專題17學(xué)科交匯講義-2024年高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

考向一數(shù)學(xué)與地理專題17學(xué)科交匯考向一數(shù)學(xué)與地理例1.(2023·湖北省黃岡市·聯(lián)考題)圭表(如圖甲)是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿(稱為“表”)和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺(稱為“圭”)，當(dāng)太陽在正午時刻照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖乙是一個根據(jù)某地的地理位置設(shè)計的主表的示意圖，已知某地冬至正午時太陽高度角(即∠ABC)大約為15°，夏至正午時太陽高度角(即∠ADC)大約為60°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離(即DB的長)為a，則表高(即AC的長)為(注：sin15°=6-A.2-3a B.3+34a【拓展提升】練11(2023·北京市市轄區(qū)·期中考試)地震里氏震級是地震強(qiáng)度大小的一種度量．地震釋放的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M，已知兩次地震的里氏震級分別為8.0級和7.5級，若它們釋放的能量分別為E1和E2，則E1EA.(1,2) B.(5,6) C.(7,8) D.(15,16)練12(2023·貴州省·月考試卷)“一三五七八十臘，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月會變化．”月是歷法中的一種時間單位，傳統(tǒng)上都是以月相變化的周期作為一個月的長度．在舊石器時代的早期，人類就已經(jīng)會依據(jù)月相來計算日子．而星期的概念起源于巴比倫，羅馬皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天為一周，這個制度一直沿用至今，若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一樣多，則該月3日可能是星期(

)A.一或三 B.二或三 C.二或五 D.四或六練13(2023·陜西省西安市·月考試卷)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測得CD=80，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，求A，B兩點(diǎn)間的距離．練14(2023·廣東省·期中考試)在地球公轉(zhuǎn)過程中，太陽直射點(diǎn)的緯度隨時間周而復(fù)始不斷變化．如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為θ，δ為此時太陽直射點(diǎn)的緯度(太陽直射北半球時取正值，太陽直射南半球時取負(fù)值)，φ為當(dāng)?shù)氐木暥戎担?1)若φ=45°，δ=20°，求θ的值，并直接寫出用φ，(2)某科技小組以某年春分(太陽直射赤道且隨后太陽直射點(diǎn)逐漸北移的時間)為初始時間，統(tǒng)計了連續(xù)400天太陽直射點(diǎn)的緯度平均值．下面是該科技小組的三處觀測站成員在春分后第45天測得的當(dāng)?shù)靥柛叨冉菙?shù)據(jù)：觀測站ABC觀測站所在緯度φ/度40.000023.43930.0000觀測站正午太陽高度角θ/度66.387082.946473.6141太陽直射點(diǎn)的緯度δ/度16.385716.3859太陽直射點(diǎn)的緯度平均值y/度

請根據(jù)數(shù)據(jù)補(bǔ)充完成上面的表格(計算結(jié)果精確到0.0001)；(3)設(shè)第x天時太陽直射點(diǎn)的緯度平均值為y.該科技小組通過對數(shù)據(jù)的整理和分析，推斷y與x近似滿足函數(shù)y=23.392911sin?0.01720279x，經(jīng)計算T=2πω≈365.2422，已知2023年春分是3月21(4)定義從某年春分到次年春分所經(jīng)歷的時間為一個回歸年，估計每400年中，應(yīng)設(shè)定多少個閏年，可使這400年與400個回歸年所含的天數(shù)最為接近(精確到1)．考向二考向二數(shù)學(xué)與化學(xué)【典例精講】例2.(2023·安徽省·單元測試)十二水硫酸鋁鉀是一種無機(jī)物，又稱明礬，是一種含有結(jié)晶水的硫酸鉀和硫酸鋁的復(fù)鹽。我們連接一個正方體各個面的中心，可以得到明礬晶體的結(jié)構(gòu)，即為一個正八面體E-ABCD-F(如圖)。假設(shè)該正八面體的所有棱長均為2，則二面角E-AB-F的余弦為(

