湘教版七年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練 專題4.24 《相交線與平行線》平行線、角平分線問題（基礎(chǔ)篇）（專項練習(xí)）

專題4.24《相交線與平行線》平行線、角平分線問題（基礎(chǔ)篇）（專項練習(xí)）一、單選題1．如圖，已知BM平分∠ABC，且BMAD，若∠ABC＝70°，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．70°2．如圖，在中，和的平分線交于點，過點作交于交于，若則線段的長為（）A． B． C． D．3．如圖，O是的，的平分線的交點，交BC于點D，交BC于點E．若，則的周長是（）A．16 B．10 C．8 D．以上都不對4．如圖，在中，平分，平分，經(jīng)過點O，與，相交于點N，M，且，設(shè)，，，則的周長為（）A．18 B．30 C．36 D．425．在鈍角△ABC中，延長BA到D，AE是∠DAC的平分線，AE//BC，則與∠B相等的角有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．如圖，點A、C為∠FBE邊上的兩點，AD∥BE，AC平分∠BAD，若∠FAD＝45°，則∠ACE＝（）A．45° B．67.5° C．112.5° D．135°二、填空題7．如圖，已知平分平分，，則______°．8．如圖，在中，，，BD平分，CD平分，，且EF過點D，則的周長是________．9．如圖，中，，與分別是與的平分線，，．則的周長是__________．

10．如圖，在△，的平分線交于點，過點作，分別交于點兩點，已知，，則△的周長為______．（用式子表示）11．如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，則FG的長為_________．12．如圖，PC∥OA，PD∥OB，∠AOB＝∠CPD，則∠AOB=________°．13．如圖，直線分別于直線、相交于點、，平分交直線于點，若，則的度數(shù)為_.14．如圖，AB∥CD，直線EF交AB于點E，交CD于點F，EG平分∠BEF，交CD于點G，∠1=50°，則∠2等于_________三、解答題15．如圖，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AD平分∠BAC，求證：∠1=∠E．下面是部分推理過程，請你填空或填寫理由證明：∵AD⊥BC，EG⊥BC

