河北省武邑中學2023-2024學年高三上學期三調考試數(shù)學

數(shù)學試題注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘2．答題前請仔細閱讀答題卡（紙）上的“注意事項”，按照“注意事項”的規(guī)定答題．3．選擇題答案涂在答題卡上，非選擇題答案寫在答題卡的相應位置，在試卷和草稿紙上答題無效．第Ⅰ卷:選擇題（60分）一、單選題，本題共8小題，每題5分，共40分，將答案填涂在答題卡上相應位置．1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.2.已知a實數(shù)，若（i為虛數(shù)單位），則（）A.1 B. C. D.3.已知銳角滿足，則（）A. B. C.2 D.34.已知向量滿足，且，則等于（）A. B. C. D.75.已知正三棱柱的高與底面邊長均為2，則該正三棱柱內半徑最大的球與其外接球的表面積之比為（）A. B. C. D.6.如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ角的方向沿直線前往B處救援，則sinθ的值為()A. B. C. D.7.設，，，則（）A. B. C. D.8.拋物線：與雙曲線：有一個公共焦點，過上一點向作兩條切線，切點分別為、，則（）A.49 B.68 C.32 D.52二、多選題：本小題共4小題，全選對得5分，部分選對得2分，多選或錯選均不得分，共計20分，將答案填涂在答題卡的相應位置．9.已知數(shù)列的前n項和為，且(其中a為常數(shù))，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列一定是等比數(shù)列 B.數(shù)列可能是等差數(shù)列C.數(shù)列可能是等比數(shù)列 D.數(shù)列可能是等差數(shù)列10.以下四個命題表述正確是（）A.直線恒過定點；B.圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1C.曲線與曲線恰有三條公切線，則D.若雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長為，則雙曲線的離心率為．11.如圖，棱長為1正方體中，為線段上的動點（不含端點），則下列結論正確的是（）A.直線與所成的角可能是B.平面平面C.三棱錐的體積為定值D.平面截正方體所得的截面可能是等腰梯形12.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的極值點為1B.C.若分別是曲線和上的動點.則的最小值為D.若對任意的恒成立，則的最小值為第Ⅱ卷:非選擇題（90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若直線3x＋4y－8＝0被圓(x－a)2＋y2＝4截得的弦長為，則a＝______．14.某工廠建造一個無蓋的長方體貯水池，其容積為，深度為.如果池底每的造價為150元，池壁每的造價為120元，要使水池總造價最低，那么水池底部的周長為______.15.已知點在圓C：（）內，過點M的直線被圓C截得的弦長最小值為8，則______．16.已知拋物線的焦點到準線的距離為，為坐標原點，點在拋物線上，平面上一點滿足，則直線斜率的最大值為_______.四、解答題（本大題滿分70分，每題要求寫出詳細的解答過程，否則扣分）17.已知數(shù)列的前n項和．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；（2）已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，求acosB﹣bcosC的取值范圍.19.已知圓C：x2+y2﹣4y+1＝0，點M（﹣1，﹣1），從圓C外一點P向該圓引一條切線，記切點T．（1）若過點M的直線l與圓交于A，B兩點且|AB|＝2，求直線l的方程；（2）若滿足|PT|＝|PM|，求使|PT|取得最小值時點P的坐標．20.如圖，四棱錐的底面是等腰梯形，，，，，為棱上的一點．（1）證明：；（2）若二面角余弦值為，求的值．21.已知曲線C上任意一點到點的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2，過點的直線l與曲線C交于A，B兩點．（1）求曲線C的方程；（2）若曲線C在A，B處的切線交于點M，求面積的最小值．22.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在上的值域；（2）若函數(shù)在上僅有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.數(shù)學試題注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘2．答題前請仔細閱讀答題卡（紙）上的“注意事項”，按照“注意事項”的規(guī)定答題．3．選擇題答案涂在答題卡上，非選擇題答案寫在答題卡的相應位置，在試卷和草稿紙上答題無效．第Ⅰ卷:選擇題（60分）一、單選題，本題共8小題，每題5分，共40分，將答案填涂在答題卡上相應位置．1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分別求出集合，，從而求出，由此能求出．【詳解】解：全集，集合或，，，．故選：．2.已知a為實數(shù)，若（i為虛數(shù)單位），則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把分子分母同時乘以，整理為復數(shù)的一般形式，根據(jù)題中條件計算即可得出結論.【詳解】解：，.故選：D【點睛】本題主要考查復數(shù)除法的基本運算，屬于基礎題.3.