中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)（精講精練）復(fù)習(xí)專題12 函數(shù)與方案設(shè)計選擇（教師版）

專題12專題12函數(shù)與方案設(shè)計選擇知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航題型精講題型精講題型一：圖像圖表類【例1】某通訊公司就手機(jī)流量套餐推出三種方案，如下表：A方案B方案C方案每月基本費(fèi)用（元）2056266每月免費(fèi)使用流量（兆）1024m無限超出后每兆收費(fèi)（元）nnA，B，C三種方案每月所需的費(fèi)用y（元）與每月使用的流量x（兆）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）請直接寫出m，n的值．（2）在A方案中，當(dāng)每月使用的流量不少于1024兆時，求每月所需的費(fèi)用y（元）與每月使用的流量x（兆）之間的函數(shù)關(guān)系式．（3）在這三種方案中，當(dāng)每月使用的流量超過多少兆時，選擇C方案最劃算？【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）當(dāng)每月使用的流量超過3772兆時，選擇C方案最劃算【分析】（1）m的值可以從圖象上直接讀取，n的值可以根據(jù)方案A和方案B的費(fèi)用差和流量差相除求得；（2）直接運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（3）計算出方案C的圖象與方案B的圖象的交點(diǎn)表示的數(shù)值即可求解．【詳解】解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）設(shè)函數(shù)表達(dá)式為SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式SKIPIF1<0．（注：x的取值范圍對考生不作要求）（3）SKIPIF1<0（兆）．由圖象得，當(dāng)每月使用的流量超過3772兆時，選擇C方案最劃算．題型二：文字類：費(fèi)用問題【例2】某中學(xué)計劃暑假期間安排2名老師帶領(lǐng)部分學(xué)生參加紅色旅游．甲?乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同,且報價都是每人1000元,經(jīng)協(xié)商,甲旅行社的優(yōu)惠條件是:老師?學(xué)生都按八折收費(fèi):乙旅行社的優(yōu)惠條件是:兩位老師全額收費(fèi),學(xué)生都按七五折收費(fèi),（1）設(shè)參加這次紅色旅游的老師學(xué)生共有名,,（單位:元）分別表示選擇甲、乙兩家旅行社所需的費(fèi)用,求,關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）該校選擇哪家旅行社支付的旅游費(fèi)用較少?【答案】（1）,（2）當(dāng)學(xué)生人數(shù)超過10人時,選擇乙旅行社支付的旅游費(fèi)最少；當(dāng)學(xué)生人數(shù)少于10人時,選擇甲旅行社支付的旅游費(fèi)最少；學(xué)生人數(shù)等于10人時,選擇甲、乙旅行社支付費(fèi)用相等．【分析】（1）根據(jù)旅行社的收費(fèi)=老師的費(fèi)用+學(xué)生的費(fèi)用,再由總價=單價×數(shù)量就可以得出?與x的函數(shù)關(guān)系式;（2）根據(jù)（1）的解析式,若,,,分別求出相應(yīng)x的取值范圍,即可判斷哪家旅行社支付的旅游費(fèi)用較少．【詳解】（1）由題意,得,,答：?與x的函數(shù)關(guān)系式分別是:,（2）當(dāng)時,,解得,當(dāng)時,,解得,當(dāng)時,,解得,答：當(dāng)學(xué)生人數(shù)超過10人時,選擇乙旅行社支付的旅游費(fèi)最少；當(dāng)學(xué)生人數(shù)少于10人時,選擇甲旅行社支付的旅游費(fèi)最少；學(xué)生人數(shù)等于10人時,選擇甲、乙旅行社支付費(fèi)用相等．題型三：文字類：利潤問題【例3】A，B兩家超市平時以同樣的價格出售相同的商品．暑假期間兩家超市都進(jìn)行促銷活動，促銷方式如下：A超市：一次購物不超過300元的打9折，超過300元后的價格部分打7折；B超市：一次購物不超過100元的按原價，超過100元后的價格部分打8折．例如，一次購物的商品原價為500元，去A超市的購物金額為：（元）；去B超市的購物金額為：（元）．（1）設(shè)商品原價為x元，購物金額為y元，分別就兩家超市的促銷方式寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）促銷期間，若小剛一次購物的商品原價超過200元，他去哪家超市購物更省錢？請說明理由．