2023年浙江省金華十校高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析答案）

金華十校2023-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)真題

選擇題局部(共60分)

一、選擇題：此題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為

哪一項(xiàng)符合題目要求的.

1.已知集合/={x|x=3〃+l,〃eN},集合8={3,4,5,6,7,8,10},則/口3中元素的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

(答案)C

(解析)

(分析)依據(jù)交集的定義求出即可得出答案.

(詳解)解：因?yàn)榧?={x|x=3〃+1,"cN},集合8={3,4,5,6,7,8,10},

所以Nc8={4,7,10},

所以NAB中元素的個(gè)數(shù)為3個(gè).

應(yīng)選：C.

2.知向量￡=(1,2)9=(3,4)，則￡一7=1)

A.(2,6)B.(-2,6)C.(4,6)D.(-2,-2)

(答案)D

(解析)

(分析)由向量坐標(biāo)的減運(yùn)算直接計(jì)算即可.

(詳解)解：因?yàn)椤?(1,2),5=(3,4)，

所以Z—5=(1,2)-(3,4)=(-2,-2).

應(yīng)選：D.

3.幾何學(xué)中把變換前后兩點(diǎn)間距離保持不變的變換稱為剛體變換，在平面中作圖形變換，易知平移變換是

一種剛體變換，以下兩個(gè)函數(shù)/(X)與g(x),其中g(shù)(x)可以由/(x)通過(guò)平移得到的是()

A.fix')-sin4x,g(x)=cos仁一4x]

B./(x)=x2,g(x)=3x2+4

37

C./(x)=-----2,g(x)-----F3

x+33-x

D./(x)=4x+l,g(x)=5x

（答案）A

（解析）

（分析）利用平移變換推斷.

(詳解)A.因?yàn)間(x)=cos4x)=sin]--4x

6)

sG+iSin4"J所以是由/（x）=sin4x向左平移得到，故正確;

l3j

B.因?yàn)間（x）=3*+4,所以無(wú)法由/（x）=x2平移得到，故錯(cuò)誤;

22(3)5

c.因?yàn)間(x)=+3=37T3^6-2+3,所以無(wú)法由'(x)-2平移得

o-1Xx+3

到，故錯(cuò)誤;

55

D.因?yàn)間（x）=5x=j（4x+1）-彳，所以無(wú)法由/（x）=4x+l平移得到，故錯(cuò)誤;

應(yīng)選：A

4.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子〃的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)

":設(shè)xeR,用卜]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則丁=[可稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如:

[―1.3]=—2,[3.4]=3,已知?jiǎng)t函數(shù)歹="（切的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

（答案）B

（解析）

（分析）先求解函數(shù)/（》）=鏟的值域，在依據(jù)高斯函數(shù)的定義確定y=[/（x）]的值域.

（詳解）解：因?yàn)?*+1>1，所以0<J—<1,則—!〈一——所以函數(shù)/（x）的值域?yàn)?/p>

3r+l33、+133

（一，故^=[/（x）]的值域?yàn)?1或0.

應(yīng)選：B

x

5.已知aeR,則函數(shù)/（x）=—、的圖像不可能是（

（答案）A

（解析）

（分析）依據(jù)含參函數(shù)的解析式和函數(shù)特別值推斷函數(shù)可能的圖像.

（詳解）依據(jù)/（x）=——可知/+i>o,所以當(dāng)%>0時(shí)，》。>0,BP./（X）>0,應(yīng)選項(xiàng)A錯(cuò)誤，而

'x~+1

當(dāng)a為其他值時(shí)，B,C,D均有可能出現(xiàn).

應(yīng)選：A

6.如圖，小呂考慮用一個(gè)棱長(zhǎng)為12mm的正四面體硬木件憶-N8C,削磨出一個(gè)體積最大的球，他的第

一步是削去一個(gè)小正四面體％則截面△44G面積的最大值為（）

A.25/3mm2B.C.4Gmm?D.973mm2

4

（答案）D

（解析）

（分析）由題可知，頂點(diǎn)P到平面4片G的距離為正四面體的高減去內(nèi)切球的直徑，利用正四面體的特征

s?

