2023-2024屆高考物理一輪復習講義 32天體質量密度的計算 宇宙速度 衛(wèi)星的追及問題（解析版）

專題32天體質量密度的計算宇宙速度衛(wèi)星的追及問題

考點一和中心天體的質量密度有關的計算

1.利用萬有引力知識只能求出中心天體的質量和密度，求不出環(huán)繞體的質量.

2.有關中心天體質量計算的方法

D利用物體在天體表面的重力近似等于萬有引力：磔=常

2）利用行星或星受到的萬有引力提供向心力：M=F向

3.對均勻球體：V=-7ΓR3,P=-

3V

4.為便于分析和計算，與密度有關的選擇題直接將錚§中的M表示為ogn*,其中r

是M和In間的距離，R是中心天體的半徑，當衛(wèi)星繞中心天體表面運行時R=r.

1.有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面處的重力加速度是地球表面處重力加速度的4倍，則該星球

的質量是地球質量的（忽略其自轉影響）（）

A.NB.4倍

C.16倍D.64倍

【答案】D

【解析】

天體表面的物體所受重力儂=猾，又知0=言?，所以∕=mT?,故愛=（?J=64°D正確。

2.（2020?全國H卷?）若一均勻球形星體的密度為P,引力常量為G,則在該星體表面附近沿圓軌道繞

其運動的衛(wèi)星的周期是（）

【答案】A

【解析】

衛(wèi)星在星體表面附近繞其做圓周運動，則空竺=加駕R,V=±7ΓR3,P=%

R2T23V

知衛(wèi)星該星體表面附近沿圓軌道繞其運動的衛(wèi)星的周期T=J—故A正確

3.（多選）我國計劃在2030年之前實現(xiàn)飛船載人登月計劃，假設你有幸成為登上月球的第一位中國人，如果

告知萬有引力常量，你可以完成以下哪項工作（）

A.測出一個石塊的質量，以及它在月球表面上方自由下落的高度和時間，求出月球表面上該石塊的重力

B.測出一個石塊在月球表面上方做平拋運動的高度和時間，求出月球的質量

C.從月球表面上撿取100塊石頭，測量它們的質量和體積，求出月球的平均密度

D.測出飛船貼近月球表面繞月球做勻速圓周運動的周期，求出月球的平均密度

【答案】AD

【解析】

根據(jù)得交=亨，則月球表面上該石塊的重力，=儂=片，故A正確；一個石塊在月球表面上方

做平拋運動的高度和時間，同樣有豎直方向得g=乎，又根據(jù)任意一星球表面物體重力等于萬有

引力岑=Wg，得材=等，因不知道月球半徑，則求不出月球的質量，故B錯誤；從月球表面上撿取100

塊石頭，測量它們的質量和體積，只能大體測出月球上石頭的密度，但月球密度不一定與月球上石頭的密

度相同，故C錯誤；由萬有引力提供向心力得磬=加爺）洗，得,仁益幺，又JQ∕4π4,聯(lián)立解得O=

1\1UlO

號，故D正確。

4.（2020?全國O卷）“嫦娥四號”探測器于2019年1月在月球背面成功著陸，著陸前曾繞月球飛行，

某段時間可認為繞月做勻速圓周運動，圓周半徑為月球半徑的4倍。已知地球半徑A是月球半徑的一倍，

地球質量是月球質量的0倍,地球表面重力加速度大小為刈則“嫦娥四號”繞月球做圓周運動的速率為（）

A.國

VQP符C?傍

【答案】D

【解析】

假設在地球表面和月球表面上分別放置質量為m和m0的兩個物體，則在地球和月球表面處，分別有

M

-mO

Mm,Q_，

G萬mg，5T

P2

解得g=-g

M

2

V

設嫦娥四號衛(wèi)星的質量為班，根據(jù)萬有引力提供向心力得G=m

lR

K

P

IRPg

解得U=故選D。

QK

5.德國天文學家們曾于2008年證實，位于銀河系中心，與地球相距2.6萬光年的“人馬座A”其實是一

個質量超大的黑洞.假設銀河系中心僅此一個黑洞，太陽系繞該黑洞中心做勻速圓周運動，則根據(jù)下列哪

組數(shù)據(jù)可以估算出該黑洞的質量（引力常量已知）（）

A.太陽系的質量和太陽系繞該黑洞公轉的周期

B.太陽系的質量和太陽系到該黑洞的距離

C.太陽系的運行速度和該黑洞的半徑

D.太陽系繞該黑洞的公轉周期和公轉半徑

【答案】D

【解析】

設太陽系的質量為加，該黑洞的質量為M,太陽系繞該黑洞做勻速圓周運動的向心力由萬有引力提供，則年

4it~V4:rrv

m=πτ~jrr=嚀,解得該黑洞的質量M=一而則己知太陽系繞該黑洞的公轉周期T和公轉半徑八或