【答案】（1）A商場y關(guān)于x的函數(shù)解析式：；B商場y關(guān)于x的函數(shù)解析式：；（2）當(dāng)時，去B超市更省錢；當(dāng)時，去A、B超市一樣省錢；當(dāng)時，去A超市更省錢．【分析】（1）利用促銷方式，分別寫出A、B兩商場促銷活動的情況，注意需要寫出分段函數(shù);（2）小剛一次購物的商品原價超過200元,則可以確定B的函數(shù)解析式，再分段求出A函數(shù)的解析式，比較兩函數(shù)值即可，注意分段討論．【詳解】解：（1）A商場y關(guān)于x的函數(shù)解析式：，即：；B商場y關(guān)于x的函數(shù)解析式：，即：；（2）∵小剛一次購物的商品原價超過200元∴當(dāng)時，，令，，所以，當(dāng)時，即，去B超市更省錢；當(dāng)時，，令，，所以，當(dāng)時，即，此時去A、B超市一樣省錢；當(dāng)時，即，去B超市更省錢；當(dāng)時，即，去A超市更省錢；綜上所述，當(dāng)時，去B超市更省錢；當(dāng)時，去A、B超市一樣省錢；當(dāng)時，去A超市更省錢．題型四：文字類：調(diào)配問題【例4】黔東南州某銷售公司準(zhǔn)備購進(jìn)A、B兩種商品，已知購進(jìn)3件A商品和2件B商品，需要1100元；購進(jìn)5件A商品和3件B商品，需要1750元．（1）求A、B兩種商品的進(jìn)貨單價分別是多少元？（2）若該公司購進(jìn)A商品200件，B商品300件，準(zhǔn)備把這些商品全部運(yùn)往甲、乙兩地銷售．已知每件A商品運(yùn)往甲、乙兩地的運(yùn)費(fèi)分別為20元和25元；每件B商品運(yùn)往甲、乙兩地的運(yùn)費(fèi)分別為15元和24元．若運(yùn)往甲地的商品共240件，運(yùn)往乙地的商品共260件．①設(shè)運(yùn)往甲地的A商品為（件），投資總運(yùn)費(fèi)為（元），請寫出與的函數(shù)關(guān)系式；②怎樣調(diào)運(yùn)A、B兩種商品可使投資總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少元？（投資總費(fèi)用＝購進(jìn)商品的費(fèi)用＋運(yùn)費(fèi)）【答案】（1）A商品的進(jìn)貨單價為200元，B商品的進(jìn)貨單價為250元；（2）①；②最佳調(diào)運(yùn)方案為：調(diào)運(yùn)240件B商品到甲地，調(diào)運(yùn)200件A商品、60件B商品到乙地．最小費(fèi)用為125040元【分析】（1）設(shè)A商品的進(jìn)貨單價為x元，B商品的進(jìn)貨單價為y元，根據(jù)購進(jìn)3件A商品和2件B商品，需要1100元；購進(jìn)5件A商品和3件B商品，需要1750元列出方程組求解即可；（2）①設(shè)運(yùn)往甲地的A商品為x件，則設(shè)運(yùn)往乙地的A商品為（200﹣x）件，運(yùn)往甲地的B商品為（240﹣x）件，運(yùn)往乙地的B商品為（60+x）件，根據(jù)投資總運(yùn)費(fèi)＝運(yùn)往甲、乙兩地運(yùn)費(fèi)之和列出函數(shù)關(guān)系式即可；②根據(jù)投資總費(fèi)用＝購買商品的費(fèi)用+總運(yùn)費(fèi)，列出函數(shù)關(guān)系式，由自變量的取值范圍是：0≤x≤200，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷最佳運(yùn)輸方案并求出最低費(fèi)用．【詳解】解：（1）設(shè)A商品的進(jìn)貨單價為x元，B商品的進(jìn)貨單價為y元，根據(jù)題意，得，解得：，答：A商品的進(jìn)貨單價為200元，B商品的進(jìn)貨單價為250元；（2）①設(shè)運(yùn)往甲地的A商品為x件，則設(shè)運(yùn)往乙地的A商品為（200﹣x）件，運(yùn)往甲地的B商品為（240﹣x）件，運(yùn)往乙地的B商品為（60+x）件，則y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝4x+10040；②投資總費(fèi)用w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040，自變量的取值范圍是：0≤x≤200，∵k＝4＞0，∴y隨x增大而增大．當(dāng)x＝0時，w取得最小值，w最?。?25040（元），∴最佳調(diào)運(yùn)方案為：調(diào)運(yùn)240件B商品到甲地，調(diào)運(yùn)200件A商品、60件B商品到乙地，最小費(fèi)用為125040元．答：調(diào)運(yùn)240件B商品到甲地，調(diào)運(yùn)200件A商品、60件B商品到乙地總費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為125040元．提分訓(xùn)練提分訓(xùn)練1．