4.6.2用二分法求方程的近似解

4.6.2用二分法求方程的近似解TOC\o"13"\h\z\u題型1二分法概念的理解 2題型2用二分法確定零點所在區(qū)間 6題型3用二分法求方程的近似解 9題型4二分法次數(shù)問題 12題型5用二分法求零點 15知識點一.二分法的定義定義：對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．由函數(shù)的零點與相應(yīng)方程根的關(guān)系，可用二分法來求方程的近似解．知識點二.運用二分法求函數(shù)的零點應(yīng)具備的條件1.函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷.2.在該零點左右兩側(cè)函數(shù)值異號.只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數(shù)零點.因此，用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點適用，對函數(shù)的不變號零點不適用.知識點三.用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟1．確定零點x0的初始區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0.2．求區(qū)間(a，b)的中點c.3．計算f(c)，并進一步確定零點所在的區(qū)間：(1)若f(c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數(shù)的零點；(2)若f(a)·f(c)<0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此時x0∈(c，b))，則令a＝c.4．判斷是否達到精確度ε：若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟(2)～(4)．以上步驟可簡化為：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復(fù)始怎么辦？精確度上來判斷．知識點四.精確度“精確度”與“精確到”不是一回事，|ab|<ε;這里的“精確度”是指區(qū)間的長度達到某個確定的數(shù)值ε,即“精確到”是指某謳歌數(shù)的數(shù)位達到某個規(guī)定的數(shù)位，如計算123精確度ε表示當(dāng)區(qū)間的長度小于ε時停止二分；此時除可用區(qū)間的端點代替近似值外，還可選用該區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)值作零點近似值。知識點五.用二分法求函數(shù)零點的近似值應(yīng)遵循的原則1.需依據(jù)圖象估計零點所在的初始區(qū)間[m,n](一般采用估計值的方法完成).2.取區(qū)間端點的平均數(shù)c,計算fc),確定有解區(qū)間是[m,c]還是[c,n],逐步縮小區(qū)間的“長度”,直到區(qū)間的兩個端點符合要求，終止計算，得到函數(shù)零點的近似值.知識點六.用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解，首先要選好計算的初始區(qū)間，這個區(qū)間既要包含所求的根，又要使其長度盡量小，其次要依據(jù)給定的精度，及時檢驗所得區(qū)間是否達到要求(達到給定的精度),以決定是停止計算還是繼續(xù)計算.題型1二分法概念的理解【方法總結(jié)】運用二分法求函數(shù)的零點應(yīng)具備的條件(1)函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷．(2)在該零點左右函數(shù)值異號．只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數(shù)零點．【例題1】（2017·高一課時練習(xí)）下列關(guān)于二分法的敘述中，正確的是（

）A．用二分法可求所有函數(shù)零點的近似值B．用二分法可求函數(shù)零點的近似值，可精確到小數(shù)點后任一位C．二分法無規(guī)律可循，無法在計算機上完成D．只能用二分法求函數(shù)的零點【答案】B【分析】根據(jù)二分法的概念進行判斷ABC選項，D選項，求零點的方法有多種.【詳解】A選項，由二分法求函數(shù)零點近似值需要函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)且區(qū)間端點函數(shù)值異號，A錯誤；B選項，二分法，反復(fù)求區(qū)間中點，確定函數(shù)值符號，故可求函數(shù)零點的近似值，可精確到小數(shù)點后任一位，B正確；C選項，二分法是一種程序化的運算過程，反復(fù)求區(qū)間中點，確定函數(shù)值符號，因而可以通過編程，在計算機上完成，C錯誤；D選項，求零點的方法有解方程法、作圖法等，D錯誤．故選：B．【變式11】1.（2023上·全國·高一專題練習(xí)）以下每個圖象表示的函數(shù)都有零點，但不能用二分法求函數(shù)零點近似值的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)二分法求解函數(shù)零點的要求判斷四個選項即可.【詳解】由二分法的定義，可知只有當(dāng)函數(shù)fx在區(qū)間a,b上的圖象連續(xù)不斷，且f即函數(shù)的零點是變號零點時，才能將區(qū)間a,b一分為二，逐步得到零點的近似值．對各選項分析可知，選項A，B，D都符合，而選項C不符合，因為在零點兩側(cè)函數(shù)值不異號，因此不能用二分法求函數(shù)零點的近似值．故選：C.【變式11】2.（2021·高一課前預(yù)習(xí)）用二分法求如圖所示的函數(shù)fxA．x1 B．C．x3 D．【答案】C【分析】根據(jù)二分法的知識確定正確選項.【詳解】由二分法的思想可知，零點x1，x2，x4左右兩側(cè)的函數(shù)值符號相反，即存在區(qū)間(a，b)，使得x1，x2，x4∈(a，b)，f(a)·f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈(a，b)時均有f(a)·f(b)>0，故不可以用二分法求該零點．故選：C【變式11】3.（多選）（2023上·廣東東莞·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列方程中能用二分法求近似解的為（

