中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練(全國通用)第一講 多邊形和平行四邊形-滿分之路（解析版）

模塊五四邊形第一講多邊形和平行四邊形知識(shí)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1：多邊形1．多邊形的相關(guān)概念（1）定義：在平面內(nèi)，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．（2）對(duì)角線：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n–3)條對(duì)角線，并且這些對(duì)角線把多邊形分成了(n–2)個(gè)三角形；n邊形對(duì)角線條數(shù)為．2．多邊形的內(nèi)角和、外角和（1）內(nèi)角和：n邊形內(nèi)角和公式為(n–2)·180°；（2）外角和：任意多邊形的外角和為360°.3．正多邊形（1）定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.（2）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為，每一個(gè)外角為．（3）正n邊形有n條對(duì)稱軸.（4）對(duì)于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．知識(shí)點(diǎn)2：平行四邊形1．平行四邊形的定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形用“”表示.2．平行四邊形的性質(zhì)（1）邊：兩組對(duì)邊分別平行且相等．（2）角：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)．（3）對(duì)角線：互相平分．（4）對(duì)稱性：中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱．3．注意：利用平行四邊形的性質(zhì)解題時(shí)一些常用到的結(jié)論和方法：（1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半．（2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來解題．（3）過平行四邊形對(duì)稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長．4．平行四邊形中的幾個(gè)解題模型（1）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對(duì)等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．（2）平行四邊形的一條對(duì)角線把其分為兩個(gè)全等的三角形，如圖②中△ABD≌△CDB；兩條對(duì)角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形，如圖②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱性，可得經(jīng)過對(duì)稱中心O的線段與對(duì)角線所組成的居于中心對(duì)稱位置的三角形全等，如圖②△AOE≌△COF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊形面積的一半．（3）如圖③，已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）如圖④，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．5.平行四邊形的判定（1）方法一（定義法）：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（2）方法二：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.（3）方法三：有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.（4）方法四：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.（5）方法五：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．直擊中考勝券在握1．(2023·宜賓中考）下列說法正確的是（）A．平行四邊形是軸對(duì)稱圖形 B．平行四邊形的鄰邊相等C．平行四邊形的對(duì)角線互相垂直 D．平行四邊形的對(duì)角線互相平分【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)，即可得到答案．【詳解】解：A.平行四邊形是中心對(duì)稱圖形不是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，B.平行四邊形的鄰邊不一定相等，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，C.平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，D.平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故該選項(xiàng)正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．2．(2023·四川眉山中考）正八邊形中，每個(gè)內(nèi)角與每個(gè)外角的度數(shù)之比為（）A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1【答案】D【分析】根據(jù)正八邊形的外角和等于360°，求出每個(gè)外角的度數(shù)，再求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：正八邊形中，每個(gè)外角=360°÷8=45°，每個(gè)內(nèi)角=180°-45°=135°，∴每個(gè)內(nèi)角與每個(gè)外角的度數(shù)之比=135°：45°=3：1，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和外角，熟練掌握正多邊形的外角和等于360°，是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，以，為邊作，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用等邊對(duì)等角求出的度數(shù)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，即可得出答案.【詳解】∵∴又∵四邊形為平行四邊形∴∴∴故答案選擇A.【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形和等腰三角形，熟悉并掌握平行四邊形和等腰三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.4．五邊形中，，如圖，、分別平分、，則（）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】先根據(jù)五邊形內(nèi)角和求得∠EDC+∠BCD，再根據(jù)角平分線求得∠PDC+∠PCD，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求得∠P的度數(shù)．