變式猜想問題-2年中考1年模擬2024年中考數(shù)學(xué)系列（解析版）

備戰(zhàn)2018中考系列：劇考2耳中老1耳模也

第七篇專題復(fù)習(xí)篇

專題39變式猜想題

b斛維得點(diǎn)

矢口識(shí)點(diǎn)名師點(diǎn)晴

特殊的四邊形的變式題理解并掌握特殊的四邊形的性質(zhì)，并能解決四邊形的有關(guān)變

變式猜式問題

想問題

三角形有關(guān)的變式題利用三角形的性質(zhì)、全等、相似解決相關(guān)是變式問題

圖形的旋轉(zhuǎn)與對稱變式利用圖形的旋轉(zhuǎn)和有關(guān)變換解決相關(guān)的變式問題

寸2年中第

[2017年題組】

一、選擇題

二、填空題

三、解答題

1.（2017湖南省岳陽市）問題背景：已知/瓦>廠的頂點(diǎn)。在△ABC的邊A3所在直線上（不與A,2重.合）,

ZJE交AC所在直線于點(diǎn)。尸交8C所在直線于點(diǎn)N,記的面積為N，△8ND的面積為

（1）初步嘗試：如圖①，當(dāng)△ABC是等邊三角形,A8=6,ZEDF=ZA,>DE//BC,AD=2時(shí)，則SiS2=；

（2）類比探究：在（1）的條件下，先將點(diǎn)。沿A8平移，使AD=4,再將NEZ小繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至如圖②所

示位置，求S1S2的值；

（3）延伸拓展：當(dāng)AABC是等腰三角形時(shí)，設(shè)/B=/A=NEZm=a.

（I）如圖③，當(dāng)點(diǎn)。在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)BD=b,求N8的表達(dá)式（結(jié)果用a,6和a的三

角函數(shù)表示）.

（II）如圖④，當(dāng)點(diǎn)。在BA的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AO=a,BD=b,直接寫出S0的表達(dá)式，不必寫出解

答過程.

44

【解析】

試題分析：(1)首先證明△5DV都是等邊三角形，可得&=呼嗯2=石，&=呼?(4)M^3,

44

由此即可解決問題；

A"ADx4

(2)如圖2中，設(shè)AM=x,BN=y.首先證明可得----=——，推出一=—,推出xy=8,

BDBN2y

由Si工,AD,AM*sin6Qa=y/3x,S2=—DB*sin60°=-^-y,可得SiS,=石肛=12；

222'2'2'

(3)I如圖3中，設(shè)4W=x,BN=y,同法可證可得盯=",由'AD'AM'sma^axsma,

S2=—DB,BN'sina=1bysina,可得(ab)2sin2a.

22-4

(II)結(jié)論不變，證明方法類似；

試題解析：(1)如圖1中，:△ABC是等邊三角形，ZA=ZB=60°,\'DE//BC,ZEDF=60°,

:./BND=/EDF=60°,ZBDN=ZADM=60°,/\ADM,zYeDN都是等邊三角形，:.S廣昱?展=6,

4

2

S2=—?(4)=4V3,.,.SIS2=12,故答案為：12.

4

(2)如圖2中，設(shè)AM=x,BN=y."：ZMDB=ZMDN+ZNDB=ZA+ZAMD,ZMDN=ZA,：.ZAMD=ZNDB,

AMADx41r-

VZA=ZB,:.AAAMDsA^BDN,：.------=——，.,.xy=8,V5i=-'AD'AM'sin600o-V3x,

BDBN2y2

$2=-DB,5Z7160°=~~y,?SiS^=x*~~y=—孫=12.

22-2-2'

(3)I如圖3中，設(shè)A〃=x,8N=y,同法可證△&河。648￡)乂可得xy=",；Si=4-AD'AM-sina=-axsina,

S2=—DB'BN'sina=—bysina,：.Si&=—a2b2sin2a.

22-4

II如圖4中，設(shè)BN=y,同法可證△41〃)6八81加，可得xy=ab,Si=--AD'AM'sina=-axsina,

S2=—DB'BN'sina=—bysina,：.SiS2=—a2b2sin2a.

考點(diǎn)：L幾何變換綜合題；2.探究型；3.變式探究；4.動(dòng)點(diǎn)型；5.定值問題；6.壓軸題.

