高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)公式題型全歸納（歸納本專題共16種數(shù)列通項(xiàng)公式題型近五年高考真題100題模擬訓(xùn)練題）原卷版

2024屆高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)公式題型全歸納歸納本專題共16種數(shù)列通項(xiàng)公式題型近五年高考真題100題模擬訓(xùn)練題知識(shí)回顧二、考點(diǎn)分析三、本專題常用解題技巧四、本章常用解法總結(jié)五、本章考點(diǎn)分析六、高考真題回顧（20192023年）七、本章知識(shí)模擬訓(xùn)練（100題）知識(shí)回顧一、數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列的第項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.即.不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.不是每一個(gè)數(shù)列只有一個(gè)通項(xiàng)公式.二、數(shù)列的通項(xiàng)的常見(jiàn)求法：通項(xiàng)五法1、歸納法：先通過(guò)計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，再觀察數(shù)列中的項(xiàng)與系數(shù)，根據(jù)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再證明.2、公式法：若在已知數(shù)列中存在：的關(guān)系，可采用求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，確定數(shù)列的通項(xiàng)；若在已知數(shù)列中存在：的關(guān)系，可以利用項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng).3、累加法：若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系，可用“累加法”求通項(xiàng).4、累乘法：若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系，可用“累乘法”求通項(xiàng).通關(guān)一、等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示，即要點(diǎn)詮釋：由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為，因此不可能是，（2）“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)”，這里的項(xiàng)具有任意性和有序性，常數(shù)是同一個(gè).（3）隱含條件，任一項(xiàng)且（4）常數(shù)列都是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列，不為的常數(shù)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.（5）證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，其依據(jù)是利用這種形式來(lái)判定就便于操作了。通關(guān)二、等比中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，那么稱數(shù)為的等比中項(xiàng)，其中。要點(diǎn)詮釋：（1）只有當(dāng)與與同號(hào)即時(shí)，才有等比中項(xiàng)，且與有兩個(gè)互為相反數(shù)的等比中項(xiàng)，當(dāng)與異號(hào)或有一個(gè)為零，即時(shí)，與與沒(méi)有等比中項(xiàng)。（2）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，與都有等差中項(xiàng)，且當(dāng)與確定時(shí)，等差中項(xiàng)唯一但任意兩個(gè)實(shí)數(shù)與不一定有等比中項(xiàng)，且當(dāng)與有等比中項(xiàng)是等比中項(xiàng)不唯一（3）當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列推不出成等比數(shù)列通關(guān)三、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為：推導(dǎo)過(guò)程：（1）歸納法根據(jù)等比數(shù)列的定義：，可得，所以當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以歸納得出：累乘法根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：,把以上個(gè)等式的左邊與右邊分別相乘（累乘），并化簡(jiǎn)得，即，又也符合上式，所以迭代法，所以要點(diǎn)詮釋：（1）通項(xiàng)公式由首項(xiàng)和公比完全確定，一旦一個(gè)等比數(shù)列得首項(xiàng)和公比確定，改等比數(shù)列就唯一確定了.（2）通項(xiàng)公式中共涉及四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過(guò)解方程，便可求出第四個(gè)量.通關(guān)四、等比數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列中，，若設(shè)，則.（1）當(dāng)時(shí)，，等比數(shù)列是非零常數(shù)列，它的圖像是在直線上均勻排列的一群孤立的點(diǎn).（2）當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)；它的圖像是分布在曲線，且上的一些孤立的點(diǎn).考點(diǎn)分析判斷或?qū)懗鰯?shù)列中的項(xiàng)【例題1】（2024上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列，則下列屬于該數(shù)列的項(xiàng)的是（

）A．23 B．31 C．33 D．43【例題2】（2024上·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第六中學(xué)校考期末）已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（

）A．第21項(xiàng) B．第22項(xiàng) C．第23項(xiàng) D．第24項(xiàng)累加法求數(shù)列通項(xiàng)【例題3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第1層）有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球，第3層有6個(gè)球，…設(shè)“三角垛”從第1層到第n層的各層的球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則第21層的球數(shù)為（

