中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《三角形的極值問題》專項(xiàng)提升練習(xí)題及答案(北師大版)

第1頁（共1頁）中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《三角形的極值問題》專項(xiàng)提升練習(xí)題及答案(北師大版)學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一．選擇題（共8小題）1．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，AC＝4，當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是（）A．4 B．2+ C．+2 D．2+22．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果點(diǎn)M，N分別為BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，那么CM+MN的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．4.83．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF分別交AB、AC邊于點(diǎn)E、F，點(diǎn)K為EF上一動(dòng)點(diǎn)，則BK+CK的最小值是以下哪條線段的長度（）A．EF B．AB C．AC D．BC4．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，EF是BC的垂直平分線，P是直線EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．65．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M，P是直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，若AB＝13，△ABC的周長是36．則PB+PH的最小值為（）A． B．10 C．12 D．136．如圖，∠AOB＝α，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在OA、OB上移動(dòng)，當(dāng)△PMN的周長最小時(shí)，∠MPN的值為（）A．90°+α B．90° C．180°﹣α D．180°﹣2α7．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且∠AOB＝40°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長取最小值時(shí)，則∠MPN的度數(shù)為（）A．140° B．100° C．50° D．40°8．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）A．2 B．2 C．3 D．二．填空題（共4小題）9．如圖，AH是正三角形ABC中BC邊上的高，在點(diǎn)A，C處各有一只電子烏龜P和Q同時(shí)起步以相同的速度分別沿AH，CA向前勻速爬動(dòng)．確定當(dāng)兩只電子烏龜?shù)紹點(diǎn)距離之和PB+QB最小時(shí)，∠PBQ的度數(shù)為．10．如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB的垂直平分線DE交AB邊于點(diǎn)D，交BC邊于點(diǎn)E，在線段DE上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接AP、PC，則△APC的周長最小值為．11．已知：在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°M、N分別是CD和BC上的點(diǎn)．求作：點(diǎn)M、N，使△AMN的周長最?。鞣ǎ喝鐖D2（1）延長AD，在AD的延長線上截取DA′＝DA；（2）延長AB，在AB的延長線上截取BA″＝BA；（3）連接A′A″，分別交CD、BC于點(diǎn)M、N．則點(diǎn)M、N即為所求作的點(diǎn)．請回答：這種作法的依據(jù)是．12．如圖，在銳角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是．三．解答題（共4小題）13．如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊△BEF，連接DF，當(dāng)△BDF的周長最小時(shí)，求∠DBF的度數(shù)．14．幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最?。椒ǎ鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB＝A′B的值最?。ú槐刈C明）．模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．連接BD，由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱．連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是；（2）如圖2，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；（3）如圖3，∠AOB＝45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO＝10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長的最小值．15．探究問題1已知：如圖1，三角形ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，AE，BF交于點(diǎn)M，連接DE，DF．若DE＝kDF，則k的值為．拓展問題2已知：如圖2，三角形ABC中，CB＝CA，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在三角形ABC的內(nèi)部，且∠MAC＝∠MBC，過點(diǎn)M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．求證：DE＝DF．推廣問題3如圖3，若將上面問題2中的條件“CB＝CA”變?yōu)椤癈B≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．16．如圖1，點(diǎn)A、D在y軸正半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸上，CD平分∠ACB與y軸交于D點(diǎn)，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求證：AC＝BC；（2）在（1）中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，且∠DEA＝∠DBO，如圖2，求BC+EC的長；（3）在（1）中，過D作DF⊥AC于F點(diǎn)，點(diǎn)H為FC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為OC上一動(dòng)點(diǎn)，（如圖3），當(dāng)點(diǎn)H在FC上移動(dòng)、點(diǎn)G在OC上移動(dòng)時(shí)，始終滿足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，試判斷FH、GH、OG這三者之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并加以證明．