2.(2017遼寧省盤錦市)如圖，在放△ABC中，ZACB=90°,ZA=30a,點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，點(diǎn)尸為直線

8C上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8、點(diǎn)C重合)，連接OC、OP,將線段。尸繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段尸。,

連接BQ.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，請直接寫出線段與CP的數(shù)量關(guān)系.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明

理由；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸在BC延長線上時(shí)，若NBPO=15°,BP=4,請求出8。的長.

【答案】(1)BQ=CP-,(2)成立：PC=BQ；(3)4百一4.

【解析】

試題分析：3〉結(jié)論：BQ=CP.如圖1中，作PH4.45交。。干H,可得AS是等邊三角形，只要證明

△P。心ZkOPS即可；

(2)成立：PC=BQ.作PH"AB交CO的延長線于H.證明方法類似⑴；

(3)如圖3中，作CE_LOP于E,在PE上取一點(diǎn)F,使得FP=FC,連接CF.設(shè)CE=CO=a,則FC=FP=2a,

EF=6a,在R〃\PCE中，表示出PC,根據(jù)尸C+CB=4,可得方程(#+拒)。+"z=4,求出a即可解

決問題；

試題解析：(1)結(jié)論：BQ=CP.

理由：如圖1中，作PH//AB交CO于H.

在放ZkABC中，??ZACB=90°,ZA=30°,點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，CO=AO=BO,ZCBO=60°,.?.△CBO是

等邊三角形，/.ZCHP=ZCOB=60°,ZCPH=ZCBO=60°,AZCHP=ZCPH=60°,；.ACPH是等邊三

角形，：.PC=PH=CH,：.OH=PB,"：ZOPB=ZOPQ+ZQPB=ZOCB+ZCOP,'：ZOPQ=ZOCP=60°,：.

ZPOH=ZQPB,'：PO=PQ,：./\POH^/\QPB,：.PH=QB,：.PC=BQ.

(2)成立：PC=BQ.理由：作交CO的延長線于H.

在放ZVIBC中，ZACB=90°,ZA=30°,點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，Z.CO=AO=BO,ZCBO=60a,.?.△C30是

等邊三角形，AZCHP=ZCOB=60°,ZCPH=ZCBO=60°,AZCHP=ZCPH=60°,.?.△CP”是等邊三

角形，:.PC=PH=CH,：.OH=PB,'：ZPOH=60°+ZCPO,ZQPO=60°+ZCPQ,：.ZPOH=ZQPB,:

PO=PQ,:.叢POH絲4QPB,：.PH=QB,：.PC=BQ.

(3)如圖3中，作CEL。尸于E,在PE上取一點(diǎn)R使得尸P=PC,連接C尸.

ZOPC=15°,ZOCB^ZOCP+ZPOC,：.ZPOC=45°,：.CE=EO,設(shè)CE=CO=a,貝UFC=FP=2,a,EF=j3a,

在放△PCE中，PC=yjPE2+CE2=J(2a+6ay+<?=(A/6+坨a,:PC+CB=4,二

(V6+V2)(7+A/2G=4,解得a=4行一2?,；.PC=4右一4,由(2)可知2Q=PC,2。=4出一4.

考點(diǎn)：1.幾何變換綜合題；2.探究型；3.變式探究；4.壓軸題.

3.（2017遼寧省營口市）在四邊形中4BCD點(diǎn)￡為A3邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸為對角線8。上的一點(diǎn)，且斯

±AB.

（1）若四邊形ABC。為正方形.

①如圖1,請直接寫出AE與。尸的數(shù)量關(guān)系；

②將△班尸繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接AE,DF,猜想AE與。歹的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

(3)如圖3,若四邊形ABC。為矩形，BC=mAB,其它條件都不變，將△防F繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°

<a<90°)得到嚴(yán)，連接AE',DF',請?jiān)趫D3中畫出草圖，并直接寫出AE'與。尸'的數(shù)量關(guān)系.

B圖2

【答案】(1)@DF=42AE；②(2)DF'=y/l+nrAE'.

