北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三 專題1.4 直角三角形-重難點題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題1.4直角三角形-重難點題型【北師大版】【知識點1直角三角形的性質(zhì)】直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩個內(nèi)角互余．【題型1直角三角形的性質(zhì)】【例1】(2023春?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB⊥AC，過點A作AD⊥BC交BC于點D，若∠B＝36°，則∠DAC的度數(shù)為（）A．36° B．46° C．54° D．64°【變式1-1】(2023春?青羊區(qū)校級期中）如圖，將一副學(xué)生用三角板（一個銳角為30°的直角三角形，一個銳角為45°的直角三角形）的直角頂點重合并如圖疊放，當(dāng)∠DEB＝m°，則∠AOC＝（）A．30° B．（m﹣15）° C．（m+15）° D．m°【變式1-2】(2023秋?德城區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，∠B＝∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF．【變式1-3】(2023春?沭陽縣期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC內(nèi)部的一條線段，AE交CD于點F，交CB于點E，且∠CFE＝∠CEF．求證：AE平分∠CAB．【知識點2直角三角形的判定】直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形．【題型2直角三角形的判定】【例2】(2023春?歷下區(qū)期中）在下列條件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A=12∠B=13∠C；⑤∠A＝∠B=A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【變式2-1】(2023秋?鹽湖區(qū)期中）如圖，在由25個邊長為1的小正方形拼成的網(wǎng)格中以AB為邊畫Rt△ABC，使點C在格點上，滿足這樣條件的點C共（）個．A．5 B．6 C．7 D．8【變式2-2】(2023秋?九龍坡區(qū)校級月考）如圖所示，在△ABC中，AD是BC邊上的高，點E是AB上一點，CE交AD于點M，且∠DCM＝∠MAE，求證：△ACE是直角三角形．【變式2-3】(2023秋?潮安區(qū)期末）如圖，AB、ED分別垂直于BD，點B、D是垂足，且∠ACB＝∠CED．求證△ACE是直角三角形．【知識點3基本事實“斜邊、直角邊”（HL）】斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”.【題型3HL判定三角形全等的條件】【例3】(2023秋?秦淮區(qū)期末）結(jié)合圖，用符號語言表達定理“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF．【變式3-1】(2023秋?金鄉(xiāng)縣期中）如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的條件是．（不添加字母和輔助線）【變式3-2】(2023春?寶安區(qū)期中）如圖，∠C＝∠D＝90°，添加下列條件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC與Rt△ABD全等的條件的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【變式3-3】(2023春?金水區(qū)校級月考）下列說法正確的有（）①兩個銳角分別相等的的兩個直角三角形全等；②一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等；③兩邊分別相等的兩個直角三角形全等；④一個銳角和一條邊分別相等的兩個直角三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．4【題型4直角三角形全等的判定與性質(zhì)（求角的度數(shù)）】【例4】(2023秋?昌平區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F(xiàn)分別是BC，AC上的點，DE⊥AB，垂足為E，CF＝BE，DF＝DB，則∠ADE的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．70° D．71°【變式4-1】(2023春?婁底月考）如圖，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC與EF交于點O．（1）求證：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度數(shù)．【變式4-2】(2023春?姑蘇區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF．（1）求證：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度數(shù)．【變式4-3】(2023秋?鹿城區(qū)校級月考）如圖，已知BC＝ED，∠B＝∠E＝Rt∠，∠ACD＝∠ADC．（1）求證：△ABC≌△AED；（2）當(dāng)∠BAE＝140°時，求∠BCD的度數(shù)．【題型5直角三角形全等的判定與性質(zhì)（求線段長度）】【例5】(2023秋?西城區(qū)校級期中）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一點，E在BC的延長線上，且AE＝BD，BD的延長線與AE交于點F．若CD＝3，則求CE的長．【變式5-1】(2023秋?承德校級期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一點，且BE＝BC，過E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝5cm，則AD+DE等于（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【變式5-2】(2023秋?