可得內(nèi)切球的半徑與高的比值為!，則1土=:，求解口/BC的面積即可.

4S4ABC4

（詳解）解：如圖，在正四面體V—N8C中，頂點(diǎn)P在底面/8C的投影，即為正三角形Z6C的中心。

點(diǎn)，連接交與點(diǎn)E,

AI

-

因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為12mm,則ZE=/-x12=6j5mm，^DABC=—xl2x6>/3=36>/3min,

因?yàn)檎拿骟w的四個(gè)面均為正三角形，且其內(nèi)切球的球心到各面的距離均為半徑,

故設(shè)正四面體％-N8C內(nèi)切球的半徑為〃，球心為點(diǎn)。，點(diǎn)。在線段。上，

則VV-ABC=4VO-ABC-即;x以）x用"c=4xgxrx星版，解得r=%D，

設(shè)頂點(diǎn)V到平面44G的距離為h,則力=KD-2r=；⑺，

由題意得平面44￡//平面N8C,故里“向弓=；星樣c=9J^mn?,

應(yīng)選：D.

7.如下圖，唐唐在背景墻上安裝了一臺(tái)視頻監(jiān)視器，尸為唐唐坐在工位上時(shí)相當(dāng)于眼睛位置的一點(diǎn)，P

在背景墻上的水平投影點(diǎn)為8,過(guò)8作垂直于地面的直線分別交監(jiān)視器上、下端于A、，兩點(diǎn)，測(cè)

得/8=2m,8〃=L5m,假設(shè)=NHPB=（3，則。一夕為唐唐看監(jiān)視器的視角.唐唐通

過(guò)調(diào)整工位使視角取得最大值，此時(shí)心的長(zhǎng)為（）

A.V3mB.V6mC.2mD.----m

3

（答案）A

（解析）

（分析）由題意可知，—要使a—4最大，只要tan一/）最大即可，在R/Q4PB

\2;

和心口”08中，可得tana,tan4的關(guān)系，再依據(jù)兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)整理從而可得出答案.

（詳解）解：由題意可知，。,民。一萬(wàn)€（0,1）,貝i]tana〉tan￡〉O,

因?yàn)楹瘮?shù)丁=tanx在（0,1）遞增,

則要使a一尸最大，只要tan（a——）最大即可,

AB2

在及口4尸8中,tana=---=——

PBPB

〃HB1.5

在R出印吆中,tanB=---=——

PBPB

tana244

所以----^=77=；，即tana=-tany?,

tanp1.533

1

tan

/c\tan-tanZ73夕11

則tan（a一4）=-----；~~-=f------

1+tanatan^3，"473'

+4tanZ。?

3tan0

當(dāng)且僅當(dāng)意=4ta”'即ta”=等時(shí)'

取等號(hào),

此時(shí)tana=冬叵

3

所以視角取得最大值時(shí)，P8的長(zhǎng)為

應(yīng)選：A.

8.假設(shè)函數(shù)/@）=朋+分2+6,則以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）

A.假設(shè)6>-1,則對(duì)于任意a>0函數(shù)/（/（X））都有2個(gè)零點(diǎn)

B.假設(shè)6<-1,則對(duì)于任意a〉0函數(shù)/(/(X))都有4個(gè)零點(diǎn)

C.假設(shè)6<-1,則存在為〉0使得函數(shù)/(/(X))有2個(gè)零點(diǎn)

D.假設(shè)6=-1,則存在%>0使得函數(shù)/(/(X))有2個(gè)零點(diǎn)

(答案)B

(解析)

(分析)先推斷出偶函數(shù)，求導(dǎo)商量/(x)在［0,+。)上的單調(diào)性，確定最小值，再結(jié)合選項(xiàng)，商量最小值

和0的大小，進(jìn)而分析出/(x)的零點(diǎn)，再分析/(/(x))的零點(diǎn)即可.

