2020高考數(shù)學(xué)新課改省份專(zhuān)用講義第二章第一節(jié)函數(shù)及其表示

第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第一節(jié)函數(shù)及其表示突破點(diǎn)一函數(shù)的定義域eq\a\vs4\al([基本知識(shí)])1．函數(shù)的概念設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．(3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．eq\a\vs4\al([基本能力])一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)對(duì)于函數(shù)f：A→B，其值域是集合B.()(2)與x軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)．()(3)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個(gè)函數(shù)．()答案：(1)√(2)√(3)×二、填空題1．函數(shù)f(x)＝eq\r(2x－1)＋eq\f(1,x－2)的定義域?yàn)開(kāi)_____________．解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,x－2≠0，))解得x≥0且x≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)2．已知函數(shù)f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)開(kāi)___________．解析：∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.∴f(x)的值域?yàn)閧－1,1,3,5,7}．答案：{－1,1,3,5,7}3．下列f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是________．(1)f(x)＝eq\r(x2－1)與g(x)＝eq\r(x－1)·eq\r(x＋1)；(2)f(x)＝x與g(x)＝eq\f(x3＋x,x2＋1)；(3)y＝x與y＝(eq\r(x))2；(4)f(x)＝eq\r(x2)與g(x)＝eq\r(3,x3).答案：(2)eq\a\vs4\al([全析考法])考法一求函數(shù)的定義域常見(jiàn)基本初等函數(shù)定義域的基本要求(1)分式函數(shù)中分母不等于零．(2)偶次根式函數(shù)的被開(kāi)方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}．(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定義域均為R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域?yàn)?0，＋∞)．(7)y＝tanx的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).[例1](1)(2019·合肥八中期中)函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx＋3,\r(1－2x))的定義域是()A．(－3,0) B．(－3,0]C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3,0)(2)(2019·東北師大附中摸底)已知函數(shù)f(x)的定義域是[0,2]，則函數(shù)g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))的定義域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))[解析](1)∵f(x)＝eq\f(lnx＋3,\r(1－2x))，∴要使函數(shù)f(x)有意義，需使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3>0，,1－2x>0，))解得－3<x<0，即函數(shù)的定義域?yàn)?－3,0)．故選A.(2)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x＋\f(1,2)≤2，,0≤x－\f(1,2)≤2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤\f(3,2)，,\f(1,2)≤x≤\f(5,2)，))∴eq\f(1,2)≤x≤eq\f(3,2).故選C.[答案](1)A(2)C[方法技巧]1．根據(jù)具體的函數(shù)解析式求定義域的策略已知解析式的函數(shù)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求解時(shí)只要根據(jù)函數(shù)解析式列出自變量滿足的不等式(組)，得出不等式(組)的解集即可．2．求抽象函數(shù)的定義域的策略(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域．3．求函數(shù)定義域應(yīng)注意的問(wèn)題(1)不要對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，以免定義域發(fā)生變化；(2)定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)“∪”連接．考法二已知函數(shù)的定義域求參數(shù)[例2](2019·安陽(yáng)模擬)若函數(shù)f(x)＝eq\r(mx2＋mx＋1)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[0,4) B．(0,4)C．[4，＋∞) D．[0,4][解析]由題意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．當(dāng)m＝0時(shí)，1≥0恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,m2－4m≤0，))解得0<m≤4.綜上可得0≤m≤4.[答案]D[方法技巧]已知函數(shù)的定義域求參數(shù)問(wèn)題的解題步驟(1)調(diào)整思維方向，根據(jù)已知函數(shù)，將給出的定義域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程或不等式的解集問(wèn)題．(2)根據(jù)方程或不等式的解集情況確定參數(shù)的取值或范圍．