高中數(shù)學北師大版練習第四章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)單元素養(yǎng)測評

第四單元單元素養(yǎng)測評限時120分鐘分值150分戰(zhàn)報得分______一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的選項中，只有一個正確選項)1．已知n<m<0，則下列不等式正確的是()A．eq\f(1,n)<eq\f(1,m)B．m2>n2C．loga(－m)>loga(－n)(0<a<1)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(m)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n)【解析】選C.由n<m<0，得eq\f(1,n)>eq\f(1,m)，故A錯誤；m2<n2，故B錯誤；－n>－m>0，又0<a<1，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)f(x)＝logax單調(diào)遞減，所以loga(－m)>loga(－n)，故C正確；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)單調(diào)遞減，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(m)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n)，故D錯誤．2．函數(shù)f(x)＝loga(2－ax)在[0，3]上為增函數(shù)，則a的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))B．(0，1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))D．[3，＋∞)【解析】選C.因為u＝2－ax是減函數(shù)，由題意y＝logau必須是減函數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,2－3a>0，))解得0<a<eq\f(2,3).3．函數(shù)f(x)＝ln(－3x2＋1)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))【解析】選A.y＝lnx為單調(diào)遞增函數(shù)，故求－3x2＋1的遞減區(qū)間即可，所求遞減區(qū)間為(0，＋∞)，又因為－3x2＋1>0，解得－eq\f(\r(3),3)<x<eq\f(\r(3),3)，故函數(shù)f(x)＝ln(－3x2＋1)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))).4．為了得到函數(shù)y＝lgeq\f(x－3,10)的圖象，只需把函數(shù)y＝lgx的圖象上所有的點()A．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度B．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度C．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度D．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度【解析】選D.因為y＝lgeq\f(x－3,10)＝lg(x－3)－1，所以為了得到函數(shù)y＝lgeq\f(x－3,10)的圖象，只需把函數(shù)y＝lgx的圖象上所有的點向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度．5．(金榜原創(chuàng)題)已知集合A＝{x|x(x2－4)＝0}，B＝{x|－1<lg(x＋1)<1}，則A∩B＝()A．{0} B．{－2，0，2}C．{0，2} D．{2}【解析】選C.由已知得A＝{－2，0，2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(9,10)<x<9))，故A∩B＝{0，2}．6．已知x<y，則下列不等式一定成立的是()A．eq\f(1,x)>eq\f(1,y) B．xeq\s\up6(\f(1,3))<yeq\s\up6(\f(1,3))C．3－x<3－y D．ln(x2＋1)<ln(y2＋1)【解析】選B.當x<0<y時，eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，A錯；由函數(shù)y＝xeq\s\up6(\f(1,3))是增函數(shù)得xeq\s\up6(\f(1,3))<yeq\s\up6(\f(1,3))成立，B正確；當x<y時，－x>－y，從而3－x>3－y，C錯；當x<y時，x2＋1與y2＋1的大小不確定，因此D錯．7．函數(shù)f(x)＝eq\r(1－x)＋eq\f(1,x＋2)＋log3(2x－1)的定義域是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))) B．(－2，1]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))【解析】選D.由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,x＋2≠0，,2x－1>0，))解得eq\f(1,2)<x≤1，所以函數(shù)f(x)的定義域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).8．下列4個命題中：(1)存在x∈(0，＋∞),使不等式2x<3x成立；(2)不存在x∈(0，1)，使不等式log2x<log3x成立；(3)任意的x∈(0，＋∞)，使不等式log2x<2x成立；(4)任意的x∈(0，＋∞)，使不等式log2x<eq\f(1,x)成立．真命題是()A．(1)(3) B．(1)(4)C．(2)(3) D．(2)(4)【解析】選A.畫出y＝2x，y＝3x，y＝log2x，y＝log3x，y＝eq\f(1,x)的圖象，由圖可知，真命題是(1)，(3).二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分)9．