的對稱點為，為的右焦點，若，，三點共線，證明：直線經(jīng)過軸上的一個定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，從而得到兩點的坐標，得到三角形的面積為，列出方程，求出的值；（2）設出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)三點共線，得到斜率相等，列出方程，代入后求解出，求出直線所過的定點.【詳解】（1）雙曲線：的漸近線方程為，不妨設，因為三角形的面積為，所以，所以，又，所以.（2）雙曲線的方程為：，所以右焦點的坐標為，依題意，設直線與軸交于點，直線的方程為，設，，則，聯(lián)立，得，且，化簡得且，所以，，因為直線的斜率存在，所以直線的斜率也存在，因為，，三點共線，所以，即，即，所以，因為，所以，所以，所以，化簡得，所以經(jīng)過軸上的定點.

【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是設直線的方程為，，，則，再將其與雙曲線方程聯(lián)立，從而得到韋達定理式，根據(jù)三點共線，則有，整理代入韋達定理式化簡求出值即可.30．（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）在平面直角坐標系中，過橢圓：上的動點作軸的垂線，垂足為點，，.(1)求橢圓的方程；(2)設直線：交于不同的兩點、，向量，，是否存在常數(shù)，使得滿足的實數(shù)有無窮多解？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）設，則，根據(jù)向量數(shù)量關系的坐標表示得，利用兩點距離公式求橢圓軌跡方程；（2）（法一）聯(lián)立直線與橢圓，應用韋達定理得、，結(jié)合向量關系得，進而有，將韋達式代入得到恒等式求參數(shù)k；（法二）同方法一，根據(jù)向量關系得到，韋達式代入恒成立，求參數(shù)k；（法三）根據(jù)題設向量關系有，設，則，確定坐標，斜率兩點式判斷是否為常數(shù)即可.【詳解】（1）設，則，由得：，由得：，所以曲線的方程為：.（2）（法一）將直線代入橢圓得：，即，由韋達定理，，由知：，又，故有，由，則，所以恒成立，為任意實數(shù)，所以，可得，得，經(jīng)檢驗，不合題意，即存在常數(shù)使對任意實數(shù)恒成立，（法二）將直線代入橢圓得：，即，由韋達定理得，由知：，即，代入得：，由于為常數(shù)，故當且僅當時等式成立，故存在常數(shù)使對任意實數(shù)恒成立，.（法三）由知：，設，則，由此得到或者，或者當，時，求得；當，時，求得；當，時，求得，不為常數(shù)；當，時，求得，不為常數(shù)；綜上，存在常數(shù)使對任意實數(shù)恒成立，.

【點睛】關鍵點點睛：第二問，聯(lián)立直線與橢圓，應用韋達定理結(jié)合已知關系得到恒等關系求參數(shù)，注意驗證所得結(jié)果.31．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學校考模擬預測）已知橢圓右焦點分別為，是上一點，點與關于原點對稱，的面積為.(1)求的標準方程；(2)直線，且交于點，，直線與交于點.證明：①直線與的斜率乘積為定值；②點在定直線上.【答案】(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）設為，根據(jù)，解得；點在曲線上，可得，解得，，即可得出橢圓的標準方程．（2）①設，，直線方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，，利用斜率計算公式、根與系數(shù)的關系即可得出為定值．②直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線方程，，化簡結(jié)合根與系數(shù)的關系可得為定值．【詳解】（1）設為，，則，即，又點在曲線上，∴，將代入，整理得，，解得，，∴橢圓的標準方程為.（2）①設，，直線方程為：，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，當，即且時，，，∴，，∴，.②直線方程為：，即，直線的方程為，即，聯(lián)立直線與直線方程得，∴，，∴.∴，即點在定直線上.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.32．（2023·江蘇常州·校考一模）已知橢圓：的短軸長為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得，再結(jié)合可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設，，，，設的方程為，代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系，由可得，再結(jié)合前面的式子化簡可求出關于的方程，從而可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，因為，所以解得，．所以所求橢圓的方程為（2）設，，，，直線的斜率顯然存在，設為，則的方程為．因為，，，四點共線，不妨設，則，，，，由，可得，化簡得．（*）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，消去，得，，得，由韋達定理，得，．代入（*）化簡得，即．又，代入上式，得，化簡得．所以點總在一條定直線上．