【詳解】解：∵在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠EDC+∠BCD=540°-300°=240°，又∵DP、CP分別平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=120°，∴△CDP中，∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-120°=60°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和以及角平分線的定義，解題時(shí)注意：多邊形內(nèi)角和=(n-2)×180°（n≥3且n為整數(shù)）．5．(2023·四川瀘州中考）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于點(diǎn)E，∠D=58°，則∠AEC的大小是（）A．61° B．109° C．119° D．122°【答案】C【分析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到對(duì)邊平行，再利用平行的性質(zhì)求出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：AE平分∠BAD求，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴，∴∵AE平分∠BAD∴∵∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，能利用平行四邊形的性質(zhì)找到角與角的關(guān)系，是解答此題的關(guān)鍵．6．(2023·湖北省恩施中考）如圖，在中，，，，則的面積為（）

A．30 B．60 C．65 D．【答案】B【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理可得，然后利用平行四邊形的面積公式即可得．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，則的面積為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與面積公式、勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．如圖，在中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在延長線上，添加一個(gè)條件使四邊形為平行四邊形，則這個(gè)條件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形中位線定理得到，結(jié)合平行四邊形的判定定理進(jìn)行選擇．【詳解】∵在中，分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴．A、根據(jù)不能判定，即不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．B、根據(jù)可以判定，即，由“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”得到四邊形為平行四邊形，故本選項(xiàng)正確．C、根據(jù)不能判定，即不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．D、根據(jù)不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．8．(2023·湖南婁底中考）如圖，點(diǎn)在矩形的對(duì)角線所在的直線上，，則四邊形是（）

A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】A【分析】利用三角形全等的性質(zhì)得，對(duì)應(yīng)邊相等及對(duì)應(yīng)角相等，得出一組對(duì)邊平行且相等，即可判斷出形狀．【詳解】解：由題意：，，又，，，，四邊形為平行四邊形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定定理及性質(zhì)、平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是：掌握平行四邊形判定定理，利用三角形全等去得出相應(yīng)條件．9．(2023·自貢中考）如圖，在平行四邊形中，，是銳角，于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接；若，則的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長EF，DA交于G，連接DE，先證明△AFG≌△BFE，進(jìn)而得到BE=AG，F(xiàn)是GE的中點(diǎn)，結(jié)合條件BF⊥GE進(jìn)而得到BF是線段GE的垂直平分線，得到GD=DE，最后在Rt△AED中使用勾股定理即可求解.【詳解】解：延長EF，DA交于G，連接DE，如下圖所示：∵F是AB的中點(diǎn)，∴AF=BF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥BC，∴∠GAB=∠EBF且∠GFA=∠EFB，∴△AFG≌△BFE(ASA)，設(shè)，由GF=EF，且∠DFE=90°知，DF是線段GE的垂直平分線，∴，在Rt△GAE中，．在Rt△AED中，，∴，解得，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.10．(2023·貴州安順中考）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，若，則的長是（）A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明DF＝CD，AE＝AB，進(jìn)而可得AF和ED的長，然后可得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴∠DFC＝∠FCB，又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC＝3，同理可證：AE＝AB＝3，∵AD＝4，∴AF＝4?3＝1，DE＝4?3＝1，∴EF＝4?1?1＝2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時(shí)，一般可利用等腰三角形的性質(zhì)解題．11．(2023·江蘇蘇州中考）如圖，在平行四邊形中，將沿著所在的直線翻折得到，交于點(diǎn)，連接，若，，，則的長是（）