者己知太陽系的運行速度/和公轉半徑r,可以估算出該黑洞的質量，故選D.

6.（2021?河北卷）“祝融號”火星車登陸火星之前，“天問一號”探測器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，

其周期為2個火星日。假設某飛船沿圓軌道繞火星飛行，其周期也為2個火星日。已知一個火星日的時長

約為一個地球日，火星質量約為地球質量的看，則該飛船的軌道半徑與地球同步衛(wèi)星的軌道半徑的比值約

為（）

【答案】D

【解析】

物體繞中心天體做圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，可得竿=毒T?,則7=?????,廬=幫里，

由于一個火星日的時長約為一個地球日，火星質量約為地球質量的0.1,則飛船的軌道半徑RX=

蘋鏟3=/心二4JI2臍I71八則A患

7.觀察“神舟十號”在圓軌道上的運動，發(fā)現(xiàn)其每經(jīng)過時間21通過的弧長為/,該弧長對應的圓心角為

，（弧度），如圖所示，已知引力常量為6,由此可推導出地球的質量為（）

，，神舟十號”

/2/，、12/

A-46θrb'GeA469/'λGfft2

【答案】A

【解析】

“神舟十號”的線速度-?軌道半徑T根據(jù)*=4得地球的質量為,仁備,故選A?

8.（2020?全國卷ΠI）“嫦娥四號”探測器于2019年1月在月球背面成功著陸，著陸前曾繞月球飛行，某

段時間可認為繞月做勻速圓周運動，圓周半徑為月球半徑的4倍。已知地球半徑"是月球半徑的P倍，地

球質量是月球質量的Q倍，地球表面重力加速度大小為g。則“嫦娥四號”繞月球做圓周運動的速率為（）

a??/?b?、/等c??/wd??/w

【答案】D

【解析】

假設在地球表面和月球表面上分別放置質量為必和加的兩個物體，則在地球和月球表面處，分別有潸=

MM

QzzfcP請

mg,E=,g',解得g'=-,設嫦娥四號衛(wèi)星的質量為的，根據(jù)萬有引力提供向心力得—

mg2

?RPg?..

V'解得片TTT，故選4fcnD。

QK

hp

9.假設在半徑為力的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，已知引力常量為α忽略該天體自轉.

(1)若衛(wèi)星距該天體表面的高度為力，測得衛(wèi)星在該處做圓周運動的周期為Ti,則該天體的密度是多少？

(2)若衛(wèi)星貼近該天體的表面做勻速圓周運動的周期為Ti,則該天體的密度是多少？

R+hJ3π

［答案］DGT汴(2)詬

【解析】

設衛(wèi)星的質量為加，天體的質量為必

(1)衛(wèi)星距天體表面的高度為人時，

八Mm4/,4π2R+h

==

GoIA2hiτ2(R^?^/1)，貝!!有M"rτ^

κ+?TiGTi

4,

天體的體積為K=-

,.,,,..,,M4“"7?+h33πR+h

故u該天體的密γ度λ為P=7=---------；—■

訴..n/GT犍

?

Mm4π2.4πW

(2)衛(wèi)星貼近天體表面運動時有Gj=nr-^R,則有Af=6尸

M4n2川3Jt

P=-=---------------=----7

『八24dGTr

GT”RbR

考點二三個宇宙速度

1.第一宇宙速度：是最小的發(fā)射速度，是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，是最大的環(huán)繞速度，其運行的軌道半

徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9km∕s.

第二宇宙速度(脫離速度)：使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為11.2km∕s?

第三宇宙速度(逃逸速度)：使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為16.7km∕s.

2.以地球為例，如果拋出的物體不再落回地球的表面，那么拋出的最小速度等于地球的第一宇宙速度，

也等于近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，所以可以根據(jù)近地衛(wèi)星來求拋出的最小速度.

