海倫公式的證明

證明（1）與海倫在他的著作"Metrica"(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對(duì)角分別為A、B、C，則余弦定理為cosC=(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]設(shè)p=(a+b+c)/2則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]證明（2）我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣，其實(shí)在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實(shí)際丈量土地面積時(shí)，由于土地的面積并不是的三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”。秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個(gè)數(shù)小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè)。相減后余數(shù)被4除馮所得的數(shù)作為“實(shí)”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。所謂“實(shí)”、“隅”指的是，在方程px2=qk,p為“隅”，q為“實(shí)”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4[c2a2-(c%|2+a2-b2/2)2]當(dāng)P＝1時(shí)，△2＝q,S△=√{1/4[c2a2-(c2+a2-b2/2)2]}因式分解得1/16[(c+a)2-b2][b2-(c-a)2]=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=1/2(a+b+c)這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。S=c/2*根號(hào)下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^.其中c>b>a.根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運(yùn)算。如下題：已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積這里用海倫公式的推廣S圓內(nèi)接四邊形=根號(hào)下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p為周長一半，a,b,c,d,為4邊）代入解得s=8√3證明（3）在△ABC中∠A、∠B、∠C對(duì)應(yīng)邊a、b、cO為其內(nèi)切圓圓心，r為其內(nèi)切圓半徑，p為其半周長有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2∴r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2=ptanA/2tanB/2tanC/2=r∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)=p(p-a)(p-b)(p-c)∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)補(bǔ)充：余弦定理：對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a,b,c三角為A,B,C，則滿足性質(zhì)——(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。)a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc余弦定理的證明平面向量證法：∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線代表兩個(gè)鄰邊大?。郼·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)（以上粗體字符表示向量）又∵Cos(π-θ)=-CosC∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：這里用到了三角函數(shù)公式）再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。平面幾何證法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所對(duì)的邊為c，∠B所對(duì)的邊為b，∠A所對(duì)的邊為a則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根據(jù)勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^