2024版新教材高考數(shù)學總復習：高考大題研究課十一概率與統(tǒng)計的綜合問題

高考大題研究課十一概率與統(tǒng)計的綜合問題

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一離散型隨機變量的均值與方差

例1[2023?安徽皖江名校聯(lián)考]國慶節(jié)期間，某大型服裝團購會舉辦了一次“你消費我

促銷”活動，顧客消費滿300元(含300元)可抽獎一次，抽獎方案有兩種(顧客只能選擇其中

的一種).

方案一：從裝有5個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球1個，黑球4個)的抽獎盒中，

有放回地摸出3個球，每摸出1次紅球，立減100元.

方案二：從裝有10個形狀，大小完全相同的小球(其中紅球2個，白球1個，黑球7個)

的抽獎盒中，不放回地摸出3個球，中獎規(guī)則為：若摸出2個紅球，1個白球，享受免單優(yōu)

惠；若摸出2個紅球和1個黑球則打5折；若摸出1個紅球，1個白球和1個黑球，則打7.5

折；其余情況不打折.

(1)某顧客恰好消費300元，選擇抽獎方案一，求他實付金額的分布列和期望；

(2)若顧客消費500元，試從實付金額的期望值分析顧客選擇何種抽獎方案更合理？

題后師說

離散型隨機變量的均值與方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機變量的分

布是特殊類型，還是一般類型，如二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型：二是定性，對于

特殊類型的均值和方差可以直接代入相應公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應先求其

分布列再代入相應公式計算，注意離散型隨機變量的取值與概率的對應.

鞏固訓練1

[2023?河北邢臺模擬]全民國防教育日是每年9月的第三個星期六，它是國家設(shè)定的對

全民進行大規(guī)模國防教育的主題活動日.目的是弘揚愛國主義精神，普及國防教育，使全民

增強國防觀念，掌握必要的國防知識和軍事技能，自覺履行國防義務(wù)，關(guān)心、支持、參與國

防建設(shè).為更好推動本次活動開展，某市組織了國防知識競賽.比賽規(guī)則：每單位一名選手

參加，比賽進行〃輪(〃6N*),每輪比賽選手從1組題或8組題中抽取一道回答.每選手必須

先回答4組題，若答對則下一輪回答6組題，若答錯回答4組題.答對/組一題得10分，否

則得0分，答對6組一題得20分，否則得0分，〃輪結(jié)束累加總分.已知某單位擬選派甲乙

中一人參賽，且甲答對A組題概率為0.8,答對6組題概率為0.5,乙答對A組題概率為0.5,

答對8組題概率為0.8,且每人答對每道題相互獨立.問：

(1)若比賽僅進行兩輪，則安排甲乙誰參賽更合適？

(2)若安排甲選手參賽，求第四輪甲恰好回答8組題的概率.

題型二概率與統(tǒng)計圖表的綜合

例2[2023?安徽馬鞍山模擬]某廠生產(chǎn)4,6兩種產(chǎn)品,對兩種產(chǎn)品的某項指標進行檢測,

現(xiàn)各抽取100件產(chǎn)品作為樣本，其指標值的頻率分布直方圖如圖所示：以該項指標作為衡量

產(chǎn)品質(zhì)量的標準，

(注：4攵益率=總投資額,

等級一等品二等品三等品

指標值R介140120《水140欣120

2

產(chǎn)品收益率PVP

(D求a的值；

(2)將頻率分布直方圖中的頻率近似看作概率，用樣本估計總體.

①從產(chǎn)品6中隨機抽取3件，求其中一等品件數(shù)才的分布列及數(shù)學期望；

②在總投資額相同的情況下，若全部投資產(chǎn)品4或產(chǎn)品反試分析投資哪種產(chǎn)品收益更

大.

題后師說

概率與統(tǒng)計圖表的綜合主要以頻率分布直方圖、扇形圖、折線圖為載體，考查樣本的頻

率分布、樣本特征數(shù)以及概率的計算，往往和實際問題相結(jié)合，要注意理解實際問題的意義，

使之和相應的概率計算對應起來，只有這樣才能有效地解決問題.

