數(shù)列高考題匯編

2009年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編——數(shù)列一、選擇題1.〔2009廣東卷理〕等比數(shù)列滿足，且，那么當時，A.B.C.D.【解析】由得，，那么，，選C.2.(2009年廣東卷文)等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且·=2，=1，那么=A.B.C.D.2【答案】B【解析】設(shè)公比為,由得,即,又因為等比數(shù)列的公比為正數(shù)，所以,故,選B3.〔2009福建卷理〕等差數(shù)列的前n項和為，且=6，=4，那么公差d等于A．1BC.-2D3【答案】：C[解析]∵且.應(yīng)選C4.〔2009安徽卷文〕為等差數(shù)列，，那么等于〔〕 A.-1 B.1 C.3 D.7【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.選B?！敬鸢浮緽5.〔2009江西卷文〕公差不為零的等差數(shù)列的前項和為.假設(shè)是的等比中項,,那么等于A.18B.24C.60D.90答案：C【解析】由得得,再由得那么,所以,.應(yīng)選C6.〔2009湖南卷文〕設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，，，那么等于【C】A．13B．35C．49D．63解:應(yīng)選C.或由,所以應(yīng)選C.7.〔2009遼寧卷文〕為等差數(shù)列，且－2＝－1,＝0,那么公差d＝〔A〕－2〔B〕－〔C〕〔D〕2【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1d＝－【答案】B8.〔2009遼寧卷理〕設(shè)等比數(shù)列{}的前n項和為，假設(shè)=3，那么=〔A〕2〔B〕〔C〕〔D〕3【解析】設(shè)公比為q,那么＝1＋q3＝3q3＝2于是【答案】B9.〔2009寧夏海南卷理〕等比數(shù)列的前n項和為，且4，2，成等差數(shù)列。假設(shè)=1，那么=〔A〕7〔B〕8〔3〕15〔4〕16解析：4，2，成等差數(shù)列，,選C.10.〔2009湖北卷文〕古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。以下數(shù)中及時三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A.289B.1024C.1225D.1378【答案】C【解析】由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項，那么由可排除A、D，又由知必為奇數(shù)，應(yīng)選C.11.〔2009湖北卷文〕設(shè)記不超過的最大整數(shù)為[],令{}=-[]，那么{}，[],A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列【答案】B【解析】可分別求得，.那么等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等比數(shù)列.12.〔2009四川卷文〕等差數(shù)列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，那么數(shù)列的前10項之和是A.90B.100C.145D.190【答案】B【解析】設(shè)公差為，那么.∵≠0，解得＝2，∴＝10013.〔2009寧夏海南卷文〕等差數(shù)列的前n項和為，，,那么〔〕〔A〕38〔B〕20〔C〕10〔D〕9【答案】C【解析】因為是等差數(shù)列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即〔2m－1〕×2＝38，解得m＝10，應(yīng)選.C。14.〔2009重慶卷文〕設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，那么的前項和=〔〕A． B． C． D．【答案】A解析設(shè)數(shù)列的公差為，那么根據(jù)題意得，解得或〔舍去〕，所以數(shù)列的前項和15.〔2009安徽卷理〕為等差數(shù)列，++=105，=99，以表示的前項和，那么使得到達最大值的是〔A〕21〔B〕20〔C〕19〔D〕18[解析]：由++=105得即，由=99得即，∴，，由得，選B16.〔2009江西卷理〕數(shù)列的通項，其前項和為，那么為A．B．C．D．答案：A【解析】由于以3為周期,故應(yīng)選A17.〔2009四川卷文〕等差數(shù)列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，那么數(shù)列的前10項之和是A.90B.100C.145D.190【答案】B【解析】設(shè)公差為，那么.∵≠0，解得＝2，∴＝100二、填空題1.〔2009全國卷Ⅰ理〕設(shè)等差數(shù)列的前項和為，假設(shè),那么=。解:是等差數(shù)列,由,得.2.〔2009浙江理〕設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為，那么．答案：15【解析】對于3.〔2009浙江文〕設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為，那么．【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項和求和公式，通過對數(shù)列知識點的考查充分表達了通項公式和前項和的知識聯(lián)系．