數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法部分

數(shù)列局部一、填空題：1、〔2012屆高三一模寶山區(qū)1〕等差數(shù)列，，，那么．12、〔2012屆高三一模寶山區(qū)9〕用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗(yàn)證成立時(shí)，等號(hào)左邊的式子是.3、〔2012屆高三一模長(zhǎng)寧區(qū)文理4〕等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比分別是復(fù)數(shù)〔是虛數(shù)單位的實(shí)部與虛部，那么數(shù)列的各項(xiàng)和的值為．34、〔2012屆高三一模長(zhǎng)寧區(qū)文8〕是等差數(shù)列，，其前10項(xiàng)和，那么其公差5、〔2012屆高三一模長(zhǎng)寧區(qū)理11〕等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，成等差數(shù)列，那么公比為．6、〔2012屆高三一模長(zhǎng)寧區(qū)文12〕右數(shù)表為一組等式，如果能夠猜測(cè)，那么．47、〔2012屆高三一模長(zhǎng)寧區(qū)理14〕把正整數(shù)排列成如圖甲三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個(gè)數(shù)列，假設(shè)，那么．10288、〔2012屆高三一模崇明縣4〕計(jì)算．9、〔2012屆高三一模崇明縣10〕數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且當(dāng)時(shí)是與的等差中項(xiàng)，那么數(shù)列的通項(xiàng)．10、〔2012屆高三一模崇明縣13〕觀察右圖從上而下，其中2012第一次出現(xiàn)在第行，第列．11、〔2012屆高三一模奉賢區(qū)理7〕無(wú)窮等比數(shù)列中的每一項(xiàng)都等于它后面所有各項(xiàng)的和，那么公q=．〔2012屆高三一模奉賢區(qū)文7)無(wú)窮等比數(shù)列中的首項(xiàng)，各項(xiàng)的和，那么公比q=．12、〔2012屆高三一模奉賢區(qū)理13〕對(duì)于數(shù)列，如果存在最小的一個(gè)常數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)恒有成立，那么稱數(shù)列是周期為的周期數(shù)列。設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)的和分別記為，那么三者的關(guān)系式．〔2012屆高三一模奉賢區(qū)文13〕數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么滿足的正整數(shù)=．2或513、〔2012屆高三一模虹口區(qū)8〕數(shù)列14、〔2012屆高三一模虹口區(qū)12〕等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．2115、〔2012屆高三一模虹口區(qū)14〕成等差數(shù)列，那么中，正確的選項(xiàng)是．〔填入序號(hào)〕③16、〔2012屆高三一模黃浦區(qū)7〕(理科)無(wú)窮等比數(shù)列()的前項(xiàng)的和是，且，那么首項(xiàng)的取值范圍是．(文科〕等差數(shù)列()滿足，且前項(xiàng)和為，那么＝．17、〔2012屆高三一模嘉定區(qū)2〕在等差數(shù)列中，，，那么的前項(xiàng)和．18、〔2012屆高三一模嘉定區(qū)14〕將正奇數(shù)排成以下圖所示的三角形數(shù)表：，，，，，，……其中第行第個(gè)數(shù)記為〔、〕，例如，假設(shè)，那么．19、〔2012屆高三一模靜安區(qū)10〕等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和為30，前20項(xiàng)之和為100，那么=．120、〔2012屆高三一模盧灣區(qū)文理8〕假設(shè)常數(shù)滿足，那么．21、〔2012屆高三一模盧灣區(qū)文理9〕數(shù)列，假設(shè)，〔〕，那么使成立的的值是．22、〔2012屆高三一模閔行區(qū)文理8〕假設(shè)，那么對(duì)于，．23、〔2012屆高三一模閔行區(qū)理11〕設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均是正整數(shù)，前項(xiàng)和為，且，，，那么=．402424、〔2012屆高三一模閔行區(qū)文11〕數(shù)列{}的前項(xiàng)和，那么．25、〔2012屆高三一模閔行區(qū)理14〕線段AB上有10個(gè)確定的點(diǎn)〔包括端點(diǎn)A與B〕.現(xiàn)對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行往返標(biāo)數(shù)〔從A→B→A→B→…進(jìn)行標(biāo)數(shù)，遇到同方向點(diǎn)不夠數(shù)時(shí)就“調(diào)頭”往回?cái)?shù)〕。如圖：在點(diǎn)A上標(biāo)1，稱為點(diǎn)1，然后從點(diǎn)1開(kāi)始數(shù)到第二個(gè)數(shù)，標(biāo)上2，稱為點(diǎn)2，再?gòu)狞c(diǎn)2開(kāi)始數(shù)到第三個(gè)數(shù)，標(biāo)上3，稱為點(diǎn)3〔標(biāo)上數(shù)n的點(diǎn)稱為點(diǎn)n〕，……，這樣一直繼續(xù)下去，直到1，2，3，…，2012都被標(biāo)記到點(diǎn)上．那么點(diǎn)2012上的所有標(biāo)記的數(shù)中，最小的是．326、〔2012屆高三一模閔行區(qū)文14〕在一圓周上給定1000個(gè)點(diǎn).