鞏固訓練2

[2023?河北滄州模擬]2022年冬季奧林匹克運動會主辦城市是北京，北京成為第一個舉

辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會以及亞洲運動會三項國際賽事的城市！為迎

接冬奧會的到來，某地很多中小學開展了模擬冬奧會賽事的活動，為了深入了解學生在“自

由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地隨機選取了10所學校進行研究，得

到如下數(shù)據(jù)：

(1)在這10所學校中隨機選取3所來調(diào)查研究，求這3所學校參與“自由式滑雪”都超

過40人的概率；

(2)“單板滑雪”參與人數(shù)超過45人的學?？梢宰鳛椤盎貙W?！?，現(xiàn)在從這10所學校

中隨機選出3所，記才為選出可作'‘基地學?！钡膶W校個數(shù)，求片的分布列和數(shù)學期望；

(3)現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓營，對“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個動作技巧進行集訓，

且在集訓中進行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)

秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”.在集訓測試中，小明同學3個動作中每個動作達到“優(yōu)秀”

的概率均為點每個動作互不影響且每輪測試互不影響.如果小明同學在集訓測試中要想獲得

“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達到5次，那么理論上至少要進行多少輪測試？

題型三概率與回歸模型的綜合

例3[2023?黑龍江哈爾濱模擬]2022年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵市民接種第三針

新冠疫苗.某市統(tǒng)計了該市4個地區(qū)的疫苗接種人數(shù)與第三針接種人數(shù)(單位：萬)，得到如

下表格：

/區(qū)6區(qū)。區(qū)〃區(qū)

疫苗接種人數(shù)力萬681012

第三針接種人數(shù)W萬2356

(1)請用相關(guān)系數(shù)說明y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求y關(guān)于x的經(jīng)驗回

歸方程9=白+6x(若|r]20.75,則線性相關(guān)程度很高，可用直線擬合).

(2)若力區(qū)市民甲、乙均在某日接種疫苗，根據(jù)以往經(jīng)驗，上午和下午接種疫苗分別需等

待20分鐘和30分鐘，已知甲、乙在上午接種疫苗的概率分別為0、3p-2(!<p<l),且甲、

乙兩人需要等待時間的總和的期望不超過50分鐘，求實數(shù)p的取值范圍.

題后師說

求解概率與回歸模型的綜合問題時，一要正確運用回歸模型有關(guān)的公式和數(shù)據(jù)計算，二

要注意概率模型的應用，明確所求問題所屬的事件類型是關(guān)鍵.

鞏固訓練3

[2023?廣東東莞模擬]《中共中央國務(wù)院關(guān)于全面推進鄉(xiāng)村振興加快農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化的

意見》，這是21世紀以來第18個指導“三農(nóng)”工作的中央一號文件.文件指出，民族要復興，

鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場.為了

對該產(chǎn)品進行合理定價，用不同的單價在平臺試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

單價x(元/件)88.28.48.68.89

銷量y(萬件)908483807568

(D(i)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；

(ii)若該產(chǎn)品成本是7元/件，假設(shè)該產(chǎn)品全部賣出，預測把單價定為多少時，工廠獲得

最大利潤.

(2)為了解該產(chǎn)品的價格是否合理，在試銷平臺上購買了該產(chǎn)品的顧客中隨機抽了400

人，閱讀“購買后的評價”得知：對價格滿意的有300人，基本滿意的有50人，不滿意的有

50人.為進一步了解顧客對該產(chǎn)品價格滿意度形成的原因，在購買該產(chǎn)品的顧客中隨機抽取

4人進行電話回訪，記抽取的4人中對價格滿意的人數(shù)為隨機變量X,求隨機變量X的分布列

和數(shù)學期望.(視頻率為相應事件發(fā)生的概率)

題型四概率與獨立性檢驗的綜合

例4[2023?重慶八中模擬]2022年卡塔爾世界杯于11月20日開賽，某國家隊為了考察

甲球員對球隊的貢獻，現(xiàn)作如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計：

球隊勝球隊負總計

甲參加30b60

甲未參加C10f

總計60en

(1)根據(jù)小概率值a=0.025的獨立性檢驗，能否認為該球隊勝利與甲球員參賽有關(guān)聯(lián)？

(2)根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲球員能夠勝任前鋒、中場、后衛(wèi)三個位置，且出場率分別為：

0.1,0.5,0.4；在甲出任前鋒、中場、后衛(wèi)的條件下，球隊輸球的概率依次為：0.2,0.2,

0.7,則；

①當甲參加比賽時，求該球隊某場比賽輸球的概率；

②當甲參加比賽時，在球隊輸了某場比賽的條件下，求甲球員擔當中場的概率；

③如果你是教練員，應用I概率統(tǒng)計有關(guān)知識，該如何使用甲球員？

附表及公式：

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

X2_n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

題后師說

求解概率與獨立性檢驗的綜合問題時，一要根據(jù)公式計算準確，二要注意概率模型的應

用，明確所求問題所屬的事件類型是關(guān)鍵.