“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，某糧食生產(chǎn)基地計劃投入一筆資金購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具，已知購進(jìn)2件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具共需3.5萬元，購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和3件乙種農(nóng)機(jī)具共需3萬元．（1）求購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具各需多少萬元？（2）若該糧食生產(chǎn)基地計劃購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具共10件，且投入資金不少于9.8萬元又不超過12萬元，設(shè)購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具m件，則有哪幾種購買方案？哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少？（3）在（2）的方案下，由于國家對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)扶持力度加大，每件甲種農(nóng)機(jī)具降價0.7萬元，每件乙種農(nóng)機(jī)具降價0.2萬元，該糧食生產(chǎn)基地計劃將節(jié)省的資金全部用于再次購買甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具（可以只購買一種），請直接寫出再次購買農(nóng)機(jī)具的方案有哪幾種？【答案】（1）購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需1.5萬元，購進(jìn)1件乙種農(nóng)機(jī)具需0.5萬元；（2）有三種方案：方案一：購買甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件；方案二：購買甲種農(nóng)機(jī)具6件，乙種農(nóng)機(jī)具4件；方案三：購買甲種農(nóng)機(jī)具7件，乙種農(nóng)機(jī)具3件；方案一需要資金最少，最少資金是10萬元；（3）節(jié)省的資金再次購買農(nóng)機(jī)具的方案有兩種：方案一：購買甲種農(nóng)機(jī)具0件，乙種農(nóng)機(jī)具15件；方案二：購買甲種農(nóng)機(jī)具3件，乙種農(nóng)機(jī)具7件【分析】（1）設(shè)購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需x萬元，購進(jìn)1件乙種農(nóng)機(jī)具需y萬元，根據(jù)題意可直接列出二元一次方程組求解即可；（2）在（1）的基礎(chǔ)之上，結(jié)合題意，建立關(guān)于m的一元一次不等式組，求解即可得到m的范圍，從而根據(jù)實(shí)際意義確定出m的取值，即可確定不同的方案，最后再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)確定最小值即可；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，直接求出可節(jié)省的資金，然后確定降價后的單價，再建立二元一次方程，并結(jié)合實(shí)際意義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需x萬元，購進(jìn)1件乙種農(nóng)機(jī)具需y萬元．根據(jù)題意，得，解得：，答：購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需1.5萬元，購進(jìn)1件乙種農(nóng)機(jī)具需0.5萬元．（2）根據(jù)題意，得，解得：，∵m為整數(shù)，∴m可取5、6、7，∴有三種方案：方案一：購買甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件；方案二：購買甲種農(nóng)機(jī)具6件，乙種農(nóng)機(jī)具4件；方案三：購買甲種農(nóng)機(jī)具7件，乙種農(nóng)機(jī)具3件．設(shè)總資金為W萬元，則，∵，∴W隨m的增大而增大，∴當(dāng)時，（萬元），∴方案一需要資金最少，最少資金是10萬元．（3）由（2）可知，購買甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件時，費(fèi)用最小，根據(jù)題意，此時，節(jié)省的費(fèi)用為（萬元），降價后的單價分別為：甲種0.8萬元，乙種0.3萬元，設(shè)節(jié)省的資金可購買a臺甲種，b臺乙種，則：，由題意，a，b均為非負(fù)整數(shù)，∴滿足條件的解為：或，∴節(jié)省的資金再次購買農(nóng)機(jī)具的方案有兩種：方案一：購買甲種農(nóng)機(jī)具0件，乙種農(nóng)機(jī)具15件；方案二：購買甲種農(nóng)機(jī)具3件，乙種農(nóng)機(jī)具7件．