）A．lnx+x=0 B．C．x3-3x+1=0【答案】ABC【分析】構(gòu)造函數(shù)，若存在區(qū)間a,b，使得函數(shù)在a,b處的函數(shù)值異號，即可根據(jù)零點存在定理得出可以用二分法求近似解；若不存在，則不能.【詳解】對于A項，設(shè)fx則f1e2所以，f1e2根據(jù)零點的存在定理可知，?x1∈對于B項，設(shè)gx則g0=1>0，所以，g0g1根據(jù)零點的存在定理可知，?x2∈對于C項，設(shè)hx則h0=1>0，所以，h0h1根據(jù)零點的存在定理可知，?x3∈對于D項，設(shè)kx因為kx所以不滿足二分法的條件，故D錯誤.故選：ABC.【變式11】4.（2017·高一課時練習(xí)）函數(shù)f(x)=x2+ax+b【答案】a【分析】根據(jù)題設(shè)條件可知拋物線與x軸相切，從而可得a,b的關(guān)系.【詳解】∵函數(shù)f(x)=x∴函數(shù)f(x)=x∴Δ=a2-4b=0，故答案為：a2【點睛】本題考查二分法，根據(jù)根據(jù)題設(shè)條件確定函數(shù)的圖象性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題.【變式11】5.（2021·高一課時練習(xí)）若函數(shù)fx=x【答案】±4【分析】分析可知Δ=0，即可求得實數(shù)a的值.【詳解】由題意知Δ=a2-16=0故答案為：±4.題型2用二分法確定零點所在區(qū)間【例題2】（2023上·天津·高一天津十四中?？茧A段練習(xí)）若用二分法求方程2x3+3x-3=0在初始區(qū)間0,1內(nèi)的近似解，第一次取區(qū)間的中點為x【答案】34/【分析】找到x分別為0、1、12時2【詳解】當(dāng)x=0時，2×0當(dāng)x=1時，2×1當(dāng)x=12時，故下一次應(yīng)取區(qū)間12,1的中點，即故答案為：34【變式21】1.（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高一?？茧A段練習(xí)）小胡同學(xué)用二分法求函數(shù)y=fx在x∈1,2內(nèi)近似解的過程中，由計算可得f1<0，A．f0.5 B．f1.125 C．f【答案】D【分析】根據(jù)二分法的計算方法即可判斷.【詳解】因為f1<0，f2>0，根據(jù)二分法的計算方法，下次應(yīng)計算的函數(shù)值為區(qū)間中點函數(shù)值，即f1.75故選：D.【變式21】2.（2021下·安徽滁州·高一?？计谥校┰O(shè)函數(shù)fx=4x3+x-8A．1,32 B．32,2【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得f(32)>0,f(2)>0【詳解】由函數(shù)fx=4x3+x-8所以f(1)?f(3可得方程4x3+x-8=0故選：A.【變式21】3.（2022上·四川遂寧·高一?？计谀┖瘮?shù)f(x)=x2+x-1，用二分法求方程x2+x-1=0在x∈(0,1)內(nèi)近似解的過程中得f(0)<0，f14A．0,14 B．14,【答案】C【分析】根據(jù)零點存在性定理求得正確答案.【詳解】f0<0,f1>0,f1由f12f由f12f故選：C【變式21】4.（2023上·四川成都·高一石室中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)fx=xlnx+2x-6，用二分法求方程xlnA．2.5,3 B．2.25,2.5 C．2,2.25 D．不能確定【答案】C【分析】利用零點存在性定理及二分法的相關(guān)知識即可判斷.【詳解】顯然函數(shù)fx=xln由于f(2)<0,f(2.25)>0，所以f(2)·f(2.25)<0，由零點存在性定理可得：fx=xln所以方程xlnx+2x-6=0在區(qū)間故選：C.【變式21】5.（2023上·重慶黔江·高一重慶市黔江中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知方程lgx+x-2=0的根在區(qū)間1,3【答案】1,2【分析】令fx=lg【詳解】令fx=lg且f1=-1<0，f3因為f1?f2故答案為：1,2題型3用二分法求方程的近似解【方法總結(jié)】利用二分法求方程的近似解的步驟(1)構(gòu)造函數(shù)，利用圖象確定方程的解所在的大致區(qū)間，通常取區(qū)間(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出滿足精確度的方程的解所在的區(qū)間M.(3)區(qū)間M內(nèi)的任一實數(shù)均是方程的近似解，通常取區(qū)間M的一個端點．