參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，AC＝4，當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是（）A．4 B．2+ C．+2 D．2+2解：過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，連接OM，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形∴M是AC的中點(diǎn)∵AC＝4∴BC＝4，MC＝2根據(jù)勾股定理，得BM＝根據(jù)題意，得∠AOC＝90°∴OM＝＝2∴OM+MB＝2+∴點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是2+故選：D．2．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果點(diǎn)M，N分別為BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，那么CM+MN的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．4.8解：如圖所示：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N∵BD平分∠ABC∴ME＝MN∴CM+MN＝CM+ME＝CE．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB∴S△ABC＝AB?CE＝AC?BC∴10CE＝6×8∴CE＝4.8．即CM+MN的最小值是4.8故選：D．3．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF分別交AB、AC邊于點(diǎn)E、F，點(diǎn)K為EF上一動(dòng)點(diǎn)，則BK+CK的最小值是以下哪條線段的長度（）A．EF B．AB C．AC D．BC解：連接AK∵EF是線段AB的垂直平分線∴AK＝BK∴BK+CK＝AK+CK∴AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值∵AK+CK≥AC∴當(dāng)AK+CK＝AC時(shí)，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小∴BK+CK的最小值是線段AC的長度故選：C．4．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，EF是BC的垂直平分線，P是直線EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：如圖，EF是BC的垂直平分線∴點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于直線EF對(duì)稱∴線段AB與直線EF的交點(diǎn)即為點(diǎn)P∴PA+PC＝AB．∵AB＝4∴PA+PC的最小值是4．故選：B．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M，P是直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，若AB＝13，△ABC的周長是36．則PB+PH的最小值為（）A． B．10 C．12 D．13解：連接AP，AH∵AB＝AC＝13，△ABC的周長為36∴BC＝36﹣2×13＝10∵H是BC中點(diǎn)∴BH＝BC＝5∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)H是BC中點(diǎn)∴AH⊥BC∴AH＝＝＝12∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線∴點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A∴AP＝BP∴BP+PH＝AP+PH≥AH∴AH的長為BP+PH的最小值∴BP+PH的最小值為12．故選：C．6．如圖，∠AOB＝α，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在OA、OB上移動(dòng)，當(dāng)△PMN的周長最小時(shí)，∠MPN的值為（）A．90°+α B．90° C．180°﹣α D．180°﹣2α解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，連接P1、P2，交OA于M，交OB于N，則OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得MP＝P1M，PN＝P2N∴△PMN的周長的最小值＝P1P2由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠P1OP2＝2∠AOB＝2α∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α故選：D．7．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且∠AOB＝40°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長取最小值時(shí)，則∠MPN的度數(shù)為（）A．140° B．100° C．50° D．40°解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，連接P1P2，交OA于M，交OB于N，則OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得MP＝P1M，PN＝P2N，則△PMN的周長的最小值＝P1P2∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°故選：B．8．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）A．2 B．2 C．3 D．解：設(shè)BE與AC交于點(diǎn)F（P′），連接BD∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱∴P′D＝P′B∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最?。碢在AC與BE的交點(diǎn)上時(shí)，PD+PE最小，為BE的長度；∵正方形ABCD的面積為12∴AB＝2．又∵△ABE是等邊三角形∴BE＝AB＝2．故所求最小值為2．故選：A．二．填空題（共4小題）9．如圖，AH是正三角形ABC中BC邊上的高，在點(diǎn)A，C處各有一只電子烏龜P和Q同時(shí)起步以相同的速度分別沿AH，CA向前勻速爬動(dòng)．確定當(dāng)兩只電子烏龜?shù)紹點(diǎn)距離之和PB+QB最小時(shí)，∠PBQ的度數(shù)為30°．解：過點(diǎn)C作CD⊥BC，取CD＝AB，連接BD∵△ABC是等邊三角形，AH是BC邊上的高∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∠BAH＝30°∴∠ACD＝30°∴∠BAH＝∠ACD在△ABP和△CDQ中∴△ABP≌△CDQ（SAS）∴BP＝DQ，∠CQD＝∠APB∴當(dāng)B、Q、D共線時(shí)，PB+QB最小，連接BD交AC于Q∴∠APB＝∠AQB∴∠PBQ＝∠QAH＝30°故答案為：30°．10．如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB的垂直平分線DE交AB邊于點(diǎn)D，交BC邊于點(diǎn)E，在線段DE上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接AP、PC，則△APC的周長最小值為14．