2023版高考數(shù)學一輪總復習10年高考真題分類題組3-1導數(shù)與積分

專題三導數(shù)及其應用

3.1導數(shù)與積分

考點一導數(shù)的概念和運算

1.(2019課標II文,10,5分)曲線y≈2sinx+cosx在點(n,T)處的切線方程為()

A.χ-y-π-1=0B.2χ-y-2π-1=0

C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=0

答案C本題主要考查導數(shù)的幾何意義,通過切線方程的求解考查學生的運算求解能力,滲

透的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.

,,

由題意可知y=2cosχ-sinx,則y∣x=,=-2.所以曲線y=2sinx+cosx在點(Jt,T)處的切線方程

為y+l=-2(χ-π),即2x+y+l-2Jt=0,故選C.

小題速解由題意得y'=2cosχ-sinx,則y'∣..=-2.計算A、B、C、D選項中直線的斜率,可知

只有C符合.故選C.

2.(2016山東理,10,5分)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切

線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質.下列函數(shù)中具有T性質的是()

A.y=sinxB.y=lnxC.y-esD.y-x3

答案A設函數(shù)y=f(x)圖象上的兩點分別為(x∣,y),區(qū),力),且X節(jié)X,則由題意知只需函

,,

數(shù)y=f(x)滿足f(xl)?f(x2)=-l即可.y=f(x)=sinx的導函數(shù)為f'(x)=cosx,則

f,(0)?f,(π)=-1,故函數(shù)y=sinx具有T性質；y=f(x)=lnx的導函數(shù)為f'(x)=A則

X

f,(x,)?f'(xjJ?＞0,故函數(shù)y=lnx不具有T性質；y=f(x)=e,的導函數(shù)為f'(x)=e',則

*1*2

f'(xj?f'G)=e*ι+典＞0,故函數(shù)y=e*不具有T性質；y=f(x)=χ3的導函數(shù)為f'(x)=3χ2,則

f,(x,)?f'(xJ=M石川,故函數(shù)y=1不具有T性質.故選A.

疑難突破函數(shù)的圖象在兩點處的切線互相垂直等價于在這兩點處的切線的斜率之積為T,

即相應的導數(shù)之積為-1,這是解決此題的關鍵.

評析本題為創(chuàng)新題,主要考查導數(shù)的幾何意義及直線相互垂直的條件,屬于偏難題.

3.(2016四川理,9,5分)設直線1”k分別是函數(shù)f(x)={[,*＜；＜圖象上點P”2處的切

線，L與L垂直相交于點P,且1”k分別與y軸相交于點A,B,則4PAB的面積的取值范圍是

()

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(l,+∞)

答案A設案是y=Tnx(是x<l)的切線,切點Pl(X∣,y),k是y=Lnx(x>l)的切線,切點

P2(χ2,y2),

li：y-yi=-^-(x-Xi),?

??

12：y-y2=?(χ一χ2),②

×2

①-②得Xmlr罕，

-L+-L

xlx2

易知A(0,y1+l),B(0,y2-D,

V11±L,/.-?*-!-=-1,.*.XJX2=I,

典x2

∣∣

?,?SΔPAB=^AB?∣xp∣=∣∣yl-y2+2∣?

l??l

_1(力-及+2)2_1(-ln?∣-ln%2+2)2

19-S≡2?X+Λ

x?x212

_1.1ln(*i*2)+2]2l.42

2xl+x22X?^×2x?+x2f

XV0<x1<l,X2>1,X,X2=1,

/.x1+x2>2λ∕Tf^=2,

Λ0<SΔPAB<1.故選A.

思路分析設出點P1,巳的坐標,進而根據(jù)已知表示出1?I2,然后求出點A、B的坐標及X1.,最

后利用點在曲線上及垂直的條件求出面積表達式,從而求出面積的取值范圍.

評析本題考查了利用導數(shù)求切線問題,及考生的運算能力.

4.(2014課標11理,8,5分)設曲線y=aχ-ln(x+l)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,則

a=()

A.0B.1C.2D.3

答案Dy'二當X=O時，y,=a-l=2,Λa=3,故選D.

x+ι

5.（2020課標I文,15,5分）曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程

為.