〔如圖〕取其中一點(diǎn)標(biāo)記上數(shù)1，從這點(diǎn)開(kāi)始按順時(shí)針?lè)较驍?shù)到第二個(gè)點(diǎn)標(biāo)記上數(shù)2，從標(biāo)記上2的點(diǎn)開(kāi)始按順時(shí)針?lè)较驍?shù)到第三個(gè)點(diǎn)標(biāo)記上數(shù)3，繼續(xù)這個(gè)過(guò)程直到1，2，3，…，2012都被標(biāo)記到點(diǎn)上，圓周上這些點(diǎn)中有些可能會(huì)標(biāo)記上不止一個(gè)數(shù)，在標(biāo)記上2012的那一點(diǎn)上的所有標(biāo)記的數(shù)中最小的是．1227、〔2012屆高三一模浦東新區(qū)理4〕假設(shè)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．28、〔2012屆高三一模普陀區(qū)文理5〕各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，那么此數(shù)列的各項(xiàng)和．29、〔2012屆高三一模普陀區(qū)理11〕數(shù)列是等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，假設(shè)那么．〔2012屆高三一模普陀區(qū)文11〕數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，假設(shè)那么．30、〔2012屆高三一模普陀區(qū)文理14〕設(shè)表示關(guān)于的不等式的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，那么數(shù)列的通項(xiàng)公式=．31、〔2012屆高三一模青浦區(qū)6〕等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，那么等于．32、〔2012屆高三一模青浦區(qū)7〕設(shè)，那么．033、〔2012屆高三一模徐匯區(qū)理11〕各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列假設(shè)存在兩項(xiàng)、使得，那么的最小值為． 34、〔2012屆高三一模徐匯區(qū)理14〕如下圖：矩形的一邊在軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)的圖像上〔其中點(diǎn)的坐標(biāo)為〕，矩形的面積記為，那么=．2 35、〔2012屆高三一模楊浦區(qū)文理1〕計(jì)算：．36、〔2012屆高三一模閘北區(qū)理3〕設(shè)，那么數(shù)列的各項(xiàng)和為．37、〔2012屆高三一模寶山區(qū)12〕三條邊分別為，成等差數(shù)列，假設(shè)，那么的最大值為．4二、選擇題：1、〔2012屆高三一模寶山區(qū)16〕，是數(shù)列的前n項(xiàng)和………………〔〕AA．和都存在B．和都不存在C．存在，不存在D．不存在，存在2、〔2012屆高三一模虹口區(qū)16〕數(shù)列，滿足,，且，那么=〔〕AA．2B．2011C．2012D．40223、〔2012屆高三一模靜安區(qū)理15〕以下命題正確的選項(xiàng)是()CA．,那么()B．假設(shè)數(shù)列、的極限都不存在，那么的極限也不存在C．假設(shè)數(shù)列、的極限都存在,那么的極限也存在D．設(shè)，假設(shè)數(shù)列的極限存在,那么數(shù)列的極限也存在4、〔2012屆高三一模靜安區(qū)文17〕等比數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)a1＝－1，前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)，那么等于()CA．B．1C．-D．不存在5、〔2012屆高三一模浦東新區(qū)理18〕共有項(xiàng)的數(shù)列，，定義向量、，假設(shè)，那么滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為〔〕C A.2 B. C. D.6、〔2012屆高三一模徐匯區(qū)理18〕、成等比數(shù)列，以下四個(gè)判斷正確的有……〔〕A①第2列必成等比數(shù)列②第1列不一定成等比數(shù)列③④假設(shè)9個(gè)數(shù)之和等于9，那么A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)〔2012屆高三一模徐匯區(qū)文18〕、成等比數(shù)列，以下三個(gè)判斷正確的有……〔〕A①第2列必成等比數(shù)列②第1列不一定成等比數(shù)列③A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)〔2012屆楊浦區(qū)16〕假設(shè)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，那么復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于〔〕AA．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限8、〔2012屆高三一模閘北區(qū)文理14〕數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足：對(duì)于所有，有，其中表示數(shù)列的前項(xiàng)和。那么〔〕CA．B．C．D．三、解答題：1、〔2012屆高三一模寶山區(qū)23〕〔此題總分值18分〕此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值6分，第3小題總分值8分.函數(shù),假設(shè)成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是不等式整數(shù)解的個(gè)數(shù)，求；(3)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在正數(shù)，對(duì)任意正整數(shù)，使恒成立？假設(shè)存在，求的取值范圍；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.解：〔1〕由題可知………………〔2分〕得．