（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題4.7 正余弦定理應(yīng)用（講）-江蘇版高三全冊數(shù)學(xué)試題

專題4.7正余弦定理應(yīng)用【考綱解讀】內(nèi)容要求備注ABC解三角形正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用

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掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．【直擊考點(diǎn)】題組一常識題1．海上有A，B，C三個(gè)小島，A，B兩島相距5eq\r(3)海里，從A島觀測到C和B成45°角，從B島觀測到C和A成75°角，則B，C兩島間的距離是________海里．【解析】易知∠ACB＝60°，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，得eq\f(5\r(3),sin60°)＝eq\f(BC,sin45°)，即BC＝5eq\r(2).2．已知△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝eq\r(2)，A＝60°，則△ABC的面積為________．【解析】由面積公式得S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(3,4)eq\r(2).3．如圖，山腳下有一座小塔AB，在塔底B測得山頂C的仰角為60°，在山頂C測得塔頂A的俯角為45°，已知塔高AB＝20m，則山高CD＝________m【解析】如圖，設(shè)CD＝xm，則AE＝(x－20)m，tan60°＝eq\f(CD,BD)，所以BD＝eq\f(CD,tan60°)＝eq\f(x,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)x(m)．在△AEC中，x－20＝eq\f(\r(3),3)x，解得x＝10(3＋eq\r(3))．題組二常錯(cuò)題4．在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點(diǎn)的仰角是60°，C點(diǎn)的俯角是70°，則∠BAC＝________．【解析】由已知可知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，所以∠BAC＝60°＋70°＝130°.5．若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且AC＝BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的方位是____________．題組三?？碱}6．要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角是45°，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m【解析】設(shè)電視塔的高度為xm，則BC＝xm，BD＝eq\r(3)xm．在△BCD中，由余弦定理，得3x2＝x2＋402－2×40x×cos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.7．一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為________海里/小時(shí)．【知識清單】考點(diǎn)1正弦定理、余弦定理的實(shí)際運(yùn)用仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．方向角相對于某一方向的水平角(如圖③)．圖③(1)北偏東α°：指北方向向東旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向．(2)東北方向：指北偏東45°或東偏北45°.(3)其他方向角類似．坡角和坡比坡角：坡面與水平面的夾角(如圖④，角θ為坡角)．圖④坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡比)．【考點(diǎn)深度剖析】這類實(shí)際應(yīng)用題，實(shí)質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．注意：①基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng)．【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1正弦定理、余弦定理的實(shí)際運(yùn)用【1-1】甲，乙兩船同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，甲以每小時(shí)的速度向正東航行，乙船以每小時(shí)的速度沿南偏東的方向航行，小時(shí)后，甲、乙兩船分別到達(dá)兩點(diǎn)，此時(shí)的大小為；【答案】平分BC，∴AB=AC=20km，根據(jù)余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB?AC?cos∠BAC，得：1200=400+400-800cos∠BAC，∴cos∠BAC=-，又∠BAC為三角形的內(nèi)角，則∠BAC=120°．故答案為：120°【1-2】某個(gè)公園有個(gè)池塘，其形狀為直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．

（Ⅰ）現(xiàn)在準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，如圖(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF

面積S△DEF的最大值；

（Ⅱ）現(xiàn)在準(zhǔn)備新建造一個(gè)荷塘，分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，如圖(2)，建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，求△DEF邊長的最小值．（Ⅱ）設(shè)正的邊長為，，【思想方法】(1)閱讀理解題意，弄清問題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形問題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問題還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的有關(guān)單位問題、近似計(jì)算的要求等．【溫馨提醒】測量角度時(shí)，要準(zhǔn)確理解方位角、方向角的概念，準(zhǔn)確畫出示意