已知銳角滿足，則（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用二倍角公式轉化為關于的三角函數(shù)的方程，化簡，然后利用同角三角函數(shù)關系求得的值.【詳解】∵，∴，即，又∵為銳角，∴，∴，即，∴.故選：A4.已知向量滿足，且，則等于（）A. B. C. D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)方程組求出，，再分別求它們的模，相加即可.【詳解】由得：，又，，∴，.所以.故選：B5.已知正三棱柱的高與底面邊長均為2，則該正三棱柱內半徑最大的球與其外接球的表面積之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)柱體外接球的特點可知，該正三棱柱的外接球的球心在上下底面中心連線的中點處，再根據(jù)勾股定理即可求出外接球的半徑；由正三棱柱的性質可知，當球半徑是底面正三角形內切圓的半徑時，該內切球的半徑最大，由此即可求出該內切球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式，即可求出結果.【詳解】設正三棱柱，取三棱柱的兩底面中心，，連結，取的中點，連結，則為正三棱柱外接球的半徑．∵是邊長為的正三角形，是的中心，∴．又∵，∴．∴正三棱柱外接球的表面積．根據(jù)題意可知，當球半徑是底面正三角形內切圓的半徑時，此時正三棱柱內的球半徑最大，即，所以正三棱柱內半徑最大的球表面積為，所以該正三棱柱內半徑最大的球與其外接球的表面積之比為.故選：A.【點睛】方法點睛：①一般地，柱體的外接球的球心在上下底面中心連線的中點處；②柱體的內切球的半徑為其中截面內切圓的半徑.6.如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ角的方向沿直線前往B處救援，則sinθ的值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)題中所給的條件，畫出對應的圖形，在中，利用余弦定理求得BC，然后根據(jù)正弦定理求得，則可得，進而利用，根據(jù)正弦函數(shù)的兩角和公式解決.【詳解】本題考查正余弦定理的應用及兩角和與差的正弦公式．在三角形ABC中，由AC＝10，AB＝20，∠CAB＝120°.由余弦定理可得BC＝10.又由正弦定理可得＝?＝?sin∠ACB＝.故sinθ＝sin＝×＋×＝.【點睛】該題考查的是利用正余弦定理解決海上救援的問題，在解題的過程中，注意正確分析題中的條件，熟練掌握正余弦定理，將所涉及到的量代入對應的式子正確求解即可.7.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先判斷這三個數(shù)與1的大小，確定最?。粚?、先開方，再利用函數(shù)，的單調性判斷他們的大小.【詳解】∵，，，∴最小.設，則，因為，所以，所以在上為增函數(shù).又，所以，即即，所以.綜上可得：.故選：D【點睛】（1）先把，開方，利用函數(shù)的單調性比較是難點.（2）也可以先把，取自然對數(shù)：，，然后利用函數(shù)的單調性來比較它們的大小.8.拋物線：與雙曲線：有一個公共焦點，過上一點向作兩條切線，切點分別為、，則（）A.49 B.68 C.32 D.52【答案】A【解析】【分析】將P坐標代入雙曲線方程求得雙曲線的方程，進一步求得拋物線的方程中的參數(shù)p,利用導數(shù)幾何意義求得兩切線的方程，利用韋達定理求得兩根之和，兩根之積，利用拋物線的定義，將A,B到焦點的距離轉化為到準線的距離，表示為A,B的縱坐標的關系式，求得|AF||BF|關于A,B縱坐標的表達式.【詳解】由P在雙曲線上，將P點坐標代入雙曲線的方程，，∴雙曲線的方程為，雙曲線的焦點在y軸上，∴,∴,雙曲線的焦點坐標為,拋物線的焦點坐標為,∵拋物線與雙曲線的焦點重合，∴，∴拋物線的準線為，，拋物線的方程為,即,,設,切線PA,PB的斜率分別為,切線方程分別為將P的坐標及,代入，并整理得,,可得為方程的兩個實數(shù)根，由韋達定理得,=,故選:A.【點睛】本題考查雙曲線與拋物線的方程和性質，考查利用導數(shù)研究切線問題，關鍵是設而不求思想和韋達定理的靈活運用.二、多選題：本小題共4小題，全選對得5分，部分選對得2分，多選或錯選均不得分，共計20分，將答案填涂在答題卡的相應位置．9.已知數(shù)列的前n項和為，且(其中a為常數(shù))，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列一定是等比數(shù)列 B.數(shù)列可能是等差數(shù)列C.數(shù)列可能是等比數(shù)列 D.數(shù)列可能是等差數(shù)列【答案】BD【解析】【分析】由和的關系求得，，分類討論a是否為0，判斷選項正誤.【詳解】因為，當時，，得，將代入，得，，即，當時，，不是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，，也是等差數(shù)列；當時，是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，不是等比數(shù)列；故答案為：BD.10.以下四個命題表述正確的是（）A.直線恒過定點；B.圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1C.曲線與曲線恰有三條公切線，則D.若雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長為，則雙曲線的離心率為．【答案】BCD【解析】【分析】利用直線系方程求解直線所過定點判斷A；求出圓心到直線的距離，結合圓的半徑判斷B；由圓心距等于半徑和列式求得判斷C；求出雙曲線的一條漸近線方程，利用漸近線被圓所截得的弦長為，結合弦心距和勾股定理，即可求出雙曲線的離心率，即可判斷選項D是否正確．