鞏固訓練4

[2023?河北石家莊模擬]我國政府加大了對全民閱讀的重視程度，推行全民閱讀工作，

全民閱讀活動在全國各地蓬勃發(fā)展，活動規(guī)模不斷擴大，內(nèi)容不斷充實，方式不斷創(chuàng)新，影

響日益擴大，使我國國民素質(zhì)得到了大幅度提高.某高中為響應政府號召，在寒假中對本校

高三800名學生(其中男生480名)按性別采用分層抽樣的方法抽取200名學生進行調(diào)查，了

解他們每天的閱讀情況.

每天閱讀時間低于1h每天閱讀時間不低于1h總計

男生60

女生20

總計200

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成2X2列聯(lián)表；

(2)根據(jù)(1)中的列聯(lián)表，判斷能否有99.9%的把握認為該高中高三學生“每天閱讀時間

低于1h"與“性別”有關(guān)？

(3)若從抽出的200名學生中按“每天閱讀時間是否低于1hn采用分層抽樣抽取10名

學生準備進行讀寫測試，在這10名學生中隨機抽取3名學生，記這3名學生每天閱讀時間不

低于1人的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望E(X).

n(ad-bc)2

附：X2_n=a+b+c+d

a0.1000.0500.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

題型五概率與函數(shù)、不等式、數(shù)列的綜合

例5[2023?遼寧大連模擬]某網(wǎng)絡(luò)科技公司在年終總結(jié)大會上，為增添喜悅、和諧的氣

氛，設(shè)計了闖關(guān)游戲這一環(huán)節(jié)，闖關(guān)游戲必須闖過若干關(guān)口才能成功.其中第一關(guān)是答題，

分別設(shè)置“文史常識題”“生活常識題”“影視藝術(shù)常識題”這3道題目，規(guī)定有兩種答題

方案：

方案一：答題3道，至少有兩道答對；

方案二：在這3道題目中，隨機選取2道，這2道都答對?.

方案一和方案二中只要完成一個，就能通過第一關(guān).假設(shè)程序員甲和程序員乙答對這3

道題中每一道題的概率都是p（pe（O,1））,且這3道題是否答對相互之間沒有影響.程序員

甲選擇了方案一，程序員乙選擇了方案二.

（1）求甲和乙各自通過第一關(guān)的概率；

（2）設(shè)甲和乙中通過第一關(guān)的人數(shù)為是否存在唯一的P的值P。，使得E（g）=1?并

說明理由.

題后師說

在概率與統(tǒng)計的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字或有關(guān)概率.決策方案的最佳選擇是

將概率最大（最小）或均值最大（最?。┑姆桨缸鳛樽罴逊桨?，這往往借助于函數(shù)、不等式或數(shù)

列的有關(guān)性質(zhì)去實現(xiàn).

鞏固訓練5

[2023?福建廈門模擬]某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽

車進行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方

圖：

（I）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點

值代表）；

（2）經(jīng)計算第（1）問中樣本標準差S的近似值為50,根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認為這款

汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N（U,。與（用樣本平均數(shù)元和標準差s分別

作為口、。的近似值），現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程XG[250,400]的概率；

（參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X?N（u,。），則P（u-。WXWu+o）-0.6827,P（u-

2oWXWu+2。）?0.9545,P（u—3。WXWu+3。）?0.9973）

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活

動，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上（方格圖上依次標有數(shù)字0、1、

2、3、…、20）移動，若遙控車最終停在“勝利大本營”（第19格），則可獲得購車優(yōu)惠券3

萬元；若遙控車最終停在“微笑大本營”（第20格），則沒有任何優(yōu)惠券.己知硬幣出現(xiàn)正、

反面的概率都是右遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次：若擲出

正面,遙控車向前移動一格（從k到k+1）；若擲出反面,遙控車向前移動兩格（從k到k+2）,

直到遙控車移到“勝利大本營”或“微笑大本營”時，游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移到第

n（lWnW19）格的概率為P“，試證明他一P-｝是等比數(shù)列，并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)

惠券全額的期望值（精確到0.1萬元）.

