2024屆湖北省八市高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

2024年湖北省八市高三（3月）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷命題單位：隨州市教學(xué)研究室2024.3本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘★?？荚図樌镒⒁馐马棧?．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置，2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效，3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．2．若，則（）A． B． C．3 D．53．設(shè)復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，則（）A． B． C． D．4．如圖，在正方體中，分別為的中點，則與平面垂直的直線可以是（）A． B． C． D．5．已知今天是星期三，則天后是（）A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五6．已知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像在點處的切線方程為，記的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A． B． C． D．27．設(shè)某直角三角形的三個內(nèi)角的余弦值成等差數(shù)列，則最小內(nèi)角的正弦值為（）A． B． C． D．8．設(shè)直線，一束光線從原點出發(fā)沿射線向直線射出，經(jīng)反射后與軸交于點，再次經(jīng)軸反射后與軸交于點．若，則的值為（）A． B． C． D．2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某校為了解高一新生對數(shù)學(xué)是否感興趣，從400名女生和600名男生中通過分層抽樣的方式隨機抽取100名學(xué)生進行問卷調(diào)查，將調(diào)查的結(jié)果得到如下等高堆積條形圖和列聯(lián)表，則（）性別數(shù)學(xué)興趣合計感興趣不感興趣女生男生合計100參考數(shù)據(jù)：本題中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．表中B．可以估計該校高一新生中對數(shù)學(xué)不感興趣的女生人數(shù)比男生多C．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認(rèn)為性別與對數(shù)學(xué)的興趣有差異D．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認(rèn)為性別與對數(shù)學(xué)的興趣沒有差異10．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，設(shè)其焦點為，若為其圖象上任意一點，則（）A．是它的一條對稱軸 B．它的離心率為C．點是它的一個焦點 D．11．已知函數(shù)存在兩個極值點，且，．設(shè)的零點個數(shù)為，方程的實根個數(shù)為，則（）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．一定能被3整除 D．的取值集合為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若，則______．13．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則公比的取值范圍為______．14．記分別表示函數(shù)在上的最大值和最小值．則______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）在中，已知．（1）求的大?。唬?）若，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．16．（15分）如圖，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從數(shù)軸點1的位置出發(fā)，每隔向左或向右移動一個單位，設(shè)每次向右移動的概率為．（1）當(dāng)時，求后質(zhì)點移動到點0的位置的概率；（2）記后質(zhì)點的位置對應(yīng)的數(shù)為，若隨機變量的期望，求的取值范圍．17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，點在上，點為的中點，且平面．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．18．（17分）已知雙曲線經(jīng)過橢圓的左、右焦點，設(shè)的離心率分別為，且．（1）求的方程；（2）設(shè)為上一點，且在第一象限內(nèi)，若直線與交于兩點，直線與交于兩點，設(shè)的中點分別為，記直線的斜率為，當(dāng)取最小值時，求點的坐標(biāo)．19．（17分）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時，．注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．（1）根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點后兩位；（2）由該公式可得：．當(dāng)時，試比較與的大小，并給出證明；（3）設(shè)，證明：．2024年湖北省八市高三（3月）聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案與評分細則一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．C2．B3．D4．D5．A6．A7．C8．B第1題提示：．第2題提示：．第3題提示：將代入方程得：，得，即．第4題提示：易得平面平面為正三棱錐，得平面，故平面，若其他選項也符合，則平行于，不成立．第5題提示：．第6題提示：偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)，可以根據(jù)對等式兩邊求導(dǎo)，或通過圖象驗證．第7題提示：設(shè)，由可得．第8題提示：易知點關(guān)于直線的對稱點為，求直線的方程：與互余故，易得（或只求）由得，即有，解得，得或，若，則第二次反射后光線不會與軸相交，故不符合條件．其他方法：先求點坐標(biāo)，再求直線的方程；或者設(shè)點和的坐標(biāo)，通過，三點共線構(gòu)造方程求解．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．ACD10．ABD11．AB說明：多選題有錯選得0分，第9、10題選對1個答案給2分，選對2個答案給4分，選對3個答案給6分；第11題選對1個答案給3分，選對兩個答案給6分．第9題提示：女生不感興趣的人數(shù)約為280，男生不感興趣的人數(shù)約為300，故B不對，，故C，D正確．第10題提示：反比例函數(shù)的圖象為等軸雙曲線，故離心率為，其中一個焦點坐標(biāo)應(yīng)為．第11題提示：由得或，依題意可得以下6種情況：當(dāng)時當(dāng)時的取值集合為．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．13．14．2第12題提示：用兩角和的正切公式展開，或用整體法兩角差的正切公式．第13題提示：用求和公式后再用立方差公式分解因式或直接用．第14題提示：，先設(shè)為變量，可通過分類討論求出，再求出當(dāng)時的最小值，即為2．或者由在時的最大值只可能在當(dāng)或或處取得，結(jié)合圖象可得原式的最小值為2．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．解：（1）在中，由正弦定理可得：，即解得，又，故或．（2）由，可得，故令解得由于，取，得；取，得；取，得，故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為．說明：第（1）問中兩種情況少一種扣1分，第（2）問中三個區(qū)間少一個扣1分．16．解：（1）后質(zhì)點移動到點0的位置，則質(zhì)點向左移動了3次，向右移動了2次，所求概率為：．（2）所有可能的取值為，且，，，，由，解得，又因為，故的取值范圍為．17．解：（1）連接交與點，連接，易知平面與平面的交線為，平面，又為的中點，為的中點．取的中點，連接，，為平行四邊形，，又平面平面平面．（2）取的中點，連結(jié)，，且，又，且，，又是平面內(nèi)兩條相交的直線，平面．以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知，由為的中點，為的中點，可得，，設(shè)是平面的法向量，則即，可??；設(shè)是平面的法向量，則即，可??；設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．說明：第（1）問取的中點，通過面面平行來證明線面平行也可以根據(jù)步驟給分．18．解：（1）依題意可得，得，由，得，解得，故的方程為的方程為．（2）易知，設(shè)，直線的斜率分別為，則，在，即有，可得為定值．設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立可得恒成立，設(shè)，則有，可求得，設(shè)直線的方程為：，同理可得，則由可得：，點在第一象限內(nèi)，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，而，故等號可以取到．即當(dāng)取最小值時，，聯(lián)立，可解得，故的方程為：的方程為：，聯(lián)立可解得，即有．說明