2023年上海市初中學業(yè)水平考試數學真題試卷

2023年上海市初中學業(yè)水平考試中考數學真題試卷

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，共24分）

1.（4分）（2023?上海）下列運算正確的是（）

A.a54-a2=a3B.a3+a3=a6C.（a3）2=a5D.=a

2K—1丫22x—1

2.（4分）（2023?上海）在分式方程f+二」=5中，設之可得到關于〉的

x2x—1x

整式方程為（）

A.產+5了+5=0B.>2-5J+5=0C.產+5產1=0D.f-5尹1=0

3.（4分）（2023?上海）下列函數中，函數值y隨x的增大而減小的是（）

66

A.y=6xB.y=-6xC,y=—D.y=

xx

4.（4分）（2023?上海）如圖所示，為了調查不同時間段的車流量，某學校的興趣小組統(tǒng)計

了不同時間段的車流量，如圖是各時間段的小車與公車的車流量，則下列說法正確的是

（）

車流量

A.小車的車流量與公車的車流量穩(wěn)定

B.小車的車流量的平均數較大

C.小車與公車車流量在同一時間段達到最小值

D.小車與公車車流量的變化趨勢相同

5.（4分）（2023?上海）在四邊形488中，AD//BC,AB=CD.下列說法能使四邊形/BCD

為矩形的是（）

A.AB//CDB.AD=BCC.NA=NBD.ZA=ZD

6.（4分）（2023?上海）已知在梯形Z8CD中，聯(lián)結4C,BD,SLACYBD,設CD

=b.下列兩個說法：①/C=￥（a+b）；@AD=^yJa2+b2,則下列說法正確的是

（）

A.①正確②錯誤B.①錯誤②正確C.①②均正確D.①②均錯誤

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，共48分）

7.（4分）（2023?上海）分解因式：“2-9=.

22x

8.（4分）（2023?上海）化簡：----------的結果為.

1—x1—x

9.（4分）（2023?上海）已知關于x的方程Jx-14=2,則x=.

10.（4分）（2023?上海）函數/（x）=---的定義域為___________.

x—23

11.（4分）（2023?上海）已知關于x的一元二次方程af+6x+l=0沒有實數根，那么a的取

值范圍是.

12.（4分）（2023?上海）在不透明的盒子中裝有一個黑球，兩個白球，三個紅球，四個綠

球，這十個球除顏色外完全相同.那么從中隨機摸出一個球是綠球的概率

為.

13.（4分）（2023?上海）如果一個正多邊形的中心角是20°,那么這個正多邊形的邊數

為?

14.（4分）（2023?上海）一個二次函數了=加+瓜+。的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左

側的部分是上升的，那么這個二次函數的解析式可以是.

15.（4分）（2023?上海）如圖，在△/8C中，點￡）,E在邊4B,AC±,2AD=BD,DE//

BC,聯(lián)結。E,設向量AB^a,AC,那么用5,B表示

DE=.

16.（4分）（2023?上海）垃圾分類（Refitsesorting）,是指按照垃圾的不同成分、屬性、利

用價值以及對環(huán)境的影響，并根據不同處置方式的要求，分成屬性不同的若干種類.某

市試點區(qū)域的垃圾收集情況如扇形統(tǒng)計圖所示，已知可回收垃圾共收集60噸，且全市人

口約為試點區(qū)域人口的10倍，那么估計全市可收集的干垃圾總量為.

有害垃圾

'1%

干垃圾

50%

濕垃圾

29%

17.（4分）（2023?上海）如圖，在△/8C中，/C=35°,將△ABC繞著點N旋轉a（0°

<a<180°）,旋轉后的點8落在8c上，點8的對應點為。，聯(lián)結4D是NB4c

的角平分線，則。=.

18.（4分）（2023?上海）在△ZBC中，AB=7,BC=3,NC=90°,點。在邊/C上，點

E在C4延長線上，且C￡?=DE,如果。8過點4G）E過點D,若與有公共點,

那么OE半徑r的取值范圍是.

三、解答題：（本大題共7題，共78分）

19.（10分）（2023,上海）計算：y/sH-----市—（—）2+|-\/5-3|.

2+753

3x>x+6

（10分）（2023?上海）解不等式組:

—xV—x+5

2

21.（10分）（2023?上海）如圖，在O。中，弦48的長為8,點C在50延長線上，且cos

41

NABC=-，OC=-OB.

