2023-2024學年上海市天虹區(qū)高一年級下冊期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題

2023-2024學年上海市天虹區(qū)高一下冊期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題

一、填空題

0re-

1.已知Sina=-4，[f，則Sinla-I

【正確答案】-撞

5

【分析】利用誘導公式與平方和關系求解即可.

【詳解】因為二所以CoSa=JI-Sin,所以sin[α-?^)=-CoSa=-冬^

故一述

5

2.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z=」+疝是實數(shù)，則實數(shù)次的值為________.

2+1

【正確答案】∣∕0.2

【分析】先化簡復數(shù)z,然后根據(jù)虛部為O可得.

I2-i2-i2(l?

【詳解】因為z=57?+機i=E可口刁+加1=丁+'訂=1+〔機-^/為實數(shù)，

所以“一(二0，所以"

W

3.向量。=(3,4)在向量8=(-1,0)方向上的投影為.

【正確答案】-3

【分析】由向量投影公式直接求解即可得到結(jié)果.

a?b—3

【詳解】向量。在〃方向上的投影為討=丁=-3.

故答案為.-3

5JT

4.在^ABC中，若AB=3,NB=二it,ZC=-,則BC=

124

【正確答案】還

2

【分析】由三角形內(nèi)角和求得A,然后由正弦定理求得BC.

TT

【詳解】由三角形內(nèi)角和定理可得：A=兀-B-C=亍,

因為C=AB=3,a=BC,

由正弦定理可得一g—=—J=〃=包工=婭，

sinAsinCsinC2

故答案為.婭

2

5.已知復數(shù)Z滿足z?（2Tp=2+i（i為虛數(shù)單位）,則IZI=.

【正確答案】^∕∣√5

55

【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算化簡求得復數(shù)z,然后求模.

2+i2+i(2+i)(3+4i)211.

【詳解】z^(2-i)2^3-4i^(3-4i)(3+4i)^25+251,所以IZl=

6.方程cos2x-Sinx=O在區(qū)間［θ,2π］上的所有解的和為.

【正確答案】彳54/；5乃

22

【分析】利用倍角余弦公式得到關于SinX的一元二次方程求解，由正弦函數(shù)值求盯即可得結(jié)果.

【詳解】由cos2x—Sinx=。，BP1-2sin2x-sinx=0,解得SinX=—1或SinX=/,

?[θ,2πl(wèi),當sinx=-l時X=①，當SinX=L時X=C或X=型，

lj2266

所以所有解的和為當.

2

,b=，且allb，貝!ltanαr=

【正確答案】1

【分析】由向量平行的坐標表示，結(jié)合同角三角函數(shù)關系和商數(shù)關系可得.

_ɑ,.E、11?31.SinaCoSatana

【詳a解ti】因為〃〃》，所以7χ;;=SmaCos。=-?----------=—；——-=>tana=11.

?2c?E"c-LCCC/XVton4xv?1

故答案為：1.

8.在AABC中，邊a,b,C滿足a+0=8,NC=I20。，則邊C的最小值為.

【正確答案】4石

［分析］利用基本不等式ah<(?)2和結(jié)合余弦定理即可求解C的最小值.

【詳解】由余弦定理可得

c2=a1+h'-IahcosC=(α+?)2-2ah+ab64=48當且僅當a=6時，即α=b=4取等號，

所以C24√L

故答案為.4月

9.在直角三角形ABC中，AB=5,AC=12,8C=13,點M是，ABC外接圓上的任意一點，則ABSM

的最大值是.

【正確答案】45

【分析】建立平面直角坐標系，用圓的方程設點M的坐標，計算A8?AM的最大值.

ABC外接圓(x--∣)2+(y-6)2=~^~，

設Λ∕(*+上CoS6,6+—sin0),

222

則AM=(*+Ucose,6+—sin0),

222

AB=(5,0),AB?AΛ∕=y+yCθs0,,45,當且僅當CoSe=I時取等號.

所以AB?AM的最大值是45.

故45.

10.在銳角三角形ABC中，CoSA=冬∣8C∣=&,點0為"BC的外心，貝中OA+208+。Cl的取

值范圍為.

【正確答案】[3-技3+6]

【分析】三角形外接圓的性質(zhì)、正弦定理得ZBOC=二、40B=至-28,ZAOC=2B,R=I,利

22

用向量數(shù)量積的運算律轉(zhuǎn)化求∣30A+208+OC?.