)A.-32 B.12 C.練21(2023·福建省·模擬題)萃取是有機(jī)化學(xué)實(shí)驗(yàn)室中用來提純和純化化合物的手段之一．研究發(fā)現(xiàn)，用總體積相同的有機(jī)萃取液對某化合物進(jìn)行萃取，采用少量多次的方法比全量一次的萃取率高．已知萃取率E與萃取次數(shù)n滿足1-EV水溶液D?V有機(jī)萃取液+V水溶液n，D為分配比．現(xiàn)欲用有機(jī)萃取液CHCl3對含四氧化鋨(OsO4)A.4 B.5 C.6 D.7練22(2023·浙江省·同步練習(xí))下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖.其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均為1，且相鄰的圓都相切，A，B，C，D是其中四個圓的圓心，則AB?CD=(

)

32 B.28 C.26 D.24練23(2023·四川省·月考試卷)化學(xué)平衡是指在一定條件下，可逆反應(yīng)的正反應(yīng)速率和逆反應(yīng)速率相等時，體系所處的狀態(tài).根據(jù)計算系統(tǒng)的吉布斯自由能變化(△G)的熱力學(xué)公式Gibbs-Helmholtz方程和Van'tHoff方程，可以得到溫度(T)與可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)(K)的關(guān)系式：△H-T△S=△G=-RTlnK式中△H為焓變(在一定溫度變化范圍內(nèi)視為定值)，△S為熵變，R為氣體常數(shù).利用上述公式，我們可以處理不同溫度下，有關(guān)多重可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)之間關(guān)系的計算.已知當(dāng)溫度為T1時，可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)為K1；當(dāng)溫度為T2時，可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)為K2.△H(T1-T2)RT1練21(2023·江蘇省·模擬題)（多選）金剛石是天然存在的最硬的物質(zhì)，如圖1所示是組成金剛石的碳原子在空間中排列的結(jié)構(gòu)示意圖，組成金剛石的每個碳原子，都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接．從立體幾何的角度來看，可以認(rèn)為4個碳原子分布在一個正四面體的四個頂點(diǎn)處，而中間的那個碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置，如圖2所示．這就是說，圖2中有AE=BE=CE=DE，若正四面體ABCD的棱長為a，則(

)

A.|AE|=26a9 B.探究3：數(shù)學(xué)與物理例3.(2023·廣西壯族自治區(qū)·月考試卷)航天之父、俄羅斯科學(xué)家齊奧科夫斯基(K?E?Tsiolkovsky)于1903年給出火箭最大速度的計算公式v=V0ln(1+Mm0).其中，V0是燃料相對于火箭的噴射速度，M是燃料的質(zhì)量，m0是火箭(除去燃料)的質(zhì)量，v是火箭將燃料噴射完之后達(dá)到的速度．已知V0=2km/sA.e5 B.e5-1 C.【拓展提升】練31(2023·湖南省·期末考試)開普勒第一定律也稱橢圓定律?軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點(diǎn)上.將某行星H看作一個質(zhì)點(diǎn)，H繞太陽的運(yùn)動軌跡近似成曲線x2m+y2n=1(m>n>0)，行星H

在運(yùn)動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點(diǎn)距離，距離太陽最遠(yuǎn)的距離稱為遠(yuǎn)日點(diǎn)距離.若行星H

的近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是18(距離單位：億千米)，近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是16A.39 B.52 C.86 D.97練32(2023·陜西省·期末考試)英國化學(xué)家、物理學(xué)家享利·卡文迪許被稱為第一個能測出地球質(zhì)量的人，卡文迪許是從小孩玩的游戲(用一面鏡子將太陽光反射到墻面上，我們只要輕輕晃動一下手中的鏡子，墻上的光斑就會出現(xiàn)大幅度的移動，如圖1)得到靈感，設(shè)計了卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)來測量萬有引力，由此計算出地球質(zhì)量，他在扭秤兩端分別固定一個質(zhì)量相同的鉛球，中間用一根韌性很好的鋼絲系在支架上，鋼絲上有個小鏡子，用激光照射鏡子，激光反射到一個很遠(yuǎn)的地方，標(biāo)記下此時激光所在的點(diǎn)，然后用兩個質(zhì)量一樣的鉛球同時分別吸引扭秤上的兩個鉛球(如圖2)，由于萬有引力作用，扭秤微微偏轉(zhuǎn)，但激光所反射的點(diǎn)卻移動了較大的距離，他用此計算出了萬有引力公式中的常數(shù)G，從而計算出了地球的質(zhì)量．在該實(shí)驗(yàn)中，光源位于刻度尺上點(diǎn)P處，從P出發(fā)的光線經(jīng)過鏡面(點(diǎn)M處)反射后，反射光線照射在刻度尺的點(diǎn)Q處，鏡面繞M點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)α角后，反射光線照射在刻度尺的點(diǎn)Q'處，若△PMQ是正三角形．PQ=a,QQ'=b(如圖3)，則下列等式中成立的是