）A．241 B．231 C．213 D．192累乘法求數(shù)列通項(xiàng)【例題4】（2023·高二單元測(cè)試）已知數(shù)列，，…，…是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【例題5】（2024上·四川成都·高三成都七中?？计谀?shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式：構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【例題6】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，且，則為（

）A． B． C． D．觀察法求數(shù)列通項(xiàng)【例題7】（2024上·安徽·高二安徽省利辛縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前5項(xiàng)依次為1，，，，，則的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．定義法求數(shù)列通項(xiàng)【例題8】（2023下·湖北襄陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若數(shù)列對(duì)任意連續(xù)三項(xiàng)，，，均有，則稱該數(shù)列為“跳躍數(shù)列”，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．存在等差數(shù)列是“跳躍數(shù)列”B．存在公比大于零的等比數(shù)列是“跳躍數(shù)列”C．若等比數(shù)列是“跳躍數(shù)列”，則公比D．若數(shù)列滿足，則為“跳躍數(shù)列”本專題常用解題技巧方法一：歸納法使用情景：已知數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式解題步驟：觀察、歸納、猜想、證明.【例9】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）公元前6世紀(jì)，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時(shí)，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進(jìn)行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個(gè)正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時(shí)他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個(gè)六邊形數(shù)為（

）A．778 B．779 C．780 D．781方法二：公式法使用情景：已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或已知.已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，先求出等差（比）數(shù)列的基本量，再代入等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式；已知的關(guān)系，可以利用項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng).【例題10】（2024上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且，.(1)證明：為等差數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式；方法三：累加法使用情景：在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系解題步驟：先給遞推式中的從2開(kāi)始賦值，一直到，一共得到個(gè)式子，再把這個(gè)式子左右兩邊對(duì)應(yīng)相加化簡(jiǎn)，即得到數(shù)列的通項(xiàng).【例題11】（2024上·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列中，，則.方法四：累乘法使用情景：若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系.解題步驟：先給遞推式中的從2開(kāi)始賦值，一直到，一共得到個(gè)式子，再把這個(gè)式子左右兩邊對(duì)應(yīng)相乘化簡(jiǎn)，即得到數(shù)列的通項(xiàng).【例題12】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）數(shù)列中，若，，則.本章常用解法總結(jié)公式法題設(shè)中有an與Sn的關(guān)系式時(shí)，常用公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))來(lái)求解.若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．【例題13】（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C．是等差數(shù)列 D．是遞增數(shù)列【例題14】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.求的通項(xiàng)公式；累加法：若數(shù)列{an}滿足an－an－1＝f(n－1)(n≥2)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)可求，則可用累加法求通項(xiàng).形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．【例題15】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，則（

）A．21 B．23 C．25 D．27【例題16】（2024上·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B．C． D．累乘法：若數(shù)列{an}滿足eq\f(an,an－1)＝f(n－1)(n≥2)，其中f(1)·f(2)·…·f(n－1)可求，則可用累乘法求通項(xiàng).形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．【例題17】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，而，則＝（

）A． B． C． D．【例題18】（2024上·廣東清遠(yuǎn)·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論成立的有（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為構(gòu)造法：當(dāng)題中出現(xiàn)an＋1＝pan＋q(pq≠0且p≠1)的形式時(shí)，把a(bǔ)n＋1＝pan＋q變形為an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋λ(p－1)，令λ(p－1)＝q，解得λ＝eq\f(q,p－1)，從而構(gòu)造出等比數(shù)列{an＋λ}.（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開(kāi)移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的遞推式：（1）當(dāng)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出（2）當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：——①，，兩邊同時(shí)乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決．（3）當(dāng)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：在兩邊同時(shí)除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得．【例題19】（2024上·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列中，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B．C． D．【例題20】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù).定義法分別回到等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量建立方程組，解出基本量，從而就可以求出通項(xiàng)；利用這一遞推關(guān)系，求得的通項(xiàng)；利用等差中項(xiàng)證明是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；【例題21】（2023上·寧夏·高二六盤山高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的首項(xiàng)，，，.(1)證明：為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．觀察法已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．【例題22】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式本章考點(diǎn)分析考點(diǎn)一：觀察法【例題23】（2024上·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．是一個(gè)等差數(shù)列C． D．考點(diǎn)二：累加法【例題24】（2024上·上?！じ叨？计谀┤魯?shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式是．【例題25】（2024·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤魯?shù)列滿足，（，），則的最小值是.考點(diǎn)三：累乘法【例題26】（2024上·廣東河源·高二統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則.【例題27】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，若，，則.【例題28】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，，且，則等于.考點(diǎn)四：待定系數(shù)法用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．【例題29】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是以2為公差的等差數(shù)列．若，求證：是等比數(shù)列；【例題30】（2022·河南安陽(yáng)·三模（文））已知數(shù)列滿足，且前8項(xiàng)和為506，則___________.考點(diǎn)五：同除以指數(shù)【例題31】（2024上·河北邢臺(tái)·高二河北省博野中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．B．為等比數(shù)列C．D．【例題32】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)六：取倒數(shù)法形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求．【例題33】（2024上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀┤魯?shù)列滿足遞推關(guān)系式，且，則（