10.關于地球的第一宇宙速度，下列說法正確的是()

A.它是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動的最大速度

B.它是使衛(wèi)星進入近地圓軌道的最大發(fā)射速度

C.它是衛(wèi)星在橢圓軌道上運行時在近地點的速度

D.它是衛(wèi)星在橢圓軌道上運行時在遠地點的速度

【答案】?

【解析】

地球第一宇宙速度是發(fā)射人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造地球衛(wèi)星在地球表面軌道處的運行速度,

即人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動的最大速度，衛(wèi)星在不同橢圓軌道上運行時，近地點的速度不一樣，遠

地點的速度也不一樣，所以第一宇宙速度不是衛(wèi)星在橢圓軌道上運行時在近地點的速度，也不是衛(wèi)星在橢

圓軌道上運行時在遠地點的速度，A正確，BCD錯誤；

11.中國北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)（BDS）是中國自行研制的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng).該系統(tǒng)由靜止軌道衛(wèi)星、中軌道

衛(wèi)星（離地高度約2IOOOknl）及其它軌道衛(wèi)星組成.則（）

A.靜止軌道衛(wèi)星可定位在北京上空

B.中軌道衛(wèi)星運行的線速度比同步軌道衛(wèi)星線速度大

C.中軌道衛(wèi)星周期可能大于24小時

1）.靜止軌道衛(wèi)星的發(fā)射速度小于第一宇宙速度

【答案】B

【解析】

A.靜止軌道衛(wèi)星相對于地球是靜止的，衛(wèi)星軌道都與赤道共面，故不可能在北京上空，故A錯誤；

B.衛(wèi)星繞地球做圓周運動，軌道半徑越大，其運行速度越小，中地球軌道衛(wèi)星比同步衛(wèi)星離地心更近，故

中軌道衛(wèi)星比同步衛(wèi)星線速度大，故B正確；

C.衛(wèi)星的軌道半徑越大，周期越長，所以中軌道衛(wèi)星的運行周期小于地球同步衛(wèi)星運行周期，小于24小

時，故C錯誤：

D.第一宇宙速度7.9km∕s是衛(wèi)星繞地球圓周運動的最大速度，是衛(wèi)星發(fā)射的最小速度，故D錯誤.

12.（2022?河北邢臺?模擬預測）2022年2月27日11時06分我國在文昌航天發(fā)射場使用長征八號運

載火箭，以“1箭22星”方式，成功將泰景三號01衛(wèi)星等22顆衛(wèi)星發(fā)射升空。衛(wèi)星順利進入預定軌道，

發(fā)射任務獲得圓滿成功，衛(wèi)星主要用于提供商業(yè)遙感信息、海洋環(huán)境監(jiān)測、森林防火減災等服務（）

A.火箭的發(fā)射速度應該大于7.9km∕s

B.火箭發(fā)射過程中衛(wèi)星不受地球吸引力

C.火箭發(fā)射的最初階段衛(wèi)星處于失重狀態(tài)

D.若衛(wèi)星的軌道為圓形，衛(wèi)星進入軌道后的運行線速度大于11.2km∕s

【答案】A

【解析】

?.7.9km∕s是第一宇宙速度，為發(fā)射衛(wèi)星的最小速度，故A正確；

B.火箭發(fā)射過程中衛(wèi)星仍受地球吸引力，且隨高度增大越來越小，故B錯誤；

C.火箭發(fā)射的最初階段，衛(wèi)星在向上加速，處于超重狀態(tài)，故C錯誤；

D.若衛(wèi)星的速度大于11.2km∕s,則會逃逸出地球的引力場，故D錯誤。

13.（多選）隨著我國登月計劃的實施，我國宇航員登上月球已不是夢想；假如我國宇航員登上月球并在月

球表面附近以初速度。豎直向上拋出一個小球，經(jīng)時間力后回到出發(fā)點。已知月球的半徑為此萬有引力常

量為G,則下列說法正確的是（）

A.月球表面的重力加速度為半

B.月球的質量為絲干

宇航員在月球表面獲得檸的速度就可能離開月球表面圍繞月球做圓周運動

C.

宇航員在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動的繞行周期為兀后

D.