【例題3】（多選）（2023上·河南駐馬店·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)fx=x3+x2-2x-2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下：f1=-2，A．1.35 B．1.40 C．1.43 D．1.50【答案】BC【分析】根據(jù)二分法求零點的步驟以及精確度可求得結(jié)果.【詳解】因為f(1)<0,f(1.5)>0，所以f(1)f(1.5)<0，所以函數(shù)在(1,1.5)內(nèi)有零點，因為1.5-1=0.5>0.1，所以不滿足精確度0.1；因為f(1.25)<0，所以f(1.25)f(1.5)<0，所以函數(shù)在(1.25,1.5)內(nèi)有零點，因為1.5-1.25=0.25>0.1，所以不滿足精確度0.1；因為f(1.375)<0，所以f(1.375)f(1.5)<0，所以函數(shù)在(1.375,1.5)內(nèi)有零點，因為1.5-1.375=0.125>0.1，所以不滿足精確度0.1；因為f(1.438)>0，所以f(1.438)f(1.375)<0，所以函數(shù)在(1.375,1.438)內(nèi)有零點，因為1.438-1.375=0.063<0.1，所以滿足精確度0.1；所以方程x3+x2-2x-2=0故選：BC【變式31】1.（多選）（2023上·浙江寧波·高一浙江省寧波市鄞州中學(xué)校考階段練習(xí)）某同學(xué)利用二分法求函數(shù)fxffffff則函數(shù)fxA．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58【答案】BC【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)及零點存在性定理即得答案.【詳解】因為函數(shù)fx方程lnx+2x-6=0的近似解在(2.5,3)，(2.5,2.75)，(2.5,2.625)，(2.5,2.5625)所以方程lnx+2x-6=0故選：BC【變式31】2.（2023上·湖南岳陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）用二分法逐次計算函數(shù)fx=lnx0.510.750.6250.5625f-0.19310.4620.155-0.013則精度為0.1的條件下方程lnx+x=0【答案】0.625（答案不唯一，在0.5625,0.625范圍內(nèi)即可）【分析】確定函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)f0.5625<0，【詳解】fx=lnx+x在0,+∞0.625-0.5625=0.0625<0.1，滿足精度要求.故答案為：0.625.【變式31】3.（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）用二分法求2x+x=4在1,2內(nèi)的近似解（精確到x1.1251.251.3751.43751.51.6251.752x2.182.382.592.712.833.083.36【答案】1.4【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二分法的計算步驟，逐次計算，即可求解.【詳解】令fx=2區(qū)間區(qū)間中點值xfx1,2xf1,1.5xf1.25,1.5xf1.375,1.5xf因為1.375與1.4375精確到0.1的近似值都為1.4，所以2x+x=4在1,2內(nèi)的近似解可取為【變式31】4.（2023上·陜西西安·高一交大附中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)fx=xx11.51.251.3751.43751.40625f-20.625-0.984-0.2600.165-0.052A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【答案】D【分析】首先分析題意與表格，運用二分法求方程的近似解進行解答.【詳解】由表格可知,方程x3在1,1.5,又因為1.4375-1.40625=0.03125<0.04,故方程x3故選:D.題型4二分法次數(shù)問題【例題4】（2023上·浙江麗水·高一浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）用二分法求函數(shù)f(x)=ln(x+1)+x-1在區(qū)間A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由于長度等于1-12=12的區(qū)間，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，那么?jīng)過n【詳解】因為開區(qū)間12,1的長度等于所以經(jīng)過nn∈N*令12n+1<0.01，解得n≥6故選：B.【變式41】1.（2023上·河北石家莊·高一石家莊市第二十七中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)y=fx為0,1上的連續(xù)函數(shù)，且fA．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】區(qū)間0,1的長度為1，沒經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變成原來的一半，經(jīng)過n次后，區(qū)間長度變成12【詳解】區(qū)間0,1的長度為1，沒經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變成原來的一半，經(jīng)過n次后，區(qū)間長度變成12n，則12n≤0.1故選：C.【變式41】2.