………………〔4分〕〔2〕原式化簡(jiǎn)：……〔8分〕其中整數(shù)個(gè)數(shù)．…………〔10分〕〔3〕由題意，，…〔12分〕又恒成立，，，所以當(dāng)取最大值，取最小值時(shí)，取到最大值．……〔14分〕又，，所以……〔16分〕解得………………〔18分〕2、〔2012屆高三一模長(zhǎng)寧區(qū)文理23〕(本小題總分值18分)此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值6分，第3小題總分值8分.〔文〕數(shù)列中，〔1〕求證數(shù)列不是等比數(shù)列，并求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕求數(shù)列的前項(xiàng)和；〔3〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，假設(shè)對(duì)任意恒成立，求的最小值.解：〔1〕，不是等比數(shù)列；………2分，及成等比數(shù)列，公比為2，……………6分〔2〕，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；……………8分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.……………10分因此，……………12分〔3〕?！?3分，……………14分因此不等式為3(1-k2)3(-1)2，k，即k-(2-1)，……………16分F(n)=-(2-1)單調(diào)遞減；F(1)=最大，，即的最小值為?！?8分〔理〕對(duì)數(shù)列和，假設(shè)對(duì)任意正整數(shù)，恒有，那么稱數(shù)列是數(shù)列的“下界數(shù)列”.〔1〕設(shè)數(shù)列，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)公比不為1的等比數(shù)列，使數(shù)列是數(shù)列的“下界數(shù)列”；〔2〕設(shè)數(shù)列，求證數(shù)列是數(shù)列的“下界數(shù)列”；〔3〕設(shè)數(shù)列，構(gòu)造，，求使對(duì)恒成立的的最小值.解：〔1〕等，答案不唯一；……………4分〔2〕，當(dāng)時(shí)最小值為9,；……………6分，那么,因此，時(shí)，最大值為6，……………9分所以，，數(shù)列是數(shù)列的“下界數(shù)列”；……………10分〔3〕，…11分，……………12分不等式為，，，…13分設(shè)，那么，…………15分當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，取得最小值，因此，……………17分的最小值為……………18分3、〔2012屆高三一模崇明縣22〕〔此題16分，第〔1〕小題3分；第〔2〕小題5分；第〔3〕小題8分〕數(shù)列和的通項(xiàng)分別為，〔〕，集合，，設(shè).將集合中元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列.〔1〕寫(xiě)出；〔2〕求數(shù)列的前項(xiàng)的和；〔3〕是否存在這樣的無(wú)窮等差數(shù)列：使得〔〕？假設(shè)存在，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)這樣的數(shù)列，并加以證明；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：〔1〕〔錯(cuò)1個(gè)扣1分〕〔2〕，所以〔3〕存在。如，〔不唯一〕〔結(jié)論1分，通項(xiàng)2分證明：，所以，所以假設(shè)，那么存在實(shí)數(shù)，，所以，由于上式左邊為整數(shù)，右邊為分?jǐn)?shù)，所以上式不成立，所以假設(shè)不成立，所以所以。即：滿足要求。4、〔2012屆高三一模虹口區(qū)22〕〔15分〕是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且.求求數(shù)列的通項(xiàng)公式及的表達(dá)式；我們可以證明：假設(shè)數(shù)列有上界〔即存在常數(shù)A，使得且單調(diào)遞增；或數(shù)列有下界〔即存在常數(shù)B，使得恒成立〕且單調(diào)遞減，那么存在，直接利用上述結(jié)論，證明：存在.〔1〕．當(dāng)時(shí)，①；②②—①得．又，即時(shí)也成立．…………5分〔2〕由〔1〕得，，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，，時(shí)，，，，又，也滿足上式，……10分〔3〕，單調(diào)遞增，又，存在……………15分5、〔2012屆高三一模黃浦區(qū)23〕(此題總分值18分)此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值6分，第2小題總分值6分，第3小題總分值6分．，且，，數(shù)列、滿足，，，．(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)(理科)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(文科)數(shù)列滿足，試建立數(shù)列的遞推公式(要求不含)；(3)(理科)假設(shè)滿足，，，試用數(shù)學(xué)歸納法證明：．(文科)假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．證明(1)∵，∴,.∵，，∴．又，∴數(shù)列是公比為3，首項(xiàng)為的等比數(shù)列．解(2)(理科)依據(jù)(1)可以，得．于是，有，即．因此，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．故．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．(文科)依據(jù)(1)可以，得．于是，有，即．又，那么.因此，數(shù)列的遞推公式是．