52

（1）求。。的半徑；

（2）求N8/C的正切值.

A

22.（10分）（2023?上海）“中國石化”推出促銷活動，一張加油卡的面值是1000元，打九

折出售.使用這張加油卡加油，每一升油，油的單價降低0.30元.假設這張加油卡的面

值能夠一次性全部用完.

（1）他實際花了多少錢購買會員卡？

（2）減價后每升油的單價為y元/升，原價為x元/升，求y關于x的函數解析式（不用

寫出定義域）.

（3）油的原價是7.30元/升，求優(yōu)惠后油的單價比原價便宜多少元？

23.（12分）（2023?上海）如圖，在梯形N8CD中點F,E分別在線段8C,AC

上，且NE4c=N4DE,AC=AD.

（1）求證：DE=AF；

（2）若NABC=/CDE,求證：AF1^BF-CE.

3

24.（12分）（2023?上海）在平面直角坐標系xOy中，已知直線y=—x+6與x軸交于點/,

y軸交于點8,點C在線段ZB上，以點C為頂點的拋物線M：y=ax2+bx+c經過點8.

(1)求點4B的坐標;

(2)求6,c的值；

(3)平移拋物線”至N,點C,8分別平移至點P,D,聯(lián)結CD,且CD〃x軸，如果

點P在x軸上，且新拋物線過點3,求拋物線N的函數解析式.

25.(14分)(2023?上海)如圖(1)所示，已知在△/8C中，AB=AC,。在邊上，點

廠邊中點，為以。為圓心，8。為半徑的圓分別交C8,4c于點。，E,聯(lián)結EF交

OD于點G.

(1)如果OG=OG,求證：四邊形CEG。為平行四邊形；

(2)如圖(2)所示，聯(lián)結?！?如果N8/C=90°,NOFE=NDOE,AO=4,求邊

08的長；

(3)聯(lián)結5G,如果aOBG是以OB為腰的等腰三角形，且/O=OF,求——的值.

OD

2023年上海市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，共24分）

1.（4分）（2023?上海）下列運算正確的是（）

A.a5-ra2=a3B.a3+a3=a6C.（a3）2=a5D.=a

【考點】二次根式的性質與化筒；合并同類項；基的乘方與積的乘方；同底數基的除法.

【答案】A

【分析】根據合并同類項，同底數幕的除法，幕的乘方法則，二次根式的性質進行計算,

逐一判斷即可解答.

【解答】解：/、/故Z符合題意；

B、a3+a3=2a\故8不符合題意;

C、（a3）2=小，故C不符合題意；

D、必=同，故。不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查了合并同類項，同底數塞的除法，塞的乘方與積的乘方，二次根式的

性質與化簡，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

2x—1x~2x—1

2.（4分）（2023?上海）在分式方程式S+"=5中，設一M二?，可得到關于y的

x2x—1x

整式方程為（）

A./+5八5=0B./一5尹5=0C.D.5yH=0

【考點】換元法解分式方程.

【答案】D

2

2Y—1r11

【分析】設一^=y,則=^=上，原方程可變?yōu)椋捍?上=5,再去分母得丁+1=5a

x2x-lyy

即可得出結論.

2r-1r21

【解答】解：設則^―=上，

x22x-\y

?丫_]丫21

分式方程號」+」一=5可變?yōu)椋簓+±=5,

x22x-l-y

去分母得：f+l=5y,

整理得：y2,-5y+l=0,

故選：D.

【點評】本題考查換元法解分式方程，熟練掌握換元法是解題的關鍵.

3.（4分）（2023?上海）下列函數中，函數值y隨x的增大而減小的是（）

66

A.y—6xB.y--6xC.y=-D.y=

xx

【考點】反比例函數的性質；正比例函數的性質.

【答案】B

【分析】根據反比例函數的性質和正比例函數的性質分別判斷即可.

【解答】解：/選項，y=6x的函數值隨著x增大而增大，

故4不符合題意；

8選項，y=-6x的函數值隨著x增大而減小，

故8符合題意；

C選項，在每一個象限內，y=°的函數值隨著x增大而減小，

X

故C不符合題意；

。選項，在每一個象限內，y=-色的函數值隨著x增大而增大，

x

故。不符合題意，

故選：B.

