2023年高考數(shù)學(xué)壓軸題-圓錐曲線第08講：三點(diǎn)共線問題（解析版）

第八講：三點(diǎn)共線問題

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質(zhì)，坐標(biāo)的表示；

應(yīng)用目標(biāo)：掌握直線與橢圓，雙曲線，拋物線聯(lián)立求解，并表示交點(diǎn)，向量，斜率等計(jì)算量；

拓展目標(biāo)：能夠熟練掌握三點(diǎn)共線的表達(dá)和求解方法.

素養(yǎng)目標(biāo)：通過數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨(dú)立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)生

的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

【基礎(chǔ)知識】

解析幾何中，將代數(shù)和幾何聯(lián)系到一起，形成了圖形和坐標(biāo)等的分析，在一定程度上可以進(jìn)行坐標(biāo)的計(jì)算,

達(dá)到解決解析幾何的目的，因此在解析幾何中的三點(diǎn)共線證明上，重點(diǎn)放在點(diǎn)的坐標(biāo)的表示和計(jì)算中.

解析幾何證明三點(diǎn)共線的方法：

(1)直接證明其中一點(diǎn)在過另兩點(diǎn)的直線上；

(2)證明過其中一點(diǎn)和另兩點(diǎn)所連兩條直線斜率相等；

(3)證明過其中一點(diǎn)和另兩點(diǎn)所連兩個向量共線.

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：證明三點(diǎn)共線

例L已知橢圓cJ+∕l(α>b>O)的離心率為孝，上下頂點(diǎn)分別為48,且|/81=4.過點(diǎn)(1,0)的直線

與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)〃，N(不與點(diǎn)48重合).

⑴求橢圓C的方程；

⑵若直線與直線N=4相交于點(diǎn)?，求證：8,RM三點(diǎn)共線.

【答案】⑴二+匕=1;⑵證明見解析

84

^2b=4,

解析：⑴根據(jù)題意，￡=爛，

a2

a2=b2+c2

解得/=8,?2=4.

所以橢圓C的方程為：片+U=I....

84

(2)由(1)知，4(0,2),8(0,-2).

根據(jù)題意，直線MN的斜率一定存在，設(shè)直線MN的方程為y=b+1.

2

uX+2/-8=0,口,,

由〈,,得(2%2+l)χ2+4?x-6=0.

y=kx+↑

根據(jù)題意，A>0恒成立，設(shè)MaJ)N(X2,%)?

,-4k-6

π則i*+'2=赤TXF=4T

V—2

直線4”的方程為丁-2二」一X,

石

令y=4,得x=2?,所以P(2?,4).

必一2Ji-2

因?yàn)?(0,-2),N(X2，%),

則直線5N,BP的斜率分別為L=及翼，M=30；1~2),

々%

2

κll_v2+3(y∣-2)_占(%+2)-3》2(必一2)

KBN_KBP_—.

X2X1X1X2

Xx1(y2+2)-3X2(?,-2)=X1(kx2+3)-3x2(Axl-1),

=-lkx^x2+3(x1+x2),

=-2?^-+3x-^-

2?2+l2公+1

=0.

所以kfiN=^BP,

所以'P,N三點(diǎn)共線.

變式訓(xùn)練1：已知橢圓uJ?+W=l(α>6>0)的離心率為乎，且過點(diǎn)卜加,1).

⑴求橢圓C的方程；

⑵已知/、8分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，M是直線x=2上不與B點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，與

直線。M垂直的直線8尸與C的另一個交點(diǎn)為尸.求證：A、P、M三點(diǎn)共線.

【答案】⑴工+匕=1；⑵證明見解析

42

c

2

a=

I=J

2=解v

解析：(1)由題意可得一F

a

a2=b2+c2IC=42

因此，橢圓C的方程為江+廣=L

42

(2)證明：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,〃，)，其中加wθ,易知點(diǎn)”(-2,0)、8(2,0),

k°M=%貝IJ直線8P的方程為y=-Z(χ-2),

2m

y=-Z(χ-2)

16—2w2

tn2Q-

X=16-2∕W28/n)

聯(lián)立x2+2/=4,可得丁+8,即點(diǎn)尸

in2+8W2+2)

x≠0

8加

tnm

._加2+8mk

ap~?6-2m2,^4,AM訐1=W'則

-^TΓ+2

因此，A,My尸三點(diǎn)共線.