(已知)，∴∠ADC=∠EGC=90°（），∴AD∥EG（），∴∠2=______，()∠3=______(兩直線平行，同位角相等)．又∵AD平分∠BAC（），∴∠2=∠3（），∴∠1=∠E（）16．如圖，若直線AB，CD被直線EF所截，∠EMB=∠END，且MG平分∠EMB，NP平分∠END，猜想MG與NP是否平行？請說明理由．17．閱讀理解：我們知道“三角形三個內(nèi)角的和為180°”，在學(xué)習(xí)平行線的性質(zhì)之后，可以對這一結(jié)論進行推理論證．請閱讀下面的推理過程：如圖①，過點A作DEBC∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°∴∠B+∠BAC+∠C=180°即：三角形三個內(nèi)角的和為180°．閱讀反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC、∠B、∠C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系．方法運用：如圖②，已知ABDE，求∠B+∠BCD+∠D的度數(shù)．（提示：過點C作CFAB）深化拓展：如圖③，已知ABCD，點C在點D的右側(cè)，∠ADC=70°，點B在點A的左側(cè)，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直線交于點E，且點E在AB與CD兩條平行線之間，求∠BED的度數(shù)．18．完成下面的證明．如圖：與互補，，求證：．對于本題小明是這樣證明的，請你將他的證明過程補充完整．證明：與互補，（已知）．．兩直線平行，內(nèi)錯角相等，（已知），（等量代換）即．．內(nèi)錯角相等，兩直線平行．19．如圖①，、分別平分四邊形的外角和，設(shè)，．（1）若，則；（2）若與相交于點，且，求、所滿足的等量關(guān)系式，并說明理由；（3）如圖②，若，試判斷、的位置關(guān)系，并說明理由．20．如圖，的兩條外角平分線交于點，，三角形的內(nèi)角和為，求的度數(shù).21．如圖，已知線，，為，上兩動點，平分線與的外角平分線交于，試問：的度數(shù)是否隨，運動而發(fā)生變化？22．如圖，已知平分，平分，且，，求的度數(shù).23．如圖所示直線與分別交于，與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，試求與的數(shù)量關(guān)系.24．如圖所示，的邊上有兩動點，的角平分線交于點，，，求的大小.25．如圖所示直線與分別交于，與的角平分線交于點，，，，求度數(shù).26．如圖所示，的兩邊分別有兩個動點，的角平分線交于點，過點作的垂線，垂足分別為點，當(dāng)在射線上運動時，的值是否變化，若不變，求其值，若變化，說明理由.27．如圖所示，，與的角平分線交于點，，求的大小.28．如圖所示，，點為兩條平行線外部一點，為兩條平行線內(nèi)部一點，分別為上兩點，平分，平分，且與互補，求的大小.29．如圖，已知，，點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC，BD分別平分和，分別交射線AM于點C，D．（1）求的度數(shù)（2）當(dāng)點P運動時，的比值是否隨之變化？若不變，請求出這個比值；若變化，請找出變化規(guī)律；（3）當(dāng)點P運動到某處時，，求此時的度數(shù)．30．已知直線，直線EF分別交AB、CD于點A、C，CM是∠ACD的平分線，CM交AB于點H，過點A作AG⊥AC交CM于點G．（1）如圖1，點G在CH的延長線上時，若∠GAB=36°，求∠MCD的度數(shù)；（2）如圖2，點G在CH上時，試說明：2∠MCD+∠GAB=90°．31．（1）如圖①，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分線交于O點，過O點作EFBC交AB、AC于E、F．圖中有________個等腰三角形．猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由．（2）如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，圖中有_____個等腰三角形．它們是_____________．