A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)、翻折不變性可得△AEC為等腰直角三角形，根據(jù)已知條件可得CE得長，進(jìn)而得出ED的長，再根據(jù)勾股定理可得出；【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形∴AB=CD∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠ACB′=45°，∴△AEC為等腰直角三角形∴AE=CE∴Rt△AEB′≌Rt△CDE∴EB′=DE∵在等腰Rt△AEC中，∴∵在Rt△DEC中，，∠ADC=60°∴∠DCE=30°∴DE=1在等腰Rt△DEB′中，EB′=DE=1∴=故選：B【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．12．(2023·泰安中考）如圖，在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②若，，則；③若，則；④若，則與全等．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】依次分析各選項(xiàng)，進(jìn)行推理論證即可；其中①可通過證明，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換后可以得到結(jié)論，②可先得到該平行四邊形是矩形，利用矩形的性質(zhì)等得到MN垂直平分BC，即可完成求證，③可以先證明兩個(gè)三角形的共線邊上的高的關(guān)系，再利用三角形面積公式即可完成證明，④可以先證明后可進(jìn)一步證明，即可完成求證．【詳解】解：∵平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，∴，，，∴,,∴,∴，∴，故①正確；若，則平行四邊形是矩形，由矩形的對(duì)角線相等，而點(diǎn)E是矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)可知，E點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等，∴E點(diǎn)在BC的垂直平分線上，由，可得BN=CN，所以N點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，∴MN垂直平分BC，∴，故②正確；若，則BN=2CN，如圖1，分別過D、E兩點(diǎn)向BC作垂線，垂足分別為Q點(diǎn)和P點(diǎn)，∵E點(diǎn)是BD中點(diǎn)，∴DQ=2EP，∵，∴，故③正確；若，因?yàn)?，所以，分別過N、C兩點(diǎn)向AD作垂線，垂足分別為H、K，由平行線間的距離處處相等可知：NH=CK，∴，∴，∴,∴，又∵，∴,故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與性質(zhì)，能熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行角或邊之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化等，本題對(duì)推理分析能力要求較高，屬于中等難度偏上的題目，對(duì)學(xué)生的綜合分析能力有一定的要求．13．(2023·湘潭中考）如圖，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)．已知，則_____．【答案】5【分析】直接利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理得出EO的長．【詳解】解：∵在□ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴EO是△ABC的中位線，∴EO＝BC＝5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，正確得出EO是△ABC的中位線是解題關(guān)鍵．14．(2023·江蘇揚(yáng)州中考）如圖，在中，點(diǎn)E在上，且平分，若，，則的面積為________．【答案】50【分析】過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，利用直角三角形的性質(zhì)求出EF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四邊形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，∵∠EBC=30°，BE=10，∴EF=BE=5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DEC=∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=10，∴四邊形ABCD的面積===50，故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，30度的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對(duì)等邊，知識(shí)點(diǎn)較多，但難度不大，圖形特征比較明顯，作出輔助線構(gòu)造直角三角形求出EF的長是解題的關(guān)鍵．15．(2023·廣東中考）如圖，在中，．過點(diǎn)D作，垂足為E，則______．【答案】【分析】首先根據(jù)題目中的，求出ED的長度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四邊形的性質(zhì)，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面積法求出BF的長，即可求出．【詳解】∵，∴△ADE為直角三角形，又∵，∴,解得DE=4,在Rt△ADE中，由勾股定理得：,又∵AB=12,∴,又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=12,AD=BC=5在Rt△DEC中，由勾股定理得：,過點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F,如圖在△EBC中：S△EBC=;又∵S△EBC∴,解得,在Rt△BFC中，,故填：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解題關(guān)鍵在于熟練掌握解直角三角形的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的計(jì)算和等面積法求一邊上的高．16．(2023·山東臨沂中考）在平面直角坐標(biāo)系中，的對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、，將沿軸向右平移3個(gè)單位長度，則頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是___．【答案】（4，-1）【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)得到C1坐標(biāo)．【詳解】解：在平行四邊形ABCD中，∵對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，A（-1，1），B（2，1），∴C（1，-1），將平行四邊形ABCD沿x軸向右平移3個(gè)單位長度，∴C1（4，-1），故答案為：（4，-1）．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．17．(2023·江西中考）如圖，將沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，若，，，，則的周長為______．