2021新高考數(shù)學新課程一輪復習學案第七章第4講直線平面平行的判定與性質(zhì)

第4講直線、平面平行的判定與性質(zhì)[考綱解讀]1.掌握線線、線面、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能應用它們證明有關空間圖形的平行關系的簡單命題．(重點)2.高考的重點考查內(nèi)容之一，主要以幾何體為載體考查線線、線面、面面平行的判定和性質(zhì).[考向預測]從近三年高考情況來看，本講是高考的重點考查內(nèi)容．預測2021年將會以以下兩種方式進行考查：①以幾何體為載體，考查線面平行的判定；②根據(jù)平行關系的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化．試題常以解答題的第一問直接考查，難度不大，屬中檔題型.1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理3．必記結(jié)論(1)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面．(2)夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等．(3)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．(5)如果兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面互相平行．1．概念辨析(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．()(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條．()(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．()(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小題熱身(1)如果直線a平行于平面α，直線b∥a，則b與α的位置關系是()A．b與α相交 B．b∥α或b?αC．b?α D．b∥α答案B解析兩條平行線中的一條與已知平面相交，則另一條也與已知平面相交，所以由直線b∥a，可知若b與α相交，則a與α也相交，而由題目已知，直線a平行于平面α，所以b與α不可能相交，所以b∥α或b?α.故選B.(2)如圖，α∥β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________.答案eq\f(5,2)解析因為α∥β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，所以CD∥AB，所以eq\f(PC,PA)＝eq\f(CD,AB).因為PC＝2，CA＝3，CD＝1，所以AB＝eq\f(5,2).(3)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.答案①②④解析如圖，因為ABC1D1，所以四邊形AD1C1B故AD1∥BC1，從而①正確；易證BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，從而②正確；由圖易知AD1與DC1異面，故③錯誤；因為AD1∥BC1，AD1?平面BDC1，BC1?平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正確．題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)角度1線面平行判定定理的應用1．(2019·全國卷Ⅰ節(jié)選)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D證明：MN∥平面C1DE.證明如圖，連接B1C，ME因為M，E分別為BB1，BC的中點，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C.又因為N為A1D的中點，所以ND＝eq\f(1,2)A1D.由題設知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，所以MN∥ED.又MN?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.角度2線面平行性質(zhì)定理的應用2．如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求證：四邊形EFGH是矩形．證明∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∴CD∥EF.同理，HG∥CD，∴EF∥HG.同理，HE∥GF，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF為異面直線CD和AB所成的角．又CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴四邊形EFGH為矩形．1.判定線面平行的三種方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)，一般用反證法；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．如舉例說明1；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理①α∥β，a?α?a∥β；②α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β.2.用線面平行的判定定理證明線面平行(1)關鍵：在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線.(2)方法：合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形等證明兩直線平行.(3)易錯：容易漏掉說明直線在平面外.3.用線面平行的性質(zhì)定理證明線線平行(1)定勢：看到線面平行想到用性質(zhì)定理.(2)關鍵：合理選擇過已知直線的平面與已知平面相交．如舉例說明2.1．(2016·全國卷Ⅲ改編)如圖，四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．證明：MN∥平面PAB.證明由已知得AM＝eq\f(2,3)AD＝2.如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TN∥BC，TN＝eq\f(1,2)BC＝2.又AD∥BC，故TNAM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.因為AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.2．如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求證：PA∥GH.證明如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴AP∥OM.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA?平面PAHG，∴PA∥GH.題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)1.(2019·全國卷Ⅱ)設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是()A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α，β平行于同一條直線D.α，β垂直于同一平面答案B解析若α∥β，則α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，反之則不成立；若α，β平行于同一條直線，則α與β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一個平面，則α與β可以平行也可以相交，故A，C，D中條件均不是α∥β的充要條件．根據(jù)平面與平面平行的判定定理知，若一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則兩平面平行，反之也成立．因此B中條件是α∥β的充要條件．故選B.2．如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點∴GH是△A1B1C1的中位線，則GH∥B1C又B1C1∥BC，∴GH∥BC∴B，C，H，G四點共面.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1AB，∴A1GEB.∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.條件探究將本例中的條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變?yōu)椤包cD，D1分別是AC，A1C1上的點，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f(AD,DC)的值.解如圖，連接A1B交AB1于點O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.所以BC1∥D1O，則eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)＝1.同理，可證AD1∥DC1，則eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.1.判定面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理，轉(zhuǎn)化為證明線面平行．如舉例說明2(2).(2)證明兩平面垂直于同一條直線.(3)證明兩平面與第三個平面平行.2.面面平行條件的應用(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行.提醒：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.(2019·南昌模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.設M，N分別為PD，AD的中點.(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐P－ABM的體積.解(1)證明：∵M，N分別為PD，AD的中點，∴MN∥PA.∵MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離.∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝eq\r(3)，∴三棱錐P－ABM的體積V＝VM－PAB＝VC－PAB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3).題型三立體幾何中的探索性問題(2019·合肥三模)如圖，側(cè)棱與底面垂直的四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AA1＝4，DC＝2AB，AB＝AD＝3，點M在棱A1B1上，且A1M＝eq\f(1,3)A1B1.點E是直線CD上的一點，AM∥平面BC1E.(1)試確定點E的位置，并說明理由；(2)求三棱錐M－BC1E的體積.解(1)如圖，在棱C1D1上取點N，使D1N＝A1M又D1N∥A1M∴四邊形A1MND1是平行四邊形，∴MN∥A1D1∥AD.∴四邊形AMND為平行四邊形，∴AM∥DN.過C1作C1E∥DN交CD于點E，連接BE，∴DN∥平面BC1E，AM∥平面BC1E，∴CE＝1.(2)由(1)知，AM∥平面BC1E，∴VM－BC1E＝VA－BC1E＝VC1－ABE＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×3×3))×4＝6.線面平行的探究性問題解決探究性問題一般先假設求解的結(jié)果存在，從這個結(jié)果出發(fā)，尋找使這個結(jié)論成立的充分條件，如果找到了使結(jié)論成立的充分條件，則存在；如果找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在，而對于探求點的問題，一般是先探求點的位置，多為線段的中點或某個三等分點，然后給出符合要求的證明.(多選)如圖，矩形ABCD中，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中，A.MB是定值B.點M在圓上運動C.一定存在某個位置，使DE⊥A1CD.一定存在某個位置，使MB∥平面A1D