高三人教A版數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)第四章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第1節(jié)

第四章第1節(jié)[基礎(chǔ)訓(xùn)練組]1．(導(dǎo)學(xué)號14577368)在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AD,\s\up6(→))解析：A[eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).故選A.]2．(導(dǎo)學(xué)號14577369)已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向 B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向解析：D[由題意可設(shè)c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，(λ－k)a＝(λ＋1)b.∵a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－k＝0，,λ＋1＝0.))∴k＝λ＝－1.∴c與d反向．故選D.]3．(導(dǎo)學(xué)號14577370)(理科)(2018·寶雞市二模)在△ABC中，P、Q分別在AB，BC上，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(PQ,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b B．－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b D．－eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b解析：A[如圖，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(BQ,\s\up6(→))－eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.故選A.]3．(導(dǎo)學(xué)號14577371)(文科)D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) B．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))D.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))解析：A[如圖，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).]4．(導(dǎo)學(xué)號14577372)已知向量a，b是兩個(gè)不共線的向量，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ1a＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，則“A，B，C三點(diǎn)共線”是“λ1·λ2－1＝0”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：C[A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))共線，根據(jù)向量共線的充要條件知，eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))共線，即存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于向量a，b不共線，根據(jù)平面向量的基本定理得λ1·λ＝1且λ2＝λ，消掉λ，得λ1·λ2－1＝0.故“A，B，C三點(diǎn)共線”是“λ1·λ2－1＝0”的充分必要條件．]5．(導(dǎo)學(xué)號14577373)(理科)(2018·贛州市、吉安市、撫州市七校聯(lián)考)如圖，正方形中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)．那么eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)AB＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))解析：D[如圖，連接DB，EB∵eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)).∵eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→)).∵eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)).∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).故選D.]5．(導(dǎo)學(xué)號14577374)(文科)(2018·臨汾市二模)設(shè)D、E、F分別為△ABC三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，則eq\o(DA,\s\up6(→))＋2eq\o(EB,\s\up6(→))＋3eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：D[因?yàn)镈、E、F分別為△ABC的三邊BC、AC、AB的中點(diǎn)，所以eq\o(DA,\s\up6(→))＋2eq\o(EB,\s\up6(→))＋3eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)×2(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)×3×(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選D.]6．(導(dǎo)學(xué)號14577375)在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AC,\s\up6(→))＝e2，eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝________(用e1，e2表示)．解析：如圖所示，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋2eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)e2＋eq\f(2,3)(e2－e1)＝－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2.答案：－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e27．(導(dǎo)學(xué)號14577376)已知D、E、F分別為△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，給出下列命題：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中正確命題的序號為________.解析：如圖所示：eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0.∴正確命題為②③④.答案：②③④8．(導(dǎo)學(xué)號14577377)在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＝________.解析：由圖知eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，①eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，②且eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(BD,\s\up6(→))＝0.①＋②×2得：3eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9．(導(dǎo)學(xué)號14577378)設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)．求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．解析：(1)證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線．又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共線的兩個(gè)非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0,λk－1＝0))，∴k2－1＝0.∴k＝±1.10．(導(dǎo)學(xué)號14577379)如圖所示，在△ABC中，D、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a、b表示向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．解：(1)延長AD到G，使eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))，連接BG，CG，得到?ABGC，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)．eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)．eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)．eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)．(2)證明：由(1)可知eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up6(→))，因?yàn)橛泄颤c(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．[能力提升組]11．(導(dǎo)學(xué)號14577380)已知O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，若aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則O是△ABC的()A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心解析：A[∵eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))，∴aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝aeq\o(OA,\s\up6(→))＋b(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→)))＋c(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→)))＝beq\o(AB,\s\up6(→))＋ceq\o(AC,\s\up6(→))－(a＋b＋c)eq\o(AO,\s\up6(→))，而aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴(a＋b＋c)eq\o(AO,\s\up6(→))＝beq\o(AB,\s\up6(→))＋ceq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(b,a＋b＋c)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(c,a＋b＋c)eq\o(AC,\s\up6(→))，記eq\o(AB,\s\up6(→))＝cn1，eq\o(AC,\s\up6(→))＝bn2，其中n1，n2分別表示eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))方向上的單位向量，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(bc,a＋b＋c)(n1＋n2)，由該式可以看出AO平分∠BAC，故O為內(nèi)心．故選A.]12．(導(dǎo)學(xué)號14577381)(理科)在平行四邊形ABCD中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，連接CE，DF相交于點(diǎn)M，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ與μ的乘積為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,8)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)解析：B[∵E，M，C三點(diǎn)共線，∴設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AD,\s\up6(→)).同理D，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AF,\s\up6(→))＋(1－y)eq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2y,3)))eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,2)＝y(tǒng)，,1－x＝1－\f(2y,3)，))解得y＝eq\f(3,4)，即eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).∴λ＝eq\f(3,4)，μ＝eq\f(1,2)，即λμ＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).]12．(導(dǎo)學(xué)號14577382)(文科)(2018·東莞市模擬)如圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，CO的延長線與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)D，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，則()A．0<x＋y<1 B．x＋y>1C．x＋y<－1 D．－1<x＋y<0解析：C[∵A，D，B三點(diǎn)共線，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))(0<λ<1)，設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝μeq\o(OD,\s\up6(→))(μ<－1)，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝μλeq\o(OA,\s\up6(→))＋μ(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μλ＝x，,μ1－λ＝y(tǒng)，))∴eq\f(x,μ)＋eq\f(y,μ)＝1，∴x＋y＝μ<－1，故選C.]13．(導(dǎo)學(xué)號14577383)如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m＋n的值為________.解析：∵O是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，∴e