2024年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 專題07 手拉手模型綜合應(yīng)用（專項訓(xùn)練）（原卷版+解析）

專題07手拉手模型綜合應(yīng)用（專項訓(xùn)練）1．已知等邊△AOB和△COD．求證：AC＝BD．2．如圖，等邊△ABC，點D為BC延長線上一點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE．連接CE．求證：BD＝CE．3．以△ABC的AB，AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝α．CD與BE相交于O，連結(jié)AO，如圖①所示．（1）求證：BE＝CD；（2）判斷∠AOD與∠AOE的大小，并說明理由．（3）在EB上取點F，使EF＝OC，如圖②，請直接寫出∠AFO與α的數(shù)量關(guān)系．4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)一點，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，過點C作CD⊥CP，垂足為C，令CD＝CP，連接DP，BD，求∠BPC的度數(shù)．5．如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形．（1）如圖1，線段BD與AE是否相等？若相等，加以證明；若不相等，請說明理由．（2）如圖1，若B、C、E三點在一條直線上，AE與BD交于點O，求∠BOE的度數(shù)．（3）如圖2，若B、C、E三點不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝3，求BD的長．6．如圖，△ABC是等邊三角形，D為邊BC的中點，BE⊥AB交AD的延長線于點E，點F在AE上，且AF＝BE，連接CF、CE．求證：（1）∠CAF＝∠CBE；（2）△CEF是等邊三角形．7．（1）如圖1，△ABC和△AMN都是等腰直角三角形，直角頂點為點A，△ABC固定不動，△AMN可以繞著點A旋轉(zhuǎn)．①如圖2，將△AMN繞點A旋轉(zhuǎn)，使點M落在BC邊上，連接CN．直接寫出圖中的全等三角形：；直接寫出線段CN，CM，CB之間滿足的等量關(guān)系為：；②如圖2，試探索線段MA，MB，MC之間滿足的等量關(guān)系，并完整地證明你的結(jié)論；（2）如圖3，P是等腰直角△ABC內(nèi)一點，∠BAC＝90°，連接PA，PB，PC，將△BAP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△CAQ，連接PQ．已知PA＝2，PB＝3，若∠PQC＝90°，求PC的長．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形AOB，點C為x軸正半軸上動點（OC＞1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，連接DA并延長交y軸于點E．（1）求證：△OBC≌△ABD．（2）在點C的運動過程中，∠CAD的度數(shù)是否會變化？如果不變，請求出∠CAD的度數(shù)；如果變化，請說明理由．（3）以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形時，直接寫出此時點C的坐標(biāo)和CD的長度．9．已知：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．（1）求證：AD＝BE；（2）求∠AEB的度數(shù)；（3）拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．①請你直接寫出∠AEB的度數(shù)為多少度？②探索線段CM、AE、BE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．10．如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．（1）求證：EB＝GD；（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若AB＝3，AG＝，求EB的長．11.點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE和BCFG，連接AF、BD．（1）如圖①，AF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為，；（2）將正方形BCFG繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°），①如圖②，第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；②若AC＝4，BC＝，當(dāng)正方形BCFG繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)到點A、B、F三點共線時，求DB的長度．專題07手拉手模型綜合應(yīng)用（專項訓(xùn)練）1．已知等邊△AOB和△COD．求證：AC＝BD．【解答】證明：∵△AOB和△COD是等邊三角形，∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD．2．如圖，等邊△ABC，點D為BC延長線上一點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE．連接CE．求證：BD＝CE．【解答】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE．3．以△ABC的AB，AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝α．CD與BE相交于O，連結(jié)AO，如圖①所示．（1）求證：BE＝CD；（2）判斷∠AOD與∠AOE的大小，并說明理由．