數(shù)學(xué)人教A版必修2學(xué)案1-1-1第2課時(shí)圓柱圓錐圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征

第2課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征[目標(biāo)]1.記住圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義及它們的結(jié)構(gòu)特征；2.能用圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征解答一些相關(guān)問題．[重點(diǎn)]圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義及結(jié)構(gòu)特征．[難點(diǎn)]圓柱、圓錐、圓臺(tái)之間關(guān)系的理解．知識(shí)點(diǎn)一圓柱[填一填]以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線．棱柱和圓柱統(tǒng)稱為柱體．[答一答]1．①在圓柱中，圓柱的任意兩條母線是什么關(guān)系？過兩條母線的截面是怎樣的圖形？②在圓柱中，過軸的截面是軸截面，圓柱的軸截面是什么圖形？軸截面含有哪些重要的量？③圓柱上底面圓周上任一點(diǎn)與下底面圓周上任一點(diǎn)的連線是圓柱的母線嗎？提示：①圓柱的任意兩條母線平行，過兩條母線的截面是矩形．②圓柱的軸截面是矩形，軸截面中含有圓柱的底面直徑與圓柱的母線．③不一定．圓柱的母線與軸是平行的．知識(shí)點(diǎn)二圓錐[填一填]以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐．棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體．[答一答]2．直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐嗎？提示：不是．當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底面圓錐組成的幾何體．知識(shí)點(diǎn)三圓臺(tái)[填一填]用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)．棱臺(tái)與圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體．[答一答]3．類比圓柱、圓錐的形成過程，圓臺(tái)可以由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成嗎？提示：(1)圓臺(tái)可以看作是直角梯形以垂直底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其他三邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體．(2)圓臺(tái)也可以看作是等腰梯形以其兩底邊的中點(diǎn)連線為軸，各邊旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面所圍成的幾何體．知識(shí)點(diǎn)四球體[填一填]以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球．半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑．[答一答]4．半圓或圓繞它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成什么？它與球有區(qū)別嗎？提示：半圓或圓繞它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球面．球面是一曲面，它只能度量面積而不能度量體積，球是由球面圍成的幾何體，它不僅可以度量球的表面積，還可以度量其體積．5．用一個(gè)平面去截球，得到的是一個(gè)圓嗎？提示：不是，得到的是一個(gè)圓面，球是一個(gè)幾何體，包括表面及其內(nèi)部．類型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征[例1](1)下列敘述中，正確的個(gè)數(shù)是()①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐．②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺(tái)．③用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是球．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)(2)給出下列命題：①圓柱的母線與它的軸可以不平行；②圓錐的頂點(diǎn)、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)這三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形；③在圓臺(tái)的上、下兩底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的．其中正確的是()A．①②B．②③C．①③D．②④[解析](1)以直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐，故①錯(cuò)；以直角梯形的一斜腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓臺(tái)，故②錯(cuò)；當(dāng)截面與底面不平行時(shí)，得到的兩個(gè)幾何體不是圓錐和圓臺(tái)，故③錯(cuò)．故只有④是正確的．故選B.(2)由圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義及母線的性質(zhì)可知②④正確，①③錯(cuò)誤．[答案](1)B(2)D簡單旋轉(zhuǎn)體判斷問題的解題策略(1)準(zhǔn)確掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)和球的生成過程及其特征性質(zhì)是解決此類概念問題的關(guān)鍵．(2)解題時(shí)要注意兩個(gè)明確：①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．[變式訓(xùn)練1]以下說法中：①圓臺(tái)上底面的面積與下底面的面積之比一定不等于1；②矩形繞任意一條直線旋轉(zhuǎn)都可以圍成圓柱；③圓錐側(cè)面的母線長一定大于圓錐底面圓直徑；④圓臺(tái)的上下底面不一定平行，但過圓臺(tái)側(cè)面上每一點(diǎn)的母線都相等．其中正確的序號(hào)為①.解析：圓臺(tái)上、下底面不等，所以面積比不等于1，所以①正確；矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)才可以圍成圓柱，所以②不正確；圓錐母線不一定大于底面直徑，所以③不正確；圓臺(tái)的上、下底面一定平行，所以④不正確．