答案y=2χ

2

,

解析設該切線的切點坐標為(x。,y0),由y=lnx+x+l得y」+1,則在該切點處的切線斜率

X

H+1,即Li=2,解得XO=I,.?.yO=Inl+1+1=2,即切點坐標為(1,2)?.該切線的方程為

*0XQ

y-2=2(χ-l),即y=2x.

6.(2020課標HI文，15,5分)設函數(shù)f(x)=?.若f'⑴3,則a=.

答案1

,,

解析f(x)若半,則f(1)=7?τ?解得a=l.

7.(2019天津文，11,5分)曲線y=cosx￡在點(0,1)處的切線方程為.

答案x+2y-2=0

解析本題通過求曲線在某點處的切線,考查學生對基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的運算

法則、導數(shù)的幾何意義的理解和掌握程度.

?.?y=cosx~J.?.y'=-sinχ-g,.?.y'L產弓,即曲線在(0,1)處的切線斜率為彳,，切線方程為

y-l=-^(χ-0),即x+2y-2=0.

8.(2018天津文，10,5分)已知函數(shù)￡々)=/1"F(x)為f(x)的導函數(shù),則f'⑴的值

為.

答案e

解析本題主要考查導數(shù)的計算.

Vf(x)=exlnx,

.?.F(x)=e(lnx+?θ,

Λf,(l)=el×(lnl+l)=e.

9.(2018課標II文，13,5分)曲線y=21nx在點(1,0)處的切線方程為.

答案2χ-y-2=0

解析本題主要考查導數(shù)的幾何性質.

由y=21nx得y'因為k=y'|日=2,點(1,0)為切點，

所以切線方程為y=2(χ-l),即2χ-y-2=0.

10.(2017課標I文，14,5分)曲線y=x?^在點(1,2)處的切線方程為.

X

答案χ-y+l=0

3

解析本題考查導數(shù)的幾何意義.

Vy=X2AΛy,=2X-Λ,Λy,/尸2—1=1,，所求切線方程為y-2=χ-l,即χ-y+l=O.

X片

11.(2017天津文，10,5分)已知a∈R,設函數(shù)f(x)=aχ-lnx的圖象在點(1,f(D)處的切線為1,

則1在y軸上的截距為.

答案1

解析本題主要考查導數(shù)的幾何意義以及直線方程與截距.

由題意可知f'(x)=a」,所以f,(l)=a-l,

X

因為f(l)=a,所以切點坐標為(l,a),

所以切線1的方程為y-a=(a-l)(χ-l),

即y=(a-l)x+l.

令X=O,得y=l,即直線1在y軸上的截距為1.

易錯警示不能正確求解函數(shù)的導數(shù),而導致不能正確求解切線1的斜率.

12.(2015課標I文，14,5分)已知函數(shù)￡々)=2*4*+1的圖象在點(1,f(D)處的切線過點

(2,7),貝IJa=.

答案1

解析由題意可得f,(x)=3ax2+l,Λf,(l)=3a+l,

又f(1)=a+2,.?.f(x)=ax3+x+l的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為y-(a+2)=(3a+l)(χ-l),

又此切線過點(2,7),

.?.7-(a+2)=(3a+l)(2T),解得a=l.

13.(2015陜西理，15,5分)設曲線y=eX在點(0,l)處的切線與曲線y=?(x>0)上點P處的切線

X

垂直,則P的坐標為.

答案(1,D

解析；函數(shù)y=e"的導函數(shù)為y'=e?

.?.曲線y=e”在點(0,1)處的切線的斜率k,=e0=l.

設P(χ0,y°)(χo>O),：函數(shù)y三的導函數(shù)為y'=$，

.?.曲線y」(x>0)在點P處的切線的斜率k2=-?,

XΛO

則有k1k2=-l,即1?卜g=T,解得￥=1,又xo>O,

4

?x0=l.又Y點P在曲線y^(x>O)±,Ay0=I,故點P的坐標為(1,1).

