（江蘇版）高考數(shù)學一輪復習 專題2.12 函數(shù)模型及其應用（練）-江蘇版高三全冊數(shù)學試題

專題2.12函數(shù)模型及其應用一、填空題1．給出下列函數(shù)模型：①一次函數(shù)模型；②冪函數(shù)模型；③指數(shù)函數(shù)模型；④對數(shù)函數(shù)模型．下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是________(填序號).x45678910y15171921232527【答案】① 【解析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，自變量每增加1函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型．2．某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關系圖象正確的是________(填序號)．【答案】①3．某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個月的本地網(wǎng)內打出電話時間t(分鐘)與打出電話費s(元)的函數(shù)關系如圖，當打出電話150分鐘時，這兩種方式電話費相差________元．【答案】10【解析】設A種方式對應的函數(shù)解析式為s＝k1t＋20，B種方式對應的函數(shù)解析式為s＝k2t，當t＝100時，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝eq\f(1,5)，t＝150時，150k2－150k1－20＝150×eq\f(1,5)－20＝10.4．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________m.【答案】20【解析】設內接矩形另一邊長為y，則由相似三角形性質可得eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，當x＝20時，Smax＝400.5．(2017·長春模擬)一個容器裝有細沙acm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，tmin后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8min后發(fā)現(xiàn)容器內還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有開始時的八分之一．【答案】166．A，B兩只船分別從在東西方向上相距145km的甲乙兩地開出．A從甲地自東向西行駛．B從乙地自北向南行駛，A的速度是40kmh，B的速度是16kmh，經(jīng)過________h，AB間的距離最短．【答案】eq\f(25,8)【解析】設經(jīng)過xh，A，B相距為ykm，則y＝eq\r(145－40x2＋16x2)＝eq\r(1856t2－11600t＋1452)(0≤x≤eq\f(29,8))，求得函數(shù)的最小值時x的值為eq\f(25,8).7．某企業(yè)投入100萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為________．【答案】10【解析】設該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為x，設備年平均費用為y，則x年后的設備維護費用為2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均費用為y＝eq\f(100＋0.5x＋xx＋1,x)＝x＋eq\f(100,x)＋1.5，由基本不等式得y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5≥2eq\r(x·\f(100,x))＋1.5＝21.5，當且僅當x＝eq\f(100,x)，即x＝10時取等號．8．某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)獎金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)獎金130萬元．在此基礎上，每年投入的研發(fā)獎金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)獎金開始超過200萬元的年份是________(參考數(shù)據(jù)：lg1.12＝0.05，lg1.3＝0.11，lg2＝0.30)．【答案】2019二、解答題9．現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部分的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱錐的高PO(1)若AB＝6m，PO1＝2m，則倉庫的容積是多少？(2)若正四棱錐的側棱長為6m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？解(1)V＝eq\f(1,3)×62×2＋62×2×4＝312(m3)．(2)設PO1＝x，則O1B1＝eq\r(62－x2)，B1C1＝eq\r(2)·eq\r(62－x2)，∴SA1B1C1D1＝2(62－x2又由題意可得下面正四棱柱的高為4x.則倉庫容積V＝eq\f(1,3)x·2(62－x2)＋2(62－x2)·4x＝eq\f(26,3)x(36－x2)．由V′＝0得x＝2eq\r(3)或x＝－2eq\r(3)(舍去)．由實際意義知V在x＝2eq\r(3)(m)時取到最大值，故當PO1＝2eq\10．(2017·南通模擬)某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關系式可以近似地表示為y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．(1)求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？能力提升題組11．(2017·南京調研)某市對城市路網(wǎng)進行改造，擬在原有a個標段(注：一個標段是指一定長度的機動車道)的基礎上，新建x個標段和n個道路交叉口，其中n與x滿足n＝ax＋5.已知新建一個標段的造價為m萬元，新建一個道路交叉口的造價是新建一個標段的造價的k倍．(1)寫出新建道路交叉口的總造價y(萬元)與x的函數(shù)關系式；(2)設P是新建標段的總造價與新建道路交叉口的總造價之比．若新建的標段數(shù)是原有標段數(shù)的20%，且k≥3.問：P能否大于eq\f(1,20)，說明理由．解(1)依題意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.(2)法一依題意x＝0.2a所以P＝eq\f(mx,y)＝eq\f(x,kax＋5)＝eq\f(0.2a,k0.2a2＋5)＝eq\f(a,ka2＋25)12．(2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調研)某經(jīng)銷商計劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場調研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當每臺凈化器的利潤為x(單位：元，x>0)時，銷售量q(x)(單位：百臺)與x的關系滿足：若x不超過20，則q(x)＝eq\f(1260,x＋1)；若x大于或等于180，則銷售量為零；當20≤x≤180時，q(x)＝a－beq\r(x)(a，b為實常數(shù))．(1)求函數(shù)q(x)的表達式；(2)當x為多少時，總利潤(單位：元)取得最大值，并求出該最大值．解(1)當20≤x≤180時，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b·\r(20)＝60，,a－b·\r(180)＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝90，,b＝3\r(5).))故q(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1260,x＋1)，0<x≤20，,90－3\r(5)\r(x)，20<x<180，,0，x≥180.))(2)設總利潤f(x)＝x·q(x)，由(1)得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(126000x,x＋1)，0<x≤20，,9000x－300\r(5)·x\r(x)，20<x<180，,0，x≥180，))當0<x≤20時，f(x)＝eq\f(126000x,x＋1)＝126000－eq\f(126000,x＋1)，又f(x)在(0,20]上單調遞增，所以當x＝20時，f(x)有最大值120000.當20<x<180時，f(x)＝9000x－300eq\r(5)·xeq\r(x)，f′(x)＝9000－450eq\r(5)·eq\r(x)，令f′(x)＝0，得x＝80.當20<x<80時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，當80<x<180時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，所以當x＝80時，f(x)有最大值240000.當x≥180時，f(x)＝0.綜上，當x＝80元時，總利潤取得最大值240000元．13．(2017·蘇北四市調研)如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