【詳解】?iOA+2OB+OCj=9OA2+4。/+θc"+?IOAOB+60A-OC+AOB-OC,

因為銳角三角形中8SA邛,所以A=；,OOC吟,

所以4。8=孚-28,ZAoC=2B,又2R=-^-=2,即R=I,

2sinA

則∣30A+20B+OCj=14+6(CoS2B_2sin2B)=14+6√5cos(2B+φ)且tan夕=2,

則∣30A+WB+0C∣2∈[14-6√5,14+6√5J,即RoA+2OB+OCk13-遙,3+6].

故[3-6,3+√Γ∣

TT

11.如圖所示，在直角梯形ABCO中，已知4)〃BC,ZABC=-,AB=AQ=I,BC=2,M為BD

的中點，設P、Q分別為線段A8、CQ上的動點，若尸、M、。三點共線，則AQCP的最大值為一.

【正確答案】-2

【分析】建立直角坐標系，設尸(0，相)，^e[0,l],由P、M、。三點共線，設

UUirUUllUir(??A2_%”

BM=λBQ+(?-λ)BP=(2λ-λk,λk+m-λn)=?,求得代入計算知

l<22)2m+2

AQCP=∣-?-(wi+1)-2,構(gòu)造函數(shù)/(M=:?-(n!+1)-2,∕n∈[O,l],結(jié)合函數(shù)的單調(diào)

性求得最值.

【詳解】如圖所示，建立直角坐標系，則8(0,0),C(2,0),Λ(OJ),D(1,l),M

又。是線段CO上的動點，設CQ=kCD,k≡[0,}]

UlULILUUlUl

則BQ=BC+kCD=(2,0)+Λ(-l,1)=(2-k,k),可得。(2一左,2)

設P(0,m),∕n∈[O,l],

UUirUllnUir

由尸、M、Q三點共線，設JBM=2BQ+(1-4)5P=(24—∕IZ,>U+機一力n)=

2%—λk=—,λk,+m—λ,ιn——.

22

利用向量相等消去2可得：上=三”，

2m+2

UuIlUir2-3m5「1

AQCP=(2-k,?-1)?(-2,?n)=-4+2?+w?-m=-4+(2+∕n)×----:------m=----------(機+1)-2

2∕n÷22|_加+1_

令/(M=4JT-(機+1)-2,w∈∣O,l],則/(⑼在，〃W∣O,1]上單調(diào)遞減，

故當機=O時，A⑼取得最大值F(O)=-2

故-2

方法點睛：本題考查向量的坐標運算，求解向量坐標運算問題的一般思路:

向量的坐標化：向量的坐標運算，使得向量的線性運算可用坐標進行，實現(xiàn)了向量坐標運算完全代數(shù)

化，將數(shù)與形緊密的結(jié)合起來，建立直角坐標系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)數(shù)量運算，考查學生的邏輯思

維與運算能力，屬于較難題.

12.設函數(shù)/(x)=4s%"q[(<y>0,4>0),x∈[0,2τ],若/(x)恰有4個零點，.

則下述結(jié)論中：

①若/(x0)≥/(x)恒成立，則?的值有且僅有2個;

②/(x)在°，歷上單調(diào)遞增；

③存在。和4,使得”為)≤?(?)≤/(?,+g對任意xe[0,2可恒成立;

④“AN1”是“方程/(x)=-：在[0,2m內(nèi)恰有五個解”的必要條件.

所有正確結(jié)論的編號是

【正確答案】①③④

≡￡，次)逐一判斷

根據(jù)條件畫出“x)=A"〃如一目0>0,心0)4[0,2句的圖像，結(jié)合圖像和。

即可.

TrIW7J\

【詳解】“X)恰有4個零點，???3萬≤29-m<4τ,.?.0∈—,函數(shù)的圖像如圖:

OL"12；

①如圖，即/(x)=A有兩個交點，正確：

②結(jié)合右圖，且當G=三時，/(x)在0,—遞增，錯誤；

Γ1925ATπ<1212"

[1212)2G(2519J

Tef?7r,W7r，???存在/(x∣)為最小值，郊王+g]為最大值，正確；

④結(jié)合右圖，若方程/(X)=W在[0,2司內(nèi)恰有五個解，需滿足”0)≤-;,即A≥l,同時結(jié)合左圖,

當A≥l,/(x)=-g不一定有五個解，正確.

故①③④.

本題考查了三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，屬于難題.

