2022-2023學(xué)年北京市高一年級(jí)下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市高一下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)模擬試題

(含解析)

一、選擇題(每題5分)

1.sin240。的值為()

A.--B.yC.--D.B

2222

【正確答案】C

【分析】利用誘導(dǎo)公式求得正確答案.

【詳解】sin240°=sin(360°-120°)=-sin120°=-當(dāng)

故選：C

2.若復(fù)數(shù)(2-i)(a+i)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)2=(

11

A.3B.-C.—D.-3

33

【正確答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)(2-i)(a+i),然后利用復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和

為零，列方程求解即可.

【詳解】因?yàn)?2—i)(a+i)—2tz+2i—ai+1=2a+1+(2—a)i,

且復(fù)數(shù)(2-i)(a+i)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，

所以，2。+1+(2-a)=0,

解得a=-3,故選D.

復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解,

掌握純虛數(shù)、共飄復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查乘法/除法運(yùn)算，運(yùn)

算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.

3.已知向量B在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,

510a-b=()

C.6五D.—6g

【正確答案】B

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，表示出向量的坐標(biāo),利用坐標(biāo)法求出數(shù)量積;

【詳解】解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系,

故選：B

71

4.半徑為2,弧長(zhǎng)為二的扇形的面積為（)

71271cW2萬(wàn)2

A.—B.—D.

555"T

【正確答案】A

【分析】利用公式可求扇形的面積.

ITT1T

【詳解】扇形的面積為一x2x-=一,

255

故選：A.

4

D.

5

【正確答案】A

【分析】

將4+a轉(zhuǎn)化成在用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，代入求值即可.

42V4)

…初、I(71)4g.「乃1.(九(萬(wàn)X(7T

【詳解】由cos|——a|=一得sin—+a=sm-------a=cos---a=—.

U)514J(2(4))U)5

故選：A

jr

6.已知aABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,若A=§，b=2acosB,c=l,則

△ABC的面積等于()

A.2B.也C.?D.也

2468

【正確答案】B

【詳解】試題分析：根據(jù)正弦定理，一="一由b=2acos8可得sin8=2sin/cos8,

sinAsinB

/.tanB-s'”'=2sinA=2sin—=M,「.在\ABC中8=工，

cos533

:.C=7T-A-B=-,：.MBC為邊長(zhǎng)為1的正三角形，=-xlxlxsin60u=—.

3MBC24

故B正確.

考點(diǎn)：正弦定理.

【思路點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，屬容易題.三角形問(wèn)題中強(qiáng)調(diào)邊角統(tǒng)一，邊角互化可以用

正弦定理和余弦定理.本題中應(yīng)根據(jù)正弦定理將己知條件轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)之間的關(guān)系式,

即可輕松求得所求.

7.下列函數(shù)中，最小正周期為"的奇函數(shù)是（）

A.尸sinx+B.^=sin|2x|

C.y=s?inxcosxD.y=cos?x-si?n7-x

【正確答案】c

【分析】利用二倍角公式及正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；

【詳解】解：對(duì)于A：N=sin（x+?）最小正周期為2乃，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：y=/（x）=sin|2x|,則/（一尤）=5訶-2乂=5訪|2司=/（1），故歹=sin悟x|為偶

函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

127r

對(duì)于C：y=sinxcosx=-sin2x,最小正周期7=—=%，且為奇函數(shù)，故C正確；

“22

對(duì)于D：j/=cos2x-sin2x=cos2x,最小正周期為乃的偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；

故選：C

8.在Z8C中，acosA=bcosB,貝U的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【正確答案】D

【分析】利用正弦定理的邊角互化可得sin2/=sin2B,進(jìn)而可得2/=28或2/+28=不，

即可求解.

【詳解】acosA=hcosB,正弦定理可得27?sinZcos/=27?sinBcosB,

BPsin2^=sin25,2Z?0,2%）,23G（0,2乃）,

71

???2/=26或2么+28=乃，，4=8或Z+6=一,

2

為等腰三角形或直角三角形.

故選：D

9.已知函數(shù)y=Zsin3x+e）+8|4>0,0〉0,|d<g的一部分圖象，如下圖所示，則

I2）

Y兀

A.A=4B.69=1C.5=4D.(p--

6

【正確答案】D

【分析】根據(jù)Vmax，Vmin可求得43的值，知AC錯(cuò)誤；根據(jù)圖象可求得函數(shù)最小正周期,

2兀7T

由一可知B錯(cuò)誤；利用x=一時(shí)，N=4可構(gòu)造方程求得0的值，知D正確.

