2023-2024學(xué)年江西省吉安市吉水縣高二年級上冊開學(xué)測試數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年江西省吉安市吉水縣高二上冊開學(xué)測試數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.在復(fù)平面內(nèi)，。為原點(diǎn)，向量OA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1-2"若點(diǎn)A關(guān)于直線y=χ的對稱點(diǎn)

為點(diǎn)B,則向量OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

A.-2-iB.-2+i

C.2+iD.l+2z

【正確答案】A

【分析】求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，可得其關(guān)于直線y=χ的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的

點(diǎn)一一對應(yīng)可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)-1-2,對應(yīng)的點(diǎn)為4(-1,-2),

所以點(diǎn)A關(guān)于直線y=χ的對稱點(diǎn)為仇-2,-1),

所以向量OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2-z?,故選A.

本題主要考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)關(guān)系以及點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的求解方法，意在

考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知直線x+陽+6=0和("L2)x+3y+2m=0互相平行，則實(shí)數(shù)加的取值為()

A.T或3B.-1C.-3D.1或一3

【正確答案】B

【分析】利用兩直線平行的等價(jià)條件求得實(shí)數(shù)m的值.

【詳解】；兩條直線x+my+6=0和(m-2)x+3y+2m=0互相平行,

.∫1X3-mm-2=0

**{2λn-6(∕n-2)≠0

解得m=-1,

故選B.

已知兩直線的一般方程判定兩直線平行或垂直時(shí)，記住以下結(jié)論，可避免討論：

已知4ιΛ1x÷B1y+C1=0,

I2:A2x÷B2y+C2=0,

ΛlB2—A2B]=O

則∕∣∕∕3

4C,—A7ClWO

Z1±∕2?>Λ1A+B1B2=0.

3.已知兩點(diǎn)A。,-2),8(2,1),直線/過點(diǎn)P(0,-l)且與線段AB有交點(diǎn)，則直線/的傾斜角

的取值范圍為()

π3π^l「八兀]「兀3π

A.B.0,-U

_44JL4jL24_

八π]∣^3π?∣^ππ)(τt3n

C.0,-u—,πD.-,-?--^Γ

L4jL4)[42八24」

【正確答案】C

【分析】作出圖形，求出PAPB的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得直線/的斜率的取值范圍，再由斜

率與傾斜角的關(guān)系可求出傾斜角的取值范圍.

【詳解】如圖所示，直線2的斜率M=T,直線總的斜率％=畀=1.

1—02—0

由圖可知，當(dāng)直線/與線段AB有交點(diǎn)時(shí)，直線/的斜率么目-1,1],

TC-II_3TC、

因此直線/的傾斜角的取值范圍是Pq卜[彳，兀)

故選：C

4.點(diǎn)24,-2)與圓/+V=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是

A.(X-2)2+(y+1)2=1

B.(X-2y+(y+1)2=4

C.(x+4)2+(y-2)2=4

D.(x+2)2+(y-l)2=1

【正確答案】A

【詳解】試題分析：設(shè)圓上任一點(diǎn)為。(%,%),PQ中點(diǎn)為例(χ,y),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,

X=2x—4

{'°_',)因?yàn)镼(M，%)在圓Y+V=4上，所以?√+3√=4,≡P(2Λ?-4)2+(2.y+2)2=4,

?o=2y+2

化為(x-2)2+(y+l)2=l,故選A.

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、“逆代法”求軌跡方程.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、“逆代法”求軌跡方程，屬于難題.求軌跡方程的

常見方法有:①直接法，設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)(χ,y),根據(jù)題意列出關(guān)于XQ的等式即可；②定義

法，根據(jù)題意動點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把χ,y分別用第三個(gè)變

X=g(x)

量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將1,二代入/(%,%)=。.本題就是利用方法④求

PO=MX)

M的軌跡方程的.

5.如圖，在四邊形ABC。中，ND48=90。，NADC=135。，AB=5,CD=I42>AO=2,則

四邊形A8C。繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為()

1

A.(60+4及)萬B.(60+80)τr

C.(56+8√2kD.(56+4√2>

【正確答案】A

【分析】首先根據(jù)題意得到四邊形ABCO繞AO所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體為一個(gè)圓臺

挖去一個(gè)圓錐，再計(jì)算其表面積即可.