二、單選題

13.己知2∈C,則"z為純虛數(shù)”是“z+W=O”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義判斷充分性，再舉反例判斷必要性即可

【詳解】由題意，Z為純虛數(shù)則設z=bi0∈R,bHθ）,則z+[=6i-6i=0;

當z+』=O時，Wz=z=0,則Z為純虛數(shù)不成立.故“Z為純虛數(shù)”是“z+z=0”的充分非必要條件

故選:A

14.已知頂點在原點的銳角α,始邊在X軸的非負半軸，始終繞原點逆時針轉(zhuǎn)過。后交單位圓于

「（-；,〉），則Sina的值為（）

?2√2-√3β2√2+√3C2√6-ln2√6+l

6666

【正確答案】B

【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出CoS（C+?）=-；,然后湊角結(jié)合兩角差的正弦公式求出

Sin1.

TT1

【詳解】由題意得cos（a+1）=-§（a為銳角）

:α為銳角，.*.?<a+—<—,Λsin（α+—）>O

3363

./Tt.2..7ΓTC

=Sln（a+—）=-----=>sιnɑ=sιn（a+—）x——

3333

故選：B

15.某港口某天O時至24時的水深>（米）隨時間X（時）變化曲線近似滿足如下函數(shù)模型

y=0.5sin"x+.]+3.24（。>0）.若該港口在該天O時至24時內(nèi)，有且只有3個時刻水深為3米,

則該港口該天水最深的時刻不可能為（）

A.16時B.17時C.18時D.19時

【正確答案】D

【分析】本題是單選題，利用回代驗證法，結(jié)合五點法作圖以及函數(shù)的最值的位置，判斷即可.

【詳解】解：由題意可知，X=O時，y=0.5sin"x0+￡|+3.24=3.49,

由五點法作圖可知：如果當x=16時，函數(shù)取得最小值可得：16Wr+g=孚，可得〃=二，

6248

此時函數(shù)y=0?5sin（W■乃x+g]+3.24,函數(shù)的周期為：T-萬7一亍"∣

1486j48

該港口在該天0時至24時內(nèi)，有且只有3個時刻水深為3米，滿足，

TT5乃7

如果當X=I9時，函數(shù)取得最小值可得：19Wr+J=—,可得。=5，

2^-114

此時函數(shù)y=0?5SinKG+高+3.24,函數(shù)的周期為:

衛(wèi)一7,

~51

x=24時，y=0.5sin?×24÷?j+3.24>3,如圖：

該港口在該天0時至24時內(nèi)，有且只有3個時刻水深為3米，不滿足,

故選：D.

本題考查三角函數(shù)的模型以及應用，三角函數(shù)的周期的判斷與函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及

數(shù)形結(jié)合思想的應用，是難題.

16.設H是.ABC的垂心，且3H4+448+5HC=0，貝IJCoSNB"C的值為（）

?√30r√5r√6n√70

105614

【正確答案】D

【分析】由三角形垂心性質(zhì)及已知條件可求得I4q=w五，wq=F,由向量的夾角公式即可求

解.

【詳解】由三角形垂心性質(zhì)可得，HA-HB=HBHC=HCHA，不妨設

HA?HB=HBHC=HCHA=X，

?；3HA+4HB+5HC=0,

?-2

??3HAHB+4HB+5HC?HB=5

.?.?HB?=4?^,同理可求得Wq=

HBHC√70

∕βcosZBHC=

?HB??HC??-

故選：D.

本題考查平面向量的運用及向量的夾角公式，解題的關鍵是由三角形的垂心性質(zhì)，進而用同一變量表

示出IH同,舊4,要求學生有較充實的知識儲備，屬于中檔題.

三、解答題

17.己知關于X的實系數(shù)一元二次方程χ2+"a+9=0.

(1)若復數(shù)Z是該方程的一個虛根，且國+W=4-20i,求機的值；

⑵記方程的兩根為4和巧，若上一々|=26，求利的值.

【正確答案】(1)一2

(2)±2√6^±4√3

【分析1(1)利用IZf=Z二，結(jié)合韋達定理可求解.

(2)分討論方程的兩根為實根還是虛數(shù)根兩種情況討論，結(jié)合韋達定理可求解.

【詳解】(1)解：因為M=ZS=9,所以∣z∣=3,因為∣z∣+Z=4-20i,所以2=J20i,

所以z=l+2j5i,由韋達定理可得-相=z+z=2,所以，〃=—2；

2

(2)解：若方程的兩根為實數(shù)根，則∣x,-x2∣=y∣(^xl+x2)-4xlx2=Jm?-36=2石,

解得m=+4?∣3>

若方程的兩根為虛數(shù)根,則設再…歷,x2=a-bi,a,beR,可得歸-引=國=2百,

2

則%=α+√?,X2=a-&,Λ1X2=?+3=9,所以"=6,所以α=±",

由韋達定理可得—，〃=%+々=±2遙，所以?7=±2

此時A=一36<0,滿足題意，

綜上，m=±2?[β或±4>∕3

….?.≡(?/?sin?CoSX-SinX),`P皿“、

18.已知I可量加=---,---------,n=?2cosx,sinx÷cosx),函數(shù)/(x)=m?".