類型二旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)計(jì)算命題視角1：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的計(jì)算問題[例2]已知一個(gè)圓臺(tái)的母線長為12cm，兩底面的面積分別為4πcm2和25πcm2，求：(1)圓臺(tái)的高；(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長．[分析]在解答有關(guān)臺(tái)體的問題時(shí)，一般要把臺(tái)體還原成錐體，這就是常應(yīng)用的“還臺(tái)為錐”的思想，不僅在作圖時(shí)應(yīng)用，而且在計(jì)算時(shí)也常應(yīng)用此思想尋求元素間的關(guān)系，以便解決問題．[解](1)設(shè)圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形ABCD(如圖所示)．由題意可得上底的一半O1A＝2cm，下底的一半OB＝5cm，腰長AB＝12cm，所以圓臺(tái)的高AM＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r(15)(cm)．(2)如圖，延長BA，OO1，CD，交于點(diǎn)S，設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為lcm，則由△SAO1∽△SBO，得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，解得l＝20.故截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為20cm.旋轉(zhuǎn)體中有關(guān)底面半徑、母線、高的計(jì)算，可利用軸截面求解，即將立體問題平面化.對(duì)于圓臺(tái)的軸截面，可將兩腰延長相交后在三角形中求解.這是解答圓臺(tái)問題常用的方法.[變式訓(xùn)練2]用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截該圓錐，截得圓臺(tái)的上、下底面半徑之比是14，截去的小圓錐的母線長是3cm，則圓臺(tái)的母線長9cm解析：如右圖，設(shè)圓臺(tái)的母線長為y，小圓錐底面與被截的圓錐底面半徑分別是x,4x.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得eq\f(3,3＋y)＝eq\f(x,4x)，解此方程得y＝9.所以圓臺(tái)的母線長為9cm.命題視角2：球的截面問題[例3]已知半徑為10的球的兩個(gè)平行截面的周長分別是12π和16π，求這兩個(gè)截面間的距離．[分析]畫出球的截面圖，球心與截面圓心連線垂直于截面所在的平面，構(gòu)造直角三角形解決．對(duì)于球的兩個(gè)平行截面要注意討論它們?cè)谇蛐耐瑐?cè)還是異側(cè)，否則容易漏解．[解]設(shè)球的大圓為圓O，C，D兩點(diǎn)為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過C，O，D三點(diǎn)的直徑且兩截面圓的半徑分別是6和8.當(dāng)兩截面在球心同側(cè)時(shí)，如圖(1)，此時(shí)CD＝OC－OD＝eq\r(OE2－EC2)－eq\r(OF2－DF2)＝8－6＝2.當(dāng)兩截面在球心兩側(cè)時(shí)，如圖(2)，此時(shí)CD＝OC＋OD＝eq\r(OE2－EC2)＋eq\r(OF2－DF2)＝8＋6＝14.故兩截面間的距離為2或14.利用球的截面，將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解決球的有關(guān)問題的關(guān)鍵.[變式訓(xùn)練3]已知正方體的棱長為a，求它的外接球的半徑．解：正方體的外接球與正方體相連接的點(diǎn)為正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，故應(yīng)作正方體的對(duì)角面，則球的軸截面為對(duì)角面矩形的外接圓，如圖所示，設(shè)球的半徑為R2，則(2R2)2＝(eq\r(2)a)2＋a2?R2＝eq\f(\r(3),2)a.類型三旋轉(zhuǎn)體的展開圖問題[例4]如圖，底面半徑為1，高為2的圓柱，在點(diǎn)A處有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱由點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，問螞蟻爬行的最短距離是多少？[解]把圓柱的側(cè)面沿AB剪開，然后展開成為平面圖形——矩形，如圖，連接AB′，則AB′即為螞蟻爬行的最短距離．∵AB＝A′B′＝2，AA′為底面圓的周長，∴AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝eq\r(A′B′2＋AA′2)＝eq\r(4＋2π2)＝2eq\r(1＋π2)，故螞蟻爬行的最短距離為2eq\r(1＋π2).求旋轉(zhuǎn)體側(cè)面上兩點(diǎn)間的最短距離，一般轉(zhuǎn)化為側(cè)面展開圖上兩點(diǎn)間的距離進(jìn)行求解.[變式訓(xùn)練4]若本例中螞蟻圍繞圓柱轉(zhuǎn)兩圈，如圖，則它爬行的最短距離是多少？解：可把圓柱展開兩次，如圖，則AB′即為所求．∵AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π，∴AB′＝eq\r(AB2＋BB′2)＝eq\r(4＋16π2)＝2eq\r(1＋4π2).故螞蟻爬行的最短距離為2eq\r(1＋4π2).1．下圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的(D)解析：組合體上半部分是圓錐，下半部分是一個(gè)圓臺(tái)，因此應(yīng)該是由上半部分為三角形，下半部分為梯形的平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的，觀察四個(gè)選項(xiàng)得D正確．2．下列說法正確的是(C)A．用一平面去截圓臺(tái)，截面一定是圓面B．通過圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，有無數(shù)條母線C．圓臺(tái)的任意兩條母線延長后相交于同一點(diǎn)D．圓錐的母線可能平行解析：對(duì)于A，用一平面去截圓臺(tái)，當(dāng)截面與底面不平行時(shí)，截面不是圓面；對(duì)于B，通過圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，只有一條母線；對(duì)于D，圓錐的母線延長后交于頂點(diǎn)，因此不可能平行．3．若A，B為球面上相異的兩點(diǎn)，則通過A，B兩點(diǎn)可作球的大圓有(D)A．一個(gè)B．無窮多個(gè)C．零個(gè)D．一個(gè)或無窮多個(gè)解析：若A，B為一條直徑的兩端點(diǎn)，則經(jīng)過A，B兩點(diǎn)可作無數(shù)個(gè)大圓．若A，B與球心O不在同一直線上，只能作一個(gè)大圓．故選D.4．一個(gè)圓錐的母線長為20cm，母線與軸的夾角為30°，則圓錐的高為10eq\r(3)cm.解析：h＝20cos30°＝10eq\r(3)(cm)．5．已知圓錐底面半徑r＝1cm，母線l＝6cm，現(xiàn)有一只螞蟻，從圓錐底面圓周上的點(diǎn)A沿側(cè)面爬一周后又回到點(diǎn)A，求它至少要爬的路程．解：如圖，將圓錐側(cè)面沿