流體力學(xué)-10相似原理和因次分析

第十章相似原理和量綱分析§10–1力學(xué)相似原理§10–2相似準(zhǔn)則數(shù)§10–3模型規(guī)律§10–4因次分析法3/14/20241第十章相似原理和量綱分析

實(shí)驗(yàn)既是發(fā)展理論的依據(jù)又是檢驗(yàn)理論的準(zhǔn)繩，解決科技問題往往離不開實(shí)驗(yàn)手段的配合。

a、工程性的模型實(shí)驗(yàn)。目的在于預(yù)測即將建造的大型機(jī)械或水工結(jié)構(gòu)上的流動情況；

b、探索性的觀察實(shí)驗(yàn)。目的在于尋找未知的流動規(guī)律，指導(dǎo)這些實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ)就是相似原理和量綱分析。工程流體力學(xué)中的實(shí)驗(yàn)主要有兩種：3/14/20242§10-1

相似原理

當(dāng)設(shè)計(jì)制造某些復(fù)雜而龐大的水力機(jī)械，建造水利工程以及研究某些復(fù)雜的水力現(xiàn)象時(shí)，往往要根據(jù)相似原理，設(shè)計(jì)制造縮小了尺寸的模型。進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，通過對模型的流動狀況觀測來推斷實(shí)物的流動狀況及有關(guān)數(shù)據(jù)。分析研究模型和實(shí)物間的相似關(guān)系的基本理論稱為相似理論。實(shí)物又稱為原型。

定義：3/14/20243一、幾何相似

模型參數(shù)加腳碼m

，原型參數(shù)加腳碼n表示。線性比尺為（10—1）面積比尺為（10—2）體積比尺為（10—3）原型與模型中對應(yīng)的幾何線性尺寸成比例，對應(yīng)的幾何角度相等，稱為幾何相似。定義：3/14/20244二

、運(yùn)動相似

時(shí)間比尺為（10—4）速度比尺為（10—5）加速度比尺為（10—6）原型與模型中相應(yīng)流線幾何相似，即對應(yīng)的運(yùn)動參數(shù)如速度、加速度方向一致，大小成比例，稱為運(yùn)動相似。定義：3/14/20245

三

、動力相似密度比尺為（10—7）質(zhì)量比尺為（10—8）力的比尺為（10—9）原型與模型中對應(yīng)點(diǎn)處受力方向相同、大小成比例，稱為動力相似。

定義：3/14/20246單位質(zhì)量比尺為（10—10）據(jù)式（10—9）可寫即（10—11）式中，為一個(gè)無因次量，稱為牛頓數(shù)，以表示。（10—12）

就是說，兩個(gè)幾何相似的流動，如果動力相似，則牛頓數(shù)必相等；反之，牛頓數(shù)相等的兩個(gè)幾何相似的流動，必然是動力相似的。故幾何相似僅是相似的必要條件，而運(yùn)動相似和動力相似才是相似的充要條件。故式（10—11）變?yōu)?/14/20247§10-2

相似準(zhǔn)則數(shù)一、雷諾數(shù)

由式（10—10）知慣性力的因次為，如用T替換F，則因，故簡化上式得（10—13）

式中，稱為雷諾數(shù)數(shù)。物理意義：粘性引起的內(nèi)摩擦力為，從因次上可寫慣性力與粘性力的比。3/14/20248二、弗諾得數(shù)用以代替式（10—10）中的F，則簡化后得（10—14）式中，稱為弗勞德數(shù)。物理意義：慣性力與重力之比。在具有自由表面的液流中，起主要作用的為重力在因次上為3/14/20249三、歐拉數(shù)在因次上為將其代替式（10—10）中的F時(shí)，則即式中，稱為歐拉數(shù)。物理意義：（10—15）壓力與慣性力之比。研究淹沒在流體中的物體表面上的壓力或壓強(qiáng)分布時(shí)，起主要作用的力為壓力。3/14/202410定義：

（10—16）稱為不可壓縮流體定常流動的力學(xué)相似準(zhǔn)則。如果兩個(gè)流動成力學(xué)相似，則它們的弗勞德數(shù)、歐拉數(shù)、雷諾數(shù)必須各自相等。于是3/14/202411四、馬赫數(shù)當(dāng)考慮流體壓縮性時(shí)，彈性力起主要作用F=EA3/14/202412五、韋伯?dāng)?shù)六、阿基米德數(shù)3/14/2024133/14/202414§10-3模型律