【詳解】四邊形4BCO繞AZ)所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體為一個(gè)圓臺挖去一個(gè)圓錐，

如圖所示：

因?yàn)?=AB=5,所以圓臺下底面面積S∣=25萬，

22

又因?yàn)镃0=2e，ZΛCD=135,所以EO=4=2,∕2=^4+(5-2)=5,

所以圓臺的側(cè)面積邑=)(可+u)4=t(2+5)χ5=35乃.

圓錐的側(cè)面積s=；X2萬/JX4=；X2萬X2X2a=4垃兀.

所以幾何體的表面積為S=H+S?+$3=25乃+351+=(60+4夜卜.

故選：A

6.已知tana=g,tan4=-g,且ɑ/e(θ/),則2α-夕=()

π_π

A.-B.——

44

L3π一3π4π

C.——D.——或一

444

【正確答案】C

【分析】根據(jù)給定條件利用三角恒等變換求出tan(2α-0的值，再判斷2a-尸的范圍即可

得解.

2×-

SQEIClpr2tanα3?

【詳解】因tanα=Ktan夕二一二，pl∣JtanIa=--------=-----^-=-,

37ITanF「(!產(chǎn)4

?-(,?)

tan(2α”)Jan2"tan∕7=工,

l+tan2atan∕71+|x(_l)

TΓJTJT

因0∕∈(0,九),tanof>0,tan∕5<0,則O<α<5,3</?<乃，又tan2a>0,有0<2。<萬，

于是得一萬<2α—尸<0,因止匕，2a-β=~-,

4

所以2α-夕=-孚.

4

故選：C

7.在一AfiC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是α,b,c,且c=2?cos8,則.ABC的形狀

為（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角

三角形

【正確答案】A

【分析】已知條件用正弦定理邊化角，由SinC=Sin（A+B）展開后化簡得tanA=tan3,可

得出等腰三角形的結(jié)論.

【詳解】c=24cos8,由正弦定理，得SinC=Sin（A+3）=2SinACOsB,

即sinAcosB+cosAsin8=2SinACOSB,

，sinAcosB=cosAsinB,可得tanA=tanB,

又0<Avπ,0vBvπ,ΛA=β,

則一ABC的形狀為等腰三角形?

故選：A.

8.已知三棱錐E）-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，AB=BC=2,AC=2√2,若三棱

錐-ABC體積的最大值為2,則球。的表面積為

【正確答案】D

【詳解】分析：根據(jù)棱錐的最大高度和勾股定理計(jì)算球的半徑，從而得出外接球的表面積.

詳解：因?yàn)锳B=BC=2,AC=2啦，所以AB4BC,

過AC的中點(diǎn)M作平面ABC的垂下MN,則球心。在MN上,

設(shè)。M=/?,球的半徑為R,則棱錐的高的最大值為R+力，

因?yàn)閂O.ABC=gx；x2x2x（R+/?）=2,所以R+∕j=3,

由勾股定理得W=（3-Rf+2,解得R=U，

O

所以球的表面積為S=4）χ與="f,故選D.

369

點(diǎn)睛：本題考查了有關(guān)球的組合體問題，以及三棱錐的體積的求法，解答時(shí)要認(rèn)真審題，注

意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可

恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑：（2）利用球的截面

的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程求解球的半徑.

二、多選題

9.下列命題中，正確的是（）

A.對于任意向量.也有∣α+b∣≤∣α∣+∣Z>∣B.若α必=0,則&=O或6=O

C.對于任意向量α,b,有∣α?8∣≤IaiIblD.若α,6共線，則〃小=士|“M

【正確答案】ACD

【分析】由向量加法的三角形法則可判斷A選項(xiàng)；利用數(shù)量積的定義式可判斷BCD選項(xiàng).

【詳解】對于A：由向量加法的三角形法則可知A正確；

對于B：當(dāng)萬時(shí)，”∕=0,故B錯(cuò)誤；

對于C因?yàn)镮a-I=IaIlbilCoSeISdlI5],故C正確;

對于D：當(dāng)6共線同向時(shí)，a?b=?a^b?cos0=|?∣∣?|,

當(dāng)a,b共線反向時(shí),ab=?a∣∣?∣cos180=-∣d∣∣b故D正確.

故選：ACD.

10.若利、附是兩條不重合的直線，夕為兩個(gè)不重合的平面，下列說法正確的有（）

A.若m"n,mi/a,則〃〃aB.若Inlla,nlβ,mJ/n,則a//?

C.若〃JLa,則機(jī)_LaD.若加_1。,〃-1_4,加-1-〃，則

【正確答案】CD

根據(jù)平行關(guān)系判斷AB,根據(jù)垂直關(guān)系判斷CD.