(i)求函數(shù)y=∕(χ)的嚴格減區(qū)間與對稱軸方程;

7Γ2TT、，r-,,、.rJ兀π）

⑵若、€丁丁,關于X的方程小+機（兒+l）SinX=4（∕UR）恰有三個不同的實數(shù)根x∣,Xi與

6

求實數(shù)2的取值范圍及占+與+鼻的值.

【正確答案】（1）7+^π<~+^π,ZeZ；X=]+"，keZ

O3J62

⑵[宕+1,3）,?

【分析】（1）由數(shù)量積的坐標表示求得F0）,結(jié)合正弦函數(shù)的基準減區(qū)間和對稱軸求得AX）的嚴格減

區(qū)間和對稱軸；

2-1

(2)方程化簡得SinX=I和SinX=-^―,由正弦函數(shù)性質(zhì)和，的范圍，同時得出4和々+工3,求得結(jié)

論.

【詳解】(1)?(x)=w?n=?/?sinxcosx+C°S^λ?s^n?

√3.??l??心上叫

=——s?n2%+—cos2x=s?n2x+-

22I6j

-+2kπ<2x+-<-+2kπ,^-+kπ<x<-+kπ,

26263

42x+∣=→?π,解得x=∕g,

π2TT

所以函數(shù)的嚴格減區(qū)間為-+kπ,-+kπ,ZeZ,

O3

對稱軸方程為X=?+"AeZ;

62

(2)/1x+∕)=Sin(2%+5)=COS2x=l—2sin?x,

BPl-2sin2x+(Λ÷l)sinx=Λ,形為2sinz%—(丸+1)SinX+2—1=(),

所以[2$也％_(4_1)](5由1_1)=0,

當~'∑9~T'SinX-I=O有一個解，不妨設為Xl=

則2sinx-(4-l)=0,即SinX=U有不同于X=Jf的兩個解，

π2π「1

因為Xe,所以y=sinxe--,1,

632

且在Xe-7,7上V=Sinx嚴格遞增，在Xe上y=sinx嚴格遞減，

_O2Jl_2J_

要想SinX=與!有不同于占=]的兩個解，則甘C與C，解得4e[G+l,3）,

此時SinX=A”的兩根關于X=]對稱，則超+看=兀，

所以X]+x2+xi=岑.

19.近年來,為“加大城市公園綠地建設力度,形成布局合理的公園體系”,許多城市陸續(xù)建起眾多“口袋公

園”、現(xiàn)計劃在一塊邊長為200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公園”、如圖所示,以瓦■中

點A為圓心,FG為半徑的扇形草坪區(qū)ABC,點尸在弧BC上（不與端點重合）,AB,弧BC、CA.PQ、

PR、R。為步行道,其中尸。與AB垂直,PR與AC垂直.設//5AB=6.

（1）如果點P位于弧BC的中點,求三條步行道PQ、PR、RQ的總長度；

（2廣地攤經(jīng)濟”對于“拉動靈活就業(yè)、增加多源收入、便利居民生活”等都有積極作用.為此街道允許在步

行道PQ.PR、RQ開辟臨時攤點,積極推進“地攤經(jīng)濟”發(fā)展,預計每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟效益分別為每米5

萬元、5萬元及5.9萬元.則這三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟總效益最高為多少？（精確到1萬元）

【正確答案】（D200+1008（米）

(2)2022萬元

【分析】（1）根據(jù)圖依次求出三條線段長度即可求出總長度；

（2）將PQ、PR、RQ三邊通過圖中的關系用關于6的等式表示,再記經(jīng)濟總效益W,將卬進行表示,通過

輔助角公式化簡求出最值即可.

【詳解】（1）解:由題AC=200,EA=IOOEC=lθθ6,

.?.NE4C=1,同理.?.ZMB=∣,故NBAC=1，

由于點P位于弧BC的中點,所以點P位于484C的角平分線上，

則IPQlTPRl=IpAI?sinNPAB=200XSin巴=Io0,

/?

IAQl=IAPlCOSNPAB=200×^-=l00√3,

因為NBAC=I,kα=kR=100g,

所以ARQ為等邊三角形，

則IRa=IAa=Ioo6,

因此三條街道的總長度為∕=∣PQl+1PM+1RQI=IoO+1OO+1OO√5=2OO+1OOG(米).