【答案】BD

【解析】

A.小球在月球表面做豎直上拋運動，根據(jù)勻變速運動規(guī)律有t=學

可得。月=等故A錯誤;

B.物體在月球表面上時，由重力等于地月球的萬有引力有G*=mg月

可得月球的質量為M=過=竺?故B正確；

GGt

C.宇航員離開月球表面，圍繞月球做圓周運動至少應獲得的速度大小等于月球的第一宇宙速度大小，根據(jù)

萬有引力提供向心力則有G翳=M

可得U=舟=舊i故C錯誤；

D.宇航員乘坐飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動,

根據(jù)萬有引力提供向心力則有G駕=竺萼

R2T2

可得r=π陣故D正確；

?V0

14.（多選）2011年中俄聯(lián)合實施探測火星計劃，由中國負責研制的“螢火一號”火星探測器與俄羅斯研制

的“福布斯一土壤”火星探測器一起由俄羅斯“天頂”運載火箭發(fā)射前往火星.已知火星的質量約為地球

質量的《火星的半徑約為地球半徑的點下列關于火星探測器的說法中正確的是（）

A.發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可B.發(fā)射速度只有達到第三宇宙速度才可以

C.發(fā)射速度應大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度

D.火星探測器環(huán)繞火星運行的最大速度為地球第一宇宙速度的虛

【答案】CD

【解析】

根據(jù)三個宇宙速度的意義，可知選項A、B錯誤，選項C正確；已知材火=華，心=年,

15.（2022?永州三模）2020年6月23日9時43分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭，成功

發(fā)射北斗系統(tǒng)第五十五顆導航衛(wèi)星，暨北斗三號最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星。至此，北斗三號全球衛(wèi)星導航系

統(tǒng)星座部署比原計劃提前半年全面完成。已知地球的質量為機半徑為兄自轉角速度為。，引力常量為C,

該導航衛(wèi)星為地球同步衛(wèi)星，下列說法正確的是（）

A.該導航衛(wèi)星運行速度大于第一宇宙速度

B.該導航衛(wèi)星的發(fā)射速度大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間

C.該導航衛(wèi)星在軌道運行時的加速度大小會小于質量較小的同步衛(wèi)星加速度大小

3回

D.該導航衛(wèi)星的預定軌道離地高度為Λ=*

【答案】B

【解析】

衛(wèi)星繞地球轉動時萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律可知*=*,變形可得/=由該公式可

知軌道半徑越大，線速度越小，第一宇宙速度在數(shù)值上等于衛(wèi)星繞地球表面轉動時的環(huán)繞速度，該導航衛(wèi)

星軌道半徑大于地球半徑，所以其速度小于第一宇宙速度，故A錯誤：第一宇宙速度是發(fā)射衛(wèi)星的最小速

度，第二宇宙速度指衛(wèi)星擺脫地球引力最小發(fā)射速度，該導航衛(wèi)星繞地球轉動，沒有擺脫地球引力，所以

其發(fā)射速度大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間，B正確；衛(wèi)星繞地球做圓周運動時萬有引力提供向

心力，由牛頓第二定律可知勺=/族，可知加速度大小與衛(wèi)星質量無關，C錯誤；衛(wèi)星繞地球做圓周運動時

>

萬有引力提供向心力,由牛頓第二定律可知卓=mr。:由幾何關系可知r=A+力，聯(lián)立可得力=

R,D錯誤。

16.某星球的質量為M在該星球表面某一傾角為O的山坡上以初速度的平拋一物體，經(jīng)時間C該物體落到

山坡上。欲使該物體不再落回星球的表面，求至少應以多大的速度拋出該物體？（不計一切阻力，引力常量

為。

4∕26V%tan0

【答案】SJ;