有以下四個結論：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若e＝lnx，則x＝e2；④ln(lg1)＝0.其中正確的是()A．①B．②C．③D．④【解析】選AB.因為lg10＝lne＝1，lg(lg10)＝lg1＝0，lg(lne)＝lg1＝0，所以①②均正確；③中若e＝lnx，則x＝ee，故③錯誤；④中l(wèi)g1＝0，而ln0沒有意義，故④錯誤．10．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，1)上是單調(diào)增函數(shù)的有()A．y＝21－x B．y＝xeq\s\up6(\f(1,2))C．y＝ln(x＋1) D．y＝|1－x|【解析】選BC.對A,y＝21－x＝eq\f(2,2x)，在(0，1)上為減函數(shù)，故A錯誤．對B,y＝xeq\s\up6(\f(1,2))在(0，1)上為增函數(shù)，故B正確．對C,y＝ln(x＋1)在(0，1)上為增函數(shù)，故C正確．對D,在(0，1)上，y＝|1－x|＝1－x為減函數(shù)．故D錯誤．11．(金榜原創(chuàng)題)設函數(shù)f(x)的定義域為D，若?x∈D，?y∈D使得f(y)＝－f(x)成立，則稱f(x)為“美麗函數(shù)”．下列函數(shù)中是“美麗函數(shù)”的有()A．y＝x3 B．y＝2x＋1C．y＝ln(2x＋3) D．y＝2x－5【解析】選ACD.由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為D，若?x∈D，?y∈D使得f(y)＝－f(x)成立，所以函數(shù)f(x)的值域關于原點對稱．對于A，函數(shù)y＝x3的值域為R，關于原點對稱，故A正確；對于B，函數(shù)y＝2x＋1的值域為(1，＋∞)，不關于原點對稱，故B不正確；對于C，函數(shù)y＝ln(2x＋3)的值域為R，關于原點對稱，故C正確；對于D，函數(shù)y＝2x－5的值域為R，關于原點對稱，故D正確．12．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg（－x），x<0,ex－1，x≥0))，若f(1)＋f(a)＝2，則a的所有可能取值為()A．1B．－1C．10D．－10【解析】選AD.因為f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg（－x），x<0，,ex－1，x≥0，))所以f(1)＝e1－1＝1，因為f(1)＋f(a)＝2，所以f(a)＝1，當a≥0時，由f(1)＝1可得a＝1，當a<0時，由f(a)＝1可得lg(－a)＝1，解得a＝－10，所以a的所有可能取值為1，－10.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．不等式logeq\s\do9(\f(1,2))x>2的解集是________．【解析】因為函數(shù)y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x是定義在(0，＋∞)上的單調(diào)遞減函數(shù)，又因為logeq\s\do9(\f(1,2))x>2，所以logeq\s\do9(\f(1,2))x>2＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1,4)，所以0<x<eq\f(1,4)，所以不等式logeq\s\do9(\f(1,2))x>2的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<x<\f(1,4))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<x<\f(1,4)))14．log3eq\r(27)＋lg25＋lg4－7log72＋log42的值是________．【解析】由題意，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，可得：log3eq\r(27)＋lg25＋lg4－7log72＋log42＝eq\f(1,2)log327＋(lg25＋lg4)－2＋eq\f(1,2)log44＝eq\f(3,2)＋2－2＋eq\f(1,2)＝2.答案：215．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，則lgf(2)＋lgf(5)＝________．【解析】設冪函數(shù)y＝f(x)＝xa，因為圖象經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，所以eq\f(\r(2),2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)?a＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))．故lgf(2)＋lgf(5)＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)16．函數(shù)y＝eq\f(ln（x－1）,\r(2－x))的定義域為________．【解析】y＝eq\f(ln（x－1）,\r(2－x))中有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,2－x>0，))解得1<x<2，所以函數(shù)y＝eq\f(ln（x－1）,\r(2－x))的定義域為(1，2).答案：(1，2)四、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)(1)計算：3log32＋27eq\s\up6(\f(1,3))＋lg50＋lg2；(2)已知log2[log3(lgx)]＝1，求實數(shù)x的值；(3)若18a＝5，log189＝b，用a，b表示log3645.【解析】(1)原式＝2＋3＋lg(5×10)＋lg2＝5＋lg5＋1＋lg2＝6＋lg5＋lg2＝6＋lg10＝7.(2)因為log2[log3(lgx)]＝1，所以log3(lgx)＝2，所以lgx＝32＝9，所以x＝109.