《26.1.2 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的的綜合運用》教案、導學案、同步練習

第2課時反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運用【教學目標】1．使學生進一步理解和掌握反比例函數(shù)及其圖象與性質(zhì)；(重點)2．深刻領(lǐng)會函數(shù)解析式與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法；(重點)3．探索反比例函數(shù)和一次函數(shù)、幾何圖形以及圖形面積的綜合應用．(難點)【教學過程】一、情境導入如圖所示，對于反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k>0)，在其圖象上任取一點P，過P點作PQ⊥x軸于Q點，并連接OP.試著猜想△OPQ的面積與反比例函數(shù)的關(guān)系，并探討反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)中k值的幾何意義．二、合作探究探究點一：反比例函數(shù)解析式中k的幾何意義如圖所示，點A在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象上，AC垂直x軸于點C，且△AOC的面積為2，求該反比例函數(shù)的表達式．解析：先設點A的坐標，然后用點A的坐標表示△AOC的面積，進而求出k的值．解：∵點A在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象上，∴xA·yA＝k，∴S△AOC＝eq\f(1,2)·k＝2，∴k＝4，∴反比例函數(shù)的表達式為y＝eq\f(4,x).方法總結(jié)：過雙曲線上任意一點與原點所連的線段與坐標軸和向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形的面積等于|k|的一半．探究點二：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運用【類型一】利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小若M(－4，y1)、N(－2，y2)、P(2，y3)三點都在函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k＜0)的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為()A．y2＞y3＞y1B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1解析：∵k＜0，故反比例函數(shù)圖象的兩個分支在第二、四象限，且在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大．∵M(－4，y1)、N(－2，y2)是雙曲線y＝eq\f(k,x)(k＜0)上的兩點，∴y2>y1>0.∵2＞0，P(2，y3)在第四象限，∴y3＜0.故y1，y2，y3的大小關(guān)系為y2＞y1＞y3.故選B.方法總結(jié)：反比例函數(shù)的解析式是y＝eq\f(k,x)(k≠0)，當k＜0時，圖象在第二、四象限，且在每個現(xiàn)象內(nèi)y隨x的增大而增大；當k＞0，圖象在第一、三象限，且在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減?。绢愋投坷梅幢壤瘮?shù)計算圖形的面積如圖，直線l和雙曲線y＝eq\f(k,x)(k＞0)交于A、B兩點，P是線段AB上的點(不與A、B重合)，過點A、B、P分別向x軸作垂線，垂足分別是C、D、E，連接OA、OB、OP，設△AOC的面積是S1，△BOD的面積是S2，△POE的面積是S3，則()A．S1＜S2＜S3B．S1＞S2＞S3C．S1＝S2＞S3D．S1＝S2＜S3解析：如圖，∵點A與點B在雙曲線y＝eq\f(k,x)上，∴S1＝eq\f(1,2)k，S2＝eq\f(1,2)k，S1＝S2.∵點P在雙曲線的上方，∴S3＞eq\f(1,2)k，∴S1＝S2＜S3.故選D.方法總結(jié)：在反比例函數(shù)的圖象上任選一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是eq\f(|k|,2)，且保持不變．【類型三】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題函數(shù)y＝eq\f(1－k,x)的圖象與直線y＝－x沒有交點，那么k的取值范圍是()A．k＞1B．k＜1C．k＞－1D．k＜－1解析：直線y＝－x經(jīng)過第二、四象限，要使兩個函數(shù)沒有交點，那么函數(shù)y＝eq\f(1－k,x)的圖象必須位于第一、三象限，則1－k＞0，即k＜1.故選B.方法總結(jié)：判斷正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝eq\f(k2,x)在同一直角坐標系中的交點個數(shù)可總結(jié)為：①當k1與k2同號時，正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)y＝eq\f(k2,x)有2個交點；②當k1與k2異號時，正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)y＝eq\f(k2,x)沒有交點．【類型四】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題如圖，已知A(－4，eq\f(1,2))，B(－1，2)是一次函數(shù)y＝kx＋b與反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)(m＜0)圖象的兩個交點，AC⊥x軸于點C，BD⊥y軸于點D.(1)根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當x取何值時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；(2)求一次函數(shù)解析式及m的值；(3)P是線段AB上的一點，連接PC，PD，若△PCA和△PDB的面積相等，求點P的坐標．解析：(1)觀察函數(shù)圖象得到當－4＜x＜－1時，一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象上方；(2)先利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，然后把A點或B點坐標代入y＝eq\f(m,x)可計算出m的值；(3)設出P點坐標，利用△PCA與△PDB的面積相等列方程求解，從而可確定P點坐標．