2．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市）下面圖片是七年級教科書中“實(shí)際問題與一元一次方程”的探究電話計費(fèi)問題月使用費(fèi)/元主叫限定時間/min主叫超時費(fèi)/（元/min）被叫方式一581500.25免費(fèi)方式二883500.19免費(fèi)考慮下列問題：①設(shè)一個月內(nèi)用移動電話主叫為min（t是正整數(shù)）根據(jù)上表，列表說明：當(dāng)t在不同時間范圍內(nèi)取值時，按方式一和方式二如何計費(fèi)②觀察你的列表，你能從中發(fā)現(xiàn)如何根據(jù)主叫時間選擇省錢的計費(fèi)方式嗎？通過計算驗(yàn)證你的看法．小明升入初三再看這個問題，發(fā)現(xiàn)兩種計費(fèi)方式，每一種都是因主叫時間的變化而引起計費(fèi)的變化，他把主叫時間視為在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化，決定用函數(shù)來解決這個問題．（1）根據(jù)函數(shù)的概念，小明首先將問題中的兩個變量分別設(shè)為自變量x和自變量的函數(shù)y，請你幫小明寫出：x表示問題中的__________，y表示問題中的__________．并寫出計費(fèi)方式一和二分別對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）在給出的正方形網(wǎng)格紙上畫出（1）中兩個函數(shù)的大致圖象，并依據(jù)圖象直接寫出如何根據(jù)主叫時間選擇省錢的計費(fèi)方式．（注：坐標(biāo)軸單位長度可根據(jù)需要自己確定）【答案】（1）主叫時間，計費(fèi)；方式一：；方式二：；（2）見解析，當(dāng)主叫時間在270分鐘以內(nèi)選方式一，270分鐘時兩種方式相同，超過270分鐘選方式二【分析】（1）根據(jù)題意即可知道x、y的實(shí)際意義，根據(jù)兩種方式的計算方式即可列出分段式函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖像即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可知：x表示主叫時間，y表示計費(fèi)，通過表格數(shù)據(jù)可知兩種方式都屬于分段函數(shù)，主叫超時費(fèi)即為一次函數(shù)“k”值，即可直接寫出函數(shù)表達(dá)式為：方式一：方式二：（2）大致圖象如下：，解得x=270，由圖可知：當(dāng)主叫時間在270分鐘以內(nèi)選方式一，270分鐘時兩種方式相同，超過270分鐘選方式二．3．“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，某糧食生產(chǎn)基地計劃投入一筆資金購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具，已知購進(jìn)2件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具共需萬元，購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和3件乙種農(nóng)機(jī)具共需3萬元．（1）求購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具各需多少萬元？（2）若該糧食生產(chǎn)基地計劃購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具共10件，且投入資金不少于萬元又不超過12萬元，設(shè)購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具件，則有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少?【答案】（1）購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需1.5萬元，購進(jìn)1件乙種農(nóng)機(jī)具需0.5萬元；（2）購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件；購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具6件，乙種農(nóng)機(jī)具4件；購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具7件，乙種農(nóng)機(jī)具3件；（3）購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件所需資金最少，最少資金為10萬元．