新教材高中數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案7-2-1復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義

7．2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算7．2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義[目標(biāo)]1.熟練掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加減法運(yùn)算法則；2.理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題．[重點(diǎn)]復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則．[難點(diǎn)]復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)知識點(diǎn)一復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則[填一填]1．運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2．加法運(yùn)算律對于任意z1，z2，z3∈C，有交換律：z1＋z2＝z2＋z1；結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[答一答]1．兩個(gè)復(fù)數(shù)的和，差分別是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)，那么兩個(gè)虛數(shù)的和，差是否仍為虛數(shù)？提示：兩個(gè)虛數(shù)的和，差可能是虛數(shù)也可能是實(shí)數(shù)．2．若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1－z2>0，能否認(rèn)為z1>z2?提示：不能．如2＋i－i>0，但2＋i與i不能比較大?。R點(diǎn)二復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義[填一填]如圖，設(shè)eq\o(OZ1,\s\up15(→))，eq\o(OZ2,\s\up15(→))分別與復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di對應(yīng)，則eq\o(OZ1,\s\up15(→))＝(a，b)，eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(c，d)，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(a＋c，b＋d).eq\o(OZ1,\s\up15(→))－eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(a－c，b－d)．這說明兩個(gè)向量eq\o(OZ1,\s\up15(→))與eq\o(OZ2,\s\up15(→))的和就是與復(fù)數(shù)(a＋c)＋(b＋d)i對應(yīng)的向量，eq\o(OZ1,\s\up15(→))與eq\o(OZ2,\s\up15(→))的差就是與復(fù)數(shù)(a－c)＋(b－d)i對應(yīng)的向量，即圖中四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，則與z1＋z2對應(yīng)的向量是eq\o(OZ,\s\up15(→))，與z1－z2對應(yīng)的向量是eq\o(Z2Z1,\s\up15(→)).[答一答]3．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)對應(yīng)的向量分別是eq\o(OZ1,\s\up15(→))，eq\o(OZ2,\s\up15(→))，那么向量eq\o(OZ1,\s\up15(→))，eq\o(OZ2,\s\up15(→))的坐標(biāo)分別是什么？z1＋z2對應(yīng)的向量的坐標(biāo)是什么？提示：由復(fù)數(shù)與平面向量的一一對應(yīng)可知eq\o(OZ1,\s\up15(→))＝(a，b)，eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(c，d)，故eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(a＋c，b＋d)．由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可知eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))即為z1＋z2對應(yīng)的向量，故z1＋z2對應(yīng)的向量的坐標(biāo)為(a＋b，c＋d)．4．從復(fù)數(shù)減法的幾何意義理解：|z1－z2|表示什么？提示：表示Z1與Z2兩點(diǎn)間的距離．5．若a，b，r為實(shí)常數(shù)，且r>0，則滿足|z－(a＋bi)|＝r的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是什么？提示：是以點(diǎn)(a，b)為圓心，r為半徑的圓.典例講練破題型類型一復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算[例1](1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)；(2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)；(3)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(4)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R)[分析]復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算，只需把“i”看作一個(gè)字母，完全可以按照合并同類項(xiàng)的方法進(jìn)行．[解](1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i.(2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i.(3)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(4)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(51.復(fù)數(shù)運(yùn)算類比實(shí)數(shù)運(yùn)算，若有括號，括號優(yōu)先，若無括號，可從左到右依次進(jìn)行.2.算式中出現(xiàn)字母時(shí)，首先確定其是否為實(shí)數(shù)，再提取各復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，將它們分別相加.3.準(zhǔn)確提取虛、實(shí)部，正確進(jìn)行符號運(yùn)算有利于提高解題的準(zhǔn)確率.[變式訓(xùn)練1]設(shè)f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，則f(z1－z2)等于(D)A．1－5iB．－2＋9iC．－2－iD．5＋3i解析：∵z1－z2＝5＋5i，∴f(z1－z2)＝5＋5i－2i＝5＋3i.類型二復(fù)數(shù)加減法的幾何意義[例2](1)設(shè)eq\o(OZ1,\s\up15(→))及eq\o(OZ2,\s\up15(→))分別與復(fù)數(shù)z1＝5＋3i及復(fù)數(shù)z2＝4＋i對應(yīng)，計(jì)算z1－z2，并在復(fù)平面內(nèi)作出eq\o(OZ1,\s\up15(→))－eq\o(OZ2,\s\up15(→)).(2)設(shè)eq\o(OZ1,\s\up15(→))及eq\o(OZ2,\s\up15(→))分別與復(fù)數(shù)z1＝1＋3i及復(fù)數(shù)z2＝2＋i對應(yīng)，計(jì)算z1＋z2，并在復(fù)平面內(nèi)作出eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→)).