變式訓(xùn)練2：已知橢圓cJ+g=l(a>b>O)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)0/,日)

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為P,過點(diǎn)下的直線/(與X軸不重合)交橢圓于48兩點(diǎn)，直線尸4交直線/':x=2“于

點(diǎn)若直線/'上存在另一點(diǎn)N,使麗?麗=0.求證：尸,3,N三點(diǎn)共線.

22

【答案】⑴三+±=1；(2)證明見解析.

43

解析：⑴依題意，橢圓C的左焦點(diǎn)尸’(-1,0),由橢圓定義得：

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為W+片=1.

43

(2)由⑴知,P(-2,0),直線/不垂直y軸，設(shè)直線/方程為X=〃沙+1,A(xx,yλ),B{x2,y2),

X-my+1,,、C-6∕H-9

由{a2“2消去X得：(3"廣+4)y+6/My-9=0,則必+.=J，，My2=3，，

5x+4y=125tn+了43m+4彳

直線H的斜率3=±,直線的方程：7=-^-(?+2),而直線Lx=4,即加(4,駕),

?_____X+2

直線尸M的斜率“x+22y,而FM?FN=0,即FNlFN,直線FN的斜率即="；—,

%=lF=/lW2%

X+23χ+6

直線FN的方程：y=-÷-(x-l),則點(diǎn)N(4,-y-),

2必2y,

3x1+6

直線P8的斜率∕?=-?,直線尸N的斜率“2y,_xl+2,

々PN=T^=F

,=%/_)+2、=%,孫+3=(w2+4戈力+3ffl(y∣+%)+9

PB2

X2+4χmy2+34y,4y∣(∕n%+3)'

而(m2+4)yy+3m(y+y)+9=-：。；+：)TT3：gpk=k,

l2l2+9=0PBPN

3∕w~+4+3m+4

所以P,8,N三點(diǎn)共線.

22

變式訓(xùn)練3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系XQy中，M、N分別是橢圓二r+匕v=1的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線

42

交橢圓于P,A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過P作X軸的垂線，垂足為C,設(shè)直線尸4的斜率為h

⑴若直線以平分線段A,求上的值；

⑵求APMN面積S的最大值，并指出對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶對任意的左>0,過點(diǎn)P作P/的垂線交橢圓于8,求證：A,C,B三

點(diǎn)共線.

【答案】⑴孝；（2）最大值半，（√I1）；⑶證明見解析.

解析：⑴由題設(shè)知，α=2,∕>=√2,故M（-2,0）,N（O,-√Σ）,???線段腦V中點(diǎn)坐標(biāo)為（7,一孝）.

由于直線尸力平分線段MN,故直線4過線段MN的中點(diǎn)，又直線4過原點(diǎn)，.?M=正；

2

(2)?M(-2,0),N(G,-6),k=

MNU-(T)

y=--五x++m

設(shè)與仞V平行的直線方程為y=-YIχ+"7,2

聯(lián)立227I導(dǎo)X2—y∣2mx+"J-2=O.

2土+匕=I

142

由△=(-√‰)2-4∕+8=0,解得：加=±2.

由題意可知，當(dāng)m=2時，直線y=-^x+2與直線MN的距離最大，最大值/=^點(diǎn)(

即dWV面積S有最大值，等于;MI"=，忘乎=2.

?X2-2√2X+2=0,解得χ=√∑,尸1,,P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1);

(3)設(shè)P(χ∣,乂)，BU2,y2),尸8中點(diǎn)。(X0,y0),

≡T÷?=1>?+?=1>

兩式作差可得：產(chǎn)+x?)JMf)(M+%),...當(dāng)二”=一白，即L=-F

42x1-x22y02汽

'；PALPB,??k?(一3)=7即比=：,Λ?=-=1.

1,

2%?2X02

JPO=OA,PQ=QB,.-.OQHABt即扃“=：.

