第29講　等差數(shù)列及其前n項和（原卷版）

第29講等差數(shù)列及其前n項和基礎(chǔ)知識1.等差數(shù)列中的有關(guān)公式已知等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差是d,前n項和為Sn,則等差數(shù)列定義式(d為常數(shù))

等差中項A=(A是x與y的等差中項)

通項公式或

前n項和公式Sn==

2.等差數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等差數(shù)列,Sn是{an}的前n項和.(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),則有am+an==.

(2)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成數(shù)列.

3.等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(1)等差數(shù)列{an}的通項公式可寫成an=,當(dāng)d≠0時,它是關(guān)于n的,它的圖象是直線y=dx+(a1-d)上橫坐標為正整數(shù)的均勻分布的一群的點.

注:當(dāng)d>0時,{an}是數(shù)列;當(dāng)d<0時,{an}是數(shù)列;當(dāng)d=0時,{an}是.

(2)前n項和公式可變形為Sn=,當(dāng)d≠0時,它是關(guān)于n的常數(shù)項為0的,它的圖象是拋物線y=d2x2+a1-d2注:若a1>0,d<0,則Sn存在最值;若a1<0,d>0,則Sn存在最值.

常用結(jié)論等差數(shù)列的性質(zhì)1.已知{an},{bn}是公差分別為d1,d2的等差數(shù)列,Sn是{an}的前n項和,則有以下結(jié)論:(1){a2n}是等差數(shù)列,公差為2d1.(2){pan+qbn}(p,q都是常數(shù))是等差數(shù)列,且公差為pd1+qd2.(3)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為md1的等差數(shù)列.(4)Snn是等差數(shù)列,其首項與{an}的首項相同,公差是12d1(5)數(shù)列{pan},{an+q}(p,q都是常數(shù))都是等差數(shù)列,且公差分別為pd1,d1.2.關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質(zhì):(1)若項數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd,S奇S偶(2)若項數(shù)為2n-1(n≥2),則S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,S奇S偶=3.兩個等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,則它們之間的關(guān)系為anbn分類探究探究點一等差數(shù)列的基本運算例1(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a3=5,S4=24,則a9= ()A.-5 B.-7 C.-9 D.-11(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足a3+a4=6,2a5=9,則S7= ()A.352 B.21 C.492 D[總結(jié)反思](1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1,n,d,an,Sn,知道其中三個就能求出另外兩個.(2)解決等差數(shù)列問題的關(guān)鍵是求出兩個最基本的量,即首項a1和公差d,有時為簡化運算可不直接求a1,而是求出等差數(shù)列中與已知條件有關(guān)的某一項即可.變式題(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S4=a7+1,a4+a7=4,則a10= ()A.133 B.4C.113 D.(2)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,2S3+S2=S4,a1=1,則S7= ()A.-77 B.-70C.-49 D.-42探究點二等差數(shù)列的性質(zhì)例2(1)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,則S11=()A.66 B.55C.44 D.33(2)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石) ()圖5-29-1A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊(3)已知數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列,且a1=1,b1=4,a25+b25=149,則數(shù)列{an+bn}的前25項和等于.

[總結(jié)反思](1)若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}也是等差數(shù)列;(2)已知{an}為等差數(shù)列,d為公差,Sn為該數(shù)列的前n項和,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差數(shù)列,變式題(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且an≠0,若a5=3a3,則S9S5=A.95 B.5C.53 D.(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S4=1,S8=4,則a17+a18+a19+a20的值為 ()A.9 B.12 C.16 D.17(3)在等差數(shù)列{an}中,前m(m為奇數(shù))項和為70,其中偶數(shù)項之和為30,且a1-am=12,則{an}的通項公式為an=.