【詳解】由，得，聯(lián)立，解得，∴直線恒過定點，故A錯誤；∵圓心到直線的距離等于，∴直線與圓相交，而圓的半徑為，故到直線距離為的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個點到直線的距離等于，故B正確；兩圓有三條公切線，則兩圓外切，曲線化為標準式，曲線化為標準式，圓心距為，解得，故C正確；雙曲線的一條漸近線方程為，圓的圓心到雙曲線的漸近線的距離為：，又圓的半徑為，所以，解得，所以，即，所以離心率為，故D正確．故選：BCD.【點睛】方法點睛：與圓有關的線段長問題，一般不是直接求出線段兩端點坐標，用兩點間距離公式求解，而是應用幾何方法去求解．方法是：直線與圓相交時，若為弦長，為弦心距，為半徑，則有，即，求弦長或已知弦長求其他量的值，一般用此公式．11.如圖，棱長為1的正方體中，為線段上的動點（不含端點），則下列結論正確的是（）A.直線與所成的角可能是B.平面平面C.三棱錐的體積為定值D.平面截正方體所得的截面可能是等腰梯形【答案】BCD【解析】【分析】對于A，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出直線D1P與AC所成的角為；對于B，由A1D1AA1，A1D1AB，得A1D1平面A1AP，從而平面D1A1P平面A1AP；對于C，三棱錐D1﹣CDP的體積為定值；對于D，當AP延長線交BB1的中點時，可以得到等腰梯形的截面．【詳解】對于A，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，，設當時，；當時，，,∴,,∴直線D1P與AC所成的角為，故A錯誤；對于B，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，∵AA1AB＝A，∴A1D1平面A1AP，∵A1D1平面D1A1P，∴平面D1A1P平面A1AP，故B正確；對于C，，P到平面CDD1的距離BC＝1，∴三棱錐D1﹣CDP體積：為定值，故C正確；對于D，當AP延長線交BB1的中點E時，設平面與直線B1C1交于點F,因為平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平面∩平面ADD1A1=AD1,平面∩平面BCC1B1=EF,所以EF∥AD1,∴F為B1C1的中點，∴截面AD1FE為等腰梯形的截面，故D正確；故選：BCD．12.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)極值點為1B.C.若分別是曲線和上的動點.則的最小值為D.若對任意的恒成立，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，即可求出極值點；對于B，設，求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最值即可求解；對于C，利用曲線與曲線互為反函數(shù)，可先求點到的最小距離，然后再求的最小值；對于D，利用同構把恒成立問題轉化為，分離參數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)求解最值即可.【詳解】．所以，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的極值點為1，故A正確；設，則，由單調性的性質知在上單調遞增．又，則存在．使得，即，，所以當時．，當時．．所以在上單調遞減．在上單調遞增.所以，又，則，所以，故B錯誤；因為函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關于對稱，設點到的最小距離為，設函數(shù)上斜率為的切線為，，由得，所以切點坐標，即，所以，所以的最小值為，故C正確；若對任意的恒成立，則對任意的恒成立，令，則．所以在上單調遞增，則，即，令，所以，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，所以，即的最小值為，故D正確.故選：ACD【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.第Ⅱ卷:非選擇題（90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若直線3x＋4y－8＝0被圓(x－a)2＋y2＝4截得的弦長為，則a＝______．【答案】1或【解析】【分析】根據(jù)幾何關系及點到直線的距離公式求解.【詳解】過作，在Rt△中，∠＝90°，，故，因為，即，解得a＝1或．故答案為：1或.14.某工廠建造一個無蓋的長方體貯水池，其容積為，深度為.如果池底每的造價為150元，池壁每的造價為120元，要使水池總造價最低，那么水池底部的周長為______.【答案】160【解析】【分析】設水池底面一邊的長度為，則另一邊的長度為，由題意可得水池總造價，然后利用基本不等式求最值，可得水池總造價最低時的水池底部的周長．【詳解】設水池底面一邊的長度為，則另一邊的長度為，由題意可得水池總造價，則，，當且僅當，即時，有最小值297600，此時另一邊的長度為，因此，當水池的底面周長為時，水池的總造價最低，最低總造價是元，故答案為160．【點睛】本題考查函數(shù)模型的構建，考查利用基本不等式求最值，考查利用數(shù)學知識解決實際問題，屬于中檔題．15.已知點在圓C：（）內，過點M的直線被圓C截得的弦長最小值為8，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點與圓的位置關系，可求得r的取值范圍，再利用過圓內一點最短的弦，結合弦長公式可得到關于r的方程，求解即可.【詳解】由點在圓C：內，且所以，又，解得過圓內一點最短的弦，應垂直于該定點與圓心的連線，即圓心到直線的距離為又，所以，解得故答案為：16.已知拋物線的焦點到準線的距離為，為坐標原點，點在拋物線上，平面上一點滿足，則直線斜率的最大值為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程中的幾何意義，結合共線向量的坐標表示公式、直線斜率的公式、基本不等式進行求解即可.【詳解】因為拋物線的焦點到準線的距離為，所以，因此該拋物線的方程為，，設，因為，所以有，設直線斜率為，則，要想直線斜率有最大值，一定有，，當且僅當時取等號，即，舍去，故答案為：