【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵是設出直線的方程，利用弦長公式表示出，代入化簡，再將直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系，幾個式子相結(jié)合可證得結(jié)論.33．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學校考模擬預測）過點的動直線與雙曲線交于兩點，當與軸平行時，，當與軸平行時，．(1)求雙曲線的標準方程；(2)點是直線上一定點，設直線的斜率分別為，若為定值，求點的坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與坐標軸平行的情況可得雙曲線上的點的坐標，代入雙曲線方程即可求得結(jié)果；（2）方法一：由三點共線可整理得到，代入雙曲線方程可整理得到，結(jié)合兩點連線斜率公式可化簡得到，根據(jù)為常數(shù)可構(gòu)造方程求得，進而得到點坐標，驗證可知符合題意；方法二：設，與雙曲線方程聯(lián)立可得一元二次方程，根據(jù)該方程的根可化簡得到，同理可得，由此可化簡得到，由為常數(shù)可構(gòu)造方程求得點坐標，驗證可知當直線斜率為和斜率不存在時依然滿足題意，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知：雙曲線過點，，將其代入方程可得：，解得：，雙曲線的標準方程為：.（2）方法一：設，點與三點共線，，（其中，），，，又，整理可得：，當時，，，不合題意；當時，由得：，設，則，，若為定值，則根據(jù)約分可得：且，解得：；當時，，此時；當時，為定值.方法二：設，直線，由得：，為方程的兩根，，則，由得：，由可得：，同理可得：，則，若為定值，則必有，解得：或或，又點在直線上，點坐標為；當直線斜率為時，坐標為，若，此時；當直線斜率不存在時，坐標為，若，此時；綜上所述：當時，為定值.【點睛】思路點睛：本題考查直線與雙曲線中的定點定值問題的求解，本題求解的基本思路是能夠利用直線與雙曲線相交的位置關系確定兩交點橫縱坐標所滿足的等量關系，進而通過等量關系化簡所求的，根據(jù)為常數(shù)來構(gòu)造方程求得定點的坐標.34．（2023·江蘇南通·三模）雙曲線C：，點是C上位于第一象限的一點，點關于原點O對稱，點關于y軸對稱．延長至E使得，且直線和C的另一個交點F位于第二象限中．(1)求的取值范圍；(2)證明：不可能是的三等分線.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求得點，求出直線BE的方程，將該直線的方程與雙曲線C的方程聯(lián)立，求出點F的坐標，由可得出，進而可得出關于的不等式，結(jié)合可求得的取值范圍；（2）計算得出，可得出，計算出，可得出，由此可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）由題設得，、，設點，由題意可得，即，即，得，則，直線BE的斜率為，所以直線BF的方程是，即，聯(lián)立，消去y可得，直線BF與雙曲線C有2個交點，則，因為滿足方程，由韋達定理得，解得，所以，得已經(jīng)成立，因此只需，因為，可得，所以，因為，所以，所以，可得，所以的取值范圍是；（2）證明：由（1）可知，，所以，即，則，因為，則，則，所以，因此AE不可能是的三等分線..【點睛】難點點睛：本題考查了雙曲線的標準方程、直線與雙曲線的位置關系以及圓錐曲線中的綜合問題，屬于難題，解答時要明確題意，明確解題的思路，但難點在于計算的復雜性，并且計算量很大，并且基本上都是關于字母參數(shù)的運算，因此要十分有耐心才可以.二、證明題35．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，過的直線交于，兩點（其中點在第一象限），過點作的切線交軸于點，直線交于另一點，直線交軸于點.(1)求證：；(2)記，，的面積分別為，，，當點的橫坐標大于2時，求的最小值及此時點的坐標.【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，此時點的坐標為【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義確定直線斜率，設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，把所證等式轉(zhuǎn)化為比例式，利用相似比轉(zhuǎn)化為縱坐標之比，即可得證；（2）對的面積可以采用分割法轉(zhuǎn)化為兩三角形面積之差，最后將表達式進行化簡，借助函數(shù)的導數(shù)確定單調(diào)性進而確定最值.【詳解】（1）設點，則.因為點在第一象限，可設函數(shù)，則，所以，所以直線方程為，令，則，即點.設直線，與聯(lián)立得，所以，同理.因為，，所以，則，設直線，與聯(lián)立得，又因為直線與拋物線交于兩點，所以.因為點，所以，代入拋物線，又因為在第四象限，可知.因為，，所以，即，原命題得證.（2）由（1）知，所以，得，即.所以，另由（1）知，，，所以，即；，，設函數(shù)，，則.當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以當時，取得最小值為，此時點的坐標為.【點睛】關鍵點點睛：本題求解的關鍵有兩個：一是利用導數(shù)的幾何意義確定切線的斜率；二是把目標式表示出來后，利用導數(shù)求解最值.36．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學?？既＃┮阎獧E圓的離心率為，左、右頂點分別為、，點、為橢圓上異于、的兩點，面積的最大值為．(1)求橢圓的方程；(2)設直線、的斜率分別為、，且．①求證：直線經(jīng)過定點．②設和的面積分別為、，求的最大值．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)題意可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）①分析可知直線不與軸垂直，設直線的方程為，可知，設點、.將直線的方程的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用求出的值，即可得出直線所過定點的坐標；②寫出關于的函數(shù)關系式，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的最大值.【詳解】（1）解：當點為橢圓短軸頂點時，的面積取最大值，且最大值為，由題意可得，解得，所以，橢圓的標準方程為.（2）解：①設點、.若直線的斜率為零，則點、關于軸對稱，則，不合乎題意.設直線的方程為，由于直線不過橢圓的左、右焦點，則，聯(lián)立可得，，可得，由韋達定理可得，，則，所以，，解得，即直線的方程為，故直線過定點.②由韋達定理可得，，所以，，，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最大值為.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.37．（2023春·江蘇南通·高三海安高級中學?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，兩個頂點分別為.過點的直線交橢圓于兩點，直