【點評】本題考查了反比例函數的性質，正比例函數的性質，熟練掌握這些性質是解題

的關鍵.

4.（4分）（2023?上海）如圖所示，為了調查不同時間段的車流量，某學校的興趣小組統(tǒng)計

了不同時間段的車流量，如圖是各時間段的小車與公車的車流量，則下列說法正確的是

小車

車流量

時間段

A.小車的車流量與公車的車流量穩(wěn)定

B.小車的車流量的平均數較大

C.小車與公車車流量在同一時間段達到最小值

D.小車與公車車流量的變化趨勢相同

【考點】折線統(tǒng)計圖.

【答案】B

【分析】觀察圖象，再逐項判斷各選項即可.

【解答】解：觀察小車與公車的車流量圖可知，小車的車流量在每個時段都大于公車的

車流量，

.?.小車的車流量的平均數較大，選項8正確；

而選項/,C,。都與圖象不相符合，

故選：B.

【點評】本題考查折線統(tǒng)計圖，解題的關鍵是能從圖象中獲取有用的信息.

5.（4分）（2023?上海）在四邊形/B8中，AD//BC,AB=CD.下列說法能使四邊形

為矩形的是（）

A.AB//CDB.AD=BCC.ZA=ZBD.ZA=ZD

【考點】矩形的判定；平行四邊形的判定與性質.

【答案】C

【分析】由矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可.

【解答】解：A、,：AB〃CD,AD//BC,

四邊形是平行四邊形，

由N8=C￡>,不能判定四邊形488為矩形，故選項/不符合題意；

B、?；4D=BC,AD//BC,

，四邊形/8CO是平行四邊形，

由45=。。，不能判定四邊形Z4C0為矩形，故選項B不符合題意；

C、■:AD//BC,

???N4+N8=180°,

丁/A=NB,

：.ZA=ZB=90°,

：.ABLAD,AB工BC,

：.AB的長為40與8C間的距離，

?；4B=CD,

C.CDLAD,CD工BC,

：.ZC=ZD=90°,

???四邊形Z8CO是矩形，故選項。符合題意；

。、YAD〃BC,

：.ZA+ZB=180°,NQ+NC=180°,

*/ZA=ZD,

；?NB=NC,

*：AB=CDf

，四邊形488是等腰梯形，故選項。不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質等知識，熟練掌握矩形的判

定是解題的關鍵.

6.(4分)(2023?上海)已知在梯形4BCD中，聯(lián)結4C,BD,且設CD

=b.下列兩個說法：①AC=號(〃+b)；②AD=與心誼,則下列說法正確的是

()

A.①正確②錯誤B.①錯誤②正確C.①②均正確D.①②均錯誤

【考點】梯形.

【答案】D

【分析】根據題意，作出圖形，若梯形力8C。為等腰梯形，可得①/C=J(a+6)；

5_____

@AD=^y/a2+b2,其余情況得不出這樣的結論，從而得到答案.

【解答】解：過8作8E〃C4交8C延長線于E,如圖所示：

若AD=BC,ABH3,則四邊形4CE8是平行四邊形,

:?CE=AB,AC=BE,

：.AB//DC,

：.NDAB=NCBA,

?：AB=AB,

??.△DABW/\CBA(SAS),

:?AC=BD,即BD=BE,

9：ACLBD,

:?BE1BD,

在RtZkBOE中，BD=BE,AB=a,CD=b,

:?DE=DC+CE=b+a,

:.AC=BE=,=與DE=3(a+b),此時①正確;

過B作8/JLOE于凡如圖所示：

在RtA8FC中，BD=BE,AB=a,CD=b,DE=b+a,

BF=FE=3DE=；(a+b),FC=FE-CE=^(a+b)-a=^(b-a),

:.BC=ylBF2+FC2=￥“2+〃,此時②正確；

但已知中，梯形Z8CD是否為等腰梯形，并未確定；梯形Z8CD是X8〃C。還是“￡）〃

BC,并未確定，

無法保證①②正確，

故選：D.

【點評】本題考查梯形中求線段長，涉及梯形性質、平行四邊形的判定與性質、全等三

角形的判定性質、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質等知識，孰練掌握相關幾何

判定與性質是解決問題的關鍵.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，共48分）

7.（4分）（2023?上海）分解因式：〃2-9=（“+3）（〃-3）.

【考點】因式分解-運用公式法.

【答案】（〃+3）

【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案.