【答案】4a+2b【分析】根據(jù)題意并利用折疊的性質(zhì)可得出∠ACE=∠ACB=2∠ECD，計(jì)算可得到∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40，利用三角形的外角性質(zhì)得到∠CFD=∠D=80，再等角對(duì)等邊即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：∠ACE=∠ACB，∵∠ACE=2∠ECD，∴∠ACE=∠ACB=2∠ECD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠FAC=∠FCA，∠B+∠BCD=180，即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180，∴∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40=∠FAC，∠CFD=∠FAC+∠FCA=80=∠B=∠D，∴AF=CF=CD=a，即AD=a+b，則?ABCD的周長為2AD+2CD=4a+2b，故答案為：4a+2b．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．18．(2023·廣西梧州中考）如圖，正六邊形ABCDEF的周長是24cm，連接這個(gè)六邊形的各邊中點(diǎn)G，H，K，L，M，N，則六邊形GHKLMN的周長是___cm．【答案】【分析】如圖，連接過作于再求解正六邊形的邊長為證明再求解再利用三角形的中位線定理可得答案.【詳解】解：如圖，連接過作于正六邊形ABCDEF的周長是24cm，分別為的中點(diǎn)，同理：六邊形GHKLMN的周長是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.19．(2023·綏化中考）如圖，在中，為斜邊的中線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接，點(diǎn)在線段上，連接，且．下列結(jié)論：①；②四邊形是平行四邊形；③；④．其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．（填序號(hào)）【答案】①②③④【詳解】．∵在中，．是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線，即，故①正確；．．，∴四邊形是平行四邊形，故②正確；．是的中點(diǎn)，，∴四邊形是菱形，，故③正確；，，即，解得，∵四邊形是平行四邊形，，故④正確．綜上所述，正確結(jié)論有①②③④．20．(2023·湖南岳陽中考）如圖，在四邊形中，，，垂足分別為點(diǎn)，．

（1）請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不另加輔助線），使得四邊形為平行四邊形，你添加的條件是________；（2）添加了條件后，證明四邊形為平行四邊形．【答案】（1）（答案不唯一，符合題意即可）；（2）見解析【分析】（1）由題意可知，要使得四邊形為平行四邊形，則使得即可，從而添加適當(dāng)條件即可；（2）根據(jù)（1）的思路，利用平行四邊形的定義證明即可．【詳解】（1）顯然，直接添加，可根據(jù)定義得到結(jié)果，故答案為：（答案不唯一，符合題意即可）；（2）證明：∵，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．21．(2023·鄂州中考）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別為、的中點(diǎn)，延長至點(diǎn)E，使，連接．

（1）求證：；（2）若，且，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析；(2)24【分析】(1)由四邊形ABCD是平行四邊形得出AB=CD，ABCD，進(jìn)而得到∠BAC=∠DCA，再結(jié)合AO=CO，M,N分別是OA和OC中點(diǎn)即可求解；(2)證明△ABO是等腰三角形，結(jié)合M是AO的中點(diǎn)，得到∠BMO=∠EMO=90°，同時(shí)△DOC也是等腰三角形，N是OC中點(diǎn)，得到∠DNO=90°，得到EMDN，再由(1)得到EM=DN，得出四邊形EMND為矩形，進(jìn)而求出面積．【詳解】解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，ABCD，OA=OC，∴∠BAC=∠DCA，又點(diǎn)M，N分別為、的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴．(2)BD=2BO，又已知BD=2AB，∴BO=AB，∴△ABO為等腰三角形；又M為AO的中點(diǎn)，∴由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)可知：BM⊥AO，∴∠BMO=∠EMO=90°，同理可證△DOC也為等腰三角形，又N是OC的中點(diǎn)，∴由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)可知：DN⊥CO，∠DNO=90°，∵∠EMO+∠DNO=90°+90°=180°，∴EMDN，又已知EM=BM，由(1)中知BM=DN，∴EM=DN，∴四邊形EMND為平行四邊形，又∠EMO=90°，∴四邊形EMND為矩形，在Rt△ABM中，由勾股定理有：，∴AM=CN=3，∴MN=MO+ON=AM+CN=3+3=6，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、矩形的面積公式等，熟練掌握其性質(zhì)和判定方法是解決此類題的關(guān)鍵．22．如圖，在平行四邊形中，分別以邊，作等腰，，使，，，連接，．（1）求證；（2）延長與相交于G.若，求證．【答案】（1）見解析（2）見解析【詳解】證明：（1）在中，，又∵，∴.同理可得.在平行四邊形ABCD中，，又∵，∴，∴，∴；（2）由（1）知，∴，，在中，，∴，∴，∴.23．(2023四川樂山）點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)角線所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），分別過點(diǎn)、向直線作垂線，垂足分別為點(diǎn)、．點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，線段和的關(guān)系是；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全圖形并通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖3，點(diǎn)在線段的延長線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，試探究線段、、之間的關(guān)系．【答案】（1）；（2）補(bǔ)圖見解析，仍然成立，證明見解析；（3），證明見解析【分析】（1）證明△AOE≌△COF即可得出結(jié)論；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出結(jié)論；（3）FC＋AE＝OE，理由是：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，與（2）類似，同理得，得出，，再根據(jù)，，推出，即可得證．【詳解】解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF；（2）補(bǔ)全圖形如圖所示，仍然成立，證明如下：延長交于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，線段、、之間的關(guān)系為，證明如下：延長交的延長線于點(diǎn)，如圖所示，由（2）可知，∴，，又∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、全等三角形