=4===

''XXx'r2∑I'：,kAC=kAB,故A,C,8三點(diǎn)共線.

X4Xr一Λ∣一Λ∣ZA1Z

考點(diǎn)二：已知三點(diǎn)共線(求坐標(biāo))

例L如圖，已知橢圓E：4+4=1(a>b>O)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),離心率e=(，過F作一直線4交橢

ab2

圓E于A,B兩點(diǎn)(其中A在X軸的上方)，過點(diǎn)A作直線4：X=4的垂線，垂足為C.

(1)求橢圓E的方程；

(2)問：在X軸上是否存在一個定點(diǎn)T,使得B,T,C三點(diǎn)共

線？若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴—+^=1;(2)存在；定點(diǎn)T信,θ]

43U)

解析：(1)由題意可知c=l,—=?-,解得α=2,c：1,

a2

7)

所以〃=/-C2=3,所以橢圓E的方程為土+二=1.

43

(2)假設(shè)存在點(diǎn)T&0),使得B,T,C三點(diǎn)共線.

當(dāng)AB斜率不存在時，連結(jié)BC交X軸于點(diǎn)T,

13

因?yàn)閆C〃尸7,AF=FB,所以BT=CT,所以ΛT=5∕C=5,

又因?yàn)椤Ｊ?1,所以」=|,即嗚,01

下面再證明當(dāng)NB斜率存在時，B,T,C三點(diǎn)共線.

證明：設(shè)4(%,必),8伍,%),則C(4,%),,

將NB：x=wj,+l?-+^―=1,得(3機(jī)2+4)y?+6叩一9=0,

Δ=(6W)2+36(3W2+4)>0

一6〃？

從而+y

2-3/+4

一9

yy=

l23m2+4

要證B,T,C三點(diǎn)共線，即證旗τ=Lτ.

3%-2必12-^∣38一2必(加力+1_|

—生

533(々T)

2

-6∕w=9_

3-2rn

_3(y∣+j?)-2加必》2_3〃/+4網(wǎng)*=0,得證.

3Γ2^∣

V2-2

所以在X軸上是否存在一個定點(diǎn)T(1,0),使得B,T,C三點(diǎn)共線.

變式訓(xùn)練1：已知長軸長為2及的橢圓CJ+/1(〃>/Ao)過點(diǎn)小同,點(diǎn)尸是橢圓C的右焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在X軸上的定點(diǎn)D,使得過點(diǎn)D的直線/交橢圓C于48兩點(diǎn)，設(shè)E為點(diǎn)8關(guān)于X軸的對稱點(diǎn),

且4RE三點(diǎn)共線？若存在，求。點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【答案】⑴y+√=l;(2)存在，r>(2,0).

解析：⑴因?yàn)?α=2√L所以α=√L將點(diǎn)尸(1,也)代入￡+《=1,得6=1,

2ah~

所以橢圓。的方程為E+∕=ι

2

⑵存在點(diǎn)0(2,0)滿足條件.

設(shè)DQ,0),直線/方程為X=Sy+，，/(x∣,必)，8(乙,%),則后(％,-%)

X=my+t

2

聯(lián)立X2消去工,得(/+2)/+2加伊+/一2=0

一+y=1

[2

Imt*一2

y↑+y=-必為=K且△>“

???2m2+2

由a尸,E三點(diǎn)共線,得HT)M+(*T)%=0,所以2用M%+(-1)(?+%)=O,

所以2〃?.02+(-1).(_02)=0解得/=2.

加~+2加~+2

所以存在定點(diǎn)。(2,0)滿足條件.

變式訓(xùn)練2：已知橢圓U*→g=l(α>b>0)的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線D-.x2=4y的焦點(diǎn)，其離心率與雙

曲線二一亡=1的離心率互為倒數(shù).