平谷區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC上一點，連接AD，過D點作DE⊥AB，且DE＝DC．若AB＝5，AC＝3，則EB＝．【變式5-3】(2023秋?蘭山區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q兩點分別在邊AC和射線AX上移動．當(dāng)PQ＝AB，AP＝時，△ABC和△APQ全等．【題型6直角三角形全等的判定與性質(zhì)（證垂直）】【例6】(2023春?萬柏林區(qū)校級月考）如圖，AC∥BD，∠C＝90°，AC＝BE，AB＝DE，求證：DE⊥AB．【變式6-1】(2023?三水區(qū)一模）如圖，AB＝AC，直線l過點A，BM⊥直線l，CN⊥直線l，垂足分別為M、N，且BM＝AN．（1）求證△AMB≌△CNA；（2）求證∠BAC＝90°．【變式6-2】(2023秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一點，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）Rt△ADE與Rt△BEC全等嗎？并說明理由；（2）試判斷CE和DE的關(guān)系，并說明理由．【變式6-3】(2023秋?城北區(qū)校級月考）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一點，E在BC的延長線上，且AE＝BD，BD的延長線與AE交于點F．試通過觀察、測量、猜想等方法來探索BF與AE有何特殊的位置關(guān)系，并說明你猜想的正確性．專題1.4直角三角形-重難點題型【北師大版】【知識點1直角三角形的性質(zhì)】直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩個內(nèi)角互余．【題型1直角三角形的性質(zhì)】【例1】(2023春?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB⊥AC，過點A作AD⊥BC交BC于點D，若∠B＝36°，則∠DAC的度數(shù)為（）A．36° B．46° C．54° D．64°分析：根據(jù)垂直的定義和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°，∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，故選：A．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】(2023春?青羊區(qū)校級期中）如圖，將一副學(xué)生用三角板（一個銳角為30°的直角三角形，一個銳角為45°的直角三角形）的直角頂點重合并如圖疊放，當(dāng)∠DEB＝m°，則∠AOC＝（）A．30° B．（m﹣15）° C．（m+15）° D．m°分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠DEB＝m°，∴∠AEC＝∠DEB＝m°，∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，∴30°+m°＝45°+∠AOC，∴∠AOC＝（m﹣15）°，故選：B．【點評】本題考查了直角三角形的選擇，三角形的內(nèi)角和定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】(2023秋?德城區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，∠B＝∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF．分析：根據(jù)平角的定義，求得∠DFC＝28°，由于，∠B＝∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得∠EDB＝∠DFC＝28°，即可求得∠EDF．【解答】解：∵∠AFD＝152°，∴∠DFC＝28°，∴∠B＝∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，∴∠EDB＝∠DFC＝28°，∴∠EDF＝180°﹣∠EDB﹣∠FDC＝180°﹣90°﹣28°＝62°．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余是本題的關(guān)鍵．【變式1-3】(2023春?沭陽縣期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC內(nèi)部的一條線段，AE交CD于點F，交CB于點E，且∠CFE＝∠CEF．求證：AE平分∠CAB．分析：在△ADF中，利用三角形內(nèi)角和定理結(jié)合對頂角相等可得出∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE，在△AEC中，利用三角形內(nèi)角和定理可得出∠CAE＝90°﹣∠CEF，再結(jié)合∠CFE＝∠CEF可得出∠DAF＝∠CAE，即AE平分∠CAB．【解答】證明：∵CD⊥AB，∴在△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE．∵∠ACE＝90°，∴在△AEC中，∠CAE＝90°﹣∠CEF．∵∠CFE＝∠CEF，∴∠DAF＝∠CAE，即AE平分∠CAB．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，利用三角形內(nèi)角和定理，找出∠DAF＝90°﹣∠CFE及∠CAE＝90°﹣∠CEF是解題的關(guān)鍵．【知識點2直角三角形的判定】直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形．【題型2直角三角形的判定】【例2】(2023春?歷下區(qū)期中）在下列條件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A=12∠B=13∠C；⑤∠A＝∠B=A．5個 B．4個 C．3個 D．2個分析：根據(jù)直角三角形的判定對各個條件進行分析，從而得到答案．