）A． B． C． D．【例題34】（2024上·河南周口·高二周口恒大中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．【例題35】（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）數(shù)列滿足，（），，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)七：取對(duì)數(shù)法形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對(duì)數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．【例題36】（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí)）若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.現(xiàn)對(duì)數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第一次得到數(shù)列1，2，2；第二次得到數(shù)列1，2，2，4，2；依次構(gòu)造，第次得到的數(shù)列的所有項(xiàng)的積記為，令，則___________，___________.考點(diǎn)八：已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題【例題37】（2024上·山西忻州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【例題38】（2024上·河南·高二伊川縣第一高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，求的通項(xiàng)公式；考點(diǎn)九：周期數(shù)列【例題39】（2024上·天津·高二耀華中學(xué)校考期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，對(duì)任意的，定義.(1)若，（?。┣蟮闹岛蛿?shù)列的通項(xiàng)公式；（ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；【例題40】（2023下·四川德陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）數(shù)列{an}中a1＝﹣2，an+1＝1，則a2023的值為（

）A．﹣2 B． C． D．【例題41】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列中，，，（為正整數(shù)），則．考點(diǎn)十：前n項(xiàng)積型【例題42】（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的公比且，前項(xiàng)積為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【例題43】（2022上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，若，則（

）A．120 B．366 C．363 D．126【例題44】（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列.求的通項(xiàng)公式；考點(diǎn)十一：“和”型求通項(xiàng)【例題45】（2022·黑龍江·哈師大附中高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，則的值為A．－8 B．6 C．－5 D．4【例題46】（2022·山西·太原市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)列中，，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，且數(shù)列的前項(xiàng)n和為，證明：.考點(diǎn)十二：正負(fù)相間討論、奇偶討論型【例題47】（2024上·海南·高二校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，.若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)【例題48】（2024上·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，它是世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.已知大衍數(shù)列滿足，，則（

）A．B．C．此數(shù)列的前項(xiàng)和為D．?dāng)?shù)列的前60項(xiàng)和為930【例題49】（2024上·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谀┰O(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，當(dāng)時(shí)，滿足.若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；考點(diǎn)十三：因式分解型求通項(xiàng)【例題50】（2024上·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，且滿足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【例題51】（2022?懷化模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，設(shè)．（1）求，；（2）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；（3）的通項(xiàng)公式，并求其前項(xiàng)和為．考點(diǎn)十四：其他幾類特殊數(shù)列求通項(xiàng)【例題52】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【例題53】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列，則該數(shù)列的第2024項(xiàng)為（

）A． B．C． D．【例題54】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，通項(xiàng)公式，其中p，q為常數(shù)，．求的通項(xiàng)公式；【例題55】（2023上·河南周口·高二校考階段練習(xí)）在數(shù)列中，已知，且.求通項(xiàng)公式.【例題56】（2022·湖北·天門市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)十五：雙數(shù)列問(wèn)題【例題57】（2023·廣東茂名·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且，正項(xiàng)的等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，且，，成等比數(shù)列.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求證：.【例題58】（2024上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.求的通項(xiàng)公式；考點(diǎn)十六：通過(guò)遞推關(guān)系求通項(xiàng)【例題59】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有個(gè)球，第二層有個(gè)球，第三層有個(gè)球，…設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．，C． D．【例題60】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，為定值，則實(shí)數(shù)的不同的值有（