【解析】

試題分析：(1)①利用正方形的性質(zhì)得入-2)為等腰直角三角形，則再證明ABE尸為等腰直

角三角形得到BF=及BE,所以AB-0BE,從而得到DF=42.4E}

RFRDL

②利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得445E=ND55，加上二二===0,則根據(jù)相似三角形的判定可得到A45Esa

BEAB

(2)先畫出圖形得到圖3,禾！J用勾股定理得至1]8。=+A6,再證明得到一=一,

則里=吧=41+后,接著利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/ABE，=ZDBF',BE'=BE,BF'二BF,所以

BEBA

BF'BD

——=——=J1+4,然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到△ABE'S^DBF',再利用相似的性質(zhì)可得

BE'BA

DF'BDr——r

----=——+”.

AE'BA

試題解析：(1)①：四邊形ABCD為正方形，...△ABO為等腰直角三角形，4、歷AB,二

/XBEF為等腰直角三角形，BF二夜BE,：.BD-BF=^1AB-叵BE,即DF=&AE；

故答案為：DF3AE；

@DF=-J1AE.理由如下：

?.,△EBF繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，...NA8E=/r)B尸，：笆=72,—=72,,

BEABBEAB

：.AABEsADBF,：.——DF=——BF=Jr2-,即DF二,r2-AE；

AEBE

(2)如圖3,:四邊形ABCD為矩形，，AD=BC^mAB,.：.BD=y/AB2+AD2=yjl+nfAB,:EFLAB,

AABEBFBFBD

：.EF//AD,.'.△BEFSABAD,：.——=——+nr,VAEBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a

BABDBEBA

BF1BD

(0°<a<90°)得到△E'BF',:./ABE'=ZDBF',BE'=BE,BF'=BF,：.——=——+m2

BE,BA

DF'BDr-----2/[7

.?.△ABE's叢DBF',-----=yjl+rrr,BnnPDF二，1+m2AE'.

AE'BA

考點(diǎn)：1.相似形綜合題；2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；3.探究型；4.變式探究；5.壓軸題.

4.（2017遼寧省遼陽市）如圖1,在中，ZACB=9Q°,AC=BC,點(diǎn)。、E分別在AC、BC邊上,

DC=EC,連接。E、AE、BD,點(diǎn)、M、N、尸分別是AE、BD、AB的中點(diǎn)，連接PM、PN、MN.

（1）BE與的數(shù)量關(guān)系是

（2）將△DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置,判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，如果成立，請寫出

證明過程，若不成立，請說明理由;

（3）若CB=6,CE=2,在將圖1中的△DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)3、E、。三點(diǎn)在一條直

線上時(shí)，MN的長度為

【答案】（1）BE--\/2MN-,（2）成立；（3）7-1或7+1.

【解析】

試題分析：（1）如圖1中，只要證明“MV的等腰直角三角形，再利用三角形的中位線定理即可解決問題;

（2）如圖2中，結(jié)論仍然成立.連接」0、延長5E交AD于點(diǎn)M由AECS逐ADCW,推出BE=AD,Z

DAC=ZEBC,即可推出由M、N、P分別為AE、BD、的中點(diǎn)，推出PA/〃BE,PM=-BE,

2

PN//AD,PN^-AD,推出PM二尸N,NMPN=90°,可得BE=2PM=2X叵MN=0MN；

22

（3）有兩種情形分別求解即可;

試題解析：(1)如圖1中，"：AM=ME,AP=PB,J.PM//BE,PM=-BE,,:BN=DN,AP=PB,J.PN//AD,

2

PN=-AD,"：AC=BC,CD=CE,：.AD=BE,：.PM=PN,ZACB=90°,J.ACLBC,：.'：PM//BC,PN//

2

AC,:.PMLPN,：.APMN的等腰直角三角形，：.MN=JiPM,；.MN=0，、B.E,；.BE=6.MN,故答

2

案為：BE=y/2MN.

(2)如圖2中，結(jié)論仍然成立.

理由：連接A。、延長2E交4D于點(diǎn)"

「△ABC和△CDE是等腰直角三角形，/.CD=CE,CA=CB,ZACB=ZDCE=90°,ZACB-ZACE=Z

DCE-ZACE,：.ZACD=ZECB,AECB^ADCA,：.BE=AD,ZDAC=ZEBC,VZAHB=18O°-(Z

HAB+NABH)

=180°-(45°+ZHAC+ZABH)=Z180°-(45°+NHBC+/ABH)=180°-90°=90°,：.BH±AD,

,：M,N、P分別為AE、BD、AB的中點(diǎn)，:.PM〃BE,PM=-BE,PN//AD,PN=-AD,：.PM=PN,Z

22

MPN=9Q°,：.BE=2PM=2X—MN=72MN.