解：(1)當－4＜x＜－1時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；(2)把A(－4，eq\f(1,2))，B(－1，2)代入y＝kx＋b中得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4k＋b＝\f(1,2)，,－k＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝\f(5,2)，))所以一次函數(shù)解析式為y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)，把B(－1，2)代入y＝eq\f(m,x)中得m＝－1×2＝－2；(3)設P點坐標為(t，eq\f(1,2)t＋eq\f(5,2))，∵△PCA和△PDB的面積相等，∴eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(t＋4)＝eq\f(1,2)×1×(2－eq\f(1,2)t－eq\f(5,2))，即得t＝－eq\f(5,2)，∴P點坐標為(－eq\f(5,2)，eq\f(5,4))．方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標所包含的信息．本題也考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．三、板書設計1．反比例函數(shù)中系數(shù)k的幾何意義；2．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；3．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．【教學反思】本節(jié)課主要是要注重提高學生分析問題與解決問題的能力．數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學學習的一個重要思想，也是我們學習數(shù)學的一個突破口．在教學中要加強這方面的指導，使學生牢固掌握基本知識，提升基本技能，提高數(shù)學解題能力.第2課時反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運用一、學習目標1.進一步掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)；2.掌握過反比例函數(shù)圖像上一點作兩坐標軸的垂線，此垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積問題（k的幾何意義）；3.會通過反比例的圖像比較兩個函數(shù)的函數(shù)值的大小，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。二、重難點重點：（1）掌握k的幾何意義；（2）會通過反比例函數(shù)的圖像比較兩個函數(shù)的函數(shù)值的大小；難點：體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．三、自主學習（Ⅰ）復習回顧1.反比例函數(shù)y=的圖像是，它既是對稱圖形，又是對稱圖形.當k＞0時，它的圖像位于象限內(nèi)，在內(nèi)，y的值隨x值的增大而；當k＜0時，它的圖像位于象限內(nèi)，在內(nèi)，y的值隨x值的增大而；2.已知反比例函數(shù)，當時，其圖象的兩個分支在第一、三象限內(nèi).3.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（-1,2）.（1）求此反比例函數(shù)的解析式；（2）這個函數(shù)的圖象位于什么象限？增減性如何？（3）點B（1，-2），C（），D（2,3）是否在這個函數(shù)的圖象上？（Ⅱ）自主探究探究1：（1）在反比例函數(shù)y=圖像上任取一點P，過P分別作x軸、y軸的垂線，與坐標軸圍成的矩形面積分別為S，則S=.（2）在反比例函數(shù)y=圖像上任取一點P，過P分別作x軸、y軸的垂線，與坐標軸圍成的矩形面積分別為S，則S=.結(jié)論：在反比例函數(shù)y=圖象上任取一點P，過P分別作x軸、y軸的垂線，與坐標軸圍成的矩形面積分別為S，則S=.例題1：反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象如圖，點M是圖像上一點，MP垂直軸于點P，如果△MOP的面積為1，那么的值是；探究2：如圖是反比例函數(shù)的圖象的一支，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）圖象的另一支位于哪個象限？常數(shù)m的取值范圍是什么？（2）在這個函數(shù)圖象的某一支上任取點A（，）和點A′（′，′）.如果′，那么與′有怎樣的大小關(guān)系？例題2：已知點(x1,y1),(x2,y2)都在反比例函數(shù)y=的圖像上，（1）若x1＜x2＜0,則y1y2；（2）若x1＜0＜x2,則y1y2.（Ⅲ）自我嘗試1.下列函數(shù)中，其圖像位于第一，三象限的有；在其圖像所在象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而增大的有。①y=②y=③y=④y=2.已知點(2,y1),(3,y2)在反比例函數(shù)y=的圖像上，則y1y2.3.已知點A（）、B（）是反比例函數(shù)（）圖象上的兩點，若，則()A．B． C．D．4.反比例函數(shù)的圖象如圖所示，點M是該函數(shù)圖象上一點，MN垂直于x軸，垂足是點N，如果S△MON＝2，則k的值為.四、自學小結(jié)通過本節(jié)課的自學我掌握了：五、課堂練習1.在反比例函數(shù)的圖象的每一支上，y隨x的增大而增大，則的值可以是（）A． B．0 C．1 D．22.對于反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（）A．點在它的圖象上 B．它的圖象在第一、三象限C．當時，隨的增大而增大 D．當時，隨的增大而減小3.若點（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在反比例函數(shù)的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為.4.若反比例函數(shù)的表達式為，（1）當時，=；（2）當時，的取值范圍是；（3）當時，的取值范圍是.5.設P是函數(shù)在第一象限的圖像上任意一點，點P關(guān)于原點的對稱點為P’，過P作PA平行于y軸，過P’作P’A平行于x軸，PA與P’A交于A點，△PAP’的面積為.能力提升：1.如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于A、B兩點，（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式（2）根據(jù)圖像直接寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的的取值范圍.2.如圖，Rt△ABO的頂點A是雙曲線與直線在第二象限的交點，AB⊥軸于B，且△ABO的面積=（1）求這兩個函數(shù)的解析式（2）A，C的坐標分別為（-1，m）和（n，-1）求△AOC的面積。3．如圖，已知A，B（-1,2）是一次函數(shù)與反比例函數(shù)（）圖象的兩個交點，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D。(1)根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當x取何值時，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值?