EF與BE、CF間的關(guān)系是___________________．（3）如圖③，若△ABC中∠ABC的平分線與三角形外角平分線交于O，過O點作OEBC交AB于E，交AC于F．這時圖中有_______個等腰三角形．EF與BE、CF關(guān)系又如何？說明你的理由．32．如圖所示，直線AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于E、F兩點，∠BEF、∠DFE的平分線相交于點K．（1）求∠EKF的度數(shù)；（2）如圖（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分線相交于點K1，問∠K1與∠K的度數(shù)是否存在某種特定的等量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明．（3）在圖（2）中作∠BEK1、∠DFK1的平分線相交于點K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分線相交于點K3，依此類推，……，請直接寫出∠K4的度數(shù)．33．如圖，已知∠AOB，作∠AOB的平分線OC，將直角尺DEMN如圖所示擺放，使EM邊與OB邊重合，頂點D落在OA邊上，DN邊與OC交于點P．（1）猜想DOP是三角形；（2）補全下面證明過程：∵OC平分∠AOB∴＝∵DN∥EM∴＝∴＝∴＝34．如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于點D，∠CDE=160°，求∠C的度數(shù)35．如圖，，平分交于點，平分交于點，．（1）說明的理由；（2）若，求的度數(shù)．36．在小學(xué)認(rèn)識三角形的基礎(chǔ)上我們來繼續(xù)學(xué)習(xí)三角形．三角形可用符號“”表示．例：如圖1中的三角形可記作“”；在一個三角形中，如果有兩個角相等，我們新定義這個三角形為等角三角形．（1）如圖1，的角平分線交于D，交于，①請在圖1中依題意補全圖形；②判斷是不是等角三角形；(直接寫出結(jié)論即可)．（2）如圖2，是的角平分線，．判斷是不是等角三角形，并說明理由．（3）如圖3，BM，CM分別是和的角平分線，請過圖中某一點，作一條圖中已有線段的平行線，使圖中出現(xiàn)一個或兩個等角三角形，標(biāo)出字母，并就出現(xiàn)的一個三角形是等角三角形說明理由．37．如圖，已知AB∥CD，CE、BE的交點為E，現(xiàn)作如下操作：第一次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線，交點為E1，第二次操作，分別作∠ABE1和∠DCE1的平分線，交點為E2，第三次操作，分別作∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，…，第n次操作，分別作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分線，交點為En．（1）如圖①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，則∠BEC=°；（2）如圖②，若∠BEC=140°，求∠BE1C的度數(shù)；（3）猜想：若∠BEC＝α度，則∠BEnC=°．38．如圖，已知AB//CD，直線EF與AB、CD相交于H、F兩點，F(xiàn)G平分∠EFD．（1）若∠AHE=112°，求∠EFG和∠FGB的度數(shù)；（2）若∠AHE=n°，請直接寫出∠EFG和∠FGB的度數(shù)．39．如圖，，點在點的右側(cè)，，的平分線交于點（不與，點重合），．設(shè)．（1）若點在點的左側(cè)，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）（2）將（1）中的線段沿方向平移，當(dāng)點移動到點右側(cè)時，請畫出圖形并判斷的度數(shù)是否改變．若改變，請求出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；若不變，請說明理由．40．如圖，AC∥DE，BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°，∠E=50°，求∠D，∠A的度數(shù)．