(3)①如圖3中，作CGLBD于G,則CE=GE=DG=0,當(dāng)O、E、3共線時(shí),在Rt^BCG中,BG=^BC2-CG2

=畫_(行之=^/34,/.BE=BG-GE=取-0,MN-——BE-J17—1.

2

②如圖4中，作CGLBD于G,則CE=GE=DG=72,當(dāng)D.、E、B共線時(shí)，在RtABCG中,

___________,----------/y

12

BG=JBC-CG=府-(衣2=V34,BE=BG+GE=5+夜，/.MN=-y-BE=717+1.

故答案為：1或JI7+1.

考點(diǎn)：1.幾何變換綜合題；2.探究型；3.變式探究；4.分類討論；5.壓軸題

5.（2017遼寧省錦州市）已知：ZkABC和△&￡>￡均為等邊三角形，連接BE,CD,點(diǎn)、F,G,H分別為。E,

BE,CD中點(diǎn).

（1）當(dāng)△AOE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖1,則△PGH的形狀為,說明理由；

（2）在△ADE旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)B,D,E三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2,若AB=3,AD=2,求線段切的長；

（3）在△AOE旋轉(zhuǎn)的過程中，若AB=a,AD=b（。>6>0）,則△FGH的周長是否存在最大值和最小值，若

存在，直接寫出最大值和最小值；若不存在，說明理由

J6-133

【答案】（1）△FG”是等邊三角形；（2）-——；（3）的周長最大值為一（a+6）,最小值為一（a

222

-b）.

【解析】

試題分析：（1）結(jié)論：△尸G8是等邊三角形.理由如下：根據(jù)三角形中位線定理證明尸G=M,再想辦法證

明/GfW=60°即可解決問題；、

（2）如圖2中，連接EC.在和放△AF8中，解直角三角形即可；

3

（3）首先證明△GEH的周長=3GF=—2。，求出的最大值和最小值即可解決問題；

2

試題解析：（1）結(jié)論：AFGH是等邊三角形.理由如下：

如圖1中，連接BQ、CE,延長8。交CE于設(shè)交尸〃于點(diǎn)。.

圖1

：△ABC和△ADE均為等邊三角形，：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,：.ZBAD=ZCAE,：.ABAD^

△CA￡,：.BD=CE,ZADB=ZAEC,；EG=GB,EF=FD,：.FG=-BD,GF//BD,?:DF=EF,DH=HC,：.

2

FH^-EC,FH//EC,：.FG=FH,VZADB+ZADM^SO°,AZAEC+ZADM^Q°,AZDMC+Z

2

DAE=180°,/.ZDME=12Qa,：.ZBMC=60°

：.ZGFH=ZBOH=ZBMC=60°,△GHF是等邊三角形，故答案為：等邊三角形.

易知在中，AE=2,EF=DF=L6二百,在放ZkABF中，BF=>]AB2-AF2

=C，BD=CE=BF-DF=A/6-1,；.FH=-EC=".

22

（3）存在.理由如下.

13

由（1）可知，△GFH是等邊三角形，GF=-8。，.?.△GF”的周長=3GF=—8O,在△48。中，AB=a,AD^b,

22

33

...BD的最小值為a-6,最大值為a+b,...△八7”的周長最大值為一（a+6）,最小值為一（a-6）.

22

考點(diǎn)：1.幾何變換綜合題；2.探究型；3.變式探究；4.最值問題；5.壓軸題.

6.（2017黑龍江省龍東地區(qū)）已知：ZVIOB和△C。。均為等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°.連接

AD,BC,點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接。H.

（1）如圖1所示，易證：。比,4。且。8（不需證明）

2

(2)將△C。。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖2,圖3所示位置時(shí)，線段。反與又有怎樣的關(guān)系，并選擇一個(gè)圖形證

明你的結(jié)論.

【答案】(1)證明見解析；(2)圖2,圖3的結(jié)論都相同：。於工人/),OHLAD.