T6

【詳解】由圖象可知：乂皿=4,乂^=°，.?./=/皿/近=2,6=乂弓2皿=2,

AC錯(cuò)誤；

?.?y=Rsin（<ox+0）+8的最小正周期T=4x［五一wj=7t,3=7=2,B錯(cuò)誤；

當(dāng)x=E■時(shí)、2sin2x—+^>+2=4,即sin—+（p=1,

6I6；^3）

.,.；+夕=>2E（左eZ）,解得：e=聿+2碗（左eZ）,又時(shí)c?”=熹，D正確.

故選：D.

10.如圖是一個(gè)半徑為7?的水車(chē)，一個(gè)水斗從點(diǎn)2（36,-3）出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽?/p>

速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)60秒，經(jīng)過(guò)f秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P,設(shè)尸的坐標(biāo)為P（x，y）,

其縱坐標(biāo)滿足_y=/（/）=Asin（函+e）L〉0,?！?,閘則下列敘述錯(cuò)誤的是

()

y/

n/兀兀

A.R=6、(o=—、(p=——

306

B.當(dāng)[35,55]時(shí)，點(diǎn)p到x軸距離的最大值是6

C.當(dāng)te[10,25]時(shí),函數(shù)歹=/(。單調(diào)遞減

D.當(dāng)f=20時(shí)，|4|=66

【正確答案】ABD

Ijr兀)

【分析】A選項(xiàng)可由已知條件得到；BC選擇根據(jù)函數(shù)/(/)=6sin—的性質(zhì)得至1),

1306)

D選項(xiàng)，先由函數(shù)得到戶點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得|A4|.

【詳解】A選項(xiàng)：

有題意R=小(3百1+(-3『=6，T=60，o)=—=—,

因從點(diǎn)/(3瘋-3)出發(fā),所以/⑼=—3,

代入得/(0)=6sin9+4=-3,

得sine=-1，因|0|＜弓，所以片一色，故A正確，

226

選項(xiàng)B：

由A得,〃f)=6sinja-外,

1411O)

5'

當(dāng)￡￡[35,55]時(shí)，—Z——￡兀兀,

所以/(/)e[-6,0],

故點(diǎn)尸到X軸距離的最大值是6,B正確;

選項(xiàng)C：

因/⑺=6sin（金一￡|,

令乙+2版《2/一四〈型+2加，keZ,

23062

得20+60k</<50+60k,kwZ,

故當(dāng)/?10,25］時(shí):函數(shù)丁=/（。不是單調(diào)遞減的，C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：

當(dāng)f=20,/（20）=6sin（鬻-外=6,

IJUo）

故尸（0,6）,=,倒—36）2+（6+3『=66，故D正確,

故選：ABD

二、填空題（每題5分）

11.函數(shù)丁=3tan（x-的定義域是.

【正確答案】左乃+與，左

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域求解即可得出答案.

【詳解】函數(shù)N=tanx的定義域?yàn)椋簀x|x^ht+pkeZ

n,71,3兀

X-----羊尿+一,：.X手k兀T-----

424

即：函數(shù)丁=3tan（x-：J的定義域?yàn)椋海踴\x^kn+^-,keZ

故，x|xwhr+久，k&Z

4

12.復(fù)數(shù)z=（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.

【正確答案】二

【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為4+尻的形式，即可得到結(jié)果.

zZ(l+z)11.

【詳解】復(fù)數(shù)——=7一、/、=一一+-Z

1-z(l-z)(l+z)22

復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(—,,；).在第二象限.

故二.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，是容易題.

13.已知向量B滿足同=3,W=2,[a-b^Vb,則cos(a,B)=

2

【正確答案】§

【分析】利用平面向量垂直得向量數(shù)量積為0,結(jié)合向量數(shù)量積的定義即可求解.

【詳解】解:因?yàn)閮H一可二，所以僅一可看二黑B—片第怫05@4書(shū)2=0,

又同=3,W=2,所以3x2cos(a,B)-4=0,解得cos(a,B)=；

故答案為.；

14.在△/8C中，若屆一加-^二加，則/=.