參考答案1．B【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出∠ABC的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)得到∠A的度數(shù)．解：∵BM平分∠ABC，∴∠MBA＝∠ABC＝35°．∵BM∥AD，∴∠A＝∠MBA＝35°．故選：B．【點撥】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】由∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D，∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等，利用等量代換可∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，然后即可求得結(jié)論．解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D，∴∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，∵MN∥BC，∴∠DBC=∠MDB，∠NDC=∠DCB，∴∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，∴BM=MD，DN=CN，∴MN=MD+DN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=8∴MN=8，故選：A．【點撥】此題考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解與掌握．此題關(guān)鍵是證明△BME△CNE是等腰三角形．3．A【分析】根據(jù)題意判斷出和是等腰三角形，再轉(zhuǎn)化的邊長即可．解：平分，，是等腰三角形，，同理可得：是等腰三角形，，，故選：A．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，能夠從平行線與角平分線中辨別出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】先根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定求得、，再由三角形周長公式、線段的和差即可求得結(jié)論．解：∵平分，平分∴，∵∴，∴，∴，∵，∴∴的周長為．故選：B【點撥】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定（等角對等邊）、三角形周長公式、線段的和差等知識點，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng)．5．C【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解．解：解析：依據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，可知∠B=∠DAE=∠CAE=∠C故選C．【點撥】此題主要考查角平分線的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)．6．C【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠BAD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠DAC，再利用平行線的性質(zhì)，得到∠ACB的度數(shù)．最后通過平角求出∠ACE．解：∵∠FAD＝45°，∴∠BAD＝180°-45°＝135°．∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝＝67.5°．∵AD∥BE，∴∠ACB＝∠DAC＝67.5°．∴∠ACE＝180°-67.5°＝112.5°．故選：C．【點撥】本題考查平行的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是運用題目中的條件去求解角的度數(shù)，能夠從角平分線和平行這兩個條件想到圖中存在等腰三角形．7．60°【分析】由AB∥CD，利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可得出∠ABC和∠ADC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求出∠ABE和∠CDE的度數(shù)，過點E作EF∥AB，則EF∥CD，利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可得出∠BEF和∠DEF的度數(shù)，再結(jié)合∠BED=∠BEF+∠DEF，即可求出∠BED的度數(shù)．解：∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠BCD=40°，∠ADC=∠BAD=80°．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴，過點E作EF∥AB，則EF∥CD，如圖所示．∵EF∥AB，EF∥CD，∴，∴，故答案為：60°．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的有關(guān)證明．利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，求出∠BEF和∠DEF的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．【分析】利用角平分線的性質(zhì)與平行線結(jié)合證得與均為等腰三角形即可．解：平分，CD平分，，，，，，，，，，的周長．故答案為：8cm．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，能夠明確角平分線與平行線結(jié)合，會產(chǎn)生等腰三角形，并運用等腰三角形的性質(zhì)解決問題，是本題考查的核心．9．6【分析】由OB，OC分別是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分線和OD∥AB、OE∥AC可推出BD＝OD，OE＝EC，顯然△ODE的周長即為BC的長度．解：∵OD∥AB，∴∠ABO＝∠BOD，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBD，∴∠ABO＝∠BOD，∴BD＝OD，則同理可得CE＝OE，∴△ODE的周長＝OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6．故答案為：6．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．【分析】根據(jù)題中條件，可得、是等腰三角形，DP=DB，EP=EC，三邊周長就是兩邊AB、AC之和，直接寫出答案即可．解：BP是的角平分線，，，，，DB=DP；CP是的角平分線，，，，，EP=EC；周長=AD+DP+PE+AE，AD+DP=AD+DB=AB=，PE+AE=CE+AE=AC=；周長．故答案為：．【點撥】本題考查平行線性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)及判定，將周長轉(zhuǎn)化為的兩條邊長AB、AC之和是解題關(guān)鍵．11．2【分析】由題意易得BE=EG，DF=DC，然后由線段的數(shù)量關(guān)系可求解．解：解：∵ED∥BC，∴∠EGB=∠GBC，∵BG平分∠ABC，∴∠ABG=∠GBC，∴∠ABG=∠EGB，∴BE=EG，同理可得DF=DC，∵BE=3，ED=5，∴GD=ED-EG=5-3=2，∴FG=FD-DG=4-2=2；故答案為2．【點撥】本題主要考查角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)與判定，數(shù)量掌握角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵，這屬于典型的“雙平等腰”模型．12．60【分析】根據(jù)PC∥OA得∠AOB=∠PCB，再根據(jù)PD∥OB，得到∠DPC+∠PCB=180°，所以得到∠AOB+∠DPC=180°，再結(jié)合∠AOB＝∠CPD，即可求出∠AOB的度數(shù)．解：∵PC∥OA∴∠AOB=∠PCB又∵PD∥OB∴∠DPC+∠PCB=180°∴∠AOB+∠DPC=180°又∠AOB＝∠CPD∴∠CPD=2∠AOB∴3∠AOB=180°∴∠AOB=60°故答案為：60．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．13．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求出的度數(shù)，然后由平行四邊形的判定與性質(zhì)即可得出的度數(shù).解：平分又故答案為【點撥】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，靈活應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.14．65°【分析】根據(jù)平行線和角平分線得到等腰三角形進行解題.解：∵AB∥CD，∴∠BEG=∠2，又∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠2；又∵AB∥CD，∴∠1+2∠2=180°，∵∠1=50°，∴∠2=65°.故答案為65°.15．垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；∠1；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠E；已知；角平分線的定義；等量代換【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定以及角平分線的定義證明即可．證明：∵AD⊥BC，EG⊥BC(已知)，∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定義），∴ADEG（同位角相等，兩直線平行），∴∠2=，(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠3=∠E(兩直線平行，同位角相等)．又∵AD平分∠BAC（已知），∴∠2=∠3（角平分線的定義），∴∠1=∠E（等量代換）．【點撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)及判定，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)及判定是解題的關(guān)鍵．16．MG∥NP，理由見詳解【分析】由∠EMB=∠END，再根據(jù)MG平分∠EMB，NP平分∠END．可得∠EMG=∠ENP，從而得到MG∥NP．解：MG∥NP．理由如下：