【解答】解：〃2-9=（〃+3）（?-3）,

故答案為：（〃+3）（n-3）.

【點評】本題考查了因式分解，平方差公式，熟練掌握公式法分解因式是解題關鍵.

22x

8.（4分）（2023?上海）化簡：----------的結果為2.

1—x1—x

【考點】分式的加減法.

【答案】2.

【分析】根據分式的運算法則進行計算即可.

【解答】解：原式=上2-上2x

1-x

1-X

=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查分式的運算，其相關運算法則是基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

9.（4分）（2023?上海）已知關于x的方程Jx-14=2,則x=18.

【考點】無理方程.

【答案】18.

【分析】方程兩邊平方得出x-14=4,求出方程的解，再進行檢驗即可.

【解答】解：Jx-14=2,

方程兩邊平方得：x-14=4,

解得：X—18?

經檢驗x=18是原方程的解.

故答案為：18.

【點評】本題考查了解無理方程，能把無理方程轉化成有理方程是解此題的關鍵，注意:

解無理方程一定要進行檢驗.

10.（4分）（2023?上海）函數/（x）=---的定義域為狂23.

x-23

【考點】反比例函數的性質；函數自變量的取值范圍.

【答案】x#23.

【分析】根據函數有意義的條件求解即可.

【解答】解：函數/（x）=—1一有意義，則X-23W0,

x—23

解得xW23,

故答案為：xW23.

【點評】本題考查了反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數有意義的條件是解題的關

鍵.

11.（4分）（2023?上海）已知關于x的一元二次方程af+6x+l=0沒有實數根，那么。的取

值范圍是a>9.

【考點】根的判別式.

【答案】a>9.

【分析】由方程根的情況，根據判別式可得到關于a的不等式，則可求得。的取值范圍.

【解答】解：???關于x的一元二次方程^沒有實數根，

/.A<0,即62-4aV0,

解得：a>9,

故答案為：a>9.

【點評】本題主要考查根的判別式，掌握方程根的情況和根的判別式的關系是解題的關

鍵.

12.（4分）（2023?上海）在不透明的盒子中裝有一個黑球，兩個白球，三個紅球，四個綠

2

球，這十個球除顏色外完全相同.那么從中隨機摸出一個球是綠球的概率為

【考點】概率公式.

2

【答案】一.

5

【分析】從中隨機摸出一個球共有10種等可能結果，其中是綠球的有4種結果，再根據

概率公式求解即可.

【解答】解：由題意知，從中隨機摸出一個球共有10種等可能結果，其中是綠球的有4

種結果，

42

所以從中隨機摸出一個球是綠球的概率為一=—,

105

2

故答案為：一.

5

【點評】本題主要考查概率公式，解題的關鍵是掌握隨機事件/的概率尸（A）=事件/

可能出現(xiàn)的結果數+所有可能出現(xiàn)的結果數.

13.（4分）（2023?上海）如果一個正多邊形的中心角是20°,那么這個正多邊形的邊數為

18.

【考點】正多邊形和圓.

【答案】18.

【分析】根據正〃邊形的中心角的度數為360°小〃進行計算即可得到答案.

【解答】解：360°+20°=18.

故這個正多邊形的邊數為18.

故答案為：18.

【點評】本題考查的是正多邊形內角、外角和中心角的知識，掌握中心角的計算公式是

解題的關鍵.

14.（4分）（2023?上海）一個二次函數y=a/+bx+c的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左

側的部分是上升的，那么這個二次函數的解析式可以是y=-/+1（答案不唯一）.

【考點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特

征.

【答案】y=-x2+l（答案不唯一）.

【分析】根據二次函數的圖象與系數的關系求解（答案不唯一）.

【解答】解：由題意得：b=0,。<0,c>0,

，這個二次函數的解析式可以是：y=-x2+l,

故答案為：y=-f+i（答案不唯一）.

【點評】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，掌握數形結合思想是解題的關鍵.

15.（4分）（2023?上海）如圖，在△/8C中，點。，E在邊4C上，2AD=BD,DE//

BC,聯(lián)結。E,設向量方=1,AC=b,那么用d,b^DE=_-b--a_.

-33一

【考點】*平面向量；平行線分線段成比例.

【答案】—b—a.

33

［分析］由三角形法則求得BC的值;然后結合平行線截線段成比例求得線段DE的長度,

繼而求得向量詼的值.