X

14.(2012課標文，13,5分)曲線y=x(31nx+l)在點(1,1)處的切線方程為.

答案y=4χ-3

解析y'=31nx+l+x?=31nx+4,k=y'∣χ=ι=4,切線方程為yT=4(xT),即y-4χ-3.

評析本題考查了導數(shù)的幾何意義,考查了運算求解能力.

15.(2016課標II],15,5分)己知f(x)為偶函數(shù)，當x<0時，f(x)=ln(-χ)+3x,則曲線y=f(x)在

點(1,-3)處的切線方程是.

答案y=-2χ-l

解析令x>0,則-x<0,f(-χ)=lnχ-3x,

又f(-χ)=f(x),.*.f(x)=lnχ-3x(x>0),

則f,(X)=?^-3(x>0),.?f'(1)=-2,在點(1,-3)處的切線方程為y+3=-2(xT),即y=-2χ-l.

X

思路分析由偶函數(shù)定義,可得x>0時,f(x)的解析式,從而求出x>0時f(x)的導數(shù),進而可

求得切線斜率,最后可得切線方程.

16.(2016課標II,16,5分)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+l)的切

線,則b=.

答案lTn2

解析直線y=kx+b與曲線y=lnx+2,y=ln(x+l)均相切,設切點分別為A(x1,yl),B(x2,y2),由

,,

y=lnx+2得y=A由y=ln(x+l)得y二,.’.k?????,,xg,x2=y-l,Λy,=-lnk+2,y2=-lnk.

X.r+l為超+1kκ

即A(；,TnA+2),B(：T,Tn%),

?：A、B在直線y=kx+b上，

12Tnk=k?2，=F=ιTn2,

-Ink=k?CT)+bQ=2.

思路分析先設切點,找出切點坐標與切線斜率的關系,并將切點坐標用斜率表示出來,利用

切點在切線上列方程組,進而求解.

考點二定積分與微積分基本定理

1.(2014湖北理,6,5分)若函數(shù)f(x),g(x)滿足Cf(x)g(x)dx=O,則稱f(x),g(x)為區(qū)間

[7,1]上的一組正交函數(shù).給出三組函數(shù):

5

2

①f(X)=SHX,g(x)=cos∣x;②f(x)=x+l,g(x)=χ-l;③f(x)=x,g(x)=x.

其中為區(qū)間11,1］上的正交函數(shù)的組數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

答案C由①得f(x)g(x)=singxcosgx=∣sinx,是奇函數(shù),所以Cf(x)g(x)dx=0,所以①為

區(qū)間［T,1］上的正交函數(shù);由②得

22

f(x)g(x)=x-l,??j?f(x)g(x)dx√J1ΛT)d尸G-X)I1廣-/所以②不是區(qū)間［T,1］

上的正交函數(shù)；由③得f(x)g(x)=x?是奇函數(shù),所以??f(x)g(x)dx=0,所以③為區(qū)間［T,1］

上的正交函數(shù).故選C.

2.(2014山東理,6,5分)直線y=4x與曲線y=Y在第一象限內圍成的封閉圖形的面積為()

A.2√2B.4√2C.2D.4

答案D由匕二得X=O或x=2或x=-2(舍).

.?.S=∕j(4χ-χ3)dx=(2Λ2-^yl)Iθ=4.

評析本題考查利用定積分求面積.本題的易錯點是忽視條件“在第一象限內”.

3.(2013湖北理,7,5分)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度

v(t)=7-3t+^(t的單位:s,v的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單

位：m)是()

A.1+251∏5B.8+25InyC.4+251n5D.4+501∏2

答案C由v(t)=。得t=4.故剎車距離為S=?jv(t)dt=

?^7-3t+-^)dt=［-∣t2+7t+251n(l+f)］Ij=4+251n5(m).

4.(2013北京理,7,5分)直線1過拋物線C:x2=4y的焦點且與y軸垂直,則1與C所圍成的圖

形的面積等于()

A.∣B.2C.∣D.—

333

答案C由拋物線方程可知拋物線的焦點為F(0,1),所以直線1