第十講-虛功原理與單位載荷法

第11章能量法（一）

§1外力功與應(yīng)變能

§2互等定理

§3余能與卡氏第二定理

§4變形體虛功原理

§5單位載荷法講授內(nèi)容上講回顧余功與余能

ComplementaryWorkandComplementaryEnergy彈性體的余能Vc數(shù)

值上等于余功：余功的定義:

上講回顧

單向應(yīng)力狀態(tài)下的余能密度為故拉壓桿與梁的余能為余能計(jì)算《材料力學(xué)（II）》第1版，單輝祖編著，高教社

克羅第－恩格塞定理

彈性體的余能對(duì)載荷

Fk

的偏導(dǎo)數(shù)，等于該載荷的相應(yīng)位移

Dk－克羅第－恩格塞定理卡氏定理線性彈性體的應(yīng)變能，對(duì)載荷

Fk

的偏導(dǎo)數(shù)，等于該載荷的相應(yīng)位移

Dk

－－

卡氏第二定理對(duì)于線性彈性體：卡氏定理1）適用于線彈性體；2）附加載荷法；3）引入新變量，區(qū)分相關(guān)載荷；4）求相對(duì)位移；5）正確理解載荷相應(yīng)位移的概念。應(yīng)用卡氏定理的幾個(gè)問(wèn)題：§4變形體虛功原理

變形體虛功原理

變形體虛功原理的證明

變形體虛功原理幾個(gè)概念

1）與外力保持平衡并滿足靜力邊界條件的內(nèi)力，稱為靜力可能內(nèi)力或可能內(nèi)力

1、可能內(nèi)力與外力（靜力許可場(chǎng)）2）桿的可能內(nèi)力用FN,T,FS與M表示）可能內(nèi)力與外力結(jié)構(gòu)的靜力許可場(chǎng)

1）滿足變形連續(xù)條件與位移邊界條件的任意結(jié)構(gòu)位移，稱為幾何可能位移，相應(yīng)之變形稱為可能變形2、

可能位移與可能變形（運(yùn)動(dòng)許可場(chǎng)）

3）桿微段的變形用dd

,df

與dq

表示

2）桿件的位移：幾個(gè)概念運(yùn)動(dòng)許可場(chǎng)

變形體虛功原理可能內(nèi)力滿足：可能位移與變形滿足：（平衡條件）（靜力邊界條件）（變形連續(xù)條件）（位移邊界條件）例如可能內(nèi)力

變形體虛功原理Px12l2l1

APyPP12l2l1

APxPy可能內(nèi)力

變形體虛功原理Px132l2l3l1

APy平衡方程有無(wú)數(shù)內(nèi)力解答；

任一組內(nèi)力解答均為可能內(nèi)力PxPy132l2l3l1

AA’Δl2Δl1Δl3可能變形

變形體虛功原理132l2l3l1

AA’Δl2Δl1Δl3滿足變形協(xié)調(diào)條件的任一組變形均為可能變形

假想的、微小的可能位移，稱為結(jié)構(gòu)的虛位移，相應(yīng)之變形稱為虛變形桿微段的虛變形用dd

*、df

*與dq

*表示3、

虛位移與虛變形4、

虛功（以梁為例）結(jié)構(gòu)的外力與內(nèi)力任取結(jié)構(gòu)的虛位移與虛變形幾個(gè)概念如何表示？二者的關(guān)系？如溫度變形5、內(nèi)力虛功與外力虛功

作用在所有微段上的可能內(nèi)力在虛變形上作之總虛功－內(nèi)力虛功

外力在可能位移上所作之總虛功－外力虛功變形體虛功原理

可以證明：外力在虛位移上所作外力虛功

We，等于可能內(nèi)力在虛變形上所作內(nèi)力虛功

Wi，即

We＝Wi稱為變形體虛功原理（虛位移原理）PrincipleofVirtualWork

變形體虛功原理的例證可能內(nèi)力滿足：虛位移滿足：（平衡條件）（靜力邊界條件）（變形連續(xù)條件）（位移邊界條件）

外力虛功

內(nèi)力虛功

比較證畢！

變形體虛功原理的例證——討論討論：1）簡(jiǎn)支梁：位移邊界條件與靜力邊界條件

變形體虛功原理的例證——討論2）懸臂梁：位移邊界條件與靜力邊界條件適用于線彈性、非線彈性、非彈性體關(guān)于變形體虛功原理外力內(nèi)力虛位移虛變形滿足變形協(xié)調(diào)條件、位移邊界條件靜力許可場(chǎng)運(yùn)動(dòng)許可場(chǎng)彼此獨(dú)立外力虛功內(nèi)力虛功滿足平衡方程、靜力邊界條件§5單位載荷法

單位載荷法的基本公式

單位載荷法的常用公式例題

單位載荷法的基本公式結(jié)構(gòu)的載荷狀態(tài)構(gòu)造單位(載荷)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)許可場(chǎng)靜力許可場(chǎng)D－線位移，加單位力D－角位移，加單位力偶D－相對(duì)線位移，加一對(duì)相等相反單位力D－相對(duì)角位移，加一對(duì)相等相反單位力偶

關(guān)于位移與單位載荷關(guān)于位移方向

當(dāng)所得位移為正，則位移與所加單位載荷同向D－廣義位移，施加相應(yīng)單位廣義載荷實(shí)際變形由載荷狀態(tài)下的實(shí)際內(nèi)力確定線彈性拉壓桿與桁架：處于平面彎曲的線彈性梁與剛架：基本變形情況線彈性軸：

單位載荷法的常用公式

單位載荷法的常用公式組合變形情況對(duì)于線彈性桿或桿系，微段變形與內(nèi)力關(guān)系：

例題解：1.構(gòu)造單位載荷狀態(tài)2.求支反力，建立彎矩方程例

5-1AB段：BC段：3.位移計(jì)算例5-2求qA=?應(yīng)如何分段，坐標(biāo)系如何選??？解：1.構(gòu)造單位載荷狀態(tài)2.分段建立彎矩方程解：影響小曲率梁變形的主要內(nèi)力－彎矩例

5-3一小曲率梁，求截面A與B間的相對(duì)轉(zhuǎn)角(