(詳解)易得定義域?yàn)镽,又/(—x)=eW+ax2+b=/(x),則/(x)為偶函數(shù)；當(dāng)xNO時(shí)，

/(x)=ex+ax2+b,/'(x)=e*+2ax,

當(dāng)a>0時(shí),則/'(x)=e*+2ax>0,則在［0,+8)上單增,/(x)>/(O)=l+Z>,又/(x)為偶

函數(shù)，則在R上，/(X)mM=l+b;

對(duì)于A,假設(shè)6〉一1,則/(x)mm=1+8>0,故在R上有/(力>0,令"/(x),貝?。?>0,易得

/。)>0,則/(/(x))無(wú)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤：

對(duì)于B,假設(shè)力<一1,則/〈XL=1+6<0,又X-?+”,./■(X)->+8,故/(X)在+。)上有1個(gè)零

點(diǎn)不，又“X)為偶函數(shù)，

則在(一8,0)上有另一個(gè)零點(diǎn)一%，則/(/(X))零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于/(X)=玉以及/(X)=-玉解的個(gè)數(shù)，

又再>0,易得/(X)=X］有2個(gè)解,

又e』+ax：+b=O,令g(x)=e'+公2一X一］(》>0),則g，(x)=e*+2ar-l>0,則g(x)單增，即

g(x)>g(O)=O,

則e*+ax?-x—］〉0，可得e'1+ar：—X］一］〉0,即"一百一1〉0,即6+1<一巷，則/(X)=一王有2

個(gè)解，

綜上可得對(duì)任意a>0,/@)=須以及/(力=一再有4個(gè)解，即/'(/(X))有4個(gè)零點(diǎn)，故B正確；C錯(cuò)

誤；

假設(shè)6=-1,則/(xL=l+b=O,則/(X)有唯一零點(diǎn)0,則/(/(X))零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于〃X)=0

解的個(gè)數(shù)，

顯然只有1個(gè)解0,即對(duì)任意。＞0,/（/（X））只有1個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.

應(yīng)選：B.

（點(diǎn)睛）此題關(guān)鍵點(diǎn)在于商量/（X）最小值和0的大小，進(jìn)而分析出/（X）的零點(diǎn)；當(dāng)/（X）mM＜（）時(shí)，易

得/"）有兩個(gè)零點(diǎn)不，f,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)8（力=^+分—%—。＞0）推斷—%和人+1的大小，是求

出/（x）=—玉解的個(gè)數(shù)的關(guān)鍵.

二、選擇題：此題共4小題，每題5分，共20分.在每題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，局部選對(duì)的得2分.

9.假設(shè)!＜:＜（）,則以下不等式正確的選項(xiàng)是（）

ab

a＜bB.|4＜四

,,ha

C.a+b＜abD.-I—＞2

ah

（答案）BCD

（解析）

（分析）利用不等式的根本性質(zhì)求解即可

（詳解）由于L＜』＜0,則6＜。＜0,故錯(cuò)誤；

ah

a+b＜0＜ab正確；|。|＜|們正確；g+1=巴+'-＞型=2,A-+-＞2,正確

baababab

應(yīng)選：BCD.

10.擲一枚骰子，記事件A為擲出的數(shù)大于4,事件B為擲出偶數(shù)點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）

A.P（/UB）=|

B.P（/）=；

C.事件A與事件B為相互獨(dú)立事件

D.事件A與事件8對(duì)立

（答案）BC

（解析）

（分析）依據(jù)古典概型的概率公式可得P（/）=g，P⑻=；,即可推斷B項(xiàng)，利用概率的加法公式可推

斷A項(xiàng)，利用相互獨(dú)立事件的定義可推斷C項(xiàng)，利用對(duì)立事件的定義可推斷D項(xiàng).

