安徽省蕪湖市第七中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

安徽省蕪湖市第七中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在R上定義運算.若不等式對任意實數(shù)成立，則（

） (A) (B) (C)

(D)參考答案：D略2.若直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),則直線的斜率為()A. B.

C. D.參考答案：D3.用數(shù)學歸納法證明1+2+22+…+2n+1=2n+2﹣1（n∈N*）的過程中，在驗證n=1時，左端計算所得的項為（）A．1 B．1+2 C．1+2+22 D．1+2+22+23參考答案：C【考點】數(shù)學歸納法．【分析】通過表達式的特點，直接寫出結(jié)果即可．【解答】解：用數(shù)學歸納法證明1+2+22+…+2n+1=2n+2﹣1（n∈N*）的過程中，左側(cè)的特點是，由1一直加到2n+1項結(jié)束．所以在驗證n=1時，左端計算所得的項為：1+2+22．故選：C．4.“a＜0”是“函數(shù)y=x2﹣2ax在區(qū)間[1，+∞）上遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：函數(shù)y=x2﹣2ax在區(qū)間[1，+∞）上遞增，則a≤1，∴“a＜0”是“函數(shù)y=x2﹣2ax在區(qū)間[1，+∞）上遞增”的充分不必要條件．故選：A．5.設(shè)a，b是兩個非零實數(shù)，且a<b，則在（1）a2<b2，（2）a2b>ab2，（3），（4），（5）這幾個式子中，恒成立的有A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：A6.鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡湯圓5個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特征完全相同．從中任意舀取4個湯圓，則每種湯圓都至少取到1個的概率為（）A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.已知線性回歸方程相應于點(3,6.5)的殘差為－0.1，則的值為（

）A.1 B.2 C.－0.5 D.－3參考答案：B【分析】根據(jù)線性回歸方程估計y，再根據(jù)殘差定義列方程，解得結(jié)果【詳解】因為相對于點的殘差為，所以，所以，解得，故選B【點睛】本題考查利用線性回歸方程估值以及殘差概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8.設(shè)x∈R，則“1＜x＜3”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．即可判斷出結(jié)論．【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．∴“1＜x＜3”是“|x﹣2|＜1”的充要條件．故選：C．9.設(shè)函數(shù)的導數(shù)的最大值為3，則的圖象的一條對稱軸的方程是

A． B． C． D．參考答案：A10.已知函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示，其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)，則f（x）的極值點的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：A【考點】3O：函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)極值點的定義和f′（x）的圖象得出結(jié)論．【解答】解：若x0是f（x）的極值點，則f′（x0）=0，且f′（x）在x0兩側(cè)異號，由f′（x）的圖象可知f′（x）=0共有4解，其中只有兩個零點的左右兩側(cè)導數(shù)值異號，故f（x）有2個極值點．故選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知平行六面體ABCD━A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，∠BAA1=∠DAA1=，則棱AA1和底面所成角為

。參考答案：略12.已知x，y滿足約束條件，則的最大值為__________．參考答案：2【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出約束條件表示的可行域，如圖，將變形為，平移直線，由圖可知當直經(jīng)過點時，直線在軸上的截距最大，的最大值為，故答案為.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬于簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.13.采用系統(tǒng)抽樣法，從152人中抽取一個容量為15人的樣本，則每人被抽取的可能性為

（請用分數(shù)作答）參考答案：略14.已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中，有一個內(nèi)角為，則雙曲線C的離心率為

．參考答案：15.已知集合，，則_

_.參考答案：16.若n為正偶數(shù)，則7n+C?7n﹣1+C?7n﹣2+…+C?7被9除所得的余數(shù)是

．參考答案：0【考點】W1：整除的定義．【分析】7n+Cn1?7n﹣1+Cn2?7n﹣2+…+Cnn﹣1?7=（7+1）n﹣1=（9﹣1）n﹣1，又由n為正偶數(shù)，可得答案．【解答】解：∵7n+Cn1?7n﹣1+Cn2?7n﹣2+…+Cnn﹣1?7=（7+1）n﹣1=（9﹣1）n﹣1=9n+C?9n﹣1（﹣1）1+C?9n﹣2（﹣1）2+…+C?9?（﹣1）n﹣1+C?90?（﹣1）n﹣1，又由n為正偶數(shù)，∴倒數(shù)第二項C?90?（﹣1）n=1，最后一項是﹣1，而從第一項到倒數(shù)第三項，每項都能被9整除，∴7n+Cn1?7n﹣1+Cn2?7n﹣2+…+Cnn﹣1?7被9除所得的余數(shù)是0．故答案為：017.已知函數(shù)，若對任意的x∈[1，+∞）及m∈[1，2]，不等式f（x）≥m2﹣2tm+2恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是．參考答案：[，+∞）【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】將問題轉(zhuǎn)化為m2﹣2tm+1≤0對?m∈[1，2]恒成立，得不等式組，解出即可．【解答】解：f′（x）=﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，∴f（x）的極小值即最小值是f（1）=1；（2）由（1）可知f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以m2﹣2tm+2≤f（x）min=f（1）=1即m2﹣2tm+1≤0對?m∈[1，2]恒成立，所以，解得t≥，故答案為：[，+∞）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F(－1,0)，且橢圓經(jīng)過點A(1,)．