探究點三等差數(shù)列的判定與證明例3已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a2=8,Sn+Sn+1=4(n+1)2.(1)求數(shù)列{an+an+1}的通項公式;(2)證明:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.[總結(jié)反思]判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,通常有兩種方法:①定義法,證明an-an-1=d(n≥2,d為常數(shù)),用定義法證明等差數(shù)列時,常選用式子an+1-an=d或an-an-1=d,但它們的意義不同,后者必須加上“n≥2”;②等差中項法,證明2an=an-1+an+1(n≥2).變式題給定數(shù)列{Pn},若對任意m,n∈N*,且m≠n,都有Pm+Pn是數(shù)列{Pn}的項,則稱數(shù)列{Pn}為“C數(shù)列”.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且對任意n∈N*,都有Sn=n((1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;(2)若數(shù)列{an}為“C數(shù)列”,a1=3,a2∈N*且a2>3,求a2所有的可能值.探究點四等差數(shù)列的最值問題例4(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a8-a5=-6,S9-S4=75,則Sn取得最大值時,n= ()A.14 B.15C.16 D.17(2)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若S25>0,S26<0,則數(shù)列Snan(n∈N*,n≤25)中的最大項是第[總結(jié)反思]求等差數(shù)列前n項和最值的常用方法:(1)二次函數(shù)法:用求二次函數(shù)最值的方法(配方法)求其前n項和的最值,但要注意n∈N*.(2)圖象法:利用二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值,使Sn取得最值.(3)項的符號法:當(dāng)a1>0,d<0時,滿足an≥0,an+1≤0的項數(shù)n使Sn取得最大值,當(dāng)a1<0,d>0時,滿足an≤0,an+1≥0的項數(shù)n使Sn取得最小值,即正項變負項處最大變式題(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,首項a1>0,公差d<0,a10·S21<0,則當(dāng)Sn最大時,n的值為 ()A.11 B.10C.9 D.8(2)2020年1月8日,人力資源和杜會保障部、財政部、農(nóng)業(yè)農(nóng)村部印發(fā)《關(guān)于進一步推動返鄉(xiāng)入鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)工作的意見》.《意見》指出,要貫徹落實黨中央、國務(wù)院的決策部署,進一步推動返鄉(xiāng)入鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),以創(chuàng)新帶動創(chuàng)業(yè),以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè),促進農(nóng)村一、二、三產(chǎn)業(yè)融合發(fā)展,實現(xiàn)更充分、更高質(zhì)量就業(yè).為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),某鎮(zhèn)政府決定投入“創(chuàng)業(yè)資金”和“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員.預(yù)計該鎮(zhèn)政府每年投入的“創(chuàng)業(yè)資金”構(gòu)成一個等差數(shù)列{an}(單位:萬元),每年“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入為第一年創(chuàng)業(yè)資金a1(萬元)的3倍,已知a12+a22=200,則該鎮(zhèn)政府幫扶5同步作業(yè)1.已知等差數(shù)列{an}中,3a5=2a7,則此數(shù)列中一定為0的是 ()A.a1 B.a3 C.a8 D.a102.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a6=3,S8=12,則{an}的公差d= ()A.-1 B.1C.2 D.33.已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a3+a5=18,a3+a5+a7=30,則a2+a4+a6= ()A.20 B.24C.26 D.284.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2,a4是方程x2+2x-3=0的兩個實根,則S5= ()A.10 B.5C.-5 D.-105.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=26-2n,要使數(shù)列{an}的前n項和Sn最大,則n的值為 ()A.14 B.13或14C.12或11 D.13或126.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,則n=.

7.等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若a3b5=35,則8.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a4+a7+a10=57,a4+a5+…+a14=77,若ak=13,則k的值為 ()A.7 B.8C.9 D.109.已知等差數(shù)列{an}滿足a2019+a2020<0,a2019·a2020<0,且數(shù)列{an}的前n項和Sn有最大值,則Sn取最小正值時,n= ()A.4037 B.4036 C.4035 D.403410.古希臘數(shù)學(xué)家佩波斯提出:蜂巢的優(yōu)美形狀,是自然界最有效勞動的代表.他猜想:人們所見到的截面呈六邊形的蜂巢,是蜜蜂采用最少量的蜂蠟建造而成的.如圖K29-1是蜂巢結(jié)構(gòu)圖的一部分,正六邊形的頂點稱為“晶格點”,重合的頂點算作一個“晶格點”.已知第一行有1個六邊形,第二行有2個六邊形,每行比上一行多1個六邊形(六邊形均相同),設(shè)圖中前n行的“晶格點”的個數(shù)bn滿足bn+1-bn=2n+5,n∈N*,則b10= ()圖K29-1A.101 B.123C.141 D.15011.(多選題)設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和,則下列說法正確的是 ()A.若d<0,則數(shù)列{Sn}有最大項B.若數(shù)列{Sn}有最大項,則d<0C.若對任意n∈N*,均有Sn>0,則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列D.若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列,則對任意n∈N*,均有Sn>012.(多選題)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1>0,公差d≠0,則下列說法正確的是 ()A.若S5=S9,則必有S14=0B.若S5=S9,則必有S7是{Sn}中最大的項C.若S6>S7,則必有S7>S8D.若S6>S7,則必有S5>S613.(多選題)設(shè)d為正項等差數(shù)列{an}的公差,若d≠0,a3=2,則 ()A.a2a4<4 B.a22+a4C.1a1+1a5>1 D.a1a514.等差數(shù)列{an}共