解：如圖，連接BP∵DE垂直平分AB∴AP＝BP∴AP+PC＝BP+PC∴當(dāng)點(diǎn)B，P，C在同一直線上時(shí)，AP+PC的最小值等于BC長∴△APC的周長最小值為BC+AC＝8+6＝14故答案為：14．11．已知：在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°M、N分別是CD和BC上的點(diǎn)．求作：點(diǎn)M、N，使△AMN的周長最?。鞣ǎ喝鐖D2（1）延長AD，在AD的延長線上截取DA′＝DA；（2）延長AB，在AB的延長線上截取BA″＝BA；（3）連接A′A″，分別交CD、BC于點(diǎn)M、N．則點(diǎn)M、N即為所求作的點(diǎn)．請回答：這種作法的依據(jù)是①線段垂直平分線的定義（或線段垂直平分線的判定，或軸對(duì)稱的性質(zhì)即對(duì)稱點(diǎn)的連線段被對(duì)稱軸垂直平分）②線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等（線段垂直平分線的性質(zhì)）；③兩點(diǎn)之間線段最短．解：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短作圖；故答案為：①線段垂直平分線的定義（或線段垂直平分線的判定，或軸對(duì)稱的性質(zhì)即對(duì)稱點(diǎn)的連線段被對(duì)稱軸垂直平分）②線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等（線段垂直平分線的性質(zhì)）；③兩點(diǎn)之間線段最短12．如圖，在銳角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是4．解：如圖，在AC上截取AE＝AN，連接BE．∵∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D∴∠EAM＝∠NAM在△AME與△AMN中∴△AME≌△AMN（SAS）∴ME＝MN．∴BM+MN＝BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線AC的距離時(shí)，BE⊥AC又AB＝4，∠BAC＝45°，此時(shí)，△ABE為等腰直角三角形∴BE＝4即BE取最小值為4∴BM+MN的最小值是4．故答案為：4．三．解答題（共4小題）13．如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊△BEF，連接DF，當(dāng)△BDF的周長最小時(shí)，求∠DBF的度數(shù)．解：如圖，連接CF∵△ABC、△BEF都是等邊三角形∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD∴∠ABE＝∠CBF在△BAE和△BCF中∴△BAE≌△BCF（SAS）∴∠BCF＝∠BAD＝30°如圖，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，DG，連接FG，則FD＝FG，CD＝CG∴∠FDG＝∠FGD，∠CDG＝∠CGD∴∠CDG+∠FDG＝∠CGD+∠FGD∵∠CDF＝∠ADC＝90°∴∠CGF＝90°∴BG⊥CG∴當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線上時(shí)，DF+BF的最小值等于線段BG長且BG⊥CG時(shí)，△BDF的周長最小由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG∴△DCG是等邊三角形∴DG＝DC＝DB∴∠DBF＝∠DGB＝∠CDG＝30°．14．幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最?。椒ǎ鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB＝A′B的值最?。ú槐刈C明）．模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．連接BD，由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱．連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是；（2）如圖2，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；（3）如圖3，∠AOB＝45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO＝10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長的最小值．解：（1）∵四邊形ABCD是正方形∴AC垂直平分BD∴PB＝PD由題意易得：PB+PE＝PD+PE＝DE在△ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE＝；（2）作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，交OB于PPA+PC的最小值即為A′C的長∵∠AOC＝60°∴∠A′OC＝120°∵AO＝CO，AO＝A′O∴∠OA'C＝∠OCA'＝30°作OD⊥A′C于D，則∠A′OD＝60°∵OA′＝OA＝2∴A′D＝∴；（3）分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N，連接OM、ON、MN，MN交OA、OB于點(diǎn)Q、R，連接PR、PQ，此時(shí)△PQR周長的最小值等于MN．由軸對(duì)稱性質(zhì)可得，OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°在Rt△MON中，MN＝＝＝10．即△PQR周長的最小值等于10．15．探究問題1已知：如圖1，三角形ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，AE，BF交于點(diǎn)M，連接DE，DF．若DE＝kDF，則k的值為1．拓展問題2已知：如圖2，三角形ABC中，CB＝CA，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在三角形ABC的內(nèi)部，且∠MAC＝∠MBC，過點(diǎn)M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．求證：DE＝DF．推廣問題3如圖3，若將上面問題2中的條件“CB＝CA”變?yōu)椤癈B≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC∴△AEB和△AFB都是直角三角形∵D是AB的中點(diǎn)∴DE和DF分別為Rt△AEB和Rt△AFB的斜邊中線∴DE＝AB，DF＝AB（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）∴DE＝DF∵DE＝kDF∴k＝1；（2）∵CB＝CA∴∠CBA＝∠CAB∵∠MAC＝∠MBE∴∠CBA﹣∠MBC＝∠CAB﹣∠MAC即∠ABM＝∠BAM∴AM＝BM∵M(jìn)E⊥BC，MF⊥AC∴∠MEB＝∠MFA＝90又∵∠MBE＝∠MAF∴△MEB≌△MFA（AAS）∴BE＝AF∵D是AB的中點(diǎn)，即BD＝AD又∵∠DBE＝∠DAF∴△DBE≌△DAF（SAS）∴DE＝DF；（3）DE＝DF如圖1，作AM的中點(diǎn)G，BM的中點(diǎn)H∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)∴DG∥BM，DG＝BM同理可得：DH∥AM，DH＝AM∵M(jìn)E⊥BC于E，H是BM的中點(diǎn)∴在Rt△BEM中，HE＝BM＝BH∴∠HBE＝∠HEB∠MHE＝∠HBE+∠HEB＝2∠MBC又∵DG＝BM，HE＝BM∴DG＝HE同