27r

【正確答案】y

【分析】由己知關(guān)系式變形整體得到coM即可.

*222]

【詳解】由加一。2=歷可得：卜+0-a,

2bc2

124

即cosA=---,所以〃=---

23.

,,In

故T-

15.北京101中學(xué)校園內(nèi)有一個(gè)“少年湖”，湖的兩側(cè)有一個(gè)音樂(lè)教室和一個(gè)圖書(shū)館，如圖，

若設(shè)音樂(lè)教室在A處，圖書(shū)館在B處，為測(cè)量A,B兩地之間的距離，某同學(xué)選定了與A,

B不共線的C處，構(gòu)成△ABC,以下是測(cè)量的數(shù)據(jù)的不同方案：①測(cè)量NA,AC,BC；②

測(cè)量NA,ZB,BC；③測(cè)量/C,AC,BC；④測(cè)量/A,ZC,ZB.其中一定能唯一確定

A,B兩地之間的距離的所有方案的序號(hào)是

B

【正確答案】②③.

【詳解】分析：由題意結(jié)合所給的條件確定三角形解的個(gè)數(shù)即可確定是否能夠唯一確定4

8兩地之間的距離.

詳解：考查所給的四個(gè)條件：

①測(cè)量N4AC,BC,已知兩邊及對(duì)角，由正弦定理可知，三角形有2個(gè)解，不能唯一確

定點(diǎn)8兩地之間的距離；

②測(cè)量N/,NB,BC,已知兩角及一邊，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確

定點(diǎn)48兩地之間的距離；

③測(cè)量NC,AC,BC,已知兩邊及夾角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確

定點(diǎn)48兩地之間的距離：

④測(cè)量NC,NB,知道三個(gè)角度值，三角形有無(wú)數(shù)多組解，不能唯一確定點(diǎn)48兩

地之間的距離；

綜上可得，一定能唯一確定Z,8兩地之間的距離的所有方案的序號(hào)是②③.

點(diǎn)睛：本題主要考查解三角形問(wèn)題，唯一解的確定等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算

求解能力.

16.已知函數(shù)/'（x）=binx|-cosx,xeR.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①/（x）是偶函數(shù)；

②/（X）的值域是卜也加］:

③/（X）在區(qū)間（牛,兀）上是減函數(shù).

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【正確答案】①③

【分析】計(jì)算出〃一力=/（無(wú)）可判斷①，分xe［O,可、xe［兀,2兀］兩種情況求出〃x）的

范圍，然后結(jié)合其周期性可得其值域，即可判斷②，當(dāng)時(shí),

/(x)=VisingX-：),然后可判斷③.

【詳解】因?yàn)?(-x)=|sin(-x)|-cos(-x)=|sinx\-cosx=/(x),所以/(x)是偶函數(shù),

故①正確,

當(dāng)X￡［0,兀］時(shí)?，/(x)=sinx-cosx=

當(dāng)x￡［兀,2可時(shí),/(x)=-sinx-cosx=-V^sin［x+:卜

又因?yàn)?(x+2兀)=|sin(x+27t)|-cos(x+27i)=/(x),所以/(x)的值域是［-1,、回］,

故②錯(cuò)誤；

,,,71713兀

當(dāng)兀時(shí)'f(x)-sinx-cosx=止匕時(shí)x——e

425T

所以/（x）在區(qū)間（子,兀）上是減函數(shù)，故③正確，

故①③

三、解答題（17題12分，18-19每題15分，20-21每題14分）

17.已知sina=』，且aJ：/］

1312）

（1）求tana的值；

cos2a

（2）求氐f的值.

【正確答案】（1）--

12

【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)平方和商數(shù)關(guān)系直接求解即可：

（2）利用二倍角余弦公式和兩角和差的正弦公式直接求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

aG—,7i,：.cosa<0,cosa=-V1-sin2a=-----,

(2)13

5

sina135

cosa1212

"13

【小問(wèn)2詳解】

vcos2a=l-2sin2a=l-2x—=—

169169

18.已知向量;=(1,2),%=(—3,k).

（1）若:〃W，求利的值；

（2）若:_L（：+2Q,求實(shí)數(shù)左的值；

（3）若:與W的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

【正確答案】（1）3逐；

1

（2）k=一；

4

3口

（3）一且厚一6.