【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝∠C=1∴△ABC是直角三角形，故小題符合題意；②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本小題符合題意；③∵設(shè)∠C＝x，則∠A＝∠B＝2x，∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°，∴2x＝72°，故本小題不符合題意；④設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，故3x＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本小題符合題意；⑤∵∠A＝∠B=12∠∴∠A+∠B+∠C=12∠C+12∠C+∠∴∠C＝90°，故本小題符合題意．綜上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4個．故選：B．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-1】(2023秋?鹽湖區(qū)期中）如圖，在由25個邊長為1的小正方形拼成的網(wǎng)格中以AB為邊畫Rt△ABC，使點C在格點上，滿足這樣條件的點C共（）個．A．5 B．6 C．7 D．8分析：如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，以AB為邊畫直角△ABC，使點C在格點上，滿足這樣條件的點C的個數(shù)．【解答】解：根據(jù)題意可得以AB為邊畫直角△ABC，使點C在格點上，滿足這樣條件的點C共8個．故選：D．【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，解題時要注意找出所有符合條件的點．【變式2-2】(2023秋?九龍坡區(qū)校級月考）如圖所示，在△ABC中，AD是BC邊上的高，點E是AB上一點，CE交AD于點M，且∠DCM＝∠MAE，求證：△ACE是直角三角形．分析：根據(jù)對頂角相等得到∠CMD＝∠AEM，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠AEC＝∠ADC＝90°，證明結(jié)論．【解答】證明：∵AD是BC邊上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠DCM＝∠MAE，∠CMD＝∠AME，∴∠AEC＝∠ADC＝90°，∴△ACE是直角三角形．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】(2023秋?潮安區(qū)期末）如圖，AB、ED分別垂直于BD，點B、D是垂足，且∠ACB＝∠CED．求證△ACE是直角三角形．分析：利用垂直的定義可得出∠ABC＝∠CDE＝90°，進而可得出∠ACB+∠BAC＝∠CED+∠DCE＝90°，結(jié)合∠ACB＝∠CED可得出∠BAC＝∠DCE和∠ACB+∠DCE＝90°，將其代入∠ACE＝180°﹣（∠ACB+∠DCE）中可求出∠ACE＝90°，此題得證．【解答】證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∠CED+∠DCE＝90°．∵∠ACB＝∠CED，∴∠BAC＝∠DCE，∴∠ACB+∠DCE＝90°，∴∠ACE＝180°﹣（∠ACB+∠DCE）＝90°．∴△ACE是直角三角形．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、垂線以及三角形內(nèi)角和定理，利用三角形內(nèi)角和定理及角的計算，找出∠ACB+∠DCE＝90°是解題的關(guān)鍵．【知識點3基本事實“斜邊、直角邊”（HL）】斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”.【題型3HL判定三角形全等的條件】【例3】(2023秋?秦淮區(qū)期末）結(jié)合圖，用符號語言表達定理“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF．分析：根據(jù)條件可知，少一組斜邊，所以可添加為：AB＝DE．【解答】解：∵∠C＝∠F＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DFAB=DE∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故答案為：AB＝DE．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定定理，【變式3-1】(2023秋?金鄉(xiāng)縣期中）如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的條件是．（不添加字母和輔助線）分析：根據(jù)：斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的條件是：AB＝DC．【解答】解：∵斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，∴在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的條件是：AB＝DC．故答案為：AB＝DC（答案不唯一）【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．【變式3-2】(2023春?寶安區(qū)期中）如圖，∠C＝∠D＝90°，添加下列條件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC與Rt△ABD全等的條件的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3分析：根據(jù)直角三角形的全等的條件進行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：①當(dāng)AC＝AD時，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；②當(dāng)∠ABC＝∠ABD時，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；③當(dāng)BC＝BD時，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；故選：D．【點評】本題主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時直角三角形又是特殊的三角形，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．【變式3-3】(2023春?