【解析】對于4.〔2009浙江文〕設(shè)等差數(shù)列的前項和為，那么，，，成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項積為，那么，，，成等比數(shù)列．答案：【命題意圖】此題是一個數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識，也考查了通過條件進行類比推理的方法和能力【解析】對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項積為，那么，，成等比數(shù)列．5.〔2009北京文〕假設(shè)數(shù)列滿足：，那么；前8項的和.〔用數(shù)字作答〕【解析】此題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.屬于根底知識、根本運算的考查.，易知，∴應(yīng)填255.6.〔2009北京理〕數(shù)列滿足：那么________；=_________.【答案】1，0【解析】此題主要考查周期數(shù)列等根底知識.屬于創(chuàng)新題型.依題意，得，.∴應(yīng)填1，0.7.〔2009江蘇卷〕設(shè)是公比為的等比數(shù)列，，令，假設(shè)數(shù)列有連續(xù)四項在集合中，那么=.【解析】考查等價轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項。有連續(xù)四項在集合，四項成等比數(shù)列，公比為，=-98.(2009山東卷文)在等差數(shù)列中,,那么.【解析】:設(shè)等差數(shù)列的公差為,那么由得解得,所以.答案:13.【命題立意】:此題考查等差數(shù)列的通項公式以及根本計算.9.〔2009全國卷Ⅱ文〕設(shè)等比數(shù)列{}的前n項和為。假設(shè)，那么=×答案：3解析：此題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運算，由得q3=3故a4=a1q3=3。10.(2009湖北卷理)數(shù)列滿足：〔m為正整數(shù)〕，假設(shè)，那么m所有可能的取值為__________。11.【答案】4532【解析】〔1〕假設(shè)為偶數(shù)，那么為偶,故①當仍為偶數(shù)時，故②當為奇數(shù)時，故得m=4?！?〕假設(shè)為奇數(shù)，那么為偶數(shù)，故必為偶數(shù)，所以=1可得m=512.〔2009全國卷Ⅱ理〕設(shè)等差數(shù)列的前項和為，假設(shè)那么9.解：為等差數(shù)列，13.〔2009遼寧卷理〕等差數(shù)列的前項和為，且那么【解析】∵Sn＝na1＋n(n－1)d∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4【答案】14.〔2009寧夏海南卷理〕等差數(shù)列{}前n項和為。+-=0，=38,那么m=_______解析：由+-=0得到。答案1015.〔2009陜西卷文〕設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,假設(shè),那么.答案:2n解析:由可得的公差d=2,首項=2,故易得2n.16.(2009陜西卷理)設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,假設(shè),那么.答案：117.〔2009寧夏海南卷文〕等比數(shù)列{}的公比,=1，，那么{}的前4項和=【答案】【解析】由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。18.(2009湖南卷理)將正⊿ABC分割成〔≥2，n∈N〕個全等的小正三角形〔圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形〕，在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于⊿ABC的三普及平行于某邊的任一直線上的數(shù)〔當數(shù)的個數(shù)不少于3時〕都分別一次成等差數(shù)列，假設(shè)頂點A,B,C處的三個數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點上的數(shù)之和為f(n)，那么有f(2)=2，f(3)=，…，f(n)=(n+1)(n+2)【答案】：【解析】當n=3時，如下圖分別設(shè)各頂點的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知即進一步可求得。由上知中有三個數(shù)，中有6個數(shù)，中共有10個數(shù)相加，中有15個數(shù)相加….，假設(shè)中有個數(shù)相加，可得中有個數(shù)相加，且由可得所以=19.〔2009重慶卷理〕設(shè)，，，，那么數(shù)列的通項公式=．【答案】:【解析】由條件得且所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，那么三、解答題1.(2009年廣東卷文)〔本小題總分值14分〕點〔1，〕是函數(shù)且〕的圖象上一點，等比數(shù)列的前項和為,數(shù)列的首項為，且前項和滿足－=+〔〕.〔1〕求數(shù)列和的通項公式；〔2〕假設(shè)數(shù)列{前項和為，問>的最小正整數(shù)是多少?【解析】〔1〕,,,.又數(shù)列成等比數(shù)列，，所以；又公比，所以；又,,；數(shù)列構(gòu)成一個首相為1公差為1的等差數(shù)列，，當，；()；〔2〕；由得，滿足的最小正整數(shù)為112.2.