（2023上·湖北襄陽·高一?？计谀┮阎瘮?shù)fx=lnA．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)二分法結(jié)合零點的近似值求解.【詳解】由所給區(qū)間2,3的長度等于1，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，?jīng)過n次操作后，區(qū)間長度變?yōu)?2故需12n≤0.01故選：C【變式41】3.（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y=fx在區(qū)間a,bb-a=1上有唯一零點，如果用二分法求這個零點（精確度為0.1）的近似值，那么將區(qū)間【答案】4【分析】根據(jù)計算精確度與區(qū)間長度和計算次數(shù)的關(guān)系滿足b-a2【詳解】設(shè)需要計算n次，則n滿足b-a2即2n>10，由于23所以將區(qū)間a,b等分的次數(shù)至少是4次.故答案為：4.【變式41】4.（2023上·全國·高一專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)fx=ln【答案】4【分析】利用二分法定義判斷零點所在區(qū)間，并確定精確度.【詳解】f2=ln2-2<0，f3=ln開區(qū)間2,3的長度等于1，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，?jīng)過n此操作后，區(qū)間長度變?yōu)?2故有12n≤0.1，即2所以至少需要操作4次.故答案為：4.【變式41】5.（2023上·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x3-【答案】4【分析】根據(jù)二分法的知識進行分析，根據(jù)精確度來求得正確答案.【詳解】設(shè)函數(shù)fx的零點為x0，取區(qū)間-2,-1的中點且f-32=-27所以x0取區(qū)間-32,-1的中點x所以x0取區(qū)間-32,-54所以x0取區(qū)間-32,-118所以x0又-11故答案為：4題型5用二分法求零點【例題5】（多選）（2023上·河北石家莊·高一石家莊二中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上有且僅有兩個零點，且都可以用二分法求得，其圖象是連續(xù)不斷的，若f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)f(x)的兩個零點可以分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi)B．函數(shù)f(x)的兩個零點可以分別在區(qū)間(1,2)和(2,3)內(nèi)C．函數(shù)f(x)的兩個零點可以分別在區(qū)間(0,1)和(2,3)內(nèi)D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)【答案】AB【分析】根據(jù)給定條件，可得f3>0，f1【詳解】函數(shù)fx在區(qū)間0,3由于f0>0，f1f2若f(1)>0,f(2)>0，則f(x)在(2,3)上必有1個零點，而在(0,1)及(1,2)上有無零點及零點個數(shù)不能確定，若f(1)<0,f(2)<0，則f(x)在(0,1)上必有1個零點，而在(1,2)及(2,3)上有無零點及零點個數(shù)不能確定，因此f3>0，且若f1<0,f2>0，則f0f1<0，若f1>0,f2<0，則f2f3<0，顯然函數(shù)f(x)的兩個零點不可能分別在(0,1)和(2,3)內(nèi)，否則f(1)<0,f(2)<0，f(1)f(2)>0，矛盾，C錯誤；函數(shù)f(x)在(0,3)上不可能單調(diào)，否則函數(shù)f(x)在(0,3)上最多只有1個零點，矛盾，D錯誤.故選：AB【變式51】1.（多選）（2023上·全國·高一專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)fx=ex-x+a，其中x∈R，a為某確定常數(shù)，運用二分法研究函數(shù)A．可以確定fx的一個零點x0B．第二次應(yīng)計算f12，若fC．第二次應(yīng)計算f12，若fD．第二次應(yīng)計算f32，若f【答案】AB【分析】二分法是基于零點存在定理的一種求根的近似值（有可能求出精確值）的方法，二分法的每一步都要滿足零點存在定理的條件，結(jié)合二分法的理論即可得解.【詳解】對于A選項：由題意第一次經(jīng)計算f0<0且f1>0，因此由零點存在定理可知存在故A選項符合題意.對于B選項：第二次應(yīng)計算f12，若f12>0所以第三次應(yīng)計算f1對于C選項：第二次應(yīng)計算f12，若f12<0所以第三次應(yīng)計算f3對于D選項：第二次應(yīng)計算f12，而不是計算故選：AB.【變式51】2.（2023·全國·高一課堂例題）在fx=x【答案】0.653【分析】由題意可得f(0)f(1)<0，然后根據(jù)二分法的定義計算函數(shù)的零點即可【詳解】已經(jīng)知道f0>0，第一次，取0,1]的中點0+12=0.5，用計算器或計算機求出f0.5≈0.38>0，由于第二次，取0.5,1的中點0.5+12=0.75，求出f0.75≈-0.27<0，由于第三次，取0.5,0.75的中點0.5+0.752=0.625，求出f0.625≈0.07>0，由于為了表述清楚，記零點所在區(qū)間為a,b，其中點m=1次數(shù)a，+b，m=fm區(qū)間長b-a1010.50.38120.510.75-0.270.530.50.750.6250.070.25