（3）在EB上取點F，使EF＝OC，如圖②，請直接寫出∠AFO與α的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）證明：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAC＝∠BAC+∠CAE，∴∠DAC＝∠BAE，又∵AD＝AB，AC＝AE，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝DC；（2）解：∠AOD＝∠AOE，理由如下：過點A作AM⊥DC于點M，AN⊥BE于點N，∵△ABE≌△ADC，∴∠ABE＝∠ADC，又∵AD＝AB，∴△ADM≌△ABN（AAS），∴AM＝AN，∵AM⊥OD，AN⊥OE，∴∠AOD＝∠AOE；（3）解：∵△AOD≌△AEB，∴∠AEF＝∠ACO，AE＝AC，又∵EF＝CO，∴△AEF≌△ACO（SAS），∴∠AFE＝∠AOC，AF＝AO，∴∠AFO＝∠AOF＝∠AOD．又∵∠DAB＝∠DOB＝α，∴2∠AFO＝180°﹣α．4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)一點，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，過點C作CD⊥CP，垂足為C，令CD＝CP，連接DP，BD，求∠BPC的度數(shù)．【解答】解：∵CD⊥CP，∴∠PCD＝90°，∵PC＝CD＝2，∴△PCD是等腰直角三角形，∴PD＝PC＝2，∠CPD＝∠CDP＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACP+∠PCB＝90°，又∵∠PCB+∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD，在△ACP和△BCD中，，∴△ACP≌△BCD（SAS），∴BD＝PA＝3，∵PB＝1，∴PB2+PD2＝12+（2）2＝9，∵PA2＝32＝9，∴PA2＝PB2+PD2，∴∠BPD＝90°，∵∠CPD＝45°，∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝135°．5．如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形．（1）如圖1，線段BD與AE是否相等？若相等，加以證明；若不相等，請說明理由．（2）如圖1，若B、C、E三點在一條直線上，AE與BD交于點O，求∠BOE的度數(shù)．（3）如圖2，若B、C、E三點不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝3，求BD的長．【解答】解：（1）BD＝AE，理由如下：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形．∴BC＝CA，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）由△BCD≌△ACE得，∠BDC＝∠AEC，∵∠BOE＝∠ODE+∠DEO＝∠CDE+∠DEC＝60°+60°＝120°，∴∠BOE的度數(shù)是120°；（3）∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，∴∠ADE＝90°，∵CD＝DE＝3，在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE＝＝5，由（1）同理得，△BCD≌△ACE，∴BD＝AE＝5．6．如圖，△ABC是等邊三角形，D為邊BC的中點，BE⊥AB交AD的延長線于點E，點F在AE上，且AF＝BE，連接CF、CE．求證：（1）∠CAF＝∠CBE；（2）△CEF是等邊三角形．【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝60°，∵D為BC的中點，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，又∵BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CBA＝30°，∴∠CAF＝∠CBE；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴CA＝CB，在△CAF和△CBE中，，∴△CAF≌△CBE（SAS），∴CE＝CF，∠ACF＝∠BCE，∴∠ECF＝∠BCE+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝60°，∴△CEF是等邊三角形．7．（1）如圖1，△ABC和△AMN都是等腰直角三角形，直角頂點為點A，△ABC固定不動，△AMN可以繞著點A旋轉(zhuǎn)．①如圖2，將△AMN繞點A旋轉(zhuǎn)，使點M落在BC邊上，連接CN．直接寫出圖中的全等三角形：；直接寫出線段CN，CM，CB之間滿足的等量關(guān)系為：；②如圖2，試探索線段MA，MB，MC之間滿足的等量關(guān)系，并完整地證明你的結(jié)論；（2）如圖3，P是等腰直角△ABC內(nèi)一點，∠BAC＝90°，連接PA，PB，PC，將△BAP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△CAQ，連接PQ．已知PA＝2，PB＝3，若∠PQC＝90°，求PC的長．【解答】解：（1）①∵∠BAM+∠MAC＝90°，∠CAN+∠MAC＝90°，∴∠BAM＝∠CAN，在△BAM和△CAN中：，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM＝CN，∵BM+CM＝CB，∴CN+CM＝CB，故答案為：△BAM≌△CAN，CN+CM＝CB；②MB2+MC2＝2MA2；證明如下：同理①可證△BAM≌△CAN，∴∠ACN＝∠B＝45°，即∠BCN＝90°，∴CN2+MC2＝MN2，在R△MAN中，MN2＝MA2+AN2＝2MA2，∴MB2+MC2＝2MA2；（2）由旋轉(zhuǎn)知△BAP≌△CAQ，∴PA＝QA＝2，∠PAQ＝∠BAC＝90°，CQ＝BP＝3，∴△PAQ為等腰直角三角形，∴PQ2＝PA2+QA2＝22+22＝8，∵∠PQC＝90°，∴PC2＝PQ2+QC2＝8+32＝17，∴PC＝．