【解析】

由題意可知，要求該星球上的“近地衛(wèi)星”的繞行速度，即第一宇宙速度。設該星球表面處的重力加速度

為g,

由平拋運動規(guī)律可得￡anO=聶2∕%t???4=Ytan。①

對于該星球表面上的物體有：字=儂②

聯(lián)立①②解得③

2

對于繞該星球做勻速圓周運動的“近地衛(wèi)星”，應有：m'g="W④

K

2GV%lanO

解得:V=

考點三兩顆衛(wèi)星在不同的圓軌道上運動時相距最近或最遠的問題（追及問題）

1.同一中心天體的兩顆衛(wèi)星之間的距離有最近和最遠時都處在通過中心天體球心的同一條直線上.如

果它們初始時的位置在該直線上，當內軌道衛(wèi)星所轉過的圓心角與外軌道衛(wèi)星所轉過的圓心角之差為π的

整數(shù)倍時就是再次出現(xiàn)最近或最遠的時刻。分析時根據(jù)兩顆衛(wèi)星做圓周運動的圈數(shù)或角度關系列出方程求

解。

2.若從兩顆衛(wèi)星相距最近時開始計時

1）根據(jù)角度關系建立方程必）

相距最近：ω1t-ω2f=77.2π,（Λ=1,2,3,???）,即如果經(jīng)過時間t,兩天體與中心連線的半徑轉過的角

度之差等于2π的整數(shù)倍，則兩天體又相距最近。

相距最遠：ω,t-ω2t=(2Λ-1)π,S=I,2,3,…)，即如果經(jīng)過時間a兩天體與中心連線的半徑轉過的

角度之差等于n的奇數(shù)倍，則兩天體相距最遠。

2)根據(jù)圈數(shù)關系建立方程(T.<T2)

相距最近：三一；=n,(A=I,2,3,…)。

i?12

相距最遠：.一)=〃_],U=I,2,3,…)。

Jl12Z

17.(多選)如圖所示，有A、B兩顆行星繞同一恒星O做圓周運動，運行方向相同。A行星的周期為。，B行

星的周期為T2,在某一時刻兩行星相距最近，則()

?.經(jīng)過時間t=F??,兩行星將再次相距最近

72^Γ1

B.經(jīng)過時間PT,+%,兩行星將再次相距最近

C.經(jīng)過時間t=∕?(小1,3,5,???),兩行星相距最遠

Z(T2-T1)

D.經(jīng)過時間t=曳磬(爐1,3,5,…)，兩行星相距最遠

【答案】AC

【解析】

AB.當A、B再次相距最近時，即A比B多運動一圈，設經(jīng)過時間t二者再次相距最近,

解得t=警故A正確，B錯誤：

72^Γ1

CD.當A、B相距最遠時，即A比B多運動(〃=1,3,5,???)圈，設經(jīng)過的時間為廣,

有?------=-(n=1,3,5,)

T2

T12

解得t'=∕?(n=l,3,5,???)故C正確，D錯誤。

Z[T2-Tλ)

18.(多選)中國向世界公布了空間站的軌道參數(shù)讓世界各國的衛(wèi)星注意躲避，防止碰撞中國空間站。最值

得注意的是馬斯克的星鏈衛(wèi)星，已經(jīng)跟中國空間站發(fā)生過兩次近距離接觸了，分別發(fā)生在2021年的7月份

和10月份，中國空間站進行了緊急規(guī)避。為了保護地球和人類安全，中國將組建近地小行星防御系統(tǒng)。假

設“星鏈”系統(tǒng)中的某一衛(wèi)星與中國空間站均在同一軌道平面內繞地球同方向做勻速圓周運動，它們運動

的軌道離地高度分別為55Okm與400km，運行周期分別為國與TO與T已知)；某一時刻它們相距最遠,

則下面正確的是()

A.若星鏈衛(wèi)星要降低到中國空間站的軌道上運行，必須要先加速后減速

B.星鏈衛(wèi)星與中國空間站再次相距最近的時間為;7嬰方

Z(To-T)

C.星鏈衛(wèi)星與中國空間站再次相距最近的時間為品

(TQ-T)

D.星鏈衛(wèi)星與中國空間站再次相距最遠的時間為川

(T0-T)

【答案】BD

【解析】

A.若星鏈衛(wèi)星要降低到中國空間站的軌道上運行，必須要減速，做近心運動，A錯誤；

BC.星鏈衛(wèi)星與中國空間站從相距最遠到再次相距最近的時間(設為t)內，中國空間站比星鏈衛(wèi)星多轉半

圈，即工一?L=2?

ul1

~TT02

解得星鏈衛(wèi)星與中國空間站再次相距最近的時間為t=薩RB正確，C錯誤；

Z(TQ-T)

I).設星鏈衛(wèi)星與中國空間站再次相距最遠的時間為t',可得J-J=I

TT0

解得t'=品D正確。

(T0-T)

19.(2022?遼寧丹東?二模)如圖所