2

【解析】

試題分析：(D只要證明即可解決問題；

(2)①如圖2中，結(jié)論：。樂：3,0H1AD.延長0H到E,使得HE=0H,連接BE,由ASEC星△0Q4

2

即可解決問題；

②如圖3中，結(jié)論不變.延長。8到E,使得連接BE,延長￡。交AD于G.由△2￡。g/\。。4

即可解決問題；

試題解析：⑴證明：如圖1中，與△0C。為等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,：.OC=OD,

OA=OB,在△A。。與△BOC中，"：OA=OB,ZAOD=ZBOC,OD=OC,：.AAOD^ABOC(SAS),/.Z

ADO=ZBCO,ZOAD=ZOBC,:點(diǎn)//為線段8C的中點(diǎn)，：.OH=HB,：.ZOBH=ZHOB=ZOAD,又

OAD+ZADO=90°,AZADO+ZBOH=90°,：.0H±AD；

(2)解：①結(jié)論：OH=！A。，0H1AD,如圖2中，延長OH到E,使得HE=OH,連接BE,易證△BE。

2

名△OCA,/.OE=AD,：.OH^-OE=-AD.由△3EO0Z\OZM,知NEOB=/ZMO,ZDAO+ZAOH=Z

22

EOB+NAOH=9Q°,：.OH±AD.

②如圖3中，結(jié)論不變.延長。8到E,使得HE=0H,連接BE,延長E。交AD于G.

易證△BEO絲△OZM,OE=AD,：.OH=-AD.

22

由△BEO絲△OZM,知/EOB=NZ)AO,ZDAO+ZA.OF=ZEOB+ZAOG=90°,/.ZAGO=90°,OH±

AD.

A

考點(diǎn)：1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.等腰直角三角形；4.和差倍分；5.探究型；6.變

式探究；7.壓軸題.

7.（2017黑龍江省龍東地區(qū)）在四邊形A8CD中，對角線AC、2。交于點(diǎn)O.若四邊形ABC。是正方形如

圖1：則有AC=BDAC±BD.

旋轉(zhuǎn)圖1中的放△CO。到圖2所示的位置，AC與有什么關(guān)系？（直接寫出）

若四邊形ABC。是菱形，ZABC=60°,旋轉(zhuǎn)出△C。。至圖3所示的位置，AC'與B。又有什么關(guān)系？寫

出結(jié)論并證明.

【答案】圖2結(jié)論：AC=BD',AC±BD'；圖3結(jié)論：BD'=73AC,,AC'±BDf.

【解析】

試題分析：圖2:根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得到AO=OC,BO=OD,AC1BD,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

OD'=OD,OC=OC,/￡>'g/C'OC,等量代換得到.40=5。，OC'=OD',ZAOC，

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到月c'=5。'，/OAC'=』OBD’,于是得到結(jié)論；

圖3：根據(jù)四邊形A8CD是菱形，得到AO=CO,BO=DO,求得0B=6oA,OD=6OC,根據(jù)

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到。O'=OD,OC=OC,ZD'OD=ZCOC,求得O￡>'二石。C',ZAOC'=/BOD',

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BD'=占AC',于是得到結(jié)論.

試題解析：圖2結(jié)論：AC=BD',AC±BD'.理由：：四邊形A8C￡）是正方形，；.AO=OC,BO=OD,

AC_LB。，：將RfZkCOO旋轉(zhuǎn)得到放△（?'OD',：.OD'=OD,OC'=OC,ZD'OD=ZCOC,：.AO=BO,

OC1=0D',ZAOC=/B0D'，在△AOC'與△B。。'中，:40=80,NAOC'=/B0D',OC'=0D',

△AOC/烏△BOD',：.AC=BD',ZOAC'=ZOBD',VZAO'D'=ZBO'O,ZO/BO+Z

BO'0=90°,.,.Z0/AC+ZAO'D'=90",：.AC±BD'；

圖3結(jié)論：BD'=S/3AC,AC.

理由：：四邊形ABC。是菱形，.?.ACLBDAOCO,^^。。，：/A8C=60°,.,.乙420=30°,，。少也。!,

OD=4iOC,:將4△<%?￡)旋轉(zhuǎn)得到放△(?'0D',：.0D'=0D,OC'=0C,ZD'0D=ZCOC,：.

OD'=73OC,ZAOC=ZB0D',：.—=^-=y[3,：.^AOC'^/\B0D',：.=—=6

OAOC'ACOA

ZOAC'=ZOBD',ABD'=上AC,VAAO'D'=ZBO'O,ZO'BO+ZBO'0=90°,：.Z

O'AC+ZAO'D'=90°,：.AC±BD'.