金水區(qū)校級月考）下列說法正確的有（）①兩個銳角分別相等的的兩個直角三角形全等；②一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等；③兩邊分別相等的兩個直角三角形全等；④一個銳角和一條邊分別相等的兩個直角三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．4分析：根據(jù)直角三角形全等的判定方法逐條判定即可得到結(jié)論，【解答】解：①兩個銳角分別相等的的兩個直角三角形不一定全等，故該說法錯誤；②如圖，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，求證：△ABC≌△DEF，證明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），∴BM＝EN∵AM＝BM，DN＝EN，∴AB＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），故一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等的說法正確；③兩對應(yīng)邊分別相等的兩個直角三角形全等，如果是一個直角三角形的兩條直角邊和另一個直角三角形的一條直角邊和一條斜邊分別相等，這兩個直角三角形不全等，故該說法錯誤；④一個銳角和一條邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形不一定全等，如果一個直角三角形的一條直角邊和另一個直角三角形的一條斜邊相等，這兩個直角三角形不全等，故該說法錯誤；故選：A．【點評】本題主要考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握全等三角形判定方法是解決問題的關(guān)鍵．【題型4直角三角形全等的判定與性質(zhì)（求角的度數(shù)）】【例4】(2023秋?昌平區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F(xiàn)分別是BC，AC上的點，DE⊥AB，垂足為E，CF＝BE，DF＝DB，則∠ADE的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．70° D．71°分析：根據(jù)已知條件得出△CDF≌△EDB，從而得出CD＝DE，從而得出△ACD≌△AED，從而得出∠DAE＝20°，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意：在Rt△CDF和Rt△EDB中，F(xiàn)C=BEDF=DB∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CD＝DE，∵在Rt△ACD和Rt△AED中CD=DEAD=AD∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠DAE＝20°，∴∠ADE＝70°．故選：C．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及全等三角形的性質(zhì)，難度適中．【變式4-1】(2023春?婁底月考）如圖，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC與EF交于點O．（1）求證：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度數(shù)．分析：（1）根據(jù)HL證明兩個三角形全等；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AE＝DB，∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，在Rt△ACB和Rt△DFE中，AC=DFAB=DE∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC＝∠DEF．∴∠DEF＝39°，∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：HL，在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．【變式4-2】(2023春?姑蘇區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF．（1）求證：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度數(shù)．分析：（1）由AB＝CB，∠ABC＝90°，AE＝CF，即可利用HL證得Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）由AB＝CB，∠ABC＝90°，即可求得∠ACB的度數(shù)，即可得∠BAE的度數(shù)，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度數(shù)，則由∠ACF＝∠BCF+∠ACB即可求得答案．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE=CFAB=BC∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；（2）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，∴∠ACB＝45°，又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°，∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°．【點評】此題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式4-3】(2023秋?鹿城區(qū)校級月考）如圖，已知BC＝ED，∠B＝∠E＝Rt∠，∠ACD＝∠ADC．（1）求證：△ABC≌△AED；（2）當(dāng)∠BAE＝140°時，求∠BCD的度數(shù)．分析：（1）由∠ACD＝∠ADC知AC＝AD，再利用“HL”即可證明△ABC≌△AED；（2）由Rt△ABC≌Rt△AED可設(shè)∠BAC＝∠EAD＝x，∠CAD＝y(tǒng)，根據(jù)∠BAE＝140°知2x+y＝140°，由∠B＝90°得∠ACB＝90°﹣x、AC＝AD知∠ACD＝∠ADC＝90°?12y，再根據(jù)∠BCD＝∠ACB+∠【解答】證明：（1）∵∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD，在Rt△ABC和Rt△AED中，∵BC=EDAC=AD∴Rt△ABC≌Rt△AED（HL）；（2）∵Rt△ABC≌Rt△AED，∴可設(shè)∠BAC＝∠EAD＝x，∠CAD＝y(tǒng)，∵∠BAE＝140°，∴2x+y＝140°，∵∠B＝90°，∴∠ACB＝90°﹣x，又∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC=180°?