62

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過橢圓的右焦點(diǎn)尸作與坐標(biāo)軸不垂直的直線/交橢圓C于48兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為P,

當(dāng)直線/繞著點(diǎn)/轉(zhuǎn)動時，試探究：是否存在定點(diǎn)。，使得反P,。三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

【答案】⑴J+V=h(2)存在，定點(diǎn)為。

解析(1)由題意，拋物線。：/=4幾可得焦點(diǎn)為(0,1),所以6=1,

又由雙曲線X-上=1的離心率為e=空,可得橢圓C的離心率上=如，

623a2

b=yja2-C2=1

c?/?fo=2

可得￡=耳,解得A1,

a2[n=l

Q>0

即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為E+/=1.

4

(2)由直線/不與坐標(biāo)軸垂直，可設(shè)直線/的方程為x=(y+√J,其中，HO,

設(shè)點(diǎn)”(x∣,必)、8(%，為)，則點(diǎn)尸(不，-%)，

聯(lián)立直線/與橢圓C的方程I

:/2+4!?y2+2y∕3ty—1=0,

由△>()恒成立’且m+必=一翟，yly2=--±-,

由橢圓的對稱性知，若存在定點(diǎn)。，則點(diǎn)。必在X軸上,

故假設(shè)存在定點(diǎn)0(孫0),使得尸、B、。三點(diǎn)共線，則%=",

可得q=X=2明%+圓必+力）=-8f=4√3

y∣+y2乂+%-2√3?3

故存在定點(diǎn)。使得P、8、。三點(diǎn)共線.

變式訓(xùn)練3：已知橢圓。，+/=1(。>6>0)的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線0“2=”的焦點(diǎn)，其離心率與雙

曲線二一/=［的離心率互為倒數(shù)

4

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過橢圓的右焦點(diǎn)尸作與坐標(biāo)軸不垂直的直線/交橢圓C于A、8兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為P,

當(dāng)直線/繞著點(diǎn)尸轉(zhuǎn)動時，試探究：是否存在定點(diǎn)。，使得8、尸、。三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y+∕=l;(2)存在，θg°)?

解析：(1)由于拋物線。：一=4y的焦點(diǎn)為(0,1),所以6=1,

雙曲線［一/=1的離心率為e=與故橢圓C的離心率：=意

b=y∣a2-C2=］r∑

0=√5

2Y2

由題意可得Fc=-，解得6=1,即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+/=1；

α√55

C=2

a>0Λ

(2)由于直線/不與坐標(biāo)軸垂直，可設(shè)直線/的方程為X="+2,其中"O,

設(shè)點(diǎn)4(再，必)、5(積%),則點(diǎn)尸(4-必)，

聯(lián)立直線,與橢圓C的方程仁;;15'消去X并整理得

(尸+5”2+4W-I=O,

2

Δ=20(Z+1)>0,由韋達(dá)定理得乂+%=一冷，yιy2=--J-ι

由橢圓的對稱性知，若存在定點(diǎn)。，則點(diǎn)。必在X軸上，

故假設(shè)存在定點(diǎn)0(dθ),使得P、B、。三點(diǎn)共線，則的6=七2，

2/

即立也=」一可得q=XM+々必=(%+2)%+(優(yōu)+2)M=2%%+2=一母+2」+2=3

χχ4t22

2-∣q-χJy^+y2yl+y2?.+y2

t2+5

故存在定點(diǎn)使得P、B、。三點(diǎn)共線.

考點(diǎn)三：已知三點(diǎn)共線求參

例L已知橢圓C:4+4=1(a>b>0)的短軸長為20,離心率為叵

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)M,N分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)。(1,0)且不與X軸重合的直線4與橢圓C相交于48兩點(diǎn)

是否存在實(shí)數(shù)1(f>2),使得直線七X=f與直線8N的交點(diǎn)P滿足P,4"三點(diǎn)共線？若存在，求出4的

方程；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴?+[=1；⑵存在，直線4：》=4

解析：(1)由于短軸長為2√Σ,所以2b=2√∑,6=√2.

又離心率e=E=且，且/="+C2,解得α=2.

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+廿=1.

