新版高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1習(xí)題第二章圓錐曲線與方程2.2.2

2.2.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)課時(shí)過關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1已知點(diǎn)(3,2)在橢圓x2a2+y2b2=A.點(diǎn)(3,2)不在橢圓上B.點(diǎn)(3,2)不在橢圓上C.點(diǎn)(3,2)在橢圓上D.無法判斷點(diǎn)(3,2),(3,2),(3,2)是否在橢圓上解析:由橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸,以原點(diǎn)為對稱中心可知,點(diǎn)(3,2)在橢圓上,故選C.答案:C2已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)有兩個(gè)頂點(diǎn)在直線x+2y=A.(±3,0) B.(0,±3) C.(±5,0) D.(0,±5)答案:A3已知橢圓x25+y2k=1的離心率e為105,A.3 B.3或25C.5 D.15答案:B4已知橢圓中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為(3,0),且長軸長是短軸長的2倍,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x24+y2=1 B.x2+yC.x23+y2=1 D.x2+y解析:∵一個(gè)焦點(diǎn)為(3,0),∴焦點(diǎn)在x軸上且c=3.又∵長軸長是短軸長的2倍,即2a=2×2b,即a=2b.故選A.答案:A5已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,長、短半軸長之和為10,焦距為45,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x236+y216=C.x26+y24=答案:A6設(shè)F1,F2是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為直線x=3a2上一點(diǎn),△F2PF1是底角為A.12 B.23 C.34解析:∵△F2PF1是底角為30°的等腰三角形,∴∠PF2A=60°,|PF2|=|F1F2|=2c.∴|AF2|=c.∴2c=32a∴e=34,故選C答案:C7以坐標(biāo)軸為對稱軸,且過點(diǎn)(5,0),離心率e=255的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.答案:x225+y258已知F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),若△ABF2是正三角形,求該橢圓的離心率.分析不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,如圖,由AB⊥F1F2,且△ABF2是正三角形,得出在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.令|AF1|=x,則|AF2|=2x,由勾股定理,求得|F1F2|=3x=2c.而|AF1|+|AF2|=2a,即可求出離心率e.解:不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,如圖.∵AB⊥F1F2,且△ABF2為正三角形,∴在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.令|AF1|=x,則|AF2|=2x.故|F1F2|=|AF2|由橢圓定義可知,|AF1|+|AF2|=2a.因此,e=2c9橢圓ax2+by2=1與直線x+y1=0相交于A,B兩點(diǎn),C是AB的中點(diǎn),若|AB|=22,OC的斜率為22,求橢圓的方程.解:法一設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓方程,得ax12+by12ax22+by22=由②①,得a(x1+x2)(x2x1)+b(y2+y1)(y2y1)=0.而y2-y1x2-x1=kAB=1,y2∵|AB|=1+k2|x2x1|=2|x2x1|=2∴|x2x1|=2.又由ax2+by2=1,x+y∴x1+x2=2ba+b,x1x∴|x2x1|2=(x1+x2)24x1x2=2ba+b24將b=2a代入,得a=13,b=2故所求的橢圓方程為x23+23解:法二由直線方程和橢圓方程聯(lián)立,得ax2+by2=1,x+y=1設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).則|AB|=(=24∵|AB|=22,∴a+b-aba設(shè)C(x,y),則x=x1+x22=∵OC的斜率為22,∴a代入①式,得a=13,b=2故所求的橢圓方程為x23+23能力提升1過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,F2為右焦點(diǎn),若∠F1PF2=A.22 B.3C.12 D.解析:由點(diǎn)P-c,±b2a,∠F1PF2=60°,得3b2a=2答案:B2設(shè)AB是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸,若把線段AB分為100等份,過每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線,分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)P1,P2,…,P99,F1為橢圓的左焦點(diǎn),則|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99A.98a B.99a C.100a D.101a解析:由橢圓的定義及其對稱性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故結(jié)果應(yīng)為50×2a+|F1P50|=101a.答案:D3橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,D是它短軸的一個(gè)端點(diǎn),若3DFA.12 B.13 C.14解析:由題意,A(a,0),F1(c,0),F2(c,0),不妨設(shè)D(0,b).∵3DF1=DA∴3(c,b)=(a,b)+2(c,b),∴a=5c.∴e=ca=15答案:D4中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±52)的橢圓被直線3xy2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為12,則橢圓的方程為()A.2x225+2y2C.x225+y275=解析:由題意,可設(shè)橢圓方程為y2a2+x2b2=1,且a2=50將直線3xy2=0代入,整理成關(guān)于x的二次方程,由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.故選C.答案:C5已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn),B是短軸的一個(gè)端點(diǎn),線段BF的延長線交橢圓C于點(diǎn)D,且BF=2FD,則橢圓C的離心率為.

解析:如圖,不妨設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),B(0,b)為上頂點(diǎn),F(c,0)為右焦點(diǎn),由BF=2FD,得(c,b)=2(xc,y),即c則D3c由點(diǎn)D在橢圓上,知3c22解得a2=3c2,即e2=13,故e=3答案:36已知橢圓x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是橢圓上的一點(diǎn),且∠F1PF2=60°,則△PF1F解析:如圖,設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,由橢圓的定義,得m+n=2a=6,兩邊平方,得m2+n2+2mn=36.①在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=m2+n22mncos60°=(2c)2,即m2+n2mn=16.②由①②,得3mn=20.故S△PF1F2=12·答案:5★7橢圓x24+y2=1的長軸為A1A2,短軸為B1B2,將坐標(biāo)平面沿y軸折成一個(gè)二面角,使點(diǎn)A1在平面B1A2B2上的射影恰為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則此二面角的大小是.解析:如圖所示,設(shè)翻折后點(diǎn)A1變?yōu)锳'1.由題意,可知F2O⊥y軸,A'1O⊥y軸,則∠A'1OF2就是二面角A'1B1B2F2的平面角.又在Rt△A'1OF2中,|A'1O|=2,|OF2|=3,得|A'1F2|=1.故∠A'1OF2=30°.答案:30°8已知直線y=12x+2和橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B兩點(diǎn),M為線段AB的中點(diǎn),若|AB|=25解:由y=-12(a2+4b2)x28a2x+16a24a2b2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=8a2a2+4b2,又設(shè)M(xM,yM),則xM=x1yM=12xM+2=8因?yàn)閗OM=yMxM=12,所以2b2a從而x1+x2=8a2a2+4b2=4,x1x2=又因?yàn)閨AB|=25,所以1+14×(即52×16-4(8-2b所以a2=4b2=16,故所求的橢圓方程為x216+★9設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),直線l的傾斜角為60(1)求橢圓C的離心率;(2)如果|AB|=154,求橢圓C的方程解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由直線l的傾斜角為60°及AF=2FB,知y1<0,y2>0.(1)直線l的方程為y