(詳解)解：由題可知，事件A的概率為P(Z)=；,事件5的概率為P(8)=；,故B項(xiàng)正確；

因?yàn)镻(/UB)=P(Z)+P(8)—P(/8)=L+L—L=2,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

3263

因?yàn)槭录﨨8表示“擲出的數(shù)大于4”且“擲出偶數(shù)點(diǎn)”，即"擲出6",所以P(/8)=,，

6

又P(4)XP(B)=UL=P(4B),故事件A與事件B為相互獨(dú)立事件，故C項(xiàng)正確；

326

因?yàn)槭?/)+尸(8)='+'=*#1,故事件A與事件8不是對(duì)立事件，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

326

應(yīng)選：BC.

11.我們了解，函數(shù)歹=/(x)的圖象關(guān)系坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù).

有同學(xué)發(fā)覺(jué)可以將其推廣為：函數(shù)歹=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=/(x+a)-b為奇函數(shù).現(xiàn)在己知，函數(shù)/(0=/+加工2+加+2的圖像關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，則

()

A.-2)=0

B./⑴=3

C對(duì)任意xeR,有/(2+x)+/(2-x)=0

D.存在非零實(shí)數(shù)%,使/(2+x。)—/(2-%)=0

(答案)ACD

(解析)

(分析)依據(jù)題意可得函數(shù)V=/(x+2)為奇函數(shù)，從而可推斷D；再依據(jù)/.(x+2)+/(—x+2)=0,

可求出〃?，〃的值，從而可推斷A,B；令/(2+x)-/(2-x)=0,解方程即可推斷D.

(詳解)解：由題意，因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=/+加X(jué)2+“X+2的圖像關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，

所以函數(shù)V=/(x+2)為奇函數(shù)，

所以/(x+2)+/(-x+2)=0,故C正確；

又丫=/(x+2)=x3+(TM+6)X2+(12+4/M+?)X+4W+2M+10,

則/(x+2)+f(-x+2)=2(w+6)x2+2(4/〃+2?+10)=0,

加+6=0m=-6

所以Lc八，解得〈~，

4/n+2/7+10A=0[n=l

23

所以/（x）=丁-6x+7x+2,/'（x+2）=x-5xf

則〃2）=0J⑴=4,故A正確,B錯(cuò)誤;

令/（2+x）-/（2-x）=0,

則2x3-10x=0,解得x=0或土石，

所以存在非零實(shí)數(shù)%,使/（2+玉,）一/（2—%）=0,故D正確.

應(yīng)選：ACD.

12.假設(shè)正四棱柱月8CD-4AGA的底面棱長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為3,且M為棱N4的靠近點(diǎn)A的三等分

兀

點(diǎn)，點(diǎn)尸在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足與底面Z8C。的所成角&..一,則以下結(jié)論

4

正確的選項(xiàng)是（）

兀

A.點(diǎn)尸所在地域面積為一

4

B.四面體p-4cA的體積取值范圍為[6,8]

C.有且僅有一個(gè)點(diǎn)P使得MP1PCi

D.線段|尸￡|長(zhǎng)度最小值為J百

（答案）AB

（解析）

（分析）A選項(xiàng)，依據(jù)題意得到尸所在地域?yàn)橐?為圓心，1為半徑的圓在正方形Z8CQ內(nèi)部局部（包含

邊界弧長(zhǎng)），得到地域面積；B選項(xiàng)，依據(jù)尸點(diǎn)不同位置求出點(diǎn)尸到平面4c〃的距離最大值及最小值,

求出最大體積和最小體積；C選項(xiàng)，尋覓到不止一個(gè)點(diǎn)使得D選項(xiàng)，結(jié)合P的所在地域及三

角形兩邊之和大于第三邊求出|PG|長(zhǎng)度最小值.