【解答】解：在△NBC中，AB=a,AC^b,則就=就一方=B—

'：2AD=BD,DE//BC,

.DEADAD\

""1BC~AD+BD~AD+2AD-3'

1

：.DE=-BC.

3

—1——1-1

:.DE=—BC,即。E=—6——a.

333

故答案為：-b—a.

33

【點評】本題主要考查了平面向量和平行線截線段成比例.注意：平面向量既有大小又

有方向.

16.（4分）（2023?上海）垃圾分類（Rqfiisesorting）,是指按照垃圾的不同成分、屬性、利

用價值以及對環(huán)境的影響，并根據不同處置方式的要求，分成屬性不同的若干種類.某

市試點區(qū)域的垃圾收集情況如扇形統(tǒng)計圖所示，已知可回收垃圾共收集60噸，且全市人

口約為試點區(qū)域人口的10倍，那么估計全市可收集的干垃圾總量為1500噸.

【考點】扇形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體.

【答案】1500噸.

【分析】先用60除以可回收垃圾所占百分比，得到該市試點區(qū)域的垃圾總量，乘以10

得到全市垃圾總量，然后乘以干垃圾所占的百分比即可.

【解答】解：該市試點區(qū)域的垃圾總量為60+（1-50%-29%-1%）=300（噸），

估計全市可收集的干垃圾總量為300X10X50%=1500（噸）.

故答案為：1500噸.

【點評】本題考查的是扇形統(tǒng)計圖，利用樣本估計總體.讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到

必要的信息是解決問題的關鍵.扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

17.（4分）（2023?上海）如圖，在△Z8C中，/C=35°,將△/8C繞著點N旋轉a（0°

<a<180°）,旋轉后的點8落在8c上，點8的對應點為。，聯(lián)結是NA4C

【分析】由NA4O=a及角平分線的定義得NC/D=N8/D=a,根據三角形

外角性質得/1。8=35°+a,即有N8=N4）8=35°+a,由三角形的內角和定理求解

即可.

；4B=AD,NBAD=a,4D是NBAC的角平分線，

：.NCAD=NBAD=a,

VZADB=ZC+ZCAD=35°+a,AB=AD,

:./B=NADB=35°+a,

在△ASC中，/C+/C43+N8=180°,

；.35°+2a+35°+a=180°,

解得：a=

故答案為：

【點評】本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質、三角形的外角性質及三角形

的內角和等知識，孰練掌握相關圖形的性質是解題的關鍵.

18.（4分）（2023?上海）在△ZBC中，AB=7,BC=3,NC=90°,點。在邊/C上，點

E在C4延長線上，且CO=DE,如果。8過點4,OE過點、D,若與有公共點，

那么OE半徑/■的取值范圍是_加<尸W2M一

【考點】圓與圓的位置關系.

［答案］Vio<r<2Vio.

【分析】先畫出圖形，連接利用勾股定理可得3￡=的+4案,AC=2?,

從而可得麗VrW2jS,再根據。8與有公共點列不等式，用二次函數與一元二

次方程，一元二次不等式的關系解答.

【解答】解：連接8E,如圖：

'.'OB過點4,且43=7,

：.?B的半徑為7,

過點。，它的半徑為廠，KCD=DE,

：.CE=CD+DE=2r,

?.?5C=3,/C=90°,

BE=y/BC2+CE2=V9+4r2,AC=AB2-BC2=2710,

在邊4C上，點E在C4延長線上，

.r<2V10

'2r>2V10(

AV10<r^2^,

與?！暧泄颤c，

：.AB-DE<BEWAB+DE,

?..1*9+4//<7+r①,

7-Y,9+44②

由①得：3，-14r-40W0,

20

解方程3戶-14r-40=0得：，?=-2或r=——，

3

畫出函數y=2>i2-14r-40的大致圖象如下：

由函數圖象可知，當yWO時，一24廠41-,即不等式①的解集為一24廠4行,

20

同理可得：不等式②的解集為或r<-y,

20

不等式組的解集為24r4一,

3

又,??亞。42碗，

...05半徑，的取值范圍是痛〈廠42碗.

故答案為：Vio<r<2Vio.

【點評】本題考查了勾股定理、圓與圓的位置關系、二次函數與不等式，根據圓與圓的

位置關系正確建立不等式組是解題關鍵.