【點睛】關鍵點睛：對直線斜率的表達式進行變形，利用基本不等式是解題的關鍵.四、解答題（本大題滿分70分，每題要求寫出詳細的解答過程，否則扣分）17.已知數(shù)列的前n項和．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用求得數(shù)列的通項公式.（2）利用分組求和法求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）當時，；當時，，當時，上式也符合.故數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）知，，記數(shù)列的前項和為，則．記，則，．故數(shù)列的前項和．18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；（2）已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，求acosB﹣bcosC的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）先利用降冪公式和輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用整體代換解不等式的方法求函數(shù)的單調遞減區(qū)間即可；（2）先根據(jù)求得，再利用正弦定理、三角形內角和定理及三角恒等變換等知識將化簡為，最后結合角的范圍求解即可.【詳解】解：（1）由題意．令，，解得，，故函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，；（2）由（1）知，解得，因為，所以．由正弦定理可知，則，，所以在銳角中，易知，得，因此，則．故的取值范圍為．【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用降冪公式和輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，在第（2）題中關鍵是利用正弦定理將所求式轉化為，結合題中條件求出的范圍，從而得解.19.已知圓C：x2+y2﹣4y+1＝0，點M（﹣1，﹣1），從圓C外一點P向該圓引一條切線，記切點為T．（1）若過點M的直線l與圓交于A，B兩點且|AB|＝2，求直線l的方程；（2）若滿足|PT|＝|PM|，求使|PT|取得最小值時點P的坐標．【答案】（1）x＝﹣1或4x﹣3y+1＝0；（2）（，）【解析】【分析】（1）首先判斷斜率不存在時，符合題意.當斜率存在時，設出直線的方程，利用弦長列方程，解方程求得直線的斜率，進而求得直線方程.（2）設出點的坐標，根據(jù)切線長以及列方程，化簡后求得的軌跡方程，將最小轉化為到直線的距離，求得垂直直線時直線的方程，和聯(lián)立求得點坐標.【詳解】（1）圓C的標準方程為x2+（y﹣2）2＝3．當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝﹣1，此時|AB|＝2，滿足題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y+1＝k（x+1），即kx﹣y+k﹣1＝0．∵|AB|＝2，∴圓心C到直線l的距離d1．∴d1．解得k，則直線l的方程為4x﹣3y+1＝0．∴所求直線l的方程為x＝﹣1或4x﹣3y+1＝0；（2）設P（x0，y0），|PT|，∵|PT|＝|PM|，∴，化簡得2x0+6y0+1＝0，∴點P（x0，y0）在直線2x+6y+1＝0．當|PT|取得最小值時，即|PM|取得最小值，即為點M（﹣1，﹣1）到直線2x+6y+1＝0的距離，此時直線PM垂直于直線2x+6y+1＝0，∴直線PM的方程為6x﹣2y+4＝0，即3x﹣y+2＝0．由，解得，∴點P的坐標為（，）．【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查與圓有關的弦長問題，考查最值問題的求解策略，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.20.如圖，四棱錐底面是等腰梯形，，，，，為棱上的一點．（1）證明：；（2）若二面角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的關系及余弦定理求得線與線垂直，再利用線面垂直的性質定理即證；（2）以C為坐標原點建立空間直角坐標系，設出，利用空間向量的性質表示出二面角的余弦值，求得即可.【小問1詳解】證明：過點A作，垂足為N，在等腰梯形中，因為，所以．在中，，則，則．因為底面，底面，所以．因為，所以平面．又平面，以．【小問2詳解】解：以C為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，令，，則，則．設平面的法向量為，則令，得．由圖可知，是平面的一個法向量．因為二面角的余弦值為，所以，解得．故當二面角的余弦值為時，．21.已知曲線C上任意一點到點的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2，過點