EAF

(2)由圖可知IPQl=IAPlSine=200sin6,

IPRl=IAPkine_9)=200sin(g-e)=100石CoSe-IooSin?,

HQ=IAHCOSe=200CoS。，

IARl=IAPlCOSC-e)=200cos仁-6)=1OOcos6+100√3sin6?,

在，ARQ中由余弦定理可知：

|RQ『=∣A02+∣AR∣2-2|AaIARlCOSm

=(200CoSe)-+(100COSe+100GSine)

-2×200COSe(IOOcosθ+10073sin4cos?

=30000,

則IRQl=IoO

設三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟總效益卬,則

W=QPa+1PRDX5+1RQIX5.9

=(200sinθ+100√3cos(9-IOOsin6>)×5+59θg

=1000sin(<9+∣)+590√3,

當sin[e+撲I即a.時W取最大值,

最大值為IOOo+59θ6N2022.

答:三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟總效益最高約為2022萬元.

20.在平面直角坐標系中A(LO),8(0,1),設點2,…,Ei是線段A5的〃等分點，其中〃eN,n≥2.

(1)當”=3時，使用OA,OB表示。勺，OP2；

⑵當”=2023時，求Iop+。舄++02」|的值；

(3)當"=IO時，^OPi(θPi+OPj](1≤Z,j≤n-l,i,JeN)的最小值.

21i2

【正確答案】⑴04=#+產(chǎn)，OP2=-OA+-OB

(2)2022√2

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運算求解；

(2)根據(jù)向量的坐標運算求解；

(3)據(jù)向量的坐標運算可得陽器+陰)=('-"+；；⑸+100,結(jié)合函數(shù)分析求解.

UiniUUrUUlnUir；ιιιιιUUr；zuuπuur?(；?uur；uuπ

【詳解】(1)由題意可得：OPi=OA+APi=OA+-AB=OA+-(OB-OA]=?1一一?OA+-OBf

nnJn

2I12

當〃=3時，所以Oq=+OP2=-OA+-OB.

UUIIlUI

(2)因為A(l,0),3(0,1),貝IJOA=(1,0),03=(0,1),

Uinn(；λUir；uuπ(；；\

由(1)可得：Oe=I__O4+_OB=I--,一,

?n)nVnn)

(2023-/i、

當”=2023時，則OC=Er,淅，i=l,2,…

2022+2021++11+2++2022

所以。6+。鳥++。月

2023，2023

因為∣+2++2四些一32,

所以+06++OPnJl=(2022,2022),

UUlTUUUUl'II-------------------_

+OP+-+OP22

F1nA=√2022+2022=2022√2.

20PJ=IO-JJ}

(3)當〃=10時，OP,=?'?)'10'IoJ

nunUUtr10-，10—/ij∕√-5∕-5y÷50

可得。牛0弓=ioxio+IoxTδ^50~

。展(鈉+(〉b

0Pι(0Pi+0Pj]=0P"+0Pl0Pj=產(chǎn)-10i+50+；；—5f+50=(i-5)C5i+100

構(gòu)建M(Z)=(T)尸丁5川00,

①當，?=6,7,8,9時，Q(…⑴=(T"+”"i+-=-*,

'Jv75050

可得當i=7時，上式有最小值六；

25-75+100

②當i=5時,MO)==1,

50

③當』，2,3,4時，Λφ"M(9)=(T)?9+/-⑸+K)0j=6i+55,

23

可得當i=3時，上式有最小值券;

綜上所述：OP、-(0Pi+OPi)的最小值為!j.

21.對于函數(shù)y=∕(x),x∈R,如果存在一組常數(shù)4,，2,…，4(其中左為正整數(shù),且0=4<，2<<4)

使得當X取任意值時，?∕(χ+r,)+∕(χ+r2)++/(χ+f*)=O則稱函數(shù)y="χ)為"級周天函數(shù)”.

⑴判斷下列函數(shù)是否是“2級周天函數(shù)”，并說明理由：①_/；(X)=Sinx；②人(X)=X+2；

(2)求證：當(υ=3"+2(,zWZ)時，g(x)=cos(ftw)是“3級周天函數(shù)”；

(3)設函數(shù)〃(x)=a+3cos2x+ccos5x+dcos8x,其中6,c,d是不全為0的實數(shù)且存在m∈R,使得

Λ(∕n)=4ɑ,證明：存在“eR,使得/?(〃)<().

【正確答案】⑴工(x)是，力(6不是；理由見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)令4=0,L=兀，然后化簡，根據(jù)定義可知;

兀

(2)令4=0,%=三2，4=4與Ti，然后化簡，從而得證;

(3)若。＜0,則Mm)=①＜。，取〃=加，則人(〃)