7T

（詳解）A選項(xiàng)，當(dāng)跖4=/尸=1時(shí)-，〃尸與與底面Z6CQ的所成角。=—,故點(diǎn)尸所在地域?yàn)橐?為

4

圓心，1為半徑的圓在正方形N6CQ內(nèi)部局部（包含邊界弧長(zhǎng)），即圓的工，面積為工兀乂仔=」兀，A正

444

確；

3x412

如圖，當(dāng)點(diǎn)尸位于/￡上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)尸到平面4cA的距離最大，最大距離為/"=_《_=《，

此時(shí)四面體P一4c2的體積為；S；4卬?；X；X4X5X￡=8,

當(dāng)尸與點(diǎn)尸重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P到平面&CD］的距離最小，最小距離為FK,

33

因?yàn)锳BFKsABAH,所以FK=—AH,所以最小體積為一x8=6,

44

故四面體尸-4CQ1的體積取值范圍為［6,8］,B正確;

C選項(xiàng)，不妨點(diǎn)P與點(diǎn)尸重合，

此時(shí)PC】=^FB2+BC2+QC2=A，由余弦定理得:

S+C尸_C“_2+34_36_071

cosZ.MFCX則ZMFC.=-

2MF-CtF~2x72x734-'2

71

同理可得：ZMEQ=-

故多于一個(gè)點(diǎn)P使得MP1PG，C錯(cuò)誤;

5

D選項(xiàng)，當(dāng)PC取最小值時(shí)，線段|PG|長(zhǎng)度最小，由三角形兩邊之和大于第三邊可知：當(dāng)工,C三點(diǎn)

共線時(shí)，PC取得最小值，Bp|PC|min=472-1,則|尸GLn=_1）2+32=,42—8近D錯(cuò)誤

應(yīng)選：AB

非選擇題局部（共90分）

三、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分.

13.已知復(fù)數(shù)z滿足z=l+2i,則|z|=.

（答案）y[5

（解析）

（分析）依據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.

（詳解）因?yàn)閦=l+2i,所以|z|=JF+22=石.

故答案為：V5

（點(diǎn)睛）此題考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于根底題.

log>0貝小閆卜

14.已知函數(shù)/(x)=<2

3-2-x,x<0

（答案）1

（解析）

,由?、?/p>

（分析）將x代入解析式可得=/（-1）可求得結(jié)果.

(詳解)V=log21=-1,=/(-I)=3-2=1.

故答案為：1.

is.在扇形。尸。中，半徑為1,圓心角為假設(shè)要在扇形上截取一個(gè)面積為1的矩形

ABCD,且一條邊在扇形的一條半徑上，如下圖，則tan。的最小值為

12

（答案）—2.4

5

（解析）

（分析）設(shè)NPOC=a,分別用含有a的三角函數(shù)表示寫出矩形的面積，求出矩形的面積的

設(shè)NPOC=a,ae（O,。），扇形OP0中，半徑為1,AD=BC=sma,OB=cosa,

?iADsina

AB=OB-OA=OB----------=cosa-----------

tan0tan0

sina

Sg=sinacosa----------

tan。

1-COS2（7

-sin2a-

21tan。

11.ccos2a、1

=-sin2aH-------------------(sin2asin0+cos2acos6)-------

2vtan0J2tan02sin。2tan。

——--cos(2a-0)----——,

2sin82tan0

當(dāng)a=g時(shí)，矩形Z8CD的最大面積為匕.1八1八=k,

221sin6tan622

10102(2

所以當(dāng)一tan—2—，解得：tan—2—.即|tan—=-

2232312人皿3

2tanye

tan8=-------,令tan—=x(x>0),

-7tf9

1-tan"一

2

2x_2

所以>=匚3=1一,y在(0,+“)上單調(diào)遞增，

---X

X

2X3

故答案為：—.

16.已知向量海，滿足問(wèn)=2忖=3同=6,假設(shè)以向量標(biāo)為基底，將向量）表示成3=花+〃僅九〃

為實(shí)數(shù)），都有以+”,，1,則￡石的最小值為

（答案）4-4屈

（解析）

（分析）向量的模長(zhǎng)已知，依據(jù)數(shù)量積公式可知所求為向量夾角余弦值的最小值，結(jié)合函數(shù)

f（X）=COSX在區(qū)間［0,7i］上單調(diào)遞減可得a-b的最小值為4-4JTU.

（詳解）由題可知，忖=6，W=2，H=3.