∵MG平分∠EMB，NP平分∠END，

∴∠EMG=∠EMB，∠ENP=∠END，又∵∠EMB=∠END，

∴∠EMG=∠ENP，

∴MG∥NP．【點撥】本題考查了平行線的判定、角平分線的性質(zhì)．此題利用了“同位角相等，兩直線平行”判定圖中的兩組直線相互平行．17．方法運用：360°；深度拓展：65°【分析】方法運用：過C作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論；深化拓展：過點E作EF∥AB，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，再利用角平分線的定義和等量代換即可求∠BED的度數(shù)．解：方法運用：解：過點C作CF∥AB∴∠B=∠BCF∵CF∥AB且AB∥DE∴CF∥DE∴∠D=∠DCF∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°∴∠B+∠BCD+∠D=360°深化拓展：過點E作EF∥AB∴∠BEF=∠ABE又∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°∴∠BEF=∠ABE=∠ABC=30°∵EF∥AB，AB∥CD∴EF∥CD∴∠DEF=∠EDC又∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°∴∠DEF=∠EDC=∠ADC=35°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°【點撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，能夠作出平行線是解題的關(guān)鍵．18．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；；；；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【分析】已知∠BAP與∠APD互補，根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行，可得AB∥CD，再根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)及等式相等的性質(zhì)即可得出答案．證明：與互補，（已知）（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），，（已知），即，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．故答案為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；；；；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【點撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)和等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解與運用平行線的判定與性質(zhì)．19．（1）110；（2），理由見解析；（3），理由見解析【分析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和與鄰補角的性質(zhì)即可求解；（2）連接BD，先得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到角度的關(guān)系即可求解；（3）由（1）有，∠MBC＋∠NDC＝，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，則∠CBE＋∠CDH＝（），∠CBE＋β?∠DHB＝（），根據(jù)＝，則有∠CBE＋?∠DHB＝（＋）＝，得到∠CBE＝∠DHB，故可得到BE∥DF．解：（1）∵∠ABC＋∠ADC＝360°?（）＝250°，∴∠MBC＋∠NDC＝180°?∠ABC＋180°?∠ADC＝360°-（∠ABC＋∠ADC）=＝110°．故答案為：110；（2）．理由如下：如解圖①，連接BD，由（1）知，，、分別平分四邊形的外角和，∴，．在△BCD中，∠BDC＋∠CBD＝180°?∠BCD＝180°?，在△BDG中，∠GBD＋∠GDB＋∠BGD＝180°，∴∠CBG＋∠CBD＋∠CDG＋∠BDC＋∠BGD＝180°，∴（∠CBG＋∠CDG）＋（∠BDC＋∠CBD）＋∠BGD＝180°，∴（）＋180°?＋25°＝180°，整理得；（3）．理由如下，如解圖②所示，延長交于點，由（1）、（2）可知，，．，，．，，，．【點撥】此題考查了平行線的性質(zhì)及其判定，多邊形的內(nèi)角和公式，利用多邊形的內(nèi)角和公式倒角為解題關(guān)鍵．20．.【分析】先由三角形的內(nèi)角和定理求出，然后再根據(jù)補角及角平分線的性質(zhì)求出，最后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠P即可.解：解：平分，平分【點撥】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)及補角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.21．的度數(shù)不隨點A、B的運動而發(fā)生變化.【分析】根據(jù)角平分線和垂線的性質(zhì)，可求得，，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得，再利用代入法和三角形內(nèi)角和定理求得∠C即可.解：∵的平分線與的外角平分線交于點∵且∴∠C+45°+∠BAO+90°－∠BAO+∠BAO=180°，是個定值，的度數(shù)不隨點A、B的運動而發(fā)生變化，．【點撥】本題主要考查了角平分線、垂線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.22．.【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)及對頂角相等可求得，，然后再利用已知條件及角的和差計算求解即可.解：如圖所示：設(shè)BC與MD的交點為E平分，BM平分，在與中，①在與中，②用得：，故【點撥】角平分線的性質(zhì)及對頂角相等、角的和差計算是本題的考點，根據(jù)題意求得是解題的關(guān)鍵.23．.【分析】結(jié)合題意，由同旁內(nèi)角角平分線基本性質(zhì)可知，從而得到答案.解：因為與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，由同旁內(nèi)角角平分線基本性質(zhì)可知：，【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)得到.24．.【分析】由同旁內(nèi)角角平分線的性質(zhì)可得，再結(jié)合題意得到.解：由同旁內(nèi)角角平分線的性質(zhì)可知：，所以，因為，所以.【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉平行線的性質(zhì).25．60°.【分析】由同旁內(nèi)角角平分線基本性質(zhì)可知，得到，又由于，則.解：由同旁內(nèi)角角平分線基本性質(zhì)可知：又.【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉平行線的性質(zhì).26．∠DCQ、∠BCP的值不變，.【分析】由外角的角平分線可得，再結(jié)合基本圖形，得到之間的關(guān)系.解：由外角的角平分線可得再結(jié)合題意可知：.【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉平行線的性質(zhì).27．【分析】先設(shè)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，由靴子圖可知，由于，則，即.解：設(shè)，由靴子圖可知，，，，即.【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)，由題意得到.28．.【分析】先設(shè)，，則，，由題意及平行線的性質(zhì)得，，得到，，由于與互補，得到，最終得出解：設(shè)，，則，由側(cè)M圖可知：，由鳥嘴圖可知：，即，，與互補.【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)，，且由題意得到x，y的關(guān)系.29．（1）60°；（2）不變，∠APB：∠ADB=2：1；（3）30°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義只要證明∠CBD=∠ABN即可；（2）不變．可以證明∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN=∠PBN．