【詳解】A.若機(jī)〃〃,〃?〃0,則n∕∕α或〃ua,故A不正確：B.若也“都與；兩平面的交線

平行，也滿足條件，但不能推出a//￡,故B不正確；C.兩平行線中的一條垂直于平面，則

另一條也垂直于平面，故C正確；D.若加?La,“?L尸,m?L”,則C故D正確.

故選：CD

11.已知sin，+cos。=；,^e(0,π),則()

1212

A.sιnσcosσ=------B.Sln夕一COSe=—

2525

74

C.Sine-CoSe=一D.tan=——

53

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)同角基本關(guān)系，結(jié)合完全平方公式可判斷各項(xiàng).

【詳解】對于A：因?yàn)镾ine+cos。=’,所以(Sine+cosd)2=1+2SineCOS8=L,

525

12

即SineCOSe=-不，所以A正確；

C4919

對于B、C：(Sin。一CoSe)-=I—2sin6cos6=石，因?yàn)?∈(0,π),且SineCOSe=—石v。，

7

所以sin8>0,cos0vθ,BfJsinO-cosθ>0,所以Sine-CoSe=W,所以B錯(cuò)誤，C正確；

sin。+COSe=L

5434

對于D：聯(lián)立?解得sin。=三,cos。=—〒所以tan。=—鼻，所以D正確.

sin。一CoSe=一

5

故選：ACD.

12.如圖，在棱長均相等的四棱錐P-ABC。中，。為底面正方形的中心，N分別為側(cè)棱

PA9PB的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有()

A.PZ)〃平面OMNB.平面PeD〃平面OMN

C.直線P4與直線MN所成角的大小為90D.ONLPB

【正確答案】ABD

【分析】連接BO,由P￡>〃。N易證尸?！ㄆ矫鍻MN；證明出CO〃平面QMN,結(jié)合P0〃

平面OMN可知平面PCD〃平面0MN；利用邊長關(guān)系結(jié)合勾股定理證明ONLPB.

【詳解】對于選項(xiàng)A,連接8。，顯然。為8。的中點(diǎn)，

又N為尸B的中點(diǎn)，所以PD〃OMPDB平面OMN,

ONU平面OMN,所以PZ)〃平面OMM,選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B,由M,N分別為側(cè)棱PAP8的中點(diǎn)，得MN〃AB,

又底面為正方形，所以MN〃以>,同理可得CD〃平面OMN,

又由選項(xiàng)A得尸?！ㄆ矫鍽WN,PDoCD=D,

所以平面PCD〃平面OMN,選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C,因?yàn)镸N〃CD,

所以NPDC(或補(bǔ)角)為直線尸。與直線MN所成的角，

又因?yàn)樗欣忾L都相等，所以ZPDC=60,

故直線PD與直線MN所成角的大小為60,選項(xiàng)C不正確；

對于選項(xiàng)D,因底面為正方形，所以A82+4f)2=BZ)2,

又所有棱長都相等，所以尸笈+尸小=9^,故P8,P

又PD"ON,所以O(shè)NLPB,選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

本題考查空間平行關(guān)系垂直關(guān)系的判斷，難度一般.解答時(shí)要注意圖中的幾何關(guān)系，根據(jù)線

面平行、面面平行及線面垂直等的判定定理判斷.

三、填空題

13.復(fù)數(shù)TL的虛部為_____.

1+1

【正確答案】-g##-0.5

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則運(yùn)算出結(jié)果即可.

11-i1-i1i1

［詳解［E=∕j*∣=一廠=3-3,故所求虛部為一彳.

l+i(l+ι)(1-ι.)、2222

故答案為.-;

14.如圖是以C為圓心的一個(gè)圓，其中弦A8的長為2,則AC?AB=.

【正確答案】2

__________?_____

【分析】作CDJ■回交AB于。，WJAC=A￡>+DC=-AB+DC,由此計(jì)算求解ACAB即

可得到結(jié)果.

【詳解】如圖，作CDLAB交48于。，則AC=Ao+OC=gA8+OC,

112

則4C-A8=(5A8+OC).AB=-A8=2.

故2.

本題考查平面向量的幾何應(yīng)用，此類題型一般需要結(jié)合平面向量的基本定理進(jìn)行計(jì)算化簡,

屬中檔題.