(3)〔理科〕用數(shù)學(xué)歸納法證明：(i)當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，即左邊=右邊，所以當(dāng)時(shí)結(jié)論成立．(ii)假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即．當(dāng)時(shí)，左邊，右邊．即左邊＝右邊，因此，當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立．根據(jù)(i)、(ii)可以斷定，對(duì)的正整數(shù)都成立．〔文科〕由(2)可知，數(shù)列是公差為1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，于是，．故．因此，，，將上述兩個(gè)等式相減，得，可化簡(jiǎn)為．所以．6、〔2012屆高三一模嘉定區(qū)22〕〔理〕〔此題總分值16分〕此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值6分，第3小題總分值6分．定義，，…，的“倒平均數(shù)”為〔〕．?dāng)?shù)列前項(xiàng)的“倒平均數(shù)”為，記〔〕．〔1〕比擬與的大?。弧?〕設(shè)函數(shù)，對(duì)〔1〕中的數(shù)列，是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立？假設(shè)存在，求出最大的實(shí)數(shù)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．〔3〕設(shè)數(shù)列滿足，〔且〕，〔且〕，且是周期為的周期數(shù)列，設(shè)為前項(xiàng)的“倒平均數(shù)”，求．解：〔1〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由題意得，所以，……〔1分〕當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而也滿足此式．所以〔〕．……〔1分〕所以，……〔1分〕，因此．……〔1分〕〔2〕假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，……〔2分〕由〔1〕知數(shù)列是遞增數(shù)列，所以只要，即，〔2分〕解得或．……〔1分〕所以存在最大的實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立．…〔1分〕〔3〕由，，得，……〔1分〕①假設(shè)，那么，，，因?yàn)橹芷跒椋?，所以，所以，〔舍〕，故．此時(shí)，為，，，，，，…．符合題意．……〔1分〕②假設(shè)，那么，，因?yàn)橹芷跒?，故，所以，即或，解得或，均不合題意．…〔1分〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么對(duì)，有……〔1分〕即所以因此．〔2分〕〔文〕定義，，…，的“倒平均數(shù)”為〔〕．〔1〕假設(shè)數(shù)列前項(xiàng)的“倒平均數(shù)”為，求的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)數(shù)列滿足：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．假設(shè)為前項(xiàng)的倒平均數(shù)，求；〔3〕設(shè)函數(shù)，對(duì)〔1〕中的數(shù)列，是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立？假設(shè)存在，求出最大的實(shí)數(shù)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．解：〔1〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由題意，，所以．…………〔1分〕所以，當(dāng)時(shí)，，而也滿足此式．……〔2分〕所以的通項(xiàng)公式為．…………〔1分〕〔2〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，……〔1分〕當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．…………〔1分〕所以．……〔3分〕所以．……〔2分〕〔3〕假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，那么對(duì)任意恒成立，…………〔1分〕令，因?yàn)?，所以?shù)列是遞增數(shù)列，…〔1分〕所以只要，即，解得或．…………〔2分〕所以存在最大的實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立．〔2分〕7、〔2012屆高三一模靜安區(qū)22〕〔理〕(此題總分值16分)此題共有2個(gè)小題，第1小題總分值8分，第2小題總分值8分.且，數(shù)列是首項(xiàng)與公比均為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足〔〕.求數(shù)列的前項(xiàng)和；如果對(duì)于，總有，求的取值范圍.解：〔1〕由有，.2分所以，，5分所以，因?yàn)椋?……8分〔2〕即.由且得.2分所以或……………3分即或?qū)θ我獬闪?，……?分而，且，所以或.……………8分〔文〕(此題總分值16分)此題共有2個(gè)小題，第1小題總分值8分，第2小題總分值8分.且，數(shù)列是首項(xiàng)與公比均為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足〔〕.假設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；假設(shè)對(duì)于，總有，求的取值范圍.解：〔1〕由有，.………………2分，，………………5分所以，.…………………8分〔2〕即.由且得.2分所以或………………3分即或?qū)θ我獬闪?，……?分而，且，所以或.