〔2009全國卷Ⅰ理〕〔本小題總分值12分〕〔注意：在試題卷上作答無效〕在數(shù)列中，〔I〕設(shè)，求數(shù)列的通項公式〔II〕求數(shù)列的前項和分析：〔I〕由有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項公式:()〔II〕由〔I〕知,=而,又是一個典型的錯位相減法模型，易得=評析：09年高考理科數(shù)學(xué)全國(一)試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯位相減法求前n項和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和根底知識、根本方法根本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。3.〔2009浙江文〕〔此題總分值14分〕設(shè)為數(shù)列的前項和，，，其中是常數(shù)．〔I〕求及；〔II〕假設(shè)對于任意的，，，成等比數(shù)列，求的值．解析：〔Ⅰ〕當，〔〕經(jīng)驗，〔〕式成立，〔Ⅱ〕成等比數(shù)列，，即，整理得：，對任意的成立，4.〔2009北京文〕〔本小題共13分〕設(shè)數(shù)列的通項公式為.數(shù)列定義如下：對于正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.〔Ⅰ〕假設(shè)，求；〔Ⅱ〕假設(shè)，求數(shù)列的前2m項和公式；〔Ⅲ〕是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由.【解析】此題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的根本性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．此題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題.〔Ⅰ〕由題意，得，解，得.∴成立的所有n中的最小整數(shù)為7，即.〔Ⅱ〕由題意，得，對于正整數(shù)，由，得.根據(jù)的定義可知當時，；當時，.∴.〔Ⅲ〕假設(shè)存在p和q滿足條件，由不等式及得.∵,根據(jù)的定義可知，對于任意的正整數(shù)m都有，即對任意的正整數(shù)m都成立.當〔或〕時，得〔或〕，這與上述結(jié)論矛盾！當，即時，得，解得.∴存在p和q，使得；p和q的取值范圍分別是，.5.〔2009北京理〕〔本小題共13分〕數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的，與兩數(shù)中至少有一個屬于.〔Ⅰ〕分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；〔Ⅱ〕證明：，且；〔Ⅲ〕證明：當時，成等比數(shù)列.【解析】此題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．此題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題.〔Ⅰ〕由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P.由于都屬于數(shù)集，∴該數(shù)集具有性質(zhì)P.〔Ⅱ〕∵具有性質(zhì)P，∴與中至少有一個屬于A，由于，∴，故.從而，∴.∵，∴，故.由A具有性質(zhì)P可知.又∵，∴，從而，∴.〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，當時，有，即，∵，∴，∴，由A具有性質(zhì)P可知.，得，且，∴，∴，即是首項為1，公比為成等比數(shù)列.6.〔2009江蘇卷〕〔本小題總分值14分〕設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項和，滿足?！?〕求數(shù)列的通項公式及前項和；〔2〕試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項。【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和的有關(guān)知識，考查運算和求解的能力?？偡种?4分?！?〕設(shè)公差為，那么，由性質(zhì)得，因為，所以，即，又由得，解得，,(2)〔方法一〕=,設(shè)，那么=,所以為8的約數(shù)〔方法二〕因為為數(shù)列中的項，故為整數(shù)，又由〔1〕知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗，符合題意的正整數(shù)只有。7.〔2009江蘇卷〕〔此題總分值10分〕對于正整數(shù)≥2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中〔和可以相等〕；對于隨機選取的〔和可以相等〕，記為關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根的概率。〔1〕求和；〔2〕求證：對任意正整數(shù)≥2，有.【解析】[必做題]本小題主要考查概率的根本知識和記數(shù)原理，考查探究能力?？偡种?0分。8.(2009山東卷理)〔本小題總分值12分〕等比數(shù)列{}的前n項和為，對任意的，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.