⑵假設(shè)存在直線4滿足條件，設(shè)/8的方程為X="沙+1,且，(再,必),B(x2,y2γ

-?-=1/

聯(lián)立方程組42一，消去X可得(W+2)y2+2my-3=0,

X=my+1

Δ=W+12(w2+2)=16∕n2+24>0,

由于N(2,0),B[x2,y2),所以直線BN的方程為V=±(x-2),

則①X=，(，＞2)與直線52的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.為(：；)],且標(biāo)=(r+2,%(：；)],M4=(χl+2,yt).

x

I2~)IX2-Z.J

當(dāng)M(-2,0),Λ(x,,yl),P[平拼)三點(diǎn)共線時有聲與而共線.

所以以(，+2)(七-2)=乃(，-2)(為+2),即W=''+"—%為]乂

f+2y2(x1+2)myly2+3y2

由于Hb=與，所以孫”=[(“+%)，

Z1Z2?Z

t-2y+3必1

所以l解得，=4,所以存在直線4：x=4滿足條件?

￡+23凹+9%3

r22

變式訓(xùn)練1：已知橢圓C：=+A=1(β>?>O)的右準(zhǔn)線方程為X=4,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,右焦

Qb

點(diǎn)為F,斜率為2的直線經(jīng)過點(diǎn)A,且點(diǎn)F到直線的距離為平.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)將直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，它與橢圓C相交于另一點(diǎn)P,當(dāng)B,F,P三點(diǎn)共線時，試確定直線的斜率.

【答案】⑴二+2=1；(2)巫.

432

解析：(1)由題意知，直線的方程為V=2(x-α),2x-y-2a=Ot

二右焦點(diǎn)F到直線的距離為左神=冬叵，.?.α-c=l,

√55

22

又橢圓C的右準(zhǔn)線為χ=4,即幺=4,所以C=幺，將此代人上式解得。=2,C=I,

c4

.?.∕=3,橢圓C的方程為蘭+金=1；

43

(2)由⑴知B(O,√J),尸(LO),直線"的方程.=一GaT，

J^=-V3(x-1)

聯(lián)立方程組

8

X=—

5廠或x=0

解得-(舍)，即P

3√3,=√f3

J=一丁

0——八

.?.直線的斜率k=_I:J3√3

2—

5

0--

所以三點(diǎn)共線時直線的斜率％=_L3√3

2-§2

5

變式訓(xùn)練2：設(shè)雙曲線C:二=1的上焦點(diǎn)為尸,M,N是雙曲線C上的兩個不同的點(diǎn).

-3

⑴求雙曲線C的漸近線方程;

⑵設(shè)直線MN與歹軸交于點(diǎn)Q(O,q),M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為AT.若M',F,N三點(diǎn)共線，求證：1為定值.

【答案】⑴x=±"y;(2)g=g,證明見解析.

2

解析：⑴令/-q=0,則x=±。，.??雙曲線的漸近線方程為X=±"y?

⑵①當(dāng)直線MN的斜率不存在時，M'=M,M',尸,N三點(diǎn)共線，滿足題意；

②當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)為Ak≠Q(mào)k≠±^-,則其方程為八依+夕.

L?,

設(shè)M(X1，PI)N(X2,%)，則”(-x∣J∣),

y=kx+q

聯(lián)立2X2，得(3/-1)/+63+3/-3=0,

lr^τ=1

所以%%=王超=：%］：?

因?yàn)槭?0,2),",EN三點(diǎn)共線，

所以％"=%FN,BP------=--------,即X?必+X∣%=2(占+》2),

-

X∣X2

fcv

所以工2(3+l)+x∣(2+√)=2(x1+X2),gp2kxlx2=(2-?)(x1+x2),

所以2〃Xl^l=(2-4)(-^］，化簡得：6kq2-6k=6kq2-12kq,

3k~—1V5k

解得：夕=；為定值.

變式訓(xùn)練3：已知橢圓C:]+，=l(a>6>0)的離心率為等，/為橢圓C上任意一點(diǎn)，且已知尸(1,0).

(1)若橢圓C的短軸長為4,求∣∕p∣的最大值;

(2)若直線4P交橢圓C的另一個點(diǎn)為8,直線/：x=4交X軸于點(diǎn)。，點(diǎn)A關(guān)于直線/對稱點(diǎn)為且

8三點(diǎn)共線，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】⑴5；(2)—+/=1

4

解析：⑴由題意￡=^^,.,.l--γ=—,α2=4∕√且26=4,/.Λ2=16,b2=4

a2a24

■)>>

所以c：E+匕=1,

164

設(shè)？I(X1，必)，則AP2=(Xl-I)2+"=(%-if+4-乎=IX；-2玉+5

?.?-4≤x1≤4,故當(dāng)為=-4時，?AP?πa×=5.