不妨設(shè)厲=2=（6,0）,赤=幾3=2,則點(diǎn)3、。分別在以原點(diǎn)為圓心，半徑分別為2和3的圓上運(yùn)

動(dòng),

又c=/i￡+〃次力〃為實(shí)數(shù)），都有以+〃|”1,

所以當(dāng)A、B、。三點(diǎn)共線時(shí)且此線與半徑為2的圓相切時(shí)，向量的夾角。最大，此時(shí)，的最

小.

此時(shí)，在△NOC中，由余弦定理可得,

OA2+OC2-AC2

cosZAOC=

2OAOC

62+32-(V5+4V2)2

2x3x6

4-4V10

3x6

73=1那同COS。

=2x3cosZAOC

c,4-4廂

=2x3x--------

2x3

=4-4-710

故答案為：4-4V10.

四、解答題：此題共6小題，共70分.解容許寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.如圖，己知口/BC的外接圓。的半徑為4,AO=2AC+JB-

⑴求口43。中NC邊的長(zhǎng)；

[2]假設(shè)力8=4,求雙.茄.

（答案）（1）2(2)-12

（解析）

]________2笈

（分析）（1〕先推斷出的=2就，即可求出AC=-BO=2；（2）先推斷出向量力，刀夾角為手

，夾角為行.把雙=a+就轉(zhuǎn)化為0cz8=（OZ+ZC>/8,利用數(shù)量積的定義和運(yùn)算

律直接求解.

（小問(wèn)1詳解）

因?yàn)轲?=2萬(wàn)+方，所以萬(wàn)方=2衣.

所以/C//80,目一ZC=，8O=2.

2

（小問(wèn)2詳解）

因?yàn)榭?BC的外接圓。的半徑為4,所以。4=08=4.

71

又/8=4,所以口4S。為等邊三角形，所以NZ08=N048=—.

3

2乃

所以向量次，益夾角為

因?yàn)閆C//8O,所以/。/。=/4。8=工，所以向量工,荏夾角為”.

33

因?yàn)殡p=由+就，

所以發(fā).五§=（5+就）?施

=OAAB+7CAB

=-12.

18.已知函數(shù)/（力=然比3%+0）（4>0,>>0）

[1〕假設(shè)將/（X）圖像上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的3（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖像向上平移1個(gè)單位得

到g（x）的圖像，且g（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，求夕的最小正值；

[2]如圖，函數(shù)/（x）的圖像與歹軸的交點(diǎn)為M（O,D,與x軸正半軸最靠近y軸的交點(diǎn)為N（3,O）,y軸右側(cè)

第一個(gè)最ga。點(diǎn)和第一個(gè)最di點(diǎn)分別為8C,其中口08&。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為3行.|。|＜曰，

求八x）的解析式，以及/（x）的最小正周期.

71

（答案）（1）-

2

⑵=+最小正周期為8

（解析）

（分析）（1）依據(jù)函數(shù)平移得到g（x）的解析式，依據(jù)g（x）為偶函數(shù)求出夕的最小正值為]；

（2）依據(jù)口08。面積求出/=行，代入特別點(diǎn)坐標(biāo)求出。=；,。=:，從而求出/（x）的解析式，以

及/（x）的最小正周期.

（小問(wèn)1詳解）

兀

由題意得：g（x）=〃sin（2＜yx+0）+l,艮9=工+尿,壯乙

TT

當(dāng)左=0時(shí)，e取得最小正值，最小正值為上：

2

（小問(wèn)2詳解）

由圖像可知：Nsine=l,Zsin（30+0）=O,

因?yàn)?＞0,所以S口。的=；。％?2%=3〃=3后，解得：A=C.，

即sin°=4,因?yàn)槔?,所以g=:,

因?yàn)榕cx軸正半軸最靠近N軸的交點(diǎn)為N（3,0）,

TT\TT7T

3。+—|=0,所以3。+—=兀，解得：＜y=一,

I4）44

/（x）=+最小正周期為主=8

19.已知函數(shù)/(x)=sin|2x-3)+sin(x+77T).