……………8分8、〔2012屆高三一模盧灣區(qū)文理22〕〔此題總分值16分〕此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值3分，第2小題總分值6分，第3小題總分值7分．?dāng)?shù)列，假設(shè)存在正整數(shù)，對(duì)一切都有，那么稱數(shù)列為周期數(shù)列，是它的一個(gè)周期．例如：數(shù)列，，，，…①可看作周期為1的數(shù)列；數(shù)列，，，，…②可看作周期為2的數(shù)列；數(shù)列，，，，，，…③可看作周期為3的數(shù)列…〔1〕對(duì)于數(shù)列②，它的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是試再寫(xiě)出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；〔2〕求數(shù)列③的前項(xiàng)和；〔3〕在數(shù)列③中，假設(shè)，且它有一個(gè)形如的通項(xiàng)公式，其中、、、均為實(shí)數(shù)，，，，求該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．解：〔1〕或等．〔3分〕〔2〕當(dāng)時(shí)，；〔5分〕當(dāng)時(shí)，；〔7分〕當(dāng)時(shí)，〔〕．〔9分〕〔3〕由題意，，應(yīng)有，得，〔10分〕于是，把，，代入上式得〔12分〕由(1)(2)可得，再代入(1)的展開(kāi)式，可得，與(3)聯(lián)立得，〔13分〕，于是，因?yàn)?，所以，?4分〕于是可求得．〔15分〕故〔〕或?qū)懗伞?〕．〔16分〕9、〔2012屆高三一模盧灣區(qū)文理23〕〔此題總分值18分〕此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值6分，第2小題總分值6分，第3小題總分值6分．函數(shù)〔為常數(shù)〕．〔1〕當(dāng)時(shí)，在圖中的直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的大致圖像，并指出該函數(shù)所具備的根本性質(zhì)中的兩個(gè)〔只需寫(xiě)兩個(gè)〕．〔2〕設(shè)〔〕，當(dāng)，且時(shí)，試判斷數(shù)列的單調(diào)性并由此寫(xiě)出該數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)〔可用來(lái)表示不超過(guò)的最大整數(shù)〕．〔3〕利用函數(shù)構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，方法如下：對(duì)于給定的定義域中的，令，，…，〔，〕，…在上述構(gòu)造過(guò)程中，假設(shè)〔〕在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程繼續(xù)下去；假設(shè)不在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程停止．〔理〕假設(shè)取定義域中的任一值作為，都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值．〔文〕假設(shè)可用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列，求的取值范圍．解：〔1〕當(dāng)時(shí)，．圖像如圖〔2分〕根本性質(zhì)：〔每個(gè)2分〕奇偶性：既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)；單調(diào)性：在和上分別遞增；零點(diǎn)：；最值：無(wú)最大、小值．〔6分〕〔2〕，當(dāng)，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，且此時(shí)均大于，當(dāng)，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，且此時(shí)均小于，〔8分〕因此，數(shù)列中的最大項(xiàng)為，〔10分〕最小項(xiàng)為．〔12分〕〔3〕〔理〕由題意，在中無(wú)實(shí)數(shù)解，亦即當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解．〔14分〕由于不是方程的解，〔16分〕因此對(duì)任意，使方程無(wú)實(shí)數(shù)解，那么為所求．〔18分〕〔文〕根據(jù)題意，只需當(dāng)時(shí)，方程有解，亦即方程有不等于的解，〔14分〕將代入方程左邊，得左邊為，故方程不可能有的解．〔16分〕由，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．〔18分〕10、〔2012屆高三一模閔行區(qū)理22〕〔此題總分值16分〕此題共有3個(gè)小題，第(1)小題總分值4分，第(2)小題總分值5分，第(3)小題總分值7分．將邊長(zhǎng)分別為1、2、3、…、n、n+1、…〔〕的正方形疊放在一起，形成如下圖的圖形，由小到大，依次記各陰影局部所在的圖形為第1個(gè)、第2個(gè)、……、第n個(gè)陰影局部圖形.設(shè)前n個(gè)陰影局部圖形的面積的平均值為．記數(shù)列滿足,〔1〕求的表達(dá)式；〔2〕寫(xiě)出的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔3〕記，假設(shè)不等式有解，求的取值范圍.〔理〕解：〔1〕由題意，第1個(gè)陰影局部圖形的面積為，第2個(gè)陰影局部圖形的面積為，……，第n個(gè)陰影局部圖形的面積為.〔2分〕故〔4分〕〔2〕，，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，〔3分〕當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，，故．〔5分〕〔3〕由〔2〕知．又．〔ⅰ〕當(dāng)n=1時(shí)，即，于是〔ⅱ〕當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即于是，．〔3分〕〔?！钞?dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，即于是，．