考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.菱形的性質(zhì)；4.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；5.探究型；6.變

式探究.

8.（2017山東省萊蕪市）己知△ABC與△DEC是兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形.

（1）如圖①所示，連接AE,DB,試判斷線段AE和。3的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖②所示，連接DB,將線段DB繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到DF,連接AF,試判斷線段DE和AF

的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由.

圖①圖②

【答案】(1)AE=DB,AE±DB；(2)DE=AF,DELAF.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理證明放△5CE公4CE,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)解答；

（2）證明△三反漢根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可.

試題解析：（1〉.4￡=D5,AE1D反證明如下：

「△ABC與△DEC是等腰直角三角形，；.AC=BC,EC=DC,在RfZXBCZ）和RfZXACE中，：AC=BC,ZACE=

ZBCD,CE=CD,:.RtABCD絲Rt叢ACE,：.AE=BD,ZAEC=ZBDC,ZBCD=90°,：.ZDHE=90°,

.\AE±DB；

（2）DE=AF,DE±AF.證明如下：

設(shè)DE與AF交于N,由題意得,：NEBD=NC+NBDC=90°+ZBDC,ZADF=ZBDF+ZBDC=90°+

NBDC,：.NEBD=/ADF,在△EB。和△A。尸中，：BE=A。，ZEBD=ZADF,DE=DF,：./\EBD^^ADF,

：.DE=AF,ZE=ZFAD,；NE=45°,ZEDC=45°,：.ZFAD=45°,：.ZAND=9Q°,BPDELAF.

圖②

考點(diǎn)：L旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.等腰直角三角形；4.探究型；5.變式探究.

[2016年題組】

一、填空題

1.（2016四川省內(nèi)江市）問題引入:

（1）.如圖①，在AABC中，點(diǎn)。是NABC和/ACB平分線的交點(diǎn)，若乙4=a,則/BOC=（用

a表示）；如圖②，ZCBO=-ZABC,ZBCO=-ZACB,ZA=a,貝!|/20C=（用a表

33-----------------------

示）

拓展研究：

（2）如圖③，ZCBO=-ZDBC,ZBCO=-ZECB,ZA=a,請猜想NBOC=（用a表

33-----------------------

示），并說明理由.

類比研究:

(3)BO、CO分別是△ABC的外角/OBC、ZECB的n等分線，它們交于點(diǎn)O,ZCBO=-ZDBC,

ZBCO=-ZECB,ZA=a,請猜想/BOO

233nn

【解析】

試題分析：(1)如圖①，.../45。與/4匿的平分線相交于點(diǎn)。，「./。30=!"。，NOCB工乙iCB,

22

：.AOBC+^OCB=-(乙4B8ZACB),在△05C中，ZB001800-(Z05OZ0CB)

2

+g4=900+ga；

=180°--(NABC+/ACBl=180°--(180°-乙4)=90°

22

如圖②，在△OBC中，ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)

=180°--(ZABC+ZACB)=180°--(180°-ZA)=120°+-ZA=120°+-a；

3333

(2)如圖③，在△O8C中，ZBOC=180°-(NOBC+NOCB)

=180°--(ZDBC+Z￡CB)=180°--(ZA+ZACB+ZA+ABC)=180°--(ZA+180°)=120。--a；

3333

(3)在△02C中，ZBOC=180°-(NOBC+NOCB)

二180。--QDBC+/ECB)=180°--(ZA+ZACB+ZA+ABC)=180°--(ZA+1800)

nnn

(〃一1)x1801

---------------oc.

考點(diǎn)：L角的計(jì)算；2.探究型；3.變式探究.

二、解答題

2.（2016山東省臨沂市）如圖1,在正方形48c。中，點(diǎn)E,尸分別是邊BC,48上的點(diǎn)，且CE=BP.連

接。E,過點(diǎn)E作EGLOE,使EG=DE,連接FG,FC.

（1）請判斷：/G與CE的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是；

（2）如圖2,若點(diǎn)E,尸分別是邊CB,BA延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請

作出判斷并給予證明；

（3）如圖3,若點(diǎn)E,尸分別是邊8C,A2延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請

直接寫出你的判斷.

【答案】(1)FG=CE,FG//CE；(2)成立；(3)成立.