）A．5個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【例題61】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系，，則（

）A． B． C． D．高考真題回顧（20232023年）1.（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．2.（2023?新高考Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和．（1）若，，求的通項(xiàng)公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求．3.（2022?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．4.（2021?新高考Ⅱ）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求使成立的的最小值．5.（2021?新高考Ⅰ）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和．6.（2020?上海）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，．（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，，求滿足時(shí)的最小值．7.（2022?上海）數(shù)列對(duì)任意且，均存在正整數(shù)，，滿足，，．（1）求可能值；（2）命題：若，，，成等差數(shù)列，則，證明為真，同時(shí)寫出逆命題，并判斷命題是真是假，說(shuō)明理由；（3）若，成立，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．8.（2021?浙江）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．9．（2020?海南）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求．10.（2020?山東）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間，中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．11.（2020?浙江）已知數(shù)列，，滿足，，．（Ⅰ）若為等比數(shù)列，公比，且，求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若為等差數(shù)列，公差，證明：，．12.（2019?浙江）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．?dāng)?shù)列滿足：對(duì)每個(gè)，，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，，證明：，．本章知識(shí)模擬訓(xùn)練（100題）單選題1.（2024上·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù)．他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖中的1，3，6，10稱為三角數(shù)，則下列各數(shù)中是三角數(shù)的是（

）A．20 B．21 C．22 D．232.（2024上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（

）A． B． C． D．3.（2024上·全國(guó)·高二期末）是等差數(shù)列的（

）A．第項(xiàng) B．第項(xiàng)C．第項(xiàng) D．第項(xiàng)4.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對(duì)“形數(shù)”進(jìn)行了深入的研究，若一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點(diǎn)都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個(gè)正方形數(shù)是（

）A．28 B．36 C．45 D．555.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，，則等于（

）A． B． C． D．6.（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列與是相同的B．?dāng)?shù)列可以表示為C．?dāng)?shù)列與是相同的數(shù)列D．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為7.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，若，則（

）A．9 B．11 C．13 D．158.（2024上·黑龍江大慶·高二鐵人中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，且，若，則正整數(shù)為（

）A．13 B．12 C．11 D．109.（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）若數(shù)列滿足，，則（

）10.（2024上·廣東茂名·高二高州市第四中學(xué)?？计谀┮阎菙?shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，則（

）A．128 B．130 C． D．11.（2024·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．12.（2024上·廣東深圳·高二校考期末）符號(hào)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，如，．?dāng)?shù)列滿足，，．若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．13.（2024上·山西忻州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前4項(xiàng)分別為，，，，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為（

）A．B．C．D．14.（2024上·廣東深圳·高二?？计谀?shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B． C． D．15.（2024上·青海西寧·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B． C． D．16.（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，若，則正整數(shù)k的值是（

）A．8 B．12 C．16 D．2017.（2022下·云南保山·高一統(tǒng)考期末）干支紀(jì)年法是中國(guó)歷法上自古以來(lái)就一直使用的紀(jì)年方法，干支是天干和地支的總稱甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸為天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥為地支，把十天干和十二地支依次相配，如甲對(duì)子、乙對(duì)丑、丙對(duì)寅、…、癸對(duì)寅，其中天干比地支少兩位，所以天干先循環(huán)，甲對(duì)戌、乙對(duì)亥…接下來(lái)地支循環(huán)，丙對(duì)子、丁對(duì)丑、…，以此用來(lái)紀(jì)年，今年2022年是壬寅年，那么中國(guó)共產(chǎn)黨成立時(shí)的1921年是（

）A．戊辰年 B．壬戌年 C．辛酉年 D．庚午年18.（2023下·貴州遵義·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列20，17，14，11，8，…，根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律，該數(shù)列的項(xiàng)中為正數(shù)的有（