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形AOB，點C為x軸正半軸上動點（OC＞1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，連接DA并延長交y軸于點E．（1）求證：△OBC≌△ABD．（2）在點C的運動過程中，∠CAD的度數(shù)是否會變化？如果不變，請求出∠CAD的度數(shù)；如果變化，請說明理由．（3）以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形時，直接寫出此時點C的坐標(biāo)和CD的長度．【解答】（1）證明：∵△OAB和△BCD是等邊三角形，∴∠OBA＝∠CBD＝60°，OB＝AB，BC＝BD，∴∠OBC＝∠ABD，在△OBC和△ABD中，，∴△OBC≌△ABD（SAS）；（2）解：點C在運動過程中，∠CAD的度數(shù)不會變化，理由如下，∵△AOB是等邊三角形，∴∠BOA＝∠OAB＝60°，∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOA＝60°，∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴點C在運動過程中，∠CAD的度數(shù)一直為60°．（3）解：∵∠BOC＝∠BAD＝60°，∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠EAC＝120°，∠AEO＝30°，∴以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形時，AE和AC為腰，∵OA＝1，∠AEO＝30°，∠AOE＝90°，∴AC＝AE＝2OA＝2，∴OA＝OA+AC＝1+2＝3，∴點C的坐標(biāo)為（3，0），過點B作BH⊥x軸于點H，則AH＝OA＝AO＝，∠ABH＝30°，∴BH＝＝，CH＝AH+AC＝+2＝，∴BC＝＝，∴CD＝BC＝．9．已知：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．（1）求證：AD＝BE；（2）求∠AEB的度數(shù)；（3）拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．①請你直接寫出∠AEB的度數(shù)為多少度？②探索線段CM、AE、BE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）證明：∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，∵點A、D、E在同一直線上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°；（3）解：①∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝180﹣45＝135°，∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°；②AE＝BE+2CM．理由：如圖2，∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，∴CM＝DM＝EM，∴DE＝DM+EM＝2CM，∵△ACD≌△BCE（已證），∴BE＝AD，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．10．如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．（1）求證：EB＝GD；（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若AB＝3，AG＝，求EB的長．【解答】（1）證明：∵四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠EAG＝∠DAB＝90°，∵∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，∴∠GAD＝∠EAB，在△GAD和△EAB中，，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴EB＝GD；（2）解：BE⊥GD，理由如下：如圖，設(shè)DG與AE的交點為P，∵△GAD≌△EAB，∴∠AEB＝∠AGD，∵∠EPH＝∠APG，∴∠EHG＝∠EAG＝90°，∴EB⊥GD；（2）解：如圖2，連接BD，BD與AC交于點O，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝3，∴DB＝AB＝3，DO＝BO＝，∵AG＝，∴GO＝AO+AG＝，∴DG＝＝＝，∴BE＝DG＝．11.點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE和BCFG，連接AF、BD．（1）如圖①，AF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為，；（2）將正方形BCFG繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°），①如圖②，第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；②若AC＝4，BC＝，當(dāng)正方形BCFG繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)到點A、B、F三點共線時，求DB的長度．【解答】解：（1）AF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為AF＝BD，AF⊥