(2)當(dāng)/8斜率為O時，瓦，8三點(diǎn)共線;

當(dāng)/8斜率不為O時，設(shè)直線NB:X=叼+1,與橢圓c：東+}=ι,即/+4/=4持聯(lián)立得:

22

(τn+4)/+2mj+l-4?=0,設(shè)/(x∣,y∣),S(x2,y2),則

AC-2m1-4〃

VM=

m2+4

又由題知。(4,0),/(8-X1,71),..k,0=-^-t心。=

-,

4■一入IΛ2τ

故由B三點(diǎn)共線得Ko=%加，即代=T?,Λ(?-4)=Λ(4-X,)

4

t—ΛJX2~

.?.yl(my2-3)+y2(myl-3)=0,.?.2myiy2=3(%+%)

22

代人韋達(dá)定理得：-≠L=2(1小,Λ4?-1=3,?=∣,/=4

加~+4w+4

故橢圓方程為C：日+/=1.

考點(diǎn)三：已知三點(diǎn)共線求范圍

22?

(、]例L已知橢圓C：*?+%=l(α>Z>>0)的離心率為J且過點(diǎn)(—1,期，橢圓C的右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)

8的坐標(biāo)為(；,0).

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知縱坐標(biāo)不同的兩點(diǎn)P,。為橢圓C上的兩個點(diǎn)，且B,P,。三點(diǎn)共線，線段尸。的中點(diǎn)為R,求

直線/R的斜率的取值范圍.

【答案】⑴4+?=1≡⑵[-p??

4388

22

解析：(1)橢圓C：二+5=l(α>6>0)的離心率為9，且過點(diǎn)

ab2-0}

e

a2

19

/+=?,解得。=2,b=6,

a2=b2+c2

.?.橢圓C的方程為江+￠=1；

43

(2)依題意知直線尸Q過點(diǎn)且斜率不為0,

故可設(shè)其方程為X=歿+；,

1

X=my+—

2

2,消去得必-

由2K4（3/+4）/+1245=0,Δ>0,

—+—=1

143

設(shè)點(diǎn)「(國,凹),。(孫％),R(XoM,直線4R的斜率為無,

M3加J+%3m12

故…=一^^一“V丁?.?獷明+廠次H

m

又點(diǎn)的坐標(biāo)為

A(2,0),2,

x0-2^^4w+4

當(dāng)加=0時，k=0；

心一

當(dāng)WH0時，4m+-?

8,當(dāng)且僅當(dāng)Ml=I時，等號成立,

.?.-?≤k≤!且左≠O；

88

綜上所述，直線/R的斜率的取值范圍是

OO

變式訓(xùn)練1：在平面直角坐標(biāo)系中，A/8C的兩個頂點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為(T,O),(1,0),平面內(nèi)兩點(diǎn)G,

M同時滿足以下3個條件:

①G是A∕8C三條邊中線的交點(diǎn)；②〃是48C的外心；③GMHAB.

(I)求A∕8C的頂點(diǎn)C的軌跡方程;

(∏)若點(diǎn)P(2,0)與(I)中軌跡上的點(diǎn)E,產(chǎn)三點(diǎn)共線，求IPEHPFI的取值范圍.

【答案】(I)x2+^=l(J≠O)；(∏)0,?∣).

【詳解】(I)設(shè)C(X,力G(XoJ。)，MXMyM)，

因?yàn)锳Z是A∕8C的外心，所以IM4∣TA

所以M在線段48的中垂線上，

所以XM=VLl^=0?

因?yàn)镚NHAB,所以為=ya.

又G是△力8C三條邊中線的交點(diǎn)，

所以G是48C的重心，

所以Xo=——=y.?o?-3~=y-

所以加=%=不

又IwII=IΛ∕c∣,所以/(0+咪+6_0)=J(OT)2+《_yJ.