〔5分〕綜上所述：．〔7分〕11、〔2012屆高三一模閔行區(qū)文22〕〔此題總分值16分〕此題共有3個(gè)小題，第(1)小題總分值4分，第(2)小題總分值5分，第(3)小題總分值7分．將邊長(zhǎng)分別為1、2、3、…、n、n+1、…〔〕的正方形疊放在一起，形成如下圖的圖形，由小到大，依次記各陰影局部所在的圖形為第1個(gè)、第2個(gè)、……、第n個(gè)陰影局部圖形.容易知道第1個(gè)陰影局部圖形的周長(zhǎng)為8.設(shè)前n個(gè)陰影局部圖形的周長(zhǎng)的平均值為，記數(shù)列滿足.〔1〕求的表達(dá)式；〔2〕寫(xiě)出的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔3〕記，假設(shè)不等式有解，求的取值范圍.解：〔文〕〔1〕第n個(gè)陰影局部圖形的周長(zhǎng)為8n,〔2分〕故．〔4分〕〔2〕，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，〔3分〕當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，故．〔5分〕〔3〕有解有解，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即，亦即有解，故〔3分〕當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即，于是，故．〔5分〕綜上所述：．〔7分〕12、〔2012屆高三一模浦東新區(qū)理22〕〔本大題總分值16分〕本大題共有3個(gè)小題，第1小題總分值4分，第2小題滿6分，第3小題滿6分.設(shè)滿足條件的數(shù)列組成的集合為，而滿足條件的數(shù)列組成的集合為.〔1〕判斷數(shù)列和數(shù)列是否為集合或中的元素？〔2〕數(shù)列，研究是否為集合或中的元素；假設(shè)是，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；假設(shè)不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.〔3〕，假設(shè)為集合中的元素，求滿足不等式的的值組成的集合.解：〔1〕，∴∴為集合中的元素，即.………2分，∴∴為集合中的元素，即.………4分〔2〕，當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，此時(shí)，；…………7分當(dāng)時(shí)，令，，；設(shè)為不超過(guò)的最大整數(shù)，令，，，此時(shí)，，.…………10分〔3〕，令，，即；當(dāng)時(shí)，，于是，當(dāng)時(shí)，，于是；………………13分∵，，，，，，∴有和項(xiàng)，共82項(xiàng).……16分13、〔2012屆高三一模普陀區(qū)理22〕〔本大題總分值16分，第1小題總分值5分，第2小題總分值5分，第3小題總分值6分〕數(shù)列是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且滿足求常數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；假設(shè)抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、．．．．．．．第項(xiàng)，．．．．．．，余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成一個(gè)新的數(shù)列，試寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；在〔2〕的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得？假設(shè)存在，試求所有滿足條件的正整數(shù)的值，假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：〔1〕解：由得，，又因?yàn)榇嬖诔?shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，那么即，所以.故數(shù)列為首項(xiàng)是2，公比為2的等比數(shù)列，即.此時(shí)也滿足，那么所求常數(shù)的值為1且.〔2〕解：由等比數(shù)列的性質(zhì)得：〔i〕當(dāng)時(shí)，；〔ii〕當(dāng)時(shí)，，所以.〔3〕〔文科〕解：注意到是首項(xiàng)、公比的等比數(shù)列，是首項(xiàng)、公比的等比數(shù)列，那么〔i〕當(dāng)時(shí)，；〔ii〕當(dāng)時(shí)，.即.〔3〕〔理科〕解：〔續(xù)文科解答過(guò)程〕假設(shè)存在正整數(shù)滿足條件，那么，那么〔i〕當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)滿足條件；〔ii〕當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以此時(shí)無(wú)滿足條件的正整數(shù).綜上可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.〔2012屆高三一模普陀區(qū)文22〕〔本大題總分值16分，第1小題總分值5分，第2小題總分值5分，第3小題總分值6分〕數(shù)列是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且滿足求常數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；假設(shè)抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、．．．．．．．第項(xiàng)，．．．．．．，余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成一個(gè)新的數(shù)列，試寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；在〔2〕的條件下，試求數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式．