真題展臺I

EZHtNnZHANI

1.［2022?新高考H卷］在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的

年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

頻率/組跖

0.023

0.020

0.017

0.012

0.006

0.002

0.001EE

0102030405060708090年齡/歲

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).

(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率.

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地

區(qū)總?cè)丝诘?6猊從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患這種疾病

的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確

到0.0001).

2.［2021?新高考n卷］一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微

生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代

繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，

P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).

(1)已知po=O.4,pi=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X)；

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：po+p.x

+p2X'+p3x'=x的一個最小正實根，求證：當E(X)W1時，p=l,當E(X)>1時，p<l；

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義.

高考大題研究課十一概率與統(tǒng)計的綜合問題

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析：（D設(shè)實付金額為1元，才可能的取值為0，100,200,300,

3

則/（才=0）=得=士，

\57125

收=100)=廢(§2x(3=券

內(nèi)=2。。）=0（加（丁=希

垢=30。）=（丁=蕊

故％的分布列為

0100200300

1124864

P

125125125125

所以￡O）=0X*+100X急+200X嶄+300X黑=24。（元）?

（2）若選擇方案一，設(shè)摸到紅球的個數(shù)為K實付金額為。，則0=500—100K

由題意可得h8（3,i）,故￡（丹=3嗎=|,

所以E（。）=￡（500—1008=500-1002?⑴=500-60=440（元）；

若選擇方案二，設(shè)實付金額為〃元，〃可能的取值為0,250,375,500,

則尸（〃=0）=管=總，

尸（〃=250）=畢=工，

1120

P（〃=375）=空殳=乙，

Cfo60

p〈n=500）1——---------—=——）

1201206060

故n的分布列為

0250375500

17749

P

1201206060

所以E（/7）=0X—+250X—+375X—+500X—=*466.67（元）.

1201206060

因為E（。）＜￡（〃），

故從實付金額的期望值分析顧客選擇方案一更合理.

鞏固訓練1解析：（1）依題意，總分x的所有可能取值為0,10,30,

若甲參賽，記“甲在第，輪答題且答對”為事件4(，=1,2),

>

P(x-O')=/(A1A2)=0.2X0.2=0.04,

產(chǎn)(x=10)=哂4+4&)=0.2X0.8+0.8X0.5=0.56,

"(x=30)=尸(44)=0.8X0.5=0.4,

所以x的分布列為

X01030

P0.040.560.4

：.E[x)=0X0.04+10X0.56+30X0.4=17.6,

同理可得，若乙參賽，記“乙在第，輪答題且答對”分別為事件2),

:?

P(x-O')=/(B1B2)=0.5X0.5=0.25,

產(chǎn)(x=10)=P(瓦5+豳)=0.5X0.5+0.5X0.2=0.35,

P(x=30)=P(B\B)=0.5X0.8=0.4,

所以x的分布列為

X01030

P0.250.350.4

6(x)=0X0.25+10X0.35+30X0.4=15.5,

V17.6>15.5,

...安排甲參賽得分期望高于乙參賽得分期望，安排甲參賽更合適.

(2)設(shè)“甲在第，輪回答8組題”的事件為4,1=2,3,4.

則事件4發(fā)生包括“甲在第三輪回答力組題且回答正確”和“甲在第三輪回答6組題且

回答正確”.

；.戶(4)=(1一2(4))?0.8+/X4)X0.5=0.8-0.30(4),

同理：2(4)=0.8-0.3尸(4),而尸(4)=0.8,

，。(㈤=0.8—0.3X0.8=0.56,

尸(4)=0.8-0.3X0.56=0.632,

甲參賽且第四輪正好回答6組題概率為0.632.

例2解析：(1)由題可得(0.005+0.010+0.015+0.040+a)X10=1,

解得a=0.030.