〔1〕求r的值；〔11〕當b=2時，記證明：對任意的，不等式成立解:因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當時,,當時,,又因為{}為等比數(shù)列,所以,公比為,〔2〕當b=2時，,那么,所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立.當時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立.假設(shè)當時不等式成立,即成立.那么當時,左邊=所以當時,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.【命題立意】:此題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項公式,以及求的基此題型,并運用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.9.(2009山東卷文)〔本小題總分值12分〕等比數(shù)列{}的前n項和為，對任意的，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.〔1〕求r的值；〔11〕當b=2時，記求數(shù)列的前項和解:因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,當時,,當時,,又因為{}為等比數(shù)列,所以,公比為,所以〔2〕當b=2時，,那么相減,得所以【命題立意】:此題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項公式,以及求的基此題型,并運用錯位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對應(yīng)項乘積所得新數(shù)列的前項和.10.〔2009全國卷Ⅱ文〕〔本小題總分值10分〕等差數(shù)列{}中，求{}前n項和.解析：此題考查等差數(shù)列的根本性質(zhì)及求和公式運用能力，利用方程的思想可求解。解：設(shè)的公差為，那么即解得因此11.〔2009廣東卷理〕〔本小題總分值14分〕曲線．從點向曲線引斜率為的切線，切點為．〔1〕求數(shù)列的通項公式；〔2〕證明：.解：〔1〕設(shè)直線：，聯(lián)立得，那么，∴〔舍去〕，即，∴〔2〕證明：∵∴由于，可令函數(shù)，那么，令，得，給定區(qū)間，那么有，那么函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即在恒成立，又，那么有，即.12.〔2009安徽卷理〕〔本小題總分值13分〕首項為正數(shù)的數(shù)列滿足〔I〕證明：假設(shè)為奇數(shù)，那么對一切都是奇數(shù)；〔II〕假設(shè)對一切都有，求的取值范圍.解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識，考查推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題總分值13分。解：〔I〕是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，那么由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對任何，都是奇數(shù)。〔II〕〔方法一〕由知，當且僅當或。另一方面，假設(shè)那么；假設(shè)，那么根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，綜合所述，對一切都有的充要條件是或?！卜椒ǘ秤傻糜谑腔颉Ｒ驗樗运械木笥?，因此與同號。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，，與同號。因此，對一切都有的充要條件是或。13.〔2009安徽卷文〕〔本小題總分值12分〕數(shù)列{}的前n項和，數(shù)列{}的前n項和〔Ⅰ〕求數(shù)列{}與{}的通項公式；〔Ⅱ〕設(shè)，證明：當且僅當n≥3時，＜【思路】由可求出，這是數(shù)列中求通項的常用方法之一，在求出后，進而得到，接下來用作差法來比擬大小，這也是一常用方法?！窘馕觥?1)由于當時,又當時數(shù)列項與等比數(shù)列,其首項為1,公比為(2)由(1)知由即即又時成立,即由于恒成立.因此,當且僅當時,14.〔2009江西卷文〕〔本小題總分值12分〕數(shù)列的通項，其前n項和為.(1)求;(2)求數(shù)列｛｝的前n項和.解:(1)由于,故,故()(2)兩式相減得故15.〔2009江西卷理〕〔本小題總分值14分〕各項均為正數(shù)的數(shù)列，，且對滿足的正整數(shù)都有〔1〕當時，求通項〔2〕證明：對任意，存在與有關(guān)的常數(shù)，使得對于每個正整數(shù)，都有解：〔1〕由得將代入化簡得所以故數(shù)列為等比數(shù)列，從而即可驗證，滿足題設(shè)條件.(2)由題設(shè)的值僅與有關(guān),記為那么考察函數(shù),那么在定義域上有故對，恒成立.又,注意到,解上式得取,即有.16.〔2009天津卷文〕〔本小題總分值12分〕等差數(shù)列的公差d不為0，設(shè)〔Ⅰ〕假設(shè),求數(shù)列的通項公式；〔Ⅱ〕假設(shè)成等比數(shù)列，求q的值。