解：〔1〕解：由得，，又因?yàn)榇嬖诔?shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，那么即，所以.故數(shù)列為首項(xiàng)是2，公比為2的等比數(shù)列，即.此時(shí)也滿足，那么所求常數(shù)的值為1且.〔2〕解：由等比數(shù)列的性質(zhì)得：〔i〕當(dāng)時(shí)，；〔ii〕當(dāng)時(shí)，，所以.〔3〕〔文科〕解：注意到是首項(xiàng)、公比的等比數(shù)列，是首項(xiàng)、公比的等比數(shù)列，那么〔i〕當(dāng)時(shí)，；〔ii〕當(dāng)時(shí)，.即.〔3〕〔理科〕解：〔續(xù)文科解答過(guò)程〕假設(shè)存在正整數(shù)滿足條件，那么，那么〔i〕當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)滿足條件；〔ii〕當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋源藭r(shí)無(wú)滿足條件的正整數(shù).綜上可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.14、〔2012屆高三一模青浦區(qū)23〕(此題總分值18分)此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值6分，第3小題總分值8分.設(shè)，對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列，令為中最大值，稱數(shù)列為的“創(chuàng)新數(shù)列”．例如數(shù)列3，5，4，7的創(chuàng)新數(shù)列為3，5，5，7．考查自然數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列．〔1〕假設(shè)，寫(xiě)出創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，4的所有數(shù)列；〔2〕是否存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列？假設(shè)存在，求出符合條件的創(chuàng)新數(shù)列；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔3〕是否存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？假設(shè)存在，求出滿足所有條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：〔1〕由題意，創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，4的所有數(shù)列有兩個(gè)，即3，4，1，2和3，4，2，1．……………〔每寫(xiě)出一個(gè)給2分，多寫(xiě)不得分〕4分〔2〕存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列．……5分設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，因?yàn)闉榍皞€(gè)自然數(shù)中最大的一個(gè)，所以．……6分假設(shè)為等比數(shù)列，設(shè)公比為，因?yàn)?，所以．?分當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列滿足條件，即為數(shù)列〔或?qū)懲?xiàng)公式〕；……9分當(dāng)時(shí)，為增數(shù)列，符合條件的數(shù)列只能是，又不滿足等比數(shù)列．綜上符合條件的創(chuàng)新數(shù)列只有一個(gè)．……10分〔3〕存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列，……11分設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，因?yàn)闉榍皞€(gè)自然數(shù)中最大的一個(gè)，所以．假設(shè)為等差數(shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)椋裕摇?2分當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列滿足條件，即為數(shù)列〔或?qū)懲?xiàng)公式〕，此時(shí)數(shù)列是首項(xiàng)為的任意一個(gè)排列，共有個(gè)數(shù)列；……………14分當(dāng)時(shí)，符合條件的數(shù)列只能是，此時(shí)數(shù)列是，有1個(gè)；……15分當(dāng)時(shí)，又這與矛盾，所以此時(shí)不存在?！?7分綜上滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為個(gè)〔或答復(fù)個(gè)〕．……………18分15、〔2012屆高三一模徐匯區(qū)22〕〔理〕〔此題總分值18分〕此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值8分,第3小題總分值6分.設(shè)把三階行列式中第一行第二列元素的余子式記為，且關(guān)于的不等式的解集為。各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)列在函數(shù)的圖象上?！?〕求函數(shù)的解析式；〔2〕假設(shè)，求的值；〔3〕令，求數(shù)列的前項(xiàng)中滿足的所有項(xiàng)數(shù)之和.解：〔1〕由條件可知，……………2分因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以……………3分即函數(shù)的解析式為……………4分〔2〕因?yàn)辄c(diǎn)列在函數(shù)的圖象上，所以代入，，即因?yàn)椋?；…………?