(

)

A.tanα=3b2a+b B.tanα=3練33(2023·重慶市·模擬題)（多選）麥克斯韋妖(Maxwell＇s?demon)，是在物理學(xué)中假想的妖，能探測并控制單個分子的運(yùn)動，于1871年由英國物理學(xué)家詹姆斯·麥克斯韋為了說明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的．當(dāng)時麥克斯韋意識到自然界存在著與熵增加相拮抗的能量控制機(jī)制，但他無法清晰地說明這種機(jī)制，他只能詼諧地假定一種“妖”，能夠按照某種秩序和規(guī)則把作隨機(jī)熱運(yùn)動的微粒分配到一定的相格里．麥克斯韋妖是耗散結(jié)構(gòu)的一個雛形．可以簡單地這樣描述，一個絕熱容器被分成相等的兩格，中間是由“妖”控制的一扇小“門”，容器中的空氣分子作無規(guī)則熱運(yùn)動時會向門上撞擊，“門”可以選擇性地將速度較快的分子放入一格，而較慢的分子放入另一格，這樣，其中的一格就會比另外一格溫度高，可以利用此溫差，驅(qū)動熱機(jī)做功．這是第二類永動機(jī)的一個范例．而直到信息熵的發(fā)現(xiàn)后才推翻了麥克斯韋妖理論．設(shè)隨機(jī)變量X所有取值為1，2，…，n，且P(X=i)=Pi>0(i=1,2,…,n)，i=1nPi=1，定義A.n=1時H(X)=0

B.n=2時，若P1∈(0,12)，則H(X)與P1正相關(guān)

C.若P1=P2=12n-1，Pk+1=2Pkk≥2,k∈N，34(2023·北京市·模擬題)正弦信號是頻率成分最為單一的信號，復(fù)雜的信號，例如電信號，都可以分解為許多頻率不同、幅度不等的正弦型信號的疊加．正弦信號的波形可以用數(shù)學(xué)上的正弦型函數(shù)來描述：V(t)=Asin(2πft+φ)，其中V(t)表示正弦信號的瞬時大小電壓V(單位：V)是關(guān)于時間t(單位：s)的函數(shù)，而A>0表示正弦信號的幅度，f是正弦信號的頻率，相應(yīng)的T=1f為正弦信號的周期，φ為正弦信號的初相．由于正弦信號是一種最簡單的信號，所以在電路系統(tǒng)設(shè)計中，科學(xué)家和工程師們經(jīng)常以正弦信號作為信號源(輸入信號)去研究整個電路的工作機(jī)理．如圖是一種典型的加法器電路圖，圖中的三角形圖標(biāo)是一個運(yùn)算放大器，電路中有四個電阻，電阻值分別為R1，R2，R3，R4(單位：Ω)V1(t)和V2(t)是兩個輸入信號，V0(t)表示的是輸出信號，根據(jù)加法器的工作原理，V0(t)與V1(t)和V2(t)的關(guān)系為：Vo(t)=(1+R4R3)?R2?V1(t)+R1?V2(t)R1+R2．