(2)求一次函數(shù)解析式及m的值；(3)P是線段AB上的一點，連接PC，PD，若△PCA和△PDB面積相等，求點P坐標。六.課堂小結(jié)(1)K的幾何意義：反比例函數(shù)圖像上一點作兩坐標軸的垂線，此垂線與兩坐標軸圍成的矩形的面積為|k|反比例函數(shù)圖像上一點作一坐標軸的垂線，此垂線與原點，坐標軸圍成的三角形的面積為(2)通過反比例函數(shù)的圖像比較兩函數(shù)值大小注意點：學生在解有關(guān)函數(shù)問題時，要數(shù)形結(jié)合，在分析反比例函數(shù)的增減性時，函數(shù)y隨x的增減性就不能連續(xù)的看，一定要注意強調(diào)在哪個象限內(nèi)。數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合七.作業(yè)設計（1）課堂作業(yè)（2）課后作業(yè)26.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)同步練習一、填空題1．如果雙曲線經(jīng)過點（2，－1），那么m=；2．己知反比例函數(shù)(x>0)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是．二、選擇題yxOAyxOByxOCyxOAyxOByxOCyxOD5．給出下列函數(shù)：(1)y=2x;(2)y=-2x+1;(3)y=(x>0)(4)y=x2(x<-1)其中，y隨x的增大而減小的函數(shù)是（）A．（1）、（2）B．（1）、（3）C．(2)、(4)D．（2）、（3）、（4）6.設雙曲線y=與直線y=-x+1相交于點A、B，O為坐標原點，則∠AOB是（）A．銳角B．直角C．鈍角D．銳角或鈍角7．如圖，在直角坐標系中，直線y=6-x與函數(shù)y=(x>0)的圖像相交于點A、B，設點A的坐標為(x1，，y1)，那么長為x1,寬為y1的矩形面積和周長分別為()A．4，12B．8，12C．4，6D．8，6三、解答題8．如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=的圖像相交于A、B兩點，（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖像寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．AA(－2，1)B(1，n)Oxy9．如圖，已知反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)y＝kx＋4的圖像相交于P、Q兩點，并且P點的縱坐標是6．（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）求△POQ的面積．10．在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強p(Pa)是它的受力面積S(m2)的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示。(1)求p與S之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求當S=0.5m2時,物體承受的壓強p。參考答案：1．–22．m<13．D4．B5．D6．D7．A8．9．（1）把y=6代入，∴x=2，把（2，6）代入一次函數(shù)y=kx+4，∴k=1，∴一次函數(shù)的解析式是y=x+4；（2）根據(jù)（1）中的直線的解析式，令y=0，則x=-4，即直線與x軸的交點M的坐標是（-4，0），根據(jù)題意得，解得或．即點Q（-6，-2），∴S△POQ=S△OMQ+S△OMP=+=4+12=16．10．解:(1)因點P在反比例函數(shù)y=的圖像上,且其縱坐標為6,于是,得=6,解得x=2,∴P(2,6).又∵點P在函數(shù)y=kx+4的圖像上,∴6=2k+4,解得k=1.∴所求一次函數(shù)解析式為y=x+4.§26.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)(2)1.已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點和．（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）求點的坐標；（3）在同一直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)圖象的示意圖，并觀察圖象回答：當為何值時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值？2如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點，點的橫坐標為．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）點P為此反比例函數(shù)圖象上一點，且點P的縱坐標為4，求△AOP的面積.3.反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，5），若點（1，n）在反比例函數(shù)圖象上，則n等于.4.已知反比例函數(shù)的圖象在每個象限內(nèi)函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，且k的值還滿足，若為整數(shù)，求反比例函數(shù)的解析式.5.在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，又與直線交于點，試確定的值．中考鏈接如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例數(shù)的圖象交于A（-3，1）、B（2，n）兩點.（1）求上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求△AOB的面積.§反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)(2)1.（1），（2），（3）圖象略，當或時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值.2.依題意得，反比例函數(shù)的解析式為的圖像上．因為點在反比例函數(shù)的圖象上，所以．即點的坐標為．由點在直線上，可求得．3.（1），（2）9.4.A．5.．6.10．7.根據(jù)題意得：，解得：．又為整數(shù)，所以=0,1或2，反比例函數(shù)解析式為，或．中考鏈接（1）依題意有：m＝1×(－3)=－3∴反比例函數(shù)的解析式是：又∵B(2,n)在反比例函數(shù)的圖象上，∴n=∴解之得：一次函數(shù)的解析式是：（2）由（1）知,∴當y=0時，∴∴C（－1，0）∴OC＝1又∵A(－3,1)B(2,)∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝26.1.2反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)（2）同步練習課內(nèi)同步精練●A組基礎(chǔ)練習1.下列函數(shù)中，y隨x的增大而減小的有（）A.2個B.3個C.4個D.5個2.若點（-2，y1),(1，y2),(2，y3）都在反比例函數(shù)，的圖象上，則有（）