三、解答題：（本大題共7題，共78分）

19.(10分)(2023?上海)計算：圾+—1方一(-)-2+|V5-3|.

2+<53

【考點】實數的運算：負整數指數基.

【答案】-6.

【分析】根據立方根定義，二次根式的化簡，負整數指數幕，絕對值的性質進行計算即

可.

J5-2

【解答】解：原式=2+/L77L-X9+3—V5

(V5+2)(V5-2)

=2-2-9+3—V5

=一6.

【點評】本題考查實數的運算，其相關運算法則是基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

3x>x+6

20.（10分）（2023?上海）解不等式組：\1

\-x<-x+5

【考點】解一元一次不等式組.

【答案】3<x<—.

3

【分析】先根據不等式的性質求出不等式的解集，再根據求不等式組解集的規(guī)律求出不

等式組的解集即可.

3x>x+6①

【解答】解：h…，

-x<-x+5②

12

解不等式①，得x>3,

解不等式②，得與，

所以不等式組的解集是3<xVW.

3

【點評】本題考查了解一元一次不等式組，能根據求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組

的解集是解此題的關鍵，同大取大，同小取小，大大小小取不了，小大大小取中間.

21.（10分）（2023?上海）如圖，在中，弦48的長為8,點C在8。延長線上，且cos

41

ZABC=~,OC=-OB.

52

（1）求。。的半徑；

（2）求/8/C的正切值.

【考點】垂徑定理；平行線分線段成比例；解直角三角形；勾股定理.

【答案】（1）。。的半徑為5；

9

（2）/8/C的正切值為一.

4

【分析】（1）過點。作OD_LZ8,垂足為。，根據垂徑定理可得/。=3。=4,然后在

為△08。中，利用銳角三角函數的定義求出。8的長，即可解答;

3

（2）過點。作CELNB,垂足為瓦根據已知可得BC=-05=7.5,再利用平行線分線

2

段成比例可得一弓=也，從而求出8E的長，進而求出/E的長，然后在RtZ\8CE中,

BCBE

利用勾股定理求出CE的長，再在RtZVICE中，利用銳角三角函數的定義進行計算即可

解答.

【解答】解：（1）過點。作垂足為D,

：/8=8,

1

：.AD=BD^-AB=4,

2

4

在RtZ\O8O中，cosZABC^-,

5

0B=-------------=—=5,

cosZABC4

5

六。。的半徑為5；

（2）過點C作CEL/8,垂足為￡,

1

,：OC=-OB,08=5,

2

3

：.BC=-OB=1.5,

2

,：ODVAB,

OD//CE,

OBBD

sc-fiF

?2.4

?.二,

3BE

：.BE=6,

：.AE=AB-BE=8-6=2,

在RtZXBCE中，CE=NBC?-BE?々誼-6?=4.5,

CE4.59

在Rtz^/CE中，tan/8/C=---=，一=一,

AE24

9

...NR4C的正切值為一.

4

【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，平行線分線段成比例，根據

題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

22.(10分)(2023?上海)“中國石化”推出促銷活動，一張加油卡的面值是1000元，打九

折出售.使用這張加油卡加油，每一升油，油的單價降低0.30元.假設這張加油卡的面

值能夠一次性全部用完.

(1)他實際花了多少錢購買會員卡？

(2)減價后每升油的單價為y元/升，原價為x元/升，求y關于x的函數解析式(不用

寫出定義域).

(3)油的原價是7.30元/升，求優(yōu)惠后油的單價比原價便宜多少元？

【考點】一次函數的應用.

【答案】(1)900；

(2)y=0.9x-0.27；

(3)1.00.

【分析】(1)根據打九折列出算式，計算即可；

(2)根據每一升油，油的單價降低0.30元知：y=0.9(x-0.30)；

(3)當x=7.30,可得y=6.30,根據優(yōu)惠后油的單價比原價便宜(x-y)元，計算求解

即可.

【解答】解：⑴由題意知，1000X0.9=900(元)，

答：實際花了900元購買會員卡；

(2)由題意知，7=0.9(x-0.30),

整理得y=0.9x-0.27,

：.y關于x的函數解析式為y=0.9x-0.27；

(3)當x=7.30時，y=0.9X7.30-0.27=6.30,

77.30-6.30=1.00,

...優(yōu)惠后油的單價比原價便宜1.00元.