）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)19.（2022下·北京東城·高一統(tǒng)考期末）已知是等差數(shù)列，公差不為零，前項(xiàng)和是，若成等比數(shù)列，則A． B．C． D．20.（2023下·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前6項(xiàng)和，且為的等差中項(xiàng)，則（

）A． B．8 C．10 D．1421.（2022上·河北唐山·高三開(kāi)灤第二中學(xué)?？计谥校┤魯?shù)列的前6項(xiàng)為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為（

）A． B．C． D．22.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知{an}，{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值為（

）A．－6 B．6 C．0 D．1023.（2022·高二單元測(cè)試）已知數(shù)列滿足，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．24.（2022下·四川資陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A．40 B．45 C．80 D．9025.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某學(xué)生家長(zhǎng)為繳納該學(xué)生上大學(xué)時(shí)的教育費(fèi)，于2023年8月20號(hào)從銀行貸款a元，為還清這筆貸款，該家長(zhǎng)從2023年起每年的8月20號(hào)便去銀行償還相同的金額，計(jì)劃恰好在貸款的m年后還清，若銀行按年利率為p的復(fù)利計(jì)息（復(fù)利：即將一年后的貸款利息也納入本金計(jì)算新的利息），則該學(xué)生家長(zhǎng)每年的償還金額是

A． B．C． D．26.（2023上·湖北荊州·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，，，若的前項(xiàng)和為，則（

）A．1 B．2 C． D．427.（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則公比q的值為（

）A．4 B． C．2 D．28.（2023上·西藏·高二校考階段練習(xí)）一個(gè)等差數(shù)列的第5項(xiàng)等于10，前3項(xiàng)的和等于3，那么（

）A．它的首項(xiàng)是，公差是 B．它的首項(xiàng)是，公差是C．它的首項(xiàng)是，公差是 D．它的首項(xiàng)是，公差是29.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差均為2，是的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．30.（2023·高二單元測(cè)試）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝()A．3×44 B．3×44＋1C．44 D．44＋131.（2023·湖南邵陽(yáng)·校聯(lián)考一模）已知等差數(shù)列，，則其前項(xiàng)的和A． B． C． D．32.（2022上·陜西延安·高二?？茧A段練習(xí)）下列結(jié)論錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）①滿足（為常數(shù)）的數(shù)列為等比數(shù)列.②若，則三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列.③如果數(shù)列為等比數(shù)列，，則數(shù)列也是等比數(shù)列.④如果數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.A．1 B．233.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前4項(xiàng)為：，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B． C． D．34.（2023上·江西·高一統(tǒng)考期中）造紙術(shù)是我國(guó)古代四大發(fā)明之一，目前我國(guó)紙張采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，復(fù)印紙A系列紙張尺寸的長(zhǎng)寬比都是，.紙張的面積為1平方米，長(zhǎng)寬比為，將紙張的長(zhǎng)邊對(duì)折切開(kāi)得到兩張紙張，將的長(zhǎng)邊對(duì)折切開(kāi)得到兩張紙張，依次類推得到紙張，，…，.則紙張的長(zhǎng)等于（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．210毫米 B．297毫米 C．149毫米 D．105毫米35.（2022·河北張家口·統(tǒng)考一模）已知實(shí)數(shù)列成等比數(shù)列，則A． B． C． D．36.（2022上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，若與方程的兩個(gè)實(shí)根，則（

）A．46 B．44 C．42 D．4037.（2023上·甘肅天水·高二秦安縣第一中學(xué)?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，若，，則等于（）A．35 B．63 C． D．38.（2023下·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，且對(duì)于任意，都存在正整數(shù)使得，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C．2 D．339.（2023上·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？计谀?shù)列為等差數(shù)列，若,，則（

）A． B． C． D．40.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋n，將該數(shù)列按下列格式(第n行有2n－1個(gè)數(shù))排成一個(gè)數(shù)陣，則該數(shù)陣第8行從左向右第8個(gè)數(shù)字為（

）a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15…A．142 B．270 C．526 D．103841.（2022上·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知2，，成等比數(shù)列，則a的值為（