21

15.在邊長為4的等邊一ABC中，已知Ao=-A8,點(diǎn)P在線段CZ)上，AP=mAC+-AB,

32

則IM=.

【正確答案】√7

3111

【分析】根據(jù)題意得AP=wAC+=AO,求出m=；,所以4P=；AC+=AB,即

4442

∣AP∣=,求解即可?

2.31

【詳解】因?yàn)锳D=—A5,所以A3=-AD,又AP="zAC+-A3,

322

13

即AP=WAC+萬A3=MAC+^AO,因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段Co上，

31

所以P,C,。三點(diǎn)共線，由平面向量三點(diǎn)共線定理得，加+:=1,即加=:，

44

所以AP=LAC+[AB,又/3C是邊長為4的等邊三角形，

42

所以卜尸(=(；4。+3人^)=-t∣ΛC∣2+i∣ΛC∣∣AB∣cos60

=-！-χl6+,χ4χ4χ,+'χl6=7,故IAPI=S.

1642411

故答案為.不

16.已知圓Λ∕:(x+,")-+(y+l)-=1與圓N關(guān)于直線/：x-y+3=0對稱，且圓Λ/上任一

點(diǎn)P與圓N上任一點(diǎn)。之間距離的最小值為20-2,則實(shí)數(shù)的值為.

【正確答案】2或6.

【詳解】分析：由兩圓對稱可得到圓N的圓心坐標(biāo)，然后根據(jù)圓〃上任一點(diǎn)尸與圓N上任

一點(diǎn)。之間距離的最小值為兩圓的圓心距減去兩半徑可得實(shí)數(shù)機(jī)的值.

詳解：設(shè)圓N的圓心為(x,y),

；圓Λ/和圓N關(guān)于直線/對稱，

y+ι

x=-4

y=一機(jī)+3

.?.圓N的圓心為(TTn+3).

222

,IMNl=5∕(4-m)+(-w+4)=y∣2(m-4).

Y圓M上任一點(diǎn)P與圓N上任一點(diǎn)。之間距離的最小值為為2亞-2，

2

?λ∕2(w-4)-2≈2√2-2,

國軍得=2或〃？=6.

點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是得到圓N的圓心坐標(biāo)，然后根據(jù)幾何圖形間的關(guān)系求解.解答直

線和圓、圓和圓的位置關(guān)系問題時(shí)，可充分考慮幾何圖形的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距

離或點(diǎn)到直線的距離求解.

四、解答題

17.已知a=(1,0),6=(2,1).

(1)當(dāng)人為何值時(shí)，履-匕與o+2b共線？

(2)若48=2α+36,8C=α+”力且A,B,C三點(diǎn)共線，求機(jī)的值.

【正確答案】(1乂=-；

⑵I

【分析】(1)根據(jù)向量共線坐標(biāo)表示即可求；

(2)三點(diǎn)共線可轉(zhuǎn)化為向量共線，再根據(jù)向量共線坐標(biāo)表示即可求.

【詳解】(1)ka-b=k(?,0)-(2,1)=(fe-2,-1),

a+2?=(1,0)+2(2,1)=(5,2).

因?yàn)槁?6與a+2b共線，

所以2伏一2)—(―l)x5=0,解得％=—L

2

故當(dāng)《=時(shí)，與α+20共線.

(2)因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，。與6不共線，

所以存在實(shí)數(shù)2,使得AB=2BCQeR),

即2a+3b=λ(a+mb),

整理得(8,3)=(X+2核,核),

?λ+2mλ=833

所以，。，解得〃?=匕故加的值為

[mλ=322

18.已知點(diǎn)M(3,3),圓C:(x-iy+(y-2)2=4.

(1)求過點(diǎn)M且與圓C相切的直線方程；

(2)若直線以-y+4=0(αeR)與圓C相交于A,B兩點(diǎn),且弦AB的長為2百，求實(shí)數(shù)。

的值.

3

【正確答案】(1)x=3或3x+4y—21=0；(2)

4

【分析】(1)考慮切線的斜率是否存在，結(jié)合直線與圓相切的的條件d=r,直接求解圓的切

線方程即可.

(2)利用圓的圓心距、半徑及半弦長的關(guān)系，列出方程，求解〃即可.

【詳解】(1)由圓的方程得到圓心(1,2),半徑r=2?

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線x=3與圓C顯然相切；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為y-3=Mx-3),即京-y+3—3氏=0,

J

由題意得：~∣,2=2,解得左=-；，

√?2+14

3

方程為y—3=—三(x-3),Bp3x+4y-21=0.