分當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得：……………7分因?yàn)樗?，即?shù)列為等差數(shù)列，且?！?分那么，所以?！?2分〔3〕在數(shù)列的前項(xiàng)中為奇數(shù)時(shí)，，所以……………14分為偶數(shù)時(shí)，要滿足，那么……………16分所以，滿足的所有項(xiàng)數(shù)之和為……………18分〔文〕〔此題總分值18分〕此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值8分,第3小題總分值6分.設(shè)把三階行列式中第一行第二列元素的余子式記為，且關(guān)于的不等式的解集為。各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)列在函數(shù)的圖象上?！?〕求函數(shù)的解析式；〔2〕假設(shè)，求的值；〔3〕令，求數(shù)列的前項(xiàng)之和.解：〔1〕由條件可知，……………2分因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以……………3分即函數(shù)的解析式為……………4分〔2〕因?yàn)辄c(diǎn)列在函數(shù)的圖象上，所以代入，，即因?yàn)?，所以；…………?分當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得：……………8分因?yàn)樗?，即?shù)列為等差數(shù)列，且……………10分那么，所以……………12分〔3〕為奇數(shù)時(shí)，……………14分為偶數(shù)時(shí)，……………16分所以，數(shù)列的前項(xiàng)之和為200+72=272……………18分16、〔2012屆高三一模楊浦區(qū)理22文23〕〔此題總分值16分〕此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值3分，第2小題總分值6分，第3小題總分值7分.函數(shù)，數(shù)列滿足，,1.求，，的值；2.求證：數(shù)列是等差數(shù)列；設(shè)數(shù)列滿足，，假設(shè)對(duì)一切成立，求最小正整數(shù)的值.解：〔1〕【解】由，得……3分〔2〕【解】由得……8分所以，是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列……9分〔3〕【解】由〔2〕得……-10分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式同樣成立，……12分所以因?yàn)椋詫?duì)一切成立，……14分又隨遞增，且，所以，所以，……16分文:解：(1)【解】.由得所以準(zhǔn)線為……3分(2)【解】.由得所以,焦點(diǎn)坐標(biāo)為……4分由作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),的最小值，為,……7分此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為……9分(3)【解1】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,邊所在的方程為(顯然存在的),①……10分又的斜率為,那么有,既代入①……14分故點(diǎn)軌跡為(注:沒(méi)寫(xiě)扣1分)……16分【解2】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由邊所在的方程過(guò)定點(diǎn),……10分……12分,所以,,既……16分(注:沒(méi)寫(xiě)扣1分)17、〔2012屆高三一模閘北區(qū)〕〔16分〕設(shè)和均為無(wú)窮數(shù)列．〔1〕〔理〕假設(shè)和均為等比數(shù)列，試研究：和是否是等比數(shù)列？請(qǐng)證明你的結(jié)論；假設(shè)是等比數(shù)列，請(qǐng)寫(xiě)出其前項(xiàng)和公式．〔1〕〔文〕假設(shè)和均為等比數(shù)列，它們的公比分別為和，試研究：當(dāng)、滿足什么條件時(shí)，和仍是等比數(shù)列？請(qǐng)證明你的結(jié)論；假設(shè)是等比數(shù)列，請(qǐng)寫(xiě)出其前項(xiàng)和公式．〔2〕請(qǐng)類比〔1〕，針對(duì)等差數(shù)列提出相應(yīng)的真命題〔不必證明〕，并寫(xiě)出相應(yīng)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式〔用首項(xiàng)與公差表示〕．解：〔1〕=1\*GB3①設(shè)，那么設(shè)〔或〕當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，〔或〕恒成立，故為等比數(shù)列；……………………3分…………………1分當(dāng)時(shí)，證法一：對(duì)任意的，，不是等比數(shù)列．……2分證法二：，不是等比數(shù)列．…2分注：此處用反證法，或證明不是常數(shù)同樣給分．=2\*GB3②設(shè)，對(duì)于任意，，是等比數(shù)列．………………3分…………………1分〔2〕設(shè)，均為等差數(shù)列，公差分別為，，那么：=1\*GB3①為等差數(shù)列；……2分=2\*GB3②當(dāng)與至少有一個(gè)為0時(shí)，是等差數(shù)列，………………1分假設(shè)，；………………1分假設(shè)，．………………1分=3\*GB3③當(dāng)與都不為0時(shí)，一定不是等差數(shù)列．………………1分18、〔2012屆高三一模奉賢區(qū)24〕〔理〕正數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，常數(shù)〔1〕求證：是一個(gè)定值；〔2〕假設(shè)數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列，求該數(shù)列的周期；〔3〕假設(shè)數(shù)列是一個(gè)有理數(shù)等差數(shù)列，求．〔理〕證明：〔1〕〔1〕〔2〕：〔3〕〔4〕