(3)因為18a＝5，所以log185＝a，所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log18（5×9）,log18（18×2）)＝eq\f(log185＋log189,log1818＋log18（18÷9）)＝eq\f(log185＋log189,log1818＋log1818－log189)＝eq\f(a＋b,2－b).18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝lgeq\f(a－x,1＋x).(1)若f(x)為奇函數(shù)，求a的值；(2)在(1)的條件下，若f(x)在(m，n)上的值域為(－1，＋∞)，求m，n的值．【解析】(1)因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＋f(－x)＝0，即lgeq\f(a－x,1＋x)＋lgeq\f(a＋x,1－x)＝0，所以eq\f(（a－x）（a＋x）,1－x2)＝1，解得a＝1(a＝－1舍去).(2)由(1)知f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)，則eq\f(1－x,1＋x)>0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,1＋x>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x<0，,1＋x<0，))解得－1<x<1，即其定義域為(－1，1).因為x∈(－1，1)時，t＝eq\f(1－x,1＋x)＝－1＋eq\f(2,1＋x)為減函數(shù)，而y＝lgt在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)．又f(x)在(m，n)上的值域為(－1，＋∞)，所以f(n)＝lgeq\f(1－n,1＋n)＝－1，f(m)無意義，所以n＝eq\f(9,11)，m＝－1.19．(12分)(金榜原創(chuàng)題)設全集U＝R，函數(shù)f(x)＝eq\r(x－a)＋lg(a＋3－x)的定義域為集合A，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,4)≤2x≤32))，命題p：若________時，則A∩B≠?，從①a＝－5；②a＝－3；③a＝2這三個條件中選擇一個條件補充到上面命題p中，使命題p為真命題，說明理由；并求A∩(UB).【解析】根據(jù)題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－a≥0，,a＋3－x>0，))解不等式可得a≤x<a＋3，所以A＝{x|a≤x<a＋3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,4)≤2x≤32))＝{x|－2≤x≤5}，當a＝－5時，A＝{x|a≤x<a＋3}＝{x|－5≤x<－2}，此時A∩B＝?，即命題p為假命題，故不??；當a＝－3時，A＝{x|a≤x<a＋3}＝{x|－3≤x<0}，此時A∩B＝{x|－2≤x<0}≠?，即命題p為真命題，UB＝{x|x<－2或x>5}，所以A∩(UB)＝{x|－3≤x<－2}；當a＝2時，A＝{x|a≤x<a＋3}＝{x|2≤x<5}，此時A∩B＝{x|2≤x<5}≠?，即命題p為真命題，UB＝{x|x<－2或x>5}，所以A∩(UB)＝?，綜上所述，當選a＝－3時，A∩(UB)＝{x|－3≤x<－2}；當選a＝2時，A∩(UB)＝?.20．(12分)已知函數(shù)f(x)＝loga(－x2＋ax－9)(a>0且a≠1).(1)當a＝10時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間；(2)若f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍．【解析】(1)當a＝10時，f(x)＝log10(－x2＋10x－9)，由－x2＋10x－9>0，得x2－10x＋9<0，得1<x<9，即f(x)的定義域為(1，9).設t＝－x2＋10x－9，1<x<9，則t＝－x2＋10x－9是開口向下，且對稱軸為x＝5的二次函數(shù)，所以其在(1，5)上單調(diào)遞增，在[5，9)上單調(diào)遞減；又y＝log10t顯然是增函數(shù)，所以求f(x)的單調(diào)減區(qū)間，等價于求t＝－x2＋10x－9(1<x<9)的單調(diào)遞減區(qū)間，因為t＝－x2＋10x－9(1<x<9)的單調(diào)遞減區(qū)間為[5，9)，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[5，9).(2)若f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，當a>1時，函數(shù)t＝－x2＋ax－9存在單調(diào)遞增區(qū)間即可，由判別式Δ＝a2－36>0，得a>6或a<－6(舍)；當0<a<1時，函數(shù)t＝－x2＋ax－9存在單調(diào)遞減區(qū)間即可，由判別式Δ＝a2－36>0，得a>6或a<－6，此時a不成立，綜上，實數(shù)a的取值范圍是a>6.21．(12分)已知函數(shù)f(x2－1)＝logmeq\f(x2,2－x2)(m>0且m≠1).(1)求f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；(3)若關于x的方程f(x)＝1＋logmx有解，求m的取值范圍．【解析】(1)令t＝x2－1，則x2＝t＋1，則f(t)＝logmeq\f(t＋1,2－（t＋1）)＝logmeq\f(t＋1,1－t)，所以f(x)＝logmeq\f(x＋1,1－x).(2)由eq\f(1＋x,1－x)>0得－1<x<1，又f(－x)＝logmeq\f(1－x,1－（－x）)＝logmeq\f(1－x,1＋x)＝－f(x)，所以f(x)為定義域上的奇函數(shù)．(3)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<x<1，,x>0，))得0<x<1，又logmeq\f(x＋1,1－x)＝1＋logmx＝logmmx，所以eq\f(x＋1,1－x)＝mx在x∈(0，1)上有解，m＝eq\f(x＋1,x（1－x）)，令u＝x＋1∈(1，2)，則m＝eq\f(u,－u2＋3u－2)＝eq\f(1,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u＋\f(2,u)))＋3)≥eq\f(1,－2\r(u×\f(2,u))＋3)＝3＋2eq\r(2)，當且僅當u＝eq\r(2)