eq\a\vs4\al([集訓(xùn)沖關(guān)])1.eq\a\vs4\al([考法一])函數(shù)f(x)＝eq\r(－x2＋9x＋10)－eq\f(2,lnx－1)的定義域?yàn)?)A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10]C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]解析：選D要使原函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋9x＋10≥0，,x－1>0，,x－1≠1，))解得1<x≤10且x≠2，所以函數(shù)f(x)＝eq\r(－x2＋9x＋10)－eq\f(2,lnx－1)的定義域?yàn)?1,2)∪(2,10]，故選D.2.eq\a\vs4\al([考法一])若函數(shù)f(x＋1)的定義域是[－1,1]，則函數(shù)f(logx)的定義域?yàn)開(kāi)_______．解析：∵f(x＋1)的定義域是[－1,1]，∴f(x)的定義域是[0,2]．令0≤logx≤2，解得eq\f(1,4)≤x≤1，∴函數(shù)f(logx)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))3.eq\a\vs4\al([考法二])已知函數(shù)y＝eq\f(1,kx2＋2kx＋3)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．解析：當(dāng)k＝0時(shí)，y＝eq\f(1,3)，滿足條件；當(dāng)k≠0時(shí)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0，,4k2－12k<0，))得0<k<3.綜上，0≤k<3.答案：[0,3)突破點(diǎn)二函數(shù)的表示法eq\a\vs4\al([基本知識(shí)])1．函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法有三種，分別為解析法、列表法和圖象法．同一個(gè)函數(shù)可以用不同的方法表示．2．應(yīng)用三種方法表示函數(shù)的注意事項(xiàng)方法注意事項(xiàng)解析法一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域列表法選取的自變量要有代表性，能反映定義域的特征圖象法注意定義域?qū)D象的影響：與x軸垂直的直線與其最多有一個(gè)公共點(diǎn)eq\a\vs4\al([基本能力])1．已知f(x)是一次函數(shù)，滿足3f(x＋1)＝6x＋4，則f(x)＝________.解析：設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，依題設(shè)得3ax＋3a＋3b＝6x＋4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝6，,3a＋3b＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－\f(2,3)，))則f(x)＝2x－eq\f(2,3).答案：2x－eq\f(2,3)2．已知x≠0，函數(shù)f(x)滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，則f(x)＝________.解析：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋2，所以f(x)＝x2＋2.答案：x2＋23．已知函數(shù)f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，則a＝________.解析：因?yàn)閒(2x＋1)＝eq\f(3,2)(2x＋1)＋eq\f(1,2)，所以f(x)＝eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2).又f(a)＝4，所以eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)＝4，a＝eq\f(7,3).答案：eq\f(7,3)eq\a\vs4\al([典例感悟])1．已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]＝4x＋3，則f(x)的解析式為_(kāi)_______________．解析：由題意設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))故所求解析式為f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.答案：f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋12．已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，則f(x)的解析式為_(kāi)_______________．解析：法一：設(shè)t＝eq\r(x)＋1(t≥1)，則x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：∵x＋2eq\r(x)＝(eq\r(x))2＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1，∴f(eq\r(x)＋1)＝(eq\r(x)＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．答案：f(x)＝x2－1(x≥1)3．已知f(0)＝1，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，則f(x)的解析式為_(kāi)_______________．解析：令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，∴f(y)＝y(tǒng)2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.答案：f(x)＝x2＋x＋1eq\a\vs4\al([方法技巧])求函數(shù)解析式的3種方法待定系數(shù)法當(dāng)函數(shù)的特征已經(jīng)確定時(shí)，一般用待定系數(shù)法來(lái)確定函數(shù)解析式換元法如果給定復(fù)合函數(shù)的解析式，求外函數(shù)的解析式，通常用換元法將內(nèi)函數(shù)先換元，然后求出外函數(shù)的解析式解方程組法如果給定兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系式，可以通過(guò)變量代換建立方程組，再通過(guò)方程組求出函數(shù)解析式eq\a\vs4\al([針對(duì)訓(xùn)練])1．下列函數(shù)中，不滿足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x解析：選C選項(xiàng)A，f(2x)＝|2x|＝2|x|,2f(x)＝2|x|，故f(2x)＝2f(x)；選項(xiàng)B，f(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|，2f(x)＝2x－2|x|，故f(2x)＝2f(x)；選項(xiàng)C，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2x＋2，故f(2x)≠2f(x)；選項(xiàng)D，f(2x)＝－2x，2f(x)＝－2x，故f(2x)＝2f(x)．