第十講-虛功原理與單位載荷法

第11章能量法（一）

§1外力功與應變能

§2互等定理

§3余能與卡氏第二定理

§4變形體虛功原理

§5單位載荷法講授內容上講回顧余功與余能

ComplementaryWorkandComplementaryEnergy彈性體的余能Vc數(shù)

值上等于余功：余功的定義:

上講回顧

單向應力狀態(tài)下的余能密度為故拉壓桿與梁的余能為余能計算《材料力學（II）》第1版，單輝祖編著，高教社

克羅第－恩格塞定理

彈性體的余能對載荷

Fk

的偏導數(shù)，等于該載荷的相應位移

Dk－克羅第－恩格塞定理卡氏定理線性彈性體的應變能，對載荷

Fk

的偏導數(shù)，等于該載荷的相應位移

Dk

－－

卡氏第二定理對于線性彈性體：卡氏定理1）適用于線彈性體；2）附加載荷法；3）引入新變量，區(qū)分相關載荷；4）求相對位移；5）正確理解載荷相應位移的概念。應用卡氏定理的幾個問題：§4變形體虛功原理

變形體虛功原理

變形體虛功原理的證明

變形體虛功原理幾個概念

1）與外力保持平衡并滿足靜力邊界條件的內力，稱為靜力可能內力或可能內力

1、可能內力與外力（靜力許可場）2）桿的可能內力用FN,T,FS與M表示）可能內力與外力結構的靜力許可場

1）滿足變形連續(xù)條件與位移邊界條件的任意結構位移，稱為幾何可能位移，相應之變形稱為可能變形2、

可能位移與可能變形（運動許可場）

3）桿微段的變形用dd

,df

與dq

表示

2）桿件的位移：幾個概念運動許可場

變形體虛功原理可能內力滿足：可能位移與變形滿足：（平衡條件）（靜力邊界條件）（變形連續(xù)條件）（位移邊界條件）例如可能內力

變形體虛功原理Px12l2l1

APyPP12l2l1

APxPy可能內力

變形體虛功原理Px132l2l3l1

APy平衡方程有無數(shù)內力解答；

任一組內力解答均為可能內力PxPy132l2l3l1

AA’Δl2Δl1Δl3可能變形

變形體虛功原理132l2l3l1

AA’Δl2Δl1Δl3滿足變形協(xié)調條件的任一組變形均為可能變形

假想的、微小的可能位移，稱為結構的虛位移，相應之變形稱為虛變形桿微段的虛變形用dd

*、df

*與dq

*表示3、

虛位移與虛變形4、

虛功（以梁為例）結構的外力與內力任取結構的虛位移與虛變形幾個概念如何表示？二者的關系？如溫度變形5、內力虛功與外力虛功

作用在所有微段上的可能內力在虛變形上作之總虛功－內力虛功

外力在可能位移上所作之總虛功－外力虛功變形體虛功原理

可以證明：外力在虛位移上所作外力虛功

We，等于可能內力在虛變形上所作內力虛功

Wi，即

We＝Wi稱為變形體虛功原理（虛位移原理）PrincipleofVirtualWork

變形體虛功原理的例證可能內力滿足：虛位移滿足：（平衡條件）（靜力邊界條件）（變形連續(xù)條件）（位移邊界條件）

外力虛功

內力虛功

比較證畢！

變形體虛功原理的例證——討論討論：1）簡支梁：位移邊界條件與靜力邊界條件

變形體虛功原理的例證——討論2）懸臂梁：位移邊界條件與靜力邊界條件適用于線彈性、非線彈性、非彈性體關于變形體虛功原理外力內力虛位移虛變形滿足變形協(xié)調條件、位移邊界條件靜力許可場運動許可場彼此獨立外力虛功內力虛功滿足平衡方程、靜力邊界條件§5單位載荷法

單位載荷法的基本公式

單位載荷法的常用公式例題

單位載荷法的基本公式結構的載荷狀態(tài)構造單位(載荷)狀態(tài)運動許可場靜力許可場D－線位移，加單位力D－角位移，加單位力偶D－相對線位移，加一對相等相反單位力D－相對角位移，加一對相等相反單位力偶

關于位移與單位載荷關于位移方向

當所得位移為正，則位移與所加單位載荷同向D－廣義位移，施加相應單位廣義載荷實際變形由載荷狀態(tài)下的實際內力確定線彈性拉壓桿與桁架：處于平面彎曲的線彈性梁與剛架：基本變形情況線彈性軸：

單位載荷法的常用公式

單位載荷法的常用公式組合變形情況對于線彈性桿或桿系，微段變形與內力關系：

例題解：1.構造單位載荷狀態(tài)2.求支反力，建立彎矩方程例

5-1AB段：BC段：3.位移計算例5-2求qA=?應如何分段，坐標系如何選取？解：1.構造單位載荷狀態(tài)2.分段建立彎矩方程解：影響小曲率梁變形的主要內力－彎矩例

5-3一小曲率梁，求截面A與B間的相對轉角(