兩個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)在同一個(gè)物理現(xiàn)象中，常不能同時(shí)滿足相似關(guān)系。例如雷諾數(shù)和弗勞德數(shù)就不易同時(shí)滿足。

這在技術(shù)上很難甚至不可能做到。實(shí)際中，常常要對所研究的流動問題作深入的分析找出影響流動問題的主要作用力，滿足一個(gè)主要力的相似而忽略其它次要力的相似。欲使雷諾數(shù)相等，將有欲使弗勞德數(shù)相等，將有3/14/202415

例：對于管中的有壓流動及潛體繞流等，只要流動的雷諾數(shù)不是特別大，一般其相似條件依賴于雷諾準(zhǔn)則數(shù)。而行船引起的波浪運(yùn)動、明渠水流、繞橋墩的水流、容器壁小孔射流等主要受重力影響，相似條件要保證弗勞德數(shù)相等。3/14/202416§10-4因次分析法一、定理

假定用函數(shù)（10—18）表示一個(gè)需要研究的物理規(guī)律，在一定的單位制下，這k+1個(gè)物理量都有一定的單位和數(shù)值。一物理現(xiàn)象所包含的各物理量間的函數(shù)關(guān)系，如果選用一定單位制，則其關(guān)系的函數(shù)式就確定了，若改變單位制則函數(shù)關(guān)系可能受影響。要使它不受單位制選擇的影響，必須具有特殊的函數(shù)關(guān)系的結(jié)構(gòu)形式。定理就是化有量綱的函數(shù)關(guān)系為無量綱的函數(shù)關(guān)系式的方法。3/14/202417

取對所研究的問題有重大影響的幾個(gè)物理量。例如取作為基本單位。其中單位制需滿足：（1）基本單位應(yīng)該是各自獨(dú)立的；（2）利用這幾個(gè)基本單位應(yīng)該能夠?qū)С銎渌枰囊磺形锢砹康膯挝弧?/p>

由于研究問題各不相同，對每種問題起重大影響的因素自然也不同。滿足上述兩點(diǎn)要求的基本單位可以有很多種組合形式。

例如研究水頭損失及流動阻力等問題，其影響因素常離不開線性尺寸，流體運(yùn)動速度及流體密度這三個(gè)基本物理量。這三個(gè)物理量分別具有幾何學(xué)、運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)的特性。滿足要求（1）、（2），因而以可以組成一組特殊單位制。3/14/202418

因而式（10—18）中的物理量都可以表示成這三種基本單位的一定冪次組合與一個(gè)無量綱數(shù)的乘積，即（10—19）與式中無量綱數(shù)（10—20）與

就是物理量N與基本單位制下的數(shù)值，因而在基本單位制下，式（10—18）的規(guī)律仍然不變，只是各物理量的數(shù)值有所改變。3/14/202419

于是，式（10—18）可寫成（10—21）從右端前三項(xiàng)不難看出，其分母上的乘冪為根據(jù)式（10—20）可得3/14/202420于是或（10—22）

這樣，運(yùn)用選擇新基本單位的辦法，可使原來k+1個(gè)有量綱的物理量之間的函數(shù)式（10—18）變成k+1-3個(gè)即k-2個(gè)無量綱數(shù)之間的函數(shù)式（10—22），這就是泊金漢定理。因?yàn)榻?jīng)常用π表示無量綱數(shù)，故又簡稱π定理。

因?yàn)棣惺菬o量綱數(shù)，因而式（10-20）右端分子分母的量綱必須相同，對每個(gè)物理量πi列出其分子分母量綱的冪次方程，聯(lián)立求解，即可確定式（10—22）中的所有量綱數(shù)。3/14/202421二、量綱分析的應(yīng)用

[解]

根據(jù)題意知選擇作為基本單位，于是[例題10—1]管中流動的沿程水頭損失。根據(jù)實(shí)際觀測知道，管中流動由于沿程摩擦而造成的壓強(qiáng)差與下列因素有關(guān)：管路直徑d

，管中平均速度，流體動力粘度，管路長度l

，管壁的粗糙度，流