⑵①由直方圖知：產(chǎn)品8為一等品的概率是|,二等品概率是靠三等品概率是高，

由題知隨機抽取3件是一等品的件數(shù)/可能的取值是0,1,2,3,且h6(3,|),P(X

=0)=以03(|)0=短,g)=洸)2(|)f,

內(nèi)=2)=廢(|)1(|)2-，

內(nèi)=3)=廢圖。圖3=急

則1的分布列為：

X0123

8365427

P

125125125125

②由題可得，產(chǎn)品4為一等品的概率為《，二等品的概率為;，三等品的概率為2,

10420

產(chǎn)品8為一等品的概率為|,二等品的概率為靠三等品的概率為

產(chǎn)品力的收益：笈=%+1義4/?2+露=罪+力,

產(chǎn)品6的收益：氏4//+卷9-=非夕2+的,

因為

54

所以與一笈〈0,即興6,

故投資產(chǎn)品4的收益更大.

鞏固訓練2解析：(1)記“從10所學校中隨機選取3所學校參與“自由式滑雪”都超

過40人”為事件4

參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過40人的學校共4所，

隨機選擇3所學校共髭=4,所以尸(/)=舁=名=白

CiQIZUSU

(2)4的所有可能取值為0,1,2,3,

參與“單板滑雪”人數(shù)在45人以上的學校共4所，

所以-0)=等=含=3

C-jQ1NUo

p(X=1)=屐&=旦_=3

C；o1202

-Cl-Cl

一(才=2)_36_3

島12010

產(chǎn)(才=3)_C4<6_4_1

C1O12030

所以才的分布列如下表:

X0123

1131

P

621030

所以￡Q)W+2XV+3X高胃

(3)記“小明同學在一輪測試中要想獲得優(yōu)秀”為事件6,

則9=或Q)2x|+(，/，

由題意，小明同學在集訓測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項分布6(〃，5),

由題意列式得"》早，

因為〃CN*,所以〃的最小值為20,

故至少要進行20輪測試.

例3解析：(1)由題：又=空磬三=9,六組產(chǎn)=4,

44

2222

S^1xiyi=6X2+8X3+10X5+12X6=158,^^?=6+8+10+12=344,Z^iy?=

74,

所以相關(guān)系數(shù)r=/舞篝示=懸P0.99＞0.75,

V344-4X92V74-4X4210V2

說明y與x之間的線性相關(guān)程度很高，所以可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系.

6=158-4X9：4=N=O.7,@=y_6父=4一0.7X9=-2.3,

344-4X9220J

故y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為9=0.7x—2.3.

(2)設(shè)甲、乙兩人排隊總時間為X,則X的所有可能取值為40,50,60,

P(X=40)—p(3p-2)=3p2—2p,

P(X=50)=(l-p)(3p-2)+p(3-3p)=-6p2+8p-2,

P(X=60)=(1—p)(3—3p)=3p2—6p+3.

所以E(X)=(3p2-2p)X40+(-6p2+8p-2)X50+(3p-6p+3)X60=-40p+80,

由一40p+80W50,得［＞＞三，

4

又所以彳WP〈1,

故p的取值范圍為s，1).

4

8+8.2+84+8.6+8.8+9

鞏固訓練3解析:(1)(i)x=---------------=8n.5,

6

_90+84+83+80+75+68

.6_￡?=1修%—6無y_4066-6x8.5x80_-14__20

??延-日產(chǎn)434.2-6X8.520.7,

.\a=y-6又=80+20X8.5=250,

.?.經(jīng)驗回歸方程為y=-20x+250.

(ii)設(shè)工廠獲得的利潤為L萬元，

則L=(x-7)(-20x+250)=-20(x-9.75)2+151.25,

該產(chǎn)品的單價定為9.75元時，工廠獲得利潤最大，最大利潤為151.25萬元.

(2)由題設(shè)可知對價格滿意的頻率為:，基本滿意和不滿意的頻率為:，

44

隨機變量X?B(4,6，P(X=k)=C^(|)fcQ)4-fc(k=0,1,2,3,4),

隨機變量X的分布列如下表：

X01234

13272781

P

2566412864256

隨機變量X的數(shù)學期望為E(X)=4X^3.

4

例4解析：⑴依題意，方=30,c=30,e=40,f=40,/?=100,零假設(shè)為從球隊勝

利與甲球員參賽無關(guān)，

X2=100X(30X10-30X30)2=6.25〉5.024,

60x40x60x40

根據(jù)小概率值。=0.025的獨立性檢驗，我們推斷“不成立，

即認為該球隊勝利與甲球員參賽有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.025.