【分析】（1）設(shè)購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需x萬元，購進(jìn)1件乙種農(nóng)機(jī)具需y萬元，然后根據(jù)題意可得，進(jìn)而求解即可；（2）由（1）及題意可得購進(jìn)乙種農(nóng)機(jī)具為（10-m）件，則可列不等式組為，然后求解即可；（3）設(shè)購買農(nóng)機(jī)具所需資金為w萬元，則由（2）可得，然后結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)及（2）可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）設(shè)購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需x萬元，購進(jìn)1件乙種農(nóng)機(jī)具需y萬元，由題意得：，解得：，答：購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需1.5萬元，購進(jìn)1件乙種農(nóng)機(jī)具需0.5萬元．（2）由題意得：購進(jìn)乙種農(nóng)機(jī)具為（10-m）件，∴，解得：，∵m為正整數(shù)，∴m的值為5、6、7，∴共有三種購買方案：購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件；購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具6件，乙種農(nóng)機(jī)具4件；購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具7件，乙種農(nóng)機(jī)具3件；．（3）設(shè)購買農(nóng)機(jī)具所需資金為w萬元，則由（2）可得，∵1＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當(dāng)m=5時，w的值最小，最小值為w=5+5=10，答：購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件所需資金最少，最少資金為10萬元．4．獼猴嬉戲是王屋山景區(qū)的一大特色，獼猴玩偶非常暢銷．小李在某網(wǎng)店選中，兩款獼猴玩偶，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售．兩款玩偶的進(jìn)貨價和銷售價如下表：類別價格款玩偶款玩偶進(jìn)貨價（元/個）銷售價（元/個）（1）第一次小李用元購進(jìn)了，兩款玩偶共個，求兩款玩偶各購進(jìn)多少個；（2）第二次小李進(jìn)貨時，網(wǎng)店規(guī)定款玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過款玩偶進(jìn)貨數(shù)量的一半．小李計劃購進(jìn)兩款玩偶共個，應(yīng)如何設(shè)計進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？（3）小李第二次進(jìn)貨時采取了（2）中設(shè)計的方案，并且兩次購進(jìn)的玩偶全部售出，請從利潤率的角度分析，對于小李來說哪一次更合算？（注：利潤率）【答案】（1）款20個，款10個；（2）款10個，款20個，最大利潤是460元；（3）第二次更合算．理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意列二元一次方程組，解方程組即可；（2）根據(jù)條件求得利潤的解析式，再判斷最大利潤即可；（3）分別求出第一次和第二次的利潤率，比較之后即可知道哪一次更合算．【詳解】（1）設(shè)，兩款玩偶分別為個，根據(jù)題意得：解得：答：兩款玩偶，款購進(jìn)20個，款購進(jìn)10個．（2）設(shè)購進(jìn)款玩偶a個，則購進(jìn)款個,設(shè)利潤為y元則（元）款玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過款玩偶進(jìn)貨數(shù)量的一半，又且為整數(shù)，當(dāng)時，y有最大值（元）款個，款個，最大利潤是元．（3）第一次利潤（元）第一次利潤率為：第二次利潤率為：第二次的利潤率大，即第二次更劃算．5．為了做好防疫工作，學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）這兩種消毒液的單價各是多少元？（2）學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種消毒液共90瓶，且B型消毒液的數(shù)量不少于A型消毒液數(shù)量的，請設(shè)計出最省錢的購買方案，并求出最少費(fèi)用．【答案】（1）種消毒液的單價是7元，型消毒液的單價是9元；（2）購進(jìn)種消毒液