【解析】

試題分析：(1)只要證明四邊形CDGF是平行四邊形即可得出FG=CE,FGIICE}

<2)構(gòu)造輔助線后證明AHGES△血>,利用對應(yīng)邊相等求證四邊形GHB尸是矩形后，利用等量代換即可

求出尸G=C,FGIICE)

(3)證明ACS走后，即可證明四邊形CEG尸是平行四邊形.

試題解析：(1)FG=CE,FG//CE-,

(2)過點(diǎn)G作G〃_LCB的延長線于點(diǎn)“，'JEGLDE,：.ZGEH+ZDEC=90°,'：ZGEH+ZHGE=90°,

AZDEOZHGE,在/\HGE與ACED中，；NGHE=/DCE,ZHGE=ZDEC,EG=DE,:.叢HGE”叢CED

(A4S),GH=CE,HE=CD,?:CE=BF,:.GH=BF,,:GH〃BF,二四邊形GHB尸是矩形，：,GF=BH,

FG//CH,C.FG//CE.;四邊形ABC。是正方形，CD=BC,：.HE=BC,：.HE+EB=BC+EB,：.BH=EC,

：.FG=EC；

(3):四邊形ABC￡)是正方形，：.BC=CD,ZFBC^ZECD=9Q°,在ACBF與ADCE中,\'BF=CE,Z

FBC=NECD,BC=DC,:.ACBF咨ADCE(SAS),:.NBCF=/CDE,CF=DE,:EG=DE,：.CF=EG,

'：DE±EG,：.ZDEC+ZCEG=9Q°,ZCDE+ZDEC=9Q°,AZCDE=ZCEG,：.ZBCF=ZCEG,

：.CF//EG,四邊形CEGb平行四邊形，：.FG//CE,FG=CE.

考點(diǎn)：1.四邊形綜合題；2.探究型；3.變式探究.

3.（2016山東省濟(jì)南市）在學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)知識(shí)后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們又進(jìn)一步對圖形旋轉(zhuǎn)前后的

線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了探究.

（一）嘗試探究

如圖1,在四邊形中，AB=AD,ZBAD=60°,ZABC=ZADC=90°,點(diǎn)￡、尸分別在線段BC、CD

上，ZEAF=30°,連接EF.

（1）如圖2,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到AA'B'E'（A'B'與AD重合），請直接寫出/

E'AF=度，線段BE、EF、陽之間的數(shù)量關(guān)系為.

（2）如圖3,當(dāng)?shù)c(diǎn)￡、f分別在線段BC、的延長線上時(shí)，其他條件不變，請?zhí)骄烤€段BE、EF、FD

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（二）拓展延伸

如圖4,在等邊△ABC中，E、P是邊BC上的兩點(diǎn)，ZEAF=30°,BE=1,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

得到B'E'（A'B'與AC重合），連接EE',AF與EE，交于點(diǎn)N,過點(diǎn)A作于點(diǎn)M,

連接MN,求線段MN的長度.

【答案】（一）（1）30,BE+DF=EF；（2）BE-DF=EF；（二）

【解析】

試題分析：（一）3）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，判定F,進(jìn)而根據(jù)線段

的和差關(guān)系得出結(jié)論；

<2）先在5E上截取BG=W,連接XG,構(gòu)造組陰，進(jìn)而利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)

角相等，判定AGS△網(wǎng)E,最后根據(jù)線段的和差關(guān)系得出結(jié)論；

（二）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判定是等邊三角形，進(jìn)而利用等邊△ABC、等邊4AEE'的三線合一的性

質(zhì)，得到則=國4和/A4E=/M4N,最后判定△BAESA^AM并根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，列出

AEAB

比例式求得的長.

試題解析：（一）（1）如圖2,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△?1'B'E',則

Z1=Z2,BE=DE',AE=AE','：ZBAD=60°,ZEAF=3Q°,/.Zl+Z3=30°,.,.Z2+Z3=30°,即/

FAE'=30°,AZEAF=ZFAE',在和△AE'尸中，\'AE=AEI,ZEAF=ZFAE',AF=AF,/.△

AEF咨4AE'F（SAS）,：.EF=E'F,EF=DF+DE',：.EF=DF+BE,即線段BE、EF、即之間的數(shù)量關(guān)