4

故過點(diǎn)”且與圓C相切的直線方程為x=3或3x+4y-21=0.

(2)弦長AB為28,半徑為2.

__,∣α+2∣

圓心至IJ直線qχ-y+4=o的距離d=7=^=

.∣α+2∣

、夜2+1

3

解得〃二一"

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查切線方程的求法，考查了垂徑定理的應(yīng)用,

考查計(jì)算能力.

19.已知直線/的方程為：(2+∕n)x+(l-2zn)y+(4-3∕n)=0.

(1)求證：不論加為何值，直線必過定點(diǎn)M；

(2)過點(diǎn)M引直線4,使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求《的方程.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵2x+y+4=0

【分析】(1)歹U出方程(x-2y-3)m+2x+y+4=0,分別令x-2y—3=0,2x+y+4=0可

求出定點(diǎn)；

k-?

(2)令y=0,X=一,令x=0,y=Z-2,表達(dá)出三角形面積后，利用基本不等式求解即

可.

【詳解】(1)證明：原方程整理得：(x—2y-3)∕n+2x+y+4=0?

x-2y-3=0X=-I

由2x+y+4=。,可得

J=一2'

不論機(jī)為何值，直線必過定點(diǎn)M(T-2)

(2)解：設(shè)直線4的方程為y=&(x+l)-2C<0).

k-2

令y=0,χ=令X=0,y=k-2.

-k

當(dāng)且僅當(dāng)M=耳，即左=-2時(shí)，三角形面積最小.

則4的方程為2x+y+4=0.

20.已知函數(shù)F(X)=Sin2x+-+cos2x+--2sinxcosx

⑴求函數(shù)f(χ)的最小正周期及對稱軸方程;

(2)將函數(shù)y=/(χ)的圖象向左平移卷個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)伸

長為原來的2倍，得到函數(shù)y=g(χ)的圖象，求y=g(χ)在［0,2捫上的單調(diào)遞減區(qū)間.

【正確答案】(1)最小正周期為力，對稱軸方程為X=-?^+券，?∈Z

］「

叫ΓΛ旬2π~157;TC

【分析】(1)利用兩角和差的正余弦公式與輔助角公式化簡可得/(x)=2CoS+再

根據(jù)周期的公式與余弦函數(shù)的對稱軸公式求解即可；

(2)根據(jù)三角函數(shù)圖形變換的性質(zhì)可得g(x)=2cos(x+?),再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求

解即可.

【詳加軍】(1)f(x)=?sin2x+—cos2x+cos2x--sin2x-sin2x,

v72222

/(A*)=V3cos2x-sin2x=2^^-,1?c1

cos2x——s?n2x

2

=2cos2xcos----sin2xsin-=2cos2x+-,

I66JI6）

所以函數(shù)/（χ）的最小正周期為萬，

令2x+%=kn,kwZ,得函數(shù)/（X）的對稱軸方程為x=*+?^,ZreZ.

（2）將函數(shù)y=∕（x）的圖象向左平移專個(gè)單位后所得圖象的解析式為

y=2cos2∣1+π=2cosl2x+yI,

~6

生

所以g(x)=2(,os2xL+=2cosX+—,

(23I3j

令2A技(k+?π+2kπ,

所以一。+2A&Ik與+2)br,ZeZ.又xe[(),2句,

所以y=g（x）在［。，2句上的單調(diào)遞減區(qū)間為0,可仁,2；T.

21.如圖，已知在ABC中，M為BC上一點(diǎn),AB^2AC<BC,Bel0,|且SinT

⑵若AM為ZeAC的平分線，且AC=I,求"CW的面積.

【正確答案】（1）：

O

Q）叵

12

【分析】（1）由sin5=如?求得cos8=（,由AB=2AC可得SinC=2sin8,結(jié)合AM=

88

得NAMC=2ZB,利用正弦定理即可求得答案；

2

（2）由余弦定理求得3C=2,根據(jù)角平分線性質(zhì)定理可求得CM=再求得SinC,由三

角形面積公式可得答案.

【詳解】（1）因?yàn)镾inB=姮，β≡fθ,jl

r..rj

所以CosB=Jl-Sin?B=—,

8

因?yàn)锳B=2AC,

所以由正弦定理知一^=K=2,即SinC=2sin5,

sinBAC

因?yàn)锳M=βW,所以ZAMC=2ZB,sinZAMC=sin2B=2sinBcosB,