（3）想辦法證明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解決問題；解：（1）∵AM∥BN，

∴∠ABN=180°-∠A=120°，

又∵BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（∠ABP+∠PBN）=∠ABN=60°，（2）不變．理由如下：

∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，

又∵BD平分∠PBN，

∴∠ADB=∠DBN=∠PBN=∠APB，∴∠APB：∠ADB=2：1．（3）∵AM∥BN，

∴∠ACB=∠CBN，

又∵∠ACB=∠ABD，

∴∠CBN=∠ABD，

∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，

∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，

∴∠ABC=∠ABN=30°，【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．30．（1）63°；（2）見解析【分析】（1）依據(jù)AG⊥AC，∠GAB=36°，可得∠CAH的度數(shù)，依據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，即可得到∠MCD的度數(shù)；

（2）結(jié)合（1）得ACD+∠CAH=180°，再依據(jù)角平分線的定義，即可得2∠MCD+∠GAB=90°．解：（1）∵AG⊥AC，∠GAB=36°，

∴∠CAH=90°-36°=54°，

∵AB∥CD，

∴∠ACD+∠CAH=180°，

∴∠ACD=126°，

∵CM是∠ACD的平分線，

∴∠ACH=∠DCM=63°；

（2）∵∠ACH=∠DCM，

∴∠ACD=2∠MCD，

由（1）得ACD+∠CAH=180°，

∵AG⊥AC，

∴∠CAG=90°，

∴2∠MCD+90°+∠GAB=180°，

∴2∠MCD+∠GAB=90°．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，角平分線的定義，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解決問題的關(guān)鍵．31．（1）5，，理由見解析；（2）2，，；（3）2，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意易得∠ABC=∠ACB，由EF∥BC可得∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，由角平分線可得∠ABO=∠OBC，∠OCB=∠ACO，進而可根據(jù)等腰三角形的判定可進行求解；（2）由題意易得∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，進而可得∠EOB=∠EBO，則EO=EB，同理可得FO=FC，然后問題可求解；（3）由題意易得∠ABO=∠OBC，∠1=∠2，∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠2，進而可得∠EOB=∠EBO，則EO=EB，同理可得FO=FC，然后問題可求解．解：解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=∠ACO，∴OB=OC，∴△OBC是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠AEF=∠AFE，∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO，∴AE=AF，EB=EO，F(xiàn)O=FC，∴△AEF、△EBO、△FOC都是等腰三角形，∴，故答案為5；（2）∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EOB=∠EBO，∴EO=EB，同理可得FO=FC，∴△EBO、△FOC都是等腰三角形，∴，故答案為2，，；（3），理由如下：如圖，∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠1=∠2，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠2，∴∠EOB=∠EBO，∴EO=EB，同理可得FO=FC，∴△EBO、△FOC都是等腰三角形，∴，故答案為2．【點撥】本題主要考查角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵，這題屬于“雙平等腰”的經(jīng)典模型．32．（1）∠EKF＝90°；（2）∠K＝2∠K1，證明見解析；（3）∠K4＝5.625°．【分析】（1）過K作KG∥AB，交EF于G，根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行可得AB∥KG∥CD，從而得出∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，然后根據(jù)角平分線的定義即可求出∠BEK+∠DFK＝90°，從而得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，結(jié)合（1）的結(jié)論可得∠BEK1+∠DFK1＝45°，從而求出∠K1，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律即可得出結(jié)論．