(1)求橢圓的方程；(2)若直線l過橢圓的右焦點與橢圓交于M，N兩點，求MN的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍．參考答案：解：(1)由橢圓的定義，2a＝＋＝4,

……2分∴a＝2,c＝1,b＝．

所以橢圓的方程為＋＝1．

……4分(2)設(shè)AB方程為y＝k(x－1)，代入＋＝1并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0．顯然△>0，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中點為M(x0,y0)，

……6分直線AB的垂直平分線方程為y－y0＝－(x－x0)．令x＝0，得y＝，當k≠0時，y＝，

……8分19.已知函數(shù)在點處的切線方程為．⑴求函數(shù)的解析式；⑵若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有，

求實數(shù)的最小值；⑶若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：試題解析：⑴．

根據(jù)題意，得即解得

所以．

⑵令，即．得．12

+

+

增極大值減極小值增2因為，，所以當時，，．

則對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有，所以．所以的最小值為4．

⑶因為點不在曲線上，所以可設(shè)切點為．則．因為，所以切線的斜率為．

則=，

即．

因為過點可作曲線的三條切線，所以方程有三個不同的實數(shù)解．所以函數(shù)有三個不同的零點．則．令，則或．02+

+增極大值減極小值增則，即，解得．略20.（本小題12分）已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線過點.（1）求拋物線的標準方程；（2）若拋物線與直線交于、兩點，求證：.參考答案：解：設(shè)拋物線的標準方程為：，因為拋物線過點，所以，解得，所以拋物線的標準方程為：．（2）設(shè)、兩點的坐標分別為，由題意知：

，消去得:，根據(jù)韋達定理知：，所以，

略21.已知直線l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．（1）求證：對m∈R，l1與l2的交點P在一個定圓上；（2）若l1與定圓的另一個交點為P1，l2與定圓的另一個交點為P2，求當m在實數(shù)范圍內(nèi)取值時，△PP1P2的面積的最大值及對應的m．參考答案：【考點】直線與圓的位置關(guān)系；兩條直線的交點坐標．【分析】（1）聯(lián)立兩條直線方程，消去m，即得到l1和l2的交點M的方程，判斷對m∈R，l1與l2的交點P在一個定圓上；（2）由（1）得：（0，0），（2，1）．當P點在定圓上移動時，△PP1P2的底邊P1P2為定值2r．當三角形的高最大時，△PP1P2的面積最大．【解答】解：（1）如圖所示：l1：﹣y=0，過定點（0，0），=m；l2：x+my﹣m﹣2=0，m（y﹣1）+x﹣2=0，=﹣令y﹣1=0，x﹣2=0．得y=1，x=2，∴過定點（2，1），∵?=﹣1，∴直線與直線互相垂直，∴直線與直線的交點必在以（0，0），（2，1）為一條直徑端點的圓上，且圓心（1，），半徑r==，∴圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣）2=．即x2+y2﹣2x﹣y=0；（2）由（1）得：（0，0），（2，1）．當P點在定圓上移動時，△PP1P2的底邊P1P2為定值2r．當三角形的高最大時，△PP1P2的面積最大．故三角形面積最大為?2r?r=又與圓的交點為P（，），且OP與P1P2的夾角是45°．∴|OP|==，即+=，解得：m=3或m=故當m=3或m=時，△PP1P2的面積取得最大值．22.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量=（a，），=（cosC，c﹣2b），且⊥．（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍．參考答案：【考點】解三角形；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．【專題】計算題．【分析】（Ⅰ）利用向量的垂直，推出數(shù)量積為0，通過三角形內(nèi)角和以及兩角和的正弦函數(shù)，確定角A的大??；（Ⅱ）若a=1，利用正弦定理求出b、c的表達式，通過三角形的內(nèi)角和以及兩角和的正弦函數(shù)化簡表達式，根據(jù)角的范圍，確定三角函數(shù)的范圍，然后求△A