中精相關(guān)概率論與數(shù)理統(tǒng)計

第2章一維隨機變量及其分布§2.1隨機變量一.隨機變量概念的引入

為全面研究隨機試驗的結(jié)果,揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性,需將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化,即把隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來.1.在有些隨機試驗中,試驗結(jié)果本身就由數(shù)量來表示.

例如,在拋擲一顆骰子,觀察其出現(xiàn)的點數(shù)的試驗中,試驗的結(jié)果就可分別由數(shù)1,2,3,4,5,6來表示.2.在另一些隨機試驗中,試驗結(jié)果看起來與數(shù)值無關(guān),但可以指定一個數(shù)量來表示之.

例如,在拋擲一枚硬幣觀察其出現(xiàn)正面或反面的試驗中,若規(guī)定"出現(xiàn)正面"對應(yīng)數(shù)1,"出現(xiàn)反面“對應(yīng)數(shù)-1,則該試驗的每一種可能結(jié)果,都有唯一確定的實數(shù)與之對應(yīng);二.隨機變量的定義

Se1e2e3X(e1)和X(e3)X(e2)OR定義1

設(shè)隨機試驗的樣本空間為S,稱定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)X=X(e)為隨機變量.

注:隨機變量即為定義在樣本空間上的實值函數(shù).隨機變量X的取值由樣本點e決定.反之,使X取某一特定值a的那些樣本點的全體構(gòu)成樣本空間S的一個子集,即

A={e|X(e)=a}

S.

它是一個事件,當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生時才有{X=a},為簡便起見,今后將事件

A={e|X(e)=a}記為{X=a}隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母x,h等表示.而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z等.

例1在拋擲一枚硬幣進(jìn)行打賭時,若規(guī)定出現(xiàn)正面時拋擲者贏一元錢,出現(xiàn)反面時輸1元錢,則樣本空間為

S={正面,反面},

記贏錢數(shù)為隨機變量X,則X作為樣本空間S的實值函數(shù)定義為例2在將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H,反面T出現(xiàn)情況的試驗中,其樣本空間

eHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX32221110S={HHH,HHT,HTH,THH,

HTT,THT,TTH,TTT};

記每次試驗出現(xiàn)正面H的總次數(shù)為隨機變量X,則X作為樣本空間S上的函數(shù)定義為易見,使X取值為2的樣本點構(gòu)成的子集為

eHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX32221110A={HHT,HTH,THH}

故 P{X=2}=P(A)=3/8,

類似地,有

P{X1}=P{HTT,THT,TTH,TTT}

=4/8.例3在測試燈泡壽命的試驗中,每一個燈泡的實際使用壽命可能是[0,+)中的任何一個實數(shù),若用X表示燈泡的壽命(小時),則X是定義在樣本空間S={t|t0}上的函數(shù),即X=X(t)=t,是隨機變量.三.引入隨機變量的意義

隨機變量的引入,使得隨機試驗中的各種事件可通過隨機變量的關(guān)系式表達(dá)出來.例如,某城市的120急救電話每小時收到的呼喚次數(shù)X是一個隨機變量.事件{收到不少于20次呼叫}可表示為{X=10}.可表示為{X20},事件{收到恰好為10次呼叫}§2.2離散型隨機變量一.離散型隨機變量及其概率分布

設(shè)X是一個隨機變量,如果它全部可能的取值只有有限個或可數(shù)無窮個,則稱X為一個離散型隨機變量.

定義設(shè)離散型隨機變量X的所有可能以值為xi(i=1,2,),

P{X=xi}=pi,i=1,2,

稱為X的概率分布或分布律,也稱概率函數(shù).Xx1x2

xn

pip1p2

pn

常用表格形式表示X的概率分布:由概率的定義,pi,(i=1,2,)必然滿足:Xx1x2

xn

pip1p2

pn

例某籃球運動員投中籃圈的概率是0.9,求他兩次獨立投籃投中次數(shù)X的概率分布.

例設(shè)隨機變量X的概率分布為:試確定常數(shù)a.關(guān)于分布律的說明:

Xx1x2

xn

pip1p2

pn

則可求得X所生成的任何事件的概率,特別地,若已知一個離散型隨機變量X的概率分布例如,設(shè)X的概率分布由例1給出:X012pi0.010.180.81則 P{X0}=?P{X<2}=?P{-2X6}=?X01pi1-pp則稱X服從參數(shù)為p的0-1分布.習(xí)慣上常記q=1-p.易見0<p,q<1,p+q=1.1.兩點分布定義若一個隨機變量X只有兩個可能取值,且其分布為

P{X=x1}=p,P{X=x2}=1-p,(0<p<1),

則稱X服從x1,x2處參數(shù)為p的兩點分布.特別地,若X服從x1=1,x2=0處參數(shù)為p的兩點分布,

即二.常用離散分布

對于一個隨機試驗,針對所關(guān)心的任何一個

事件A,0<P(A)<1,都可以在S上定義一個服從

0-1分布的隨機變量:來描述這個隨機試驗的結(jié)果.2.伯努利試驗和二項分布設(shè)隨機試驗只有兩種可能的結(jié)果:事件A發(fā)生或者事件A不發(fā)生,則稱這樣的試驗為伯努利(Bernoulli)試驗.記將伯努利試驗在相同條件下獨立地重復(fù)進(jìn)行n次,稱這一串重復(fù)的獨立試驗為n重伯努利試驗,或簡稱為伯努利概型.特點：1）事件A在每次試驗中發(fā)生的概率均為p；

2）每次試驗之間是獨立的。定理(伯努利定理)

設(shè)在一次試驗中,事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),則在n重伯努利試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為推論設(shè)在一次試驗中,事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),則在伯努利試驗序列中,事件A在第k次試驗中才首次發(fā)生的概率為

在n重伯努利試驗中,設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,用X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),則X的可能取值為0,1,,n,且對每一個k(0

k

n),事件{X=k}即為"n次試驗中事件A恰好發(fā)生k次",根據(jù)伯努利概型,有定義若一個隨機變量X的概率分布由下式給出,則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布.記為X~b(n,p)(或B(n,p)).注:當(dāng)n=1時,上式化為

P{X=k}=pkq1-k,k=0,1;q=1-p此時,隨機變量X即服從0-1分布.二項分布的圖形nOpkn=10,p=0.7二項分布的圖形之二nOpkn=13,p=0.5并且：(2)當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時,二項概率P{X=k}

在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1處達(dá)到最大值.

注:[x]為不超過x的最大整數(shù)值.

當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時,二項概率P{X=k}

在k=[(n+1)p]達(dá)到最大值;

例已知某類產(chǎn)品的次品率為0.2,現(xiàn)從一大批這類產(chǎn)品中隨機地抽查20件,

問恰好有k件(k=0,1,…,20)次品的概率是多少?

例某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊的命中率為0.02,

獨立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.

例設(shè)某種鴨在正常情況下感染某種傳染病的概率為20%,現(xiàn)新發(fā)明兩種疫苗A和B,9只健康鴨注射疫苗A后無一只感染傳染病,25只健康鴨注射疫苗B后僅有一只感染,

試問應(yīng)如何評價這兩種疫苗,能否初步估計哪種疫苗較為有效?3.泊松分布則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布,記為X~p(λ).定義若一個隨機變量X的概率分布為易見泊松分布的概率值可查P252頁附表.(2)(1)P{X=k}0,k=0,1,2,…242220181614121086420.020.040.060.080.100.12OkP(l)l=12泊松分布的圖形例