[分析]由復(fù)數(shù)的幾何意義知，復(fù)數(shù)z1及復(fù)數(shù)z2所對應(yīng)的點(diǎn)即分別為Z1和Z2.eq\o(OZ1,\s\up15(→))－eq\o(OZ2,\s\up15(→))就是表示向量eq\o(Z2Z1,\s\up15(→))，而eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))可利用平行四邊形法則作出．[解](1)z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.eq\o(OZ1,\s\up15(→))－eq\o(OZ2,\s\up15(→))即為eq\o(Z2Z1,\s\up15(→))，如圖①所示．(2)z1＋z2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i＝3＋4i.eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))即為eq\o(OZ,\s\up15(→))，如圖②所示．1.根據(jù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義可以把復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算.2.利用向量進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算時(shí)，同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則.3.復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決復(fù)數(shù)問題提供了可能.[變式訓(xùn)練2]復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C，A點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i，向量eq\o(BA,\s\up15(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，向量eq\o(BC,\s\up15(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，求點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)．解：∵eq\o(BA,\s\up15(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，eq\o(BC,\s\up15(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，∴eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\o(BA,\s\up15(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又∵eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))，∴C點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.類型三復(fù)數(shù)加減法的綜合運(yùn)算[例3]已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．[分析]利用復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，以及數(shù)形結(jié)合的思想解題．[解]方法1：設(shè)w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i.∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(－4,5)為圓心，1為半徑的圓．如圖(1)所示，∴|w|max＝eq\r(41)＋1，|w|min＝eq\r(41)－1.方法2：由條件知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(－1,1)為圓心，1為半徑的圓，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)(3，－4)的距離，在圓上與(3，－4)距離最大的點(diǎn)為A，距離最小的點(diǎn)為B，如圖(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝eq\r(41)＋1，|z－3＋4i|min＝eq\r(41)－1.|z1－z2|表示復(fù)平面內(nèi)z1，z2對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離，利用此性質(zhì)，可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離問題，從而進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解.[變式訓(xùn)練3]已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.解：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，z1，z2，z1＋z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是邊長為1的正三角形，∴四邊形OACB是一個(gè)內(nèi)角為60°，邊長為1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的較長的對角線OC的長，∴|z1＋z2|＝|OC|＝eq\r(|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°)＝eq\r(3).課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的結(jié)果為(C)A．5－3i B．3＋5iC．7－8i D．7－2i解析：(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1＋i和1＋3i分別對應(yīng)向量eq\o(OA,\s\up15(→))和eq\o(OB,\s\up15(→))，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝(B)A.eq\r(2) B．2C.eq\r(10) D．4解析：由復(fù)數(shù)減法的幾何意義知，eq\o(AB,\s\up15(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝2.3．已知復(fù)數(shù)z滿足z＋3i－3i2＝3－3i，則z＝(B)A．0 B．－6iC．6 D．6－6i解析：∵z＋3i－3i2＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i＋3)＝－6i.4．在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))，eq\o(AB,\s\up15(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么eq\o(BC,\s\up15(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4－4i.解析：∵eq\o(BC,\s\up15(→))＝－(eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→)))，∴eq\o(BC,\s\up15(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－[(－2＋i)－(3＋2i)＋(1＋5i)]＝－[(－2－3＋1)＋(1－2＋5)i]＝－(－4＋4i)＝4－4i.5．已知|z|＝2，則|z＋3－4i|的最大值是7.解析：由|z|＝2知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在圓心為O(0,0)，半徑r＝2的圓上．而|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)與M(－3,4)之間的距離，由于|OM|＝5，所以|z＋3－4i|的最大值為|OM|＋r＝5＋2＝7.——本課須掌握的兩大問題1．對復(fù)數(shù)加法的理解(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運(yùn)算法則是一種規(guī)定，以后就要按照規(guī)定進(jìn)行運(yùn)算．(2)復(fù)數(shù)的加法法則是在復(fù)數(shù)的代數(shù)形式下進(jìn)行的．(3)復(fù)數(shù)