6

(1)假設(shè)sinx+看=丁3求/(x)的值;

5

(2)假設(shè)在銳角口48。中，角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知/(Z)=2,a=2,[\ABC

的周長(zhǎng)的取值范圍.

8

(答案)m

25

(2)(4,6]

(解析)

7T將71:3代入求解;

(分析)(1)化簡(jiǎn)得至U/(x)=2sin2x+—I+sinIx+—j—1,sinx+-7]=

665

2+4sin(6+工

(2)由/(/)=2,求得〃=得到外接圓的直徑，然后由三角形的周長(zhǎng)/I6J求

解.

(小問(wèn)1詳解)

解：/(%)=sin12x-7-1+sin|x+—I,

66

一cos2xH—I+sinIx4—71I,

36

2sin?卜+看+sin(x+看-1,

因?yàn)閟in|x+?)=3

5

所以/(x)=2x(|)+|-14

(小問(wèn)2詳解)

+sinp+-

/(⑷=2si:-1=2,

nV+7l6

即2sin2M4--^-j+sinM+^-j-3=0,

6

解得sin[z+.)=l或5淪(/+曰=一■|(舍去),

則/+工=工，解得/=￡,所以外接圓的直徑為2火='=勺m

623sin/3

所以三角形的周長(zhǎng)為/=2+2/?(sinB+sinC),

=2+2/?sin8+sin絲-8,

3

\\°))

=2+2岳呵8+今

2+4sin[8+?),

Q<B<-

因?yàn)槿切问卿J角三角形，所以<2,

0<C<-

I2

71

0<B<-

77171

即〈c,解得一<8<一,

c2萬(wàn)0萬(wàn)62

0<------B<—

I32

e77C1.(_)

則一<BnT—<—，—<sinBH—<1,

3662I6J

所以/e(4,6].

20.2023年4月21日，在學(xué)?？疾煺{(diào)研時(shí)提出“文明其精神，野蠻其體魄"，"野蠻其體魄"就是強(qiáng)身健

體，青年少的體質(zhì)狀況不僅關(guān)乎個(gè)人成長(zhǎng)和家庭幸福，也關(guān)乎國(guó)家末來(lái)和民族期望.某校為了解學(xué)生每日

行走的步數(shù)，在全校2400名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，給他們配發(fā)了計(jì)步手環(huán)，統(tǒng)計(jì)他們的日行步數(shù)，按

步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如下圖，

[1]求a的值，并求出這200名學(xué)生日行步數(shù)的樣本平均數(shù)；

[2]學(xué)校為了鼓舞學(xué)生強(qiáng)化運(yùn)動(dòng)，決定對(duì)步數(shù)大于或等于11000步的學(xué)生加1分，計(jì)入期末三好學(xué)生評(píng)選的

體育考核分，估量全校每天獲得加分的人數(shù).

網(wǎng)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，估量從該校高一（1）班任取3名學(xué)生，恰有2人能獲得加分的概率.

（答案）⑴a=0.10；9.44千步;

（2）720（3）0.189

（解析）

（分析）（1）依據(jù)頻率分布直方圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，利用頻率和為1求出a；利用求平均數(shù)公式直接求解；

（2）先求出樣本中步數(shù)大于或等于11000步的學(xué)生所占的頻率，由此估量全校每天獲得加分的頻率，即

可求出全校每天獲得加分的人數(shù)；（3）利用相互獨(dú)立事件的概率公式和概率的加法公式即可求解.

（小問(wèn)1詳解）

在頻率分別直方圖中，設(shè)第，組的頻率為￡。=1,2,3,4,5,6,7,8）.

則工=0.005x2=0.01；f2=0.055x2=0.11；,/3=0.09x2=0.18；/4=0.15x2=0.30；八=2a

；^=0.08x2=0.16；=0.015x2=0.03；人=0.005x2=0.01.

8

由￡/=1，可得：人=2。=0.20,解得：a=0.10.

/=!

這200名學(xué)生日行步數(shù)的樣本平均數(shù)為1=工％+力電+力3+力4+fsX5+./>6+力匕+A

=0.01x3+0.11x5+0.18x7+0.30x9+0.20x11+0.16x13+0.03x15+0.01x17

=9.44.