〔Ⅲ〕假設(shè)【答案】〔1〕〔2〕〔3〕略【解析】〔1〕解：由題設(shè)，代入解得，所以〔2〕解：當成等比數(shù)列，所以，即，注意到，整理得〔3〕證明：由題設(shè)，可得，那么①②①-②得，①+②得，③③式兩邊同乘以q，得所以〔3〕證明：=因為，所以假設(shè)，取i=n，假設(shè)，取i滿足，且，由〔1〕〔2〕及題設(shè)知，，且當時，，由，即，所以因此當時，同理可得因此綜上，【考點定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列通項公式與前n項和等根本知識，考查運算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力。17.(2009湖北卷理)〔本小題總分值13分〕〔注意：在試題卷上作答無效〕數(shù)列的前n項和〔n為正整數(shù)〕。〔Ⅰ〕令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；〔Ⅱ〕令，試比擬與的大小，并予以證明。19.解析：〔I〕在中，令n=1，可得，即當時，，..又數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列.于是.(II)由〔I〕得，所以由①-②得于是確定的大小關(guān)系等價于比擬的大小由可猜測當證明如下：證法1：〔1〕當n=3時，由上驗算顯示成立。〔2〕假設(shè)時所以當時猜測也成立綜合〔1〕〔2〕可知，對一切的正整數(shù)，都有證法2：當時綜上所述，當，當時18.〔2009四川卷文〕〔本小題總分值14分〕設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記?！睮〕求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；〔II〕設(shè)數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？假設(shè)存在，找出一個正整數(shù)；假設(shè)不存在，請說明理由；〔III〕記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；【解析】〔I〕當時，又∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，…………………3分〔II〕不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由〔I〕知∴當n為偶數(shù)時，設(shè)∴當n為奇數(shù)時，設(shè)∴∴對于一切的正整數(shù)n，都有∴不存在正整數(shù)，使得成立。…………………8分〔III〕由得又，當時，，當時，…………………14分19.〔2009全國卷Ⅱ理〕〔本小題總分值12分〕設(shè)數(shù)列的前項和為〔I〕設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列〔II〕求數(shù)列的通項公式。解：〔I〕由及，有由，．．．①那么當時，有．．．．．②②－①得又，是首項，公比為２的等比數(shù)列．〔II〕由〔I〕可得，數(shù)列是首項為，公差為的等比數(shù)列．，評析：第〔I〕問思路明確，只需利用條件尋找．第〔II〕問中由〔I〕易得，這個遞推式明顯是一個構(gòu)造新數(shù)列的模型：，主要的處理手段是兩邊除以．總體來說，09年高考理科數(shù)學(xué)全國I、Ⅱ這兩套試題都將數(shù)列題前置,主要考查構(gòu)造新數(shù)列〔全國I還考查了利用錯位相減法求前n項和的方法〕，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和根底知識、根本方法根本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。20.〔2009湖南卷文〕〔本小題總分值13分〕對于數(shù)列,假設(shè)存在常數(shù)M＞0,對任意的，恒有,那么稱數(shù)列為數(shù)列.〔Ⅰ〕首項為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由;〔Ⅱ〕設(shè)是數(shù)列的前n項和.給出以下兩組判斷：A組：①數(shù)列是B-數(shù)列,②數(shù)列不是B-數(shù)列;B組：③數(shù)列是B-數(shù)列,④數(shù)列不是B-數(shù)列.請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；(Ⅲ)假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，證明：數(shù)列也是B-數(shù)列。解:〔Ⅰ〕設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,那么.于是==所以首項為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列〔Ⅱ〕命題1：假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，那么數(shù)列是B-數(shù)列.此命題為假命題.事實上設(shè)=1，，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但=n，.由n的任意性知，數(shù)列不是B-數(shù)列。命題2：假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，那么數(shù)列不是B-數(shù)列。此命題為真命題。事實上，因為數(shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對任意的，有,即.于是,所以數(shù)列是B-數(shù)列?！