【點評】本題考查了有理數乘法應用，一次函數解析式，一次函數的應用，解題的關鍵

在于理解題意，正確的列出算式和一次函數解析式.

23.(12分)(2023?上海)如圖，在梯形中/￡>〃8C,點F,E分別在線段8C,AC

上，且/"C=/4Z)￡,AC^AD.

(1)求證：DE=AF；

(2)若/ABC=/CDE,求證：AF2=BF?CE.

【考點】相似三角形的判定與性質；梯形.

【答案】證明過程見解答.

【分析】(1)證明△4CF/△/OE(ASA),即可解決問題；

(2)證明得AF?DE=BF,CE,結合(1)4F=DE,即可解決問題.

【解答】證明：(1),:AD//BC,

：.ZACF=ZDAC

；NE4C=NADE,AC^AD,

：./\ACF^/\ADECASA),

：.AF=DE；

(2)?.'△ACFqAADE,

：.NAFC=NDEA,

：.NAFB=/DEC,

,/N4BC=NCDE,

：.△ABFsXCDE,

.AFBF

??__一___，

CEDE

:.AF?DE=BF?CE,

?：AF=DE,

:.AF2=BF?CE.

【點評】本題考查了相似三角形的性質和判定，梯形，勾股定理，熟練運用相似三角形

的性質和判定是本題的關鍵.

_3

24.(12分)(2023?上海)在平面直角坐標系xOy中，已知直線y=1x+6與x軸交于點4

y軸交于點B,點C在線段AB上，以點C為頂點的拋物線M-.y=ax*2+3hx+c經過點B.

yA

(1)求點4,B的坐標；

(2)求b,c的值；

(3)平移拋物線”至N,點C,8分別平移至點P,D,聯(lián)結CD,且CZ>〃x軸，如果

點P在x軸上，且新拋物線過點8,求拋物線N的函數解析式.

【考點】二次函數圖象與幾何變換；待定系數法求二次函數解析式；一次函數圖象上點

的坐標特征；二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征.

【答案】(1)^(-8,0)；

,、，3

(2)b=—，c=6；

2

(3)拋物線N的函數解析式為：y=\(x—4夜/或y=\(x+4后了.

3

【分析】(1)根據題意，分別將x=o,y=o代入直線y=即可求得；

(2)設c]加，1加+6),得到拋物線的頂點式為y=a(x-m)2+[m+6,將8(0,

33

6)代入可求得〃?=-一，進而可得到拋物線解析式為^=0?+—x+6,即可

4a2

求得b,c；

(3)根據題意，設尸(p,0),機+6),根據平移的性質可得點8,點C向下平

33

移的距離相同，列式求得加=-4,a=一,然后得到拋物線N解析式為：y=—(x-夕了，

16-16

將8(0,6)代入可得p=±4啦，即可得到答案.

3

【解答】解：(1)在y=1X+6中，令工=0得：y=6,

:,B(0,6),

令y=0得：x=-8,

：.A(-8,0)；

(2)設c］加，:加+6),設拋物線的解析式為：y=a(x-m)2+^m+6,

；拋物線〃經過點8,

.3

?..將8(0,6)代入得：am+—/w+6=6,

4

???*0,

.3日.3

..am-——,即m=----,

44a

3

將〃2=------代入y=a(x-w)2+3加+6,

4a

3

整理得：y=ax2+—x+6,

2

,3

??b=一,c=6；

2

工設尸(p,0),c(+6j,

??,點C,8分別平移至點尸，D,

.?.點8,點C向下平移的距離相同，

3,」3八

414J

解得：m--4,

3

由(2)知Im=----,

4“

.3

??C1——，

16

3,

二拋物線N的函數解析式為：y=—(x-p)2,

16

將8(0,6)代入可得：P=±4、反，

，拋物線N的函數解析式為：y=A(x—4后＞或y=\(x+4返了.

【點評】本題考查了求一次函數與坐標軸的交點坐標，求拋物線的解析式，涉及平移的

性質，二次函數的圖性質等，解題的關鍵是根據的平移性質求出〃，和。的值.

25.(14分)(2023?上海)如圖(1)所示，已知在△/8C中，AB=AC,。在邊上，點

尸邊08中點，為以。為圓心，8。為半徑的圓分別交C8,4C于點。，E,聯(lián)結E尸交

OD于點G.

圖(1)