【小問(wèn)2詳解）

設(shè)步數(shù)大于或等于11000步的學(xué)生所占的頻率為p.

則2=0.10x1+0.08x2+0.015x2+0.005x2=0.3.

由此估量全校每天獲得加分的同學(xué)的頻率為0.3,

所以估量全校每天獲得加分的人數(shù)為2400x0.3=720.

（小問(wèn)3詳解）

由題意可得：每名同學(xué)能獲得加分的概率為0.3,且他們相互獨(dú)立.

所以任取3名學(xué)生，恰有2人能獲得加分的概率為

P-0.3x0.3x0.7+0.3x0.7x0.3+0.7x0.3x0.3=0.189.

21.如圖，在三棱柱：NBC—44G中，AB1AC,Z8=ZC=2,點(diǎn)。為線段8C中點(diǎn)，側(cè)面

BCC'B］為矩形.

（1）證明：平面4/。，平面

27r1

（2）假設(shè)二面角/—8。一4的正切值為求C0與平面48c所成角的正弦值.

（答案）（1）證明見(jiàn)解析；

（解析）

（分析）（1）由線面垂直的判定定理證得3CJ?平面再由面面垂直的判定定理可得證；

（2）由（1）可得N4'就是二面角/—8C—4的平面角，設(shè)〃/=x，在口力第8，△4。8，

口中，由余弦定理建立方程可求得4〃=2,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x,y,Z軸建

立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的空間向量求解方法可求得答案.

（小問(wèn)1詳解）

證明：因?yàn)?8=ZC=2,點(diǎn)。為線段8c中點(diǎn)，所以NOL5C,

又側(cè)面6CC4為矩形，所以所以

又所以8C_L平面441。，

因?yàn)?Cu平面BCC[B],所以平面AA{D1平面BCCR；

(小問(wèn)2詳解)

解：由(1)得8C1平面Z4。，所以8C，4。，又BCLAD,所以就是二面角

/—8C—4的平面角，

所以tanZA^DA=[,則sinZA,DA=,cosZADA=，

21515

設(shè)4/=x,

2萬(wàn)077"

在口443中，Z.AXAB=—^―,AB=2,所以二%2+4—2x?2?cos—^-=x?+2x+4,

222

在/\A]DB中,A}D=A}B—BD=x+2x+4—2=x?+2x+2,

222222

n//AL//八/AD+AD-A,ANIX+2X+24-(V2)-X邛

5

所以在口44。中，cosZA}DA--------------——,即\,

2A,D-AD2&+2x+2.后5

2

化簡(jiǎn)得3x2—4x-4=0,解得》=2(x=一§舍去)，

所以//=2,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,DB,Dz分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如以下圖所示,

過(guò)4作4"，底面Z8C,

因?yàn)?&=2,4呂？=f+2x+4=12,則48=26，AQ=XA?_=M，

則A.H=NQsinAA.DA=gx而=及"=應(yīng)，

則4(2V2,0,V2),A(y/2,0,0),5(0,72,0),C(0,-V2,0),

貝D45=(-272,V2,-V2),SC=(0,-272,0),

設(shè)平面46c的法向量為而=(x,y,z),

由比?46=+—V2z-0>m-BC=-2^2，

則k0,令工=1,則z=—2,即而=(1,0,-2),Cq=Z4；=(72,0,72),

設(shè)CG與平面48c所成的角為e,

..Z)_II~r7^-\|_""I_"^2_V10

則sin0=cos(CCm/\=—i=—j=—=，

]9?

\\\cC}[\/n\V5x210

所以CG與平面48c所成角的正弦值為零.

X2—2a

22.已知函數(shù)/(x)=^——,〃>0

x-1

⑴當(dāng)4=1時(shí),求/(x)在區(qū)間［4,8］上的值域;

［2］函數(shù)g(x)=x|x—a|,假設(shè)對(duì)任意與e［4,8］,