）A．2 B．4 C．2或4 D．無(wú)法確定42.（2023上·上?！じ呷虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)校考期末）已知正數(shù)數(shù)列{an}滿足an+1≥2an+1，且an＜2n+1對(duì)n∈N*恒成立，則a1的范圍為（）A．[1，3] B．（1，3） C．（0，3] D．（0，4）43.（2022下·四川綿陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)是正項(xiàng)等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，已知，則（

）A． B． C． D．44.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）等比數(shù)列的公比為q，且，，若，則m等于（

）．A．9 B．10 C．11 D．1245.（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．46.（2023上·重慶巫山·高二?？计谀┫铝姓f(shuō)法正確的是（

）A．若數(shù)列的公差，則數(shù)列是遞減數(shù)列B．若數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列為等比數(shù)列C．若數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)），則數(shù)列一定為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，為前項(xiàng)和，則仍為等比數(shù)列；47.（2023上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列是遞增的等比數(shù)列，，，則公比（

）A． B．1 C． D．48.（2023上·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則（）A． B．3 C．?3 D．49.（2023下·北京順義·高二統(tǒng)考期中）在正整數(shù)數(shù)列中，由開(kāi)始依次按如下規(guī)則取該數(shù)列的項(xiàng)：第一次??；第二次取個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，；第三次取個(gè)連續(xù)奇數(shù)，，；第四次取個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，，，；第五次取個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，，，，；按此規(guī)律取下去，得到一個(gè)數(shù)列，，，，，，，，，，，則這個(gè)數(shù)列中第個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．50.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前100項(xiàng)和（

）A． B． C． D．51.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）某地為了保持水土資源實(shí)行退耕還林，如果2023年退耕萬(wàn)畝，以后每年比上一年增加，那么到2025年一共退耕（

）A． B． C． D．二、多選題52.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）提丟斯波得定則是關(guān)于太陽(yáng)系中行星軌道的一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何學(xué)規(guī)則，它是在1766年由德國(guó)的一位中學(xué)老師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來(lái)被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)波得歸納成一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)表示，即數(shù)列：，表示的是太陽(yáng)系第顆行星與太陽(yáng)的平均距離（以天文單位為單位）.現(xiàn)將數(shù)列的各項(xiàng)乘以10后再減4，得到數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列從第3項(xiàng)起，每項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為B．?dāng)?shù)列的第20項(xiàng)為C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為157.3D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和53.（2024上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，且數(shù)列滿足，則（

）A． B．的前10項(xiàng)和為55C．當(dāng)時(shí)， D．54.（2024上·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列中，，（），前n項(xiàng)和為．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．是遞增數(shù)列55.（2024上·吉林·高二吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谀┫铝杏嘘P(guān)數(shù)列的說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列與數(shù)列是同一個(gè)數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，則120是該數(shù)列的第11項(xiàng)C．在數(shù)列中，第8個(gè)數(shù)是D．?dāng)?shù)列3，5，9，17，33，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為56.（2023上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B．為等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為57.（2023下·浙江·高二杭州市蕭山區(qū)第五高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，．下列結(jié)論正確的是（

）A．若是等差數(shù)列，則 B．若是等比數(shù)列，則C．若是等比數(shù)列，則公比一定為2 D．若是等比數(shù)列，則公比是2或－258.（2022·江蘇·統(tǒng)考一模）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B．C．，，成等差數(shù)列 D．，，成等差數(shù)列59.（2023·浙江·校聯(lián)考三模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.如數(shù)列1，3，6，10，它的前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，則數(shù)列1，3，6，10被稱為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有高階等差數(shù)列?其前7項(xiàng)分別為5，9，17，27，37，45，49，設(shè)通項(xiàng)公式.則下列結(jié)論中正確的是（

）（參考公式：）A．?dāng)?shù)列為二階等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列的前11項(xiàng)和最大C．D．60.（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)選項(xiàng)中，正確的有（

）A．由第1項(xiàng)起乘相同常數(shù)得后一項(xiàng)，這樣所得到的數(shù)列一定為等比數(shù)列B．常數(shù)列b，b，…，b一定為等比數(shù)列C．等比數(shù)列中，若公比，則此數(shù)列各項(xiàng)相等D．等比數(shù)列中，各項(xiàng)與公比都不能為零61.（2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，則滿足的最大的正整數(shù)k一定不等于（