沧ⅲ喊搭}中要求組成其它命題解答時，仿上述解法〕(Ⅲ)假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，那么存在正數(shù)M，對任意的有.因為.記，那么有.因此.故數(shù)列是B-數(shù)列.21.〔2009遼寧卷文〕〔本小題總分值10分〕等比數(shù)列{}的前n項和為，,,成等差數(shù)列〔1〕求{}的公比q；〔2〕求－＝3，求解：〔Ⅰ〕依題意有由于，故又，從而5分〔Ⅱ〕由可得故從而10分22.〔2009陜西卷文〕〔本小題總分值12分〕數(shù)列滿足，.令，證明：是等比數(shù)列；(Ⅱ)求的通項公式。〔1〕證當時，所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列。〔2〕解由〔1〕知當時，當時，。所以。23.(2009陜西卷理)〔本小題總分值12分〕數(shù)列滿足，.猜測數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(Ⅱ)證明：。證〔1〕由由猜測：數(shù)列是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：〔1〕當n=1時，已證命題成立〔2〕假設(shè)當n=k時命題成立，即易知，那么=即也就是說，當n=k+1時命題也成立，結(jié)合〔1〕和〔2〕知，命題成立〔2〕當n=1時，，結(jié)論成立當時，易知24.〔2009四川卷文〕〔本小題總分值14分〕設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。〔I〕求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；〔II〕設(shè)數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？假設(shè)存在，找出一個正整數(shù)；假設(shè)不存在，請說明理由；〔III〕記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；【解析】〔I〕當時，又∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，…………………3分〔II〕不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由〔I〕知∴當n為偶數(shù)時，設(shè)∴當n為奇數(shù)時，設(shè)∴∴對于一切的正整數(shù)n，都有∴不存在正整數(shù)，使得成立。…………………8分〔III〕由得又，當時，，當時，…………………14分25.〔2009湖北卷文〕〔本小題總分值12分〕{an}是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a6＝55,a2+a7＝16.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式：〔Ⅱ〕假設(shè)數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式：an＝＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn解〔1〕解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，那么依題設(shè)d>0由a2+a7＝16.得①由得②由①得將其代入②得。即〔2〕令兩式相減得于是=-4=26.(2009湖南卷理)〔本小題總分值13分〕對于數(shù)列假設(shè)存在常數(shù)M＞0,對任意的，恒有那么稱數(shù)列為B-數(shù)列首項為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由;請以其中一組的一個論斷條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；設(shè)是數(shù)列的前項和，給出以下兩組論斷；A組：①數(shù)列是B-數(shù)列②數(shù)列不是B-數(shù)列B組：③數(shù)列是B-數(shù)列④數(shù)列不是B-數(shù)列請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；〔3〕假設(shè)數(shù)列都是數(shù)列，證明：數(shù)列也是數(shù)列。解〔1〕設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,那么，于是因此｜-｜+｜-｜+…+｜-｜=因為所以即故首項為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列?！?〕命題1：假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，那么數(shù)列是B-數(shù)列次命題為假命題。事實上，設(shè)，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但由的任意性知，數(shù)列是B-數(shù)列此命題為。命題2：假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，那么數(shù)列是B-數(shù)列此命題為真命題事實上，因為數(shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對任意的有即。于是所以數(shù)列是B-數(shù)列?！睮II〕假設(shè)數(shù)列{}是數(shù)列，那么存在正數(shù)，對任意的有注意到同理：記，那么有因此