解：（1）如圖（1），過K作KG∥AB，交EF于G，∵AB∥CD，∴AB∥KG∥CD，∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，∵EK、FK分別為∠BEF與∠EFD的平分線，∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，∴2（∠BEK+∠DFK）＝180°，∴∠BEK+∠DFK＝90°，則∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；（2）∠K＝2∠K1，理由為：∵∠BEK、∠DFK的平分線相交于點K1，∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠BEK1+∠DFK1＝45°，同（1）得∠K1＝∠BEK1+∠DFK1＝45°，則∠K＝2∠K1；（3）如圖（3），根據(jù)（2）中的規(guī)律和推導(dǎo)方法可得：∠K2＝∠K1＝22.5°，∠K3＝∠K2＝11.25°，∠K4＝∠K3＝5.625°．【點撥】題考查的是平行線的性質(zhì)及判定，掌握平行線的各個性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．33．等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD，見解析【分析】（1）三角形的種類有多種，從邊和角的關(guān)系上看常見的有：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、觀察此三角形即可大體猜想出三角形的類型；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，求得∠DOP＝∠DPO，即可判斷三角形的形狀．解：（1）我們猜想△DOP是等腰三角形；（2）補全下面證明過程：∵OC平分∠AOB，∴∠DOP＝∠BOP，∵DN∥EM，∴∠DPO＝∠BOP，∴∠DOP＝∠DPO，∴OD＝PD．故答案為：等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD．【點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及等腰三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)定理，找到相等的角．34．140°【分析】先根據(jù)鄰補角的定義求出∠CDB的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義得出∠ADB及∠ABC的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)可得出∠C的度數(shù)．解：∵∠CDE=160°，∴∠CDB=180°-∠CDE=180°-160°=20°，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB=20°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=2×20°=40°，∴∠C=180°-∠ABC=180°-40°=140°．【點撥】本題考查的是平行線的性質(zhì)、角平分線的定義及鄰補角的性質(zhì)，熟知平行線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．35．（1）見解析；（2）55°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和，可證，從而，再證明，即可證明結(jié)論成立；（2）先求∠ADC的度數(shù)，再求∠EDC的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可求的度數(shù)解：解：（1）因為平分，平分，所以，．因為，所以．因為，所以，所以，所以；（2）因為，所以，所以．因為，所以．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能運用平行線的性質(zhì)和判定進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，反之亦然．36．（1）①見解析；②△EBD是等角三角形；（2）△ABC是等角三角形，理由見解析；（3）見解析【分析】（1）①根據(jù)題意畫出圖形即可；②根據(jù)角平分線定義可得∠ABD＝∠DBC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDB＝∠DBC，進而可得∠EBD＝∠EDB，從而可得△EBD是等角三角形；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠B，∠2＝∠C，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠1＝∠2，進而可得結(jié)論；（3）過點M作GH∥BC，交AB于點G，交AC于點H，利用平行線的性質(zhì)和角平分線定義解答即可．解：（1）①補全圖形如圖4所示．②△EBD是等角三角形．理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴△EBD是等角三角形；（2）△ABC是等角三角形．理由如下：如圖5，∵AF∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，∵AF是∠GAC的角平分線，∴∠1＝∠2，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等角三角形．（3）過點M作GH∥BC，交AB于點G，交AC于點H，如圖6，出現(xiàn)兩個等角三角形分別是：△GBM和△HMC．下面說明△GBM是等角三角形．理由：∵GH∥BC，∴∠1＝∠2，∵BM是∠ABC角平分線，∴∠GBM＝∠2，∴∠1＝∠GBM，所以△GBM是等角三角形．【點撥】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，正確理解題意、熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．37．（1）75；（2）70°；（3）【分析】（1）先過E作EF∥AB，根據(jù)AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠B=∠1，∠C=∠2，進而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；

（2）先根據(jù)∠ABE