化簡得χ2+^?=ι(PNO),所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為/+金=1("O).

33

(∏)因?yàn)镻,E,F三點(diǎn)共線，所以P,E,F三點(diǎn)所在直線斜率存在且不為0,

設(shè)所在直線的方程為y=k{x-2),

y=k(x-2),

聯(lián)立,丁?(AT2+3)X2-4?2X+4?2-3=0.

+=,

XT

由4=(4/)2-4(/+3)(4左2-3)>0,得公<]

設(shè)E(XI,必),F(χ2,y2),

4Ar2

則

4A-2-3

2=W

所以IPEHPFI=?7m7∣2-x∣∣?√i7P^∣2-X2∣=(1+公)?∣4-2(X∣+XJ+X∣?X2∣

4(?2+3)-8Λ2+(4?2-3)

=(ι+B

F+3

9(1+〃)18

k2+3k2+3

X0<λ2<l,所以3VF+3<4,

Q

所以3<∣PE∣?∣PFkj

故IPEHP日的取值范圍為卜,1).

2

變式訓(xùn)練2：如圖，已知橢圓G：5+『=I,拋物線6：/=2。_42>0),點(diǎn)人是橢圓0與拋物線02的交

點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線/交橢圓G于點(diǎn)B,交拋物線C?于點(diǎn)"

同于A).

(1)求橢圓G的焦距;

(2)設(shè)拋物線C2的焦點(diǎn)為尸，P為拋物線上的點(diǎn)，且A、

點(diǎn)共線，若存在不過原點(diǎn)的直線/使〃為線段”的中點(diǎn)，求的+兩的最小值.

【答案】(1)2；(2)8√10

解析：⑴由橢圓的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0),故焦距為2.

(2)由拋物線方程可得尸pθl./(須，必)/(不，%),

由拋物線和橢圓的對稱性可不妨設(shè)±>0,必>0,則為<0.

設(shè)直線仍X=O^，則質(zhì)+日一-+ι)ι,帆-%I

2卜力∣'

v1∣hlj√+/

y2=2pχ

由P可得/-2p“-p2=0,

χ=w+g

111JyO一刃_[=

故j?+y?

刈’1另。JT77√7+7b

設(shè)M(XO，Μ)，8&，%),

+y↑=12_2

則,所以五產(chǎn)+弁_月=0即++/心=0,

+貨=I2

?o

所以A田

=0,而y：=2pxo，所以2pIyM-X),0,

2°xl-x0

因?yàn)橹本€/8不過原點(diǎn)，故盟工0,所以詈+上為=0,

4pXI-Xo

%IM-%

故4pK?oH即M?"

2pIp

整理得到8p2=f(M+%),%∈(―%0),

%+%f]=乎,當(dāng)且僅當(dāng)y=-?時等號成立.

由基本不等式可得-%（必+y）≤0

02

2

故8p?2?%2≥32p2,

4

2可得需+",故口竿/+32/,≡∕≤?

由+τ,=ι1

所以X*故向+虛4啊當(dāng)且僅當(dāng)P=等時等號成立,

11L

故∏7η+iTΓ7的最小值為8√10.

?AF??PF?

考點(diǎn)四：證明三點(diǎn)共線(充要條件)

例L已知橢圓C方程為±+g?=l(α>6>0),右焦點(diǎn)為F(√Σ,0),且離心率為如

a2b23

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線/+y2=62(χ>0)相切證明：M,N,廠三點(diǎn)共線的充要

條件是IMVl=道.

【答案】⑴—+/=1；⑵證明見解析.