例如當(dāng)R1=R2=R3=R4=1Ω，輸入信號V1(t)=sint，V2(t)=cost時，輸出信號：Vo(t)=(1+11)?1?sint+1?cost1+1=sint+cost【答案解析】例1.解：設(shè)表高為

h

，則

BC=h?1tan15°

，而

sin15°=6-24

故

DB=(2+3得

h=3-故選：D．練11解：lgE=4.8+1.5M，

∴l(xiāng)gE1=4.8+1.5×8=16.8，lgE2=4.8+1.5×7.5=16.05，

∴E1=1016.8，E2=1016.05，

∴E1練12解：一個月有28天、29天、30天、31天．

28天剛好分為4周，不存在星期一比星期三多的一天;

29天分為四周多一天，假如那一天為星期一，則剛好符合題干.(星期一比星期三多一天，星期二與星期天一樣多，為4天)，該情況3號為星期三．

30天分為四周多兩天，無法符合題意．

31天分為四周多三天，假如那三天分別為星期一、星期二、星期天(讓本月1日為星期天)，那么31剛好為星期二，星期一與星期二一樣多，比星期三多一天，星期二與星期天一樣多.該情況3號為星期二。

故3號可能為星期二或三，

故選B．練13解：如圖，在△BCD中，CD=80，∠BDC=∠DCA=15°，

則∠BCD=∠DCA+∠ACB=15°+120°=135°，

所以∠CBD=30°，

由正弦定理得BDsin∠BCD=CDsin∠CBD，

則BD=CDsin∠CBD·sin∠BCD=8012×22=802，

在△ACD中，CD=80，∠BDC=∠DCA=15°，∠ADB=135°，

則∠ADC=∠ADB+∠BDC=150°，

所以∠CAD=15°，所以AD=CD=80，

在△ABD中，由余弦定理得AB練14解：(1)

∵φ=45°

，

δ=20°

，由圖形可知用

φ

，

δ

表示

θ

的關(guān)系式為：

θ=9(2)觀測站ABC觀測站所在緯度

φ

/度40.000023.43930.0000觀測站正午太陽高度角

θ

/度66.387082.946473.6141太陽直射點(diǎn)的緯度

δ

/度16.387016.385716.3859太陽直射點(diǎn)的緯度平均值

y

/度16.3862(3)夏至與春分相距

T4≈91.31因?yàn)榇悍质?月21日，3月、5月有31天，4月、6月有30天，10+30+31+21=92天，所以夏至大概是6月21日；(4)

∵400(T-365)≈96.88

，故應(yīng)在400年中設(shè)定97個閏年．例2解：如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接EF，易知EG過點(diǎn)O，取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，根據(jù)正八面體的幾何特征，

可知EG⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，又EG

?

平面ABE，F(xiàn)G

?

平面ABF，平面ABE

∩

平面ABF=AB，∴∠EGF為二面角E-AB-F的平面角.易知EF⊥平面ABCD，則EF⊥AC，∴△AOE是直角三角形，又AO=

2

，AE=2，∴OE=

2

，∴EF=

2在等邊三角形AEB中，EG=

32

AE=

3

，同理

在△EGF中，cos∠EGF=

EG故選C．練21解：依題意，V水溶液=60mL，V有機(jī)溶液=10mL，D=14，E=99.7%，

代入公式可得1-0.997=(6014×10+60)n，即0.003=(310)n，

對等式兩邊同時取對數(shù)，得lg0.003=lg(310練22解：如圖所示，建立以a,b為一組基底的基向量，其中|a|=|b|=1且a,b的夾角為60°，

∴AB=2a練23解：溫度(T)與可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)(K)的關(guān)系式：△H-T△S=△G=-RTlnK，

由題意可得△H-T1△S=-RT1lnK1△H-T2△S=-RT2練24解：如圖，O是頂點(diǎn)A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面體的高，

OB是下底面的外接圓半徑，OM是下底面內(nèi)切圓的半徑，則點(diǎn)E在AO上，

則BM=12a，OM=13×32a=36a，OB=33a，AO=a2-(33a)2=63a，

對于A，∵12ABAE=AOAB，∴AE=AB22AO=例3.解：由題意可知，V0=2km/s，v=10km/s，

代入v=V0ln(1+Mm0)，可得10=2ln(1+Mm0)，

所以ln(1+Mm0)=5，解得1+Mm0=e5，

所以M=練31解：根據(jù)橢圓方