故選C.2．(2019·南陽(yáng)第一中學(xué)模擬)已知f(1－cosx)＝sin2x，則f(x2)的解析式為_(kāi)_______________________．解析：因?yàn)閒(1－cosx)＝sin2x＝1－cos2x，令1－cosx＝t，t∈[0,2]，則cosx＝1－t，所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．則f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．答案：f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]3．已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋x，則f(x)的解析式為_(kāi)_______________．解析：由f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋x，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f(x)＋eq\f(1,x)，聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋x，①,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2fx＋\f(1,x)，②))①＋②×2得f(x)＝x＋4f(x)＋eq\f(2,x)，則f(x)＝－eq\f(2,3x)－eq\f(1,3)x.答案：f(x)＝－eq\f(2,3x)－eq\f(1,3)x突破點(diǎn)三分段函數(shù)eq\a\vs4\al([基本知識(shí)])1．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．2．分段函數(shù)的相關(guān)結(jié)論(1)分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．eq\a\vs4\al([基本能力])一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)分段函數(shù)是兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)．()(2)若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，x≥0，,\r(－x)，x<0，))f(a)＋f(－1)＝2，則a＝1.()答案：(1)×(2)×二、填空題1．若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,fx＋2，x≤0，))則f(－5)＝________.解析：f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝2×1＝2.答案：22．(2019·西安質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x＋1，x≤0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))))的值是________．解析：由題意可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝log2eq\f(1,4)＝－2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))))＝f(－2)＝3－2＋1＝eq\f(10,9).答案：eq\f(10,9)3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x≤2，,\f(4,5)x，x>2.))若f(x0)＝8，則x0＝________.解析：當(dāng)x0≤2時(shí)，f(x0)＝xeq\o\al(2,0)＋2＝8，即xeq\o\al(2,0)＝6，∴x0＝－eq\r(6)或x0＝eq\r(6)(舍去)；當(dāng)x0>2時(shí)，f(x0)＝eq\f(4,5)x0＝8，∴x0＝10.綜上可知，x0＝－eq\r(6)或x0＝10.答案：－eq\r(6)或10eq\a\vs4\al([全析考法])考法一分段函數(shù)求值問(wèn)題[例1](2019·石家莊模擬)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,ax＋b，x≤0))(0<a<1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，則f(f(－3))＝()A．－2 B．2C．3 D．－3[解析]由題意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①f(－1)＝a－1＋b＝3，②聯(lián)立①②，結(jié)合0<a<1，得a＝eq\f(1,2)，b＝1，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1，x≤0，))則f(－3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故選B.[答案]B[方法技巧]分段函數(shù)求值的解題思路求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．考法二分段函數(shù)與方程、不等式問(wèn)題[例2](1)(2019·長(zhǎng)春模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，則實(shí)數(shù)a的值等于()A．－3 B．－1C．1 D．3(2)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))若f(a)≤a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[解析](1)當(dāng)a>0時(shí)，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，無(wú)實(shí)數(shù)解；當(dāng)a≤0時(shí)，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，滿足條件，故選A.(2)當(dāng)a≥0時(shí)，由f(a)＝eq\f(1,2)a－1≤a，解得a≥－2，即a≥0；當(dāng)a<0時(shí)，由f(a)＝eq\f(1,a)≤a，解得－1≤a≤1，即－1≤a<0.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1，＋∞)．[答案](1)A(2)[－1，＋∞)[方法技巧]解分段函數(shù)與方程或不等式問(wèn)題的策略求解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式問(wèn)題，主要表現(xiàn)為解方程或不等式．應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解．若