∠CAD2=90°則∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°﹣x+90°?1＝180°?12（2x+＝180°﹣70°＝110°．【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)．【題型5直角三角形全等的判定與性質(zhì)（求線段長度）】【例5】(2023秋?西城區(qū)校級期中）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一點，E在BC的延長線上，且AE＝BD，BD的延長線與AE交于點F．若CD＝3，則求CE的長．分析：證明△BDC≌△AEC得出：CD＝CE．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°．在Rt△BDC與Rt△AEC中，BC=ACBD=AE∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．∴CD＝CE＝3；【點評】本題考查了直角三角形全等的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．【變式5-1】(2023秋?承德校級期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一點，且BE＝BC，過E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝5cm，則AD+DE等于（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm分析：根據(jù)HL證Rt△BED≌Rt△BCD，推出DE＝DC，得出AD+DE＝AD+DC＝AC，代入求出即可．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C，在Rt△BED和Rt△BCD中BD=BDBE=BC∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），∴DE＝DC，∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝5cm，故選：C．【點評】本題考查了直角三角形全等的性質(zhì)和判定，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，判斷直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．【變式5-2】(2023秋?平谷區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC上一點，連接AD，過D點作DE⊥AB，且DE＝DC．若AB＝5，AC＝3，則EB＝．分析：由“HL”可證Rt△ADE≌Rt△ADC，可得AC＝AE＝3，即可求BE．【解答】解：在Rt△ADE和Rt△ADC中，AD=ADDE=DC∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），∴AC＝AE＝3，∴BE＝AB﹣AE＝2，故答案為2．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．【變式5-3】(2023秋?蘭山區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q兩點分別在邊AC和射線AX上移動．當(dāng)PQ＝AB，AP＝時，△ABC和△APQ全等．分析：分情況討論：①AP＝BC＝8cm時，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②當(dāng)P運動到與C點重合時，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此時AP＝AC＝15cm．【解答】解：①當(dāng)P運動到AP＝BC時，如圖1所示：在Rt△ABC和Rt△QPA中，AB=QPBC=PA∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝B＝8cm；②當(dāng)P運動到與C點重合時，如圖2所示：在Rt△ABC和Rt△PQA中，AB=PQAC=PA∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），即AP＝AC＝15cm．綜上所述，AP的長度是8cm或15cm．故答案為：8cm或15cm．【點評】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論，以免漏解．【題型6直角三角形全等的判定與性質(zhì)（證垂直）】【例6】(2023春?萬柏林區(qū)校級月考）如圖，AC∥BD，∠C＝90°，AC＝BE，AB＝DE，求證：DE⊥AB．分析：先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DBE＝∠C＝90°，再由HL定理可判定△ACB≌△EBD，由全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：設(shè)AB與DE相交于點M，∵AC∥BD，∴∠C+∠DBE＝180°，∵∠C＝90°，∴∠DBE＝90°，在Rt△ACB與Rt△EBD中，AC=BEAB=DE∴Rt△ACB≌Rt△EBD（HL），∴∠ABC＝∠D，∵∠D+∠MEB＝90°，∴∠ABC+∠MEB＝90°，∴∠EMB＝180°﹣∠ABC﹣∠MEB＝90°，∴DE⊥AB．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)HL判定Rt△ACB≌Rt△EBD是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】(2023?三水區(qū)一模）如圖，AB＝AC，直線l過點A，BM⊥直線l，CN⊥直線l，垂足分別為M、N，且BM＝AN．（1）求證△AMB≌△CNA；（2）求證∠BAC＝90°．分析：（1）由HL證明△AMB≌△CNA即可；（2）先由全等三角形的性質(zhì)得∠BAM＝