2

【分析】（1）解方程lxA-2x（—3）=0即得解;

（2）解方程1*（-5）+2、（2+2左）=0即得解;

(3)解不等式”(—3)+2、左<0且存一6,即得解.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)橄蛄?=(1,2),%=(—3,k),且;〃W，

所以lx%—2x(-3)=0,解得/=-6,

所以W=7(-3)2+(-6)2=3V5.

【小問(wèn)2詳解】

解：因?yàn)椋?21=(一5,2+2左),且

所以1x(—5)+2x(2+2左)=0,解得k=’.

4

【小問(wèn)3詳解】

解：因?yàn)?與的夾角是鈍角，則］^<0且:與％不共線?

3

即1x(-3)+2x%<0且原一6,所以《〈一且物一6.

2

’1

19.已知函數(shù)/(x)=cosx—COSX+——sinx

22

\7

(1)求/(兀)的值;

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間;

7171

(3)當(dāng)xe時(shí)，求"X)的最大值與最小值.

63_

【正確答案】(1)/(%)=；?

/rTC1

(2)k冗,k7c+—(左￡Z).

_36J

3

(3)所以/(x)的最大值為一，最小值為0.

4

【分析】⑴由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可得/(x)=gsin(2x+V)+；,將》=萬(wàn)代

入即可得出答案;

(2)

262

V7Ji.

⑶由xe，可得——<2x+—K——，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)從而可求函數(shù)/(x)的

63J666

最大值與最小值.

【小問(wèn)1詳解】

16.\12石.11+COS2xG.c

f(x)-COSX一cosxd---sinx=—cosxH---sinxcosx=-----------+——sin2x

22J22224

立sin2x+，cos2x+!」sin(2x+q+

4442I6j4

/'(〃)=-sin2^-d——+—=-.

2I6J42

【小問(wèn)2詳解】

由2k九一七42x+—<2k7r+—=>k/r--<x<k/r+—(ke2

26236V

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間是版■-。,叔?+.(丘Z).

【小問(wèn)3詳解】

冗冗—rZA兀/C兀/5兀11、、九1

由—，可得—<2xH—K—，，從而sin2xH—E—

63J66616J[_2

/、3

所以函數(shù)/(x)的值域?yàn)?,-.

3

所以/(x)的最大值為一，最小值為0.

4

20.在Z8C中，cos25=V3cosS-l

條件①：sinJ=GsinC、b=2；

條件②：AC=娓,8c邊上的高為2；

條件③：2b=3。、fesirU=1

(1)求

(2)從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，使得N8C存在且唯一確定時(shí)，求

Z8C的面積

【正確答案】(1)B毛

6

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)由二倍角的余弦公式求解即可；

(2)選①，由正弦定理結(jié)合余弦定理求解即可；選②，由余弦定理可得a=2/土也,

Z6C存在但不唯一確定.選③，由正弦定理結(jié)合余弦定理求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

已知/8C中，'cos25=V3cos5-l,

則2cos2S-1=VJcosfi-l,.,.2cos‘8=6cos8,

即cosB=—,

2

又0<6〈無(wú)，則8=m7T；

6

【小問(wèn)2詳解】

選①，即sin4=JJsinC、b=2；

由正弦定理可得a=&,

由余弦定理b?=a2+c2-2accosB可得：4=tz2+c2—y/3ac,則a=2A/3,C=2,,

則S"C=3X2GX2X3=K,

即ABC存在且唯一確定，此時(shí)ABC的面積為由.

2

選②，即6=#,8C邊上的高為2,即。=——=4,

sin5

由余弦定理〃=q2+c2—2accos6可得：a2-4V3a+10=0

則a=26±萬(wàn)

即Z8C存在但不唯一確定.

選③，即26=3。、6sinA=\,

結(jié)合正弦定理」一=上一及8=三可得：a=2,b=3,

siMsin56

由余弦定理/=/+/_2QCCOS6可得:

C2-2V3C-5=0,

即。=0+2正,則

01o(A.1V3+2V2

S詆=5x2x(j3+2j2)x-=-------

即Z8C存在且唯一確定，此時(shí)ABC的面積為百+2近

2

21d=IV3sin69x,sin69x+cos69xj,b=(2coscox.sincox-coscox),/(x)=5-b,

TT

(I)若69=1,求/一的值;

【6

(2)若函數(shù)/.(x)的最小正周