系為BE+DF=EF,故答案為：30,BE+DF=EF；

（2）如圖3,在BE上截取BG=OF,連接AG,在△ABG和△AO尸中，"：AB=AD,ZABE=ZADF,BG=DF,

.,.△ABG^AADF（SAS）,AZBAG=ZDAF,J.AG=AF,VZDAF+ZDAE=3Q°,ZBAG+ZDAE=30°,

VZBAD=60a,：.ZGAE=60°-30°=30°,：.ZGAE=ZFAE,在aGAE和△朋E中，ZGAE=

AFAE,AE=AE,.".AGAE^AME（SAS）,：.GE=FE,又,：BE-BG=GE,BG=DF,:.BE-DF=EF,即線

段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為

（二）如圖4,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△&'B'E',則

AE=AE',ZEAE'=60°,.,.△AEE'是等邊三角形，XVZEAF=30°,AN平分/EAR:.ANLEE',

直角三角形ANE中，—,:在等邊△ABC中，AM±BC,：.ZBAM=30°,且/

AE2AB2

BAE+ZEAM=30°,,又：/MAN+NEAM=30°,ZBAE=ZMAN,：./\BAE^/\MAN,：.

AEAB

MNAMMNs/373

----,即an——=—,：.MN=—.

BEAB122

A

AA(A)f

1

B

\\BG

TD仞

B~~EKfFC(B')

CE

圖1圖2圖3圖4

考點(diǎn)：L四邊形綜合題；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.相似三角形的判定與性質(zhì)；4.變式探究；5.壓

軸題.

4.（2016廣西南寧市）已知四邊形42C。是菱形，AB=4,ZABC=60°,NEAP的兩邊分別與射線C2,

。。相交于點(diǎn)E,F,且NE4F=60°.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段AE,EF,AF之間的數(shù)量關(guān)系;

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是線段C8上任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與8、C重合），求證：BE=CF；

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上，且NEAB=15°時(shí)，求點(diǎn)尸到8C的距離.

【答案】（1）AE=EF=4R（2）證明見解析；（3）3-JL

【解析】

試題分析：3）結(jié)論只要證明HE=.4F即可證明A4即是等邊三角形.

（2）欲證明3E=CF,只要證明△BAE3AC4F即可.

（3）過點(diǎn).4作.4G15c于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作尸H1EC于點(diǎn)月，根據(jù)尸畢CF?es30°,因?yàn)?班，只要求

出5E即可解決問題.

試題解析：（1）解：結(jié)論AE=EF=A?

理由：如圖1中，連接AC,：四邊形A8CD是菱形，ZB=60°,：.AB=BC=CD=AD,ZB=ZD=60°,：.^ABC,

△ADC是等邊三角形，ZBAC=ZDAC=60°

"：BE=EC,：.ZBAE=ZCAE=?>0o,AELBC,VZEAF=60°,：.ZCAF=ZDAF=2>0°,：.AF±CD,：.AE=AF

(菱形的高相等)，...△A匹是等邊三角形，

(2)證明：如圖2中，,.,NBAC=NE4F=60°，，/BAE=/CAE,在△BAE和中，?.?/?BAE=/C4R

BA=AC,ZB=ZACF,：./\BAE^/\CAF,：.BE=CF.

(3)解：過點(diǎn)4作46_1_8(7于點(diǎn)6,過點(diǎn)尸作「“_1￡<:于點(diǎn)”,：/胡8=15°,ZABC=60°,：.ZAEB=45°,

在RTAAGB中，VZABC=60°AB=4,：.BG^2,AG=273,在RT^AEG中，：NAEG=NEAG=45°,

：.AG=GE=2A/3,：.EB=EG-BG=273-2,VAAEB^AAFC,：.AE^AF,EB=CF=273-2,

ZAEB=ZAFC=45°,,：ZEAF=60°,AE=AF,.,.△4￡/是等邊三角形，:./AEF=NAFE=60°

'：ZAEB=45°,ZAEF=60°,：.ZCEF=ZAEF-ZAEB=15°，在RTZ\E"中，NCEF=15°，:.NEFH=75°,

VZAFE=60°,：.ZAFH=ZEFH-ZAFE=\5°,VZAFC=45°,ZCFH=ZAFC-ZAFH=30a,在

RTACHF中，〈/CFf"。。，CF=2y/3-2,:.FH=CF-cos30°二Q6—2)x與二3一6,...點(diǎn)E到8C

的距離為3-8.

5.（2016四川省南充市）己知正方形ABC。