3'

解析：(1)由題意，橢圓半焦距C=&且e=￡=逅，所以α=√L

a3

又從“2-C2=1,所以橢圓方程為E+y2=h

3-

⑵由⑴得，曲線為V+/=/'>o),

當(dāng)直線MN的斜率不存在時，直線MN:x=l,不合題意;

當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)”(再,必),"(々,％),

必要性:

若M,N,F三點(diǎn)共線，可設(shè)直線MNH=MX-√I)即乙一y-Qfc=o,

由直線W與曲線χ2+∕=l(x>0)相切可得^3==1,解得％=±1,

√P7T

蚱±卜-0)3&

3

聯(lián)立丫2可得4.d-6??∕Σχ+3=0,所以X]+/=，再

-+V2=124

3

所以MM=Tmja+/)?-4%?=√3,

所以必要性成立；

充分性：設(shè)直線MN:y=Ax+6,(Z?vθ)即區(qū)一y+b=O,

由直線MN與曲線χ2+∕=i(χ>o)相切可得評==ι

所以〃=公+1,

√左÷1

y=kx+h

聯(lián)立χ22可得(l+3∕)χ2+6岫x+3∕-3=0,

.τ+j,'=

3?2-3

所以占+X2=_］：；?,,x∣-X=

21+3公

-4.^4

所以阿NI=Jl+/.而1+x2

1+3-2

=G,等=G

化簡得3(公_1)2=0,所以k=±l,

所以直線MM過點(diǎn)F(√Σ,O),M,N,F三點(diǎn)共線，充分性成立;

所以M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件是IMNI=√L

變式訓(xùn)練1：已知平面內(nèi)兩點(diǎn)E(-√Σ,O),瑪(√Σ,0),動點(diǎn)P滿足：∣P周+∣PE∣=2G.

⑴求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；

⑵設(shè)M,N是軌跡C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線—+∕=1(x>0)相切.證明：M,N,乙三點(diǎn)共線的充要條

件是IMNI=√L

【答案】⑴二+/=1；(2)證明見解析.

3

解析：⑴因?yàn)镮尸片∣+∣Pgl=2√J>I片6.

所以點(diǎn)P的軌跡是以片,行為焦點(diǎn)的橢圓，

其中2a=2y∣3,c=?j2,b2=1,

所以軌跡C的方程為［+V=L

⑵當(dāng)直線MN的斜率不存在時，直線腦V：x=l,不合題意；

當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)M(xl,yt),N(x2,y2),

必要性：

若”,M層三點(diǎn)共線，可設(shè)直線MN:V=MX-0),即於-y-√∑A=O,

由直線AW與曲線f+∕=l(χ>0)相切可得=解得4=±1,

√?2+l

y=±(x-M

聯(lián)立{f可得4χ2-6>∕Σr+3=0,所以x∣+w=-----,x∣X2=~

-+y^=1，24

2

所以IMNI=√Γ+T?1∕(XI+X2)-4X1?X2=√3,

所以必要性成立；

充分性:

????MN-.y=kx+b,{kb<0)即Ax-y+∕>=0,

由直線.與曲線小人心>。)相切可得泥τ=∣,所以

y=kx+h,

聯(lián)立χ22可得(1+3公卜2+6奶X+3∕-3=0,

,T+?v=L

6kb3?2-3

所以x∣+x=-

21+3/-T+5P^,

所以|四川=41+/-)》|+%2)2-4*|*2=J+獷JF］胃J-4.：；36=N+卜.

化簡得3(F-I)2=0,所以《=±1,

∣-??∕ζ=-l

所以〃c--√Σ或lb-√Σ'所以直線mγ:尸x-√Σ或y=r+√Σ'

所以直線九W過點(diǎn)尸(√F,0),M,N,乙三點(diǎn)共線，充分性成立;

所以M,N,乙三點(diǎn)共線的充要條件是IWNI=√L

變式訓(xùn)練2：已知橢圓C的方程為捺+]?=l(α>6>0),長軸長為2√J,且離心率為牛

⑴求圓C的方程；

(2)過橢圓C上任意一點(diǎn)A作兩條直線，與橢圓的另外兩個交點(diǎn)為M,N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線和直

線/N的斜率存在且分別為勺和/.證明：M,O,N三點(diǎn)共線的充要條件是￡?&=-3.

2

【答案】⑴三+/=1；⑵證明見解析

3

解析：⑴由題意得：2a=2y∕i,e=—=,所以a=6,c=√2,又b。=/—,2=ι,

a3t

所以橢圓的方程為E+/=L

3

⑵必要性：若M,O,三點(diǎn)共線，不妨設(shè),-必)，

NM(X