(2)①設(shè)4表示“甲球員擔當前鋒”；上表示“甲球員擔當中場”；4表示“甲球員擔當

后衛(wèi)”；8表示“球隊輸?shù)裟硤霰荣悺保?/p>

有尸(4)=0.1,必4)=0.5,尸(4)=0.4,

尸(冽4)=#(84)=0.2,P㈤A)=0.7,

則P(B)=P(A而+P(4藥+PM

="(4)P［B\4)+尸(4)P(B\Az)+P(A)P(B\4)

=0.1X0.2+0.5X0.2+0.4X0.7=0.4,

所以該球隊某場比賽輸球的概率是0.4.

②由①知，球隊輸?shù)臈l件下，甲球員擔當中場的概率。(4|而=踞=嚶￥=0.25.

P(B)0.4

③由①知，球隊輸?shù)臈l件下，甲球員擔當前鋒的概率

P(AB)_0.1X0.2

戶(4|面=1=0.05,

P(B)0.4

球隊輸?shù)臈l件下，甲球員擔當后衛(wèi)的概率

=^^=^^^^=0.7,

由②知,「(4］知:尸(⑷知:尸(4］而=0.05：0.25：0.7=1：5：14,

所以，應該多讓甲球員擔任前鋒，來擴大贏球場次.

鞏固訓練4解析：(1)200名學生中，男生人數(shù)為200X^=120,女生人數(shù)為200—120

800

=80,補全列聯(lián)表如下：

每天閱讀時間低于1h每天閱讀時間不低于1h總計

男生6060120

女生206080

總計80120200

(2)根據(jù)列聯(lián)表可得：/=華絆在意誓=個=12.5>10.828,所以有99.9%的把握認

120X80X120X802

為該高中高三學生“每天閱讀時間低于1h”與“性別”有關(guān).

(3)200名學生中“每天閱讀時間不低于1h”的人數(shù)為120人，因此抽取10名學生“每

天閱讀時間不低于1h”的人數(shù)為6人，而才的所有可能取值為0,1,2,3,則

產(chǎn)(1=0)=等=三皿》=1)=粵=9，尸(彳=2)=等=；,尸(￥=3)=錚=：.

Cw3011012Cf06

所以/的分布列為：

.V0123

1311

P

301026

E3=0xi+lX—+2xi+3xi=l.8.

31026

例5解析：(1)設(shè)答對題目的個數(shù)為％由題意，得-8(3,P).

甲通過第一關(guān)的概率為A=C緲2(1-p)+C1=3/-2入

乙通過第一關(guān)的概率為P2=P.

(2)f的可能取值為0,1,2,

則P(f=0)=(1—用(1一K),

"(f=1)=A(1—8)+(1一尸"，

尸(f=2)=AR,

所以￡(C=0X(1—A)(1—月)+1乂［4(1一2)+(1—尸|)月］+2乂產(chǎn)由=月+2=34—

2p+p=Ap—2p.

設(shè)F(p)=4萬一2p‘一1(O〈/X1),則/(p)=8p—6/=2p(4—3p)>0,

從而當(Kp<l時，f(p)為增函數(shù)，又f(0)=-1,f(l)=l，

所以存在唯一的〃的值A(chǔ)，使得f(p)=0,即以f)=L

鞏固訓練5解析：(1)估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值為：

x=205X0.01+255X0.02+305X0.45+355X0.02+405X0.05=300；

(2)：hM300,502),

.?/(250W辰400)=。(〃-oW收〃+2+0.8186.

22

(3)由題可知R=l,Pi=￥

遙控車移到第〃(2W〃W19)格有兩種可能：

①遙控車先到第〃一2格，又擲出反面，其概率為：尺_2；

②遙控車先到第〃一1格，又擲出正面，其概率為

22

；.2W〃W19時，PL*=—虱*-PM),又?.?8一汽=一;WO,

22

.?.當1W"W19時，數(shù)列仍LH-J首項為一點公比為一;的等比數(shù)列，

8一8=(一32,月一月=(一之)3,…，=

以上各式相加，得匕_］=(_§+(_m2+(_m3+_+(_mn=(_§.□_(_：)、，

.11WAW19時,匕=|+XW)n，