）A．12 B．13 C．14 D．1562.（2023上·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．與均為的最大值 D．為的最大值63.（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）《莊子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，其大意為：一根一尺長(zhǎng)的木棰每天截取一半，永遠(yuǎn)都取不完，設(shè)第一天這根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．64.（2023·湖南永州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)課堂上，為提高學(xué)生探究分析問(wèn)題的能力，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：現(xiàn)有一個(gè)每項(xiàng)都為1的常數(shù)列，在此數(shù)列的第項(xiàng)與第項(xiàng)之間插入首項(xiàng)為2，公比為2，的等比數(shù)列的前項(xiàng)，從而形成新的數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．65.（2022上·湖南郴州·高三郴州一中統(tǒng)考階段練習(xí)）已知無(wú)窮等差數(shù)列的首項(xiàng)為，它的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列B．C．?dāng)?shù)列的公差的取值范圍是D．當(dāng)時(shí)，66.（2022上·福建龍巖·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列{}中，，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若{}是正項(xiàng)等比數(shù)列，則 B．若{}是正項(xiàng)等比數(shù)列，則C．若{}是等差數(shù)列，則 D．若{}是等差數(shù)列，則公差為67.（2023上·江西·高三校聯(lián)考期末）設(shè)，在數(shù)列中，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，68.（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高三校聯(lián)考期中）如果數(shù)列滿足（k為常數(shù)），那么數(shù)列叫做等比差數(shù)列，k叫做公比差．下列四個(gè)結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．若數(shù)列滿足，則該數(shù)列是等比差數(shù)列；B．?dāng)?shù)列是等比差數(shù)列；C．所有的等比數(shù)列都是等比差數(shù)列；D．存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列．69.（2023上·江蘇連云港·高二?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，若，,則（

）A． B．C．的最大值為15 D．的最大值為2570.（2023上·山東濟(jì)南·高二山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是等差數(shù)列B．當(dāng)或時(shí)，取得最大值C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和是30D．，，成等差數(shù)列，公差為71.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“外觀數(shù)列”是一類有趣的數(shù)列，該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的“外觀描述”．例如：取第一項(xiàng)為1，將其外觀描述為“1個(gè)1”，則第二項(xiàng)為11；將11描述為“2個(gè)1”，則第三項(xiàng)為21；將21描述為“1個(gè)2，1個(gè)1”，則第四項(xiàng)為1211；將1211描述為“1個(gè)1，1個(gè)2，2個(gè)1”，則第五項(xiàng)為111221，…，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來(lái)描述，給定首項(xiàng)即可依次推出數(shù)列后面的項(xiàng)．對(duì)于外觀數(shù)列，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則從開(kāi)始出現(xiàn)數(shù)字2 B．若，則C．若，則的最后一個(gè)數(shù)字為6 D．若，則中沒(méi)有數(shù)字472.（2023·高二單元測(cè)試）下列命題正確的是（

）A．給出數(shù)列的有限項(xiàng)就可以唯一確定這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式B．若等差數(shù)列的公差，則是遞增數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則可能成等差數(shù)列D．若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列73.（2023上·江蘇宿遷·高二?？计谥校┰O(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．若，則最大為4048．C．是數(shù)列中的最大值 D．74.（2023下·黑龍江佳木斯·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中不正確的有（

）A．若數(shù)列的前項(xiàng)和，，為常數(shù)）則數(shù)列為等差數(shù)列B．若數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列為等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，則，，，仍為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，為前項(xiàng)和，則，，，仍為等比數(shù)列三、填空題75.（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)的和為，則取得最小值時(shí)的值為．76.（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中學(xué)?？计谀?shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見(jiàn)的高階等差數(shù)列，如數(shù)列2，4，7，11，16從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成的新數(shù)列2，3，4，5是等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前六項(xiàng)分別為1，3，6，10，15，21，則的最小值為．77.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）近日北方地區(qū)普遍降雪，某幼兒教師手工課上帶孩子們做描述雪花形狀的圖案：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復(fù)進(jìn)行