北京市某中學2022-2023學年高一年級下冊學期期中考試數(shù)學試題

北京市第八十中學2022-2023學年高一下學期期中考試數(shù)

學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.在復平面內，復數(shù)2T對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.如圖，在平行四邊形/8CD中，AC-AB=（）

A-EfiB-ADC-BDD-CD

3.已知長方體的長、寬、高分別為5,4,3,那么該長方體的表面積為（）

A.20B.47C.60D.94

4.已知向量z=且"力則加=（）

A.1B.-1C.4D.-4

5.已知向量凡$忑在正方形網(wǎng)格中的位置，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，如圖所

示.則（22+刃”=（）

A.12B.4C.6D.3

6.已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則

這個圓錐和圓柱的側面積之比為（）

試卷第11頁，共33頁

也c.@D.6

A.2B.

23

7.“直線/與平面0平行”是“直線/與平面a內無數(shù)條直線平行”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.如圖，48兩點在河的兩岸，在B同側的河岸邊選取點C，測得8c的距離

1Om,ZABC=15\^ACB=600>則48兩點間的距離為（）

A-5&mB-5GmC55/5mD?5A/6ITI

9.在正方體44clz）|中，p是正方體的底面481G￡）］（包括邊界）內的一動

點，（不與4重合），0是底面力BCQ內一動點，線段4c與線段P。相交且互相平分，

則使得四邊形42cp面積最大的點尸是（）.

A.1個B.2個C.3個D.無數(shù)個

試卷第21頁，共33頁

10.如圖，正方形48CD的邊長為2，P為正方形/3CO四條邊上的一個動點，則

。[0,4]D-[-1,4]

二、填空題

H.若復數(shù)z=」-,則kb.

1+1

12.已知向量G，B滿足I51=2，出|=4，（3_萬）方=0,則2與B的夾角為--?

13.在VR8C中，4=60。加=1,SVABC=也'貝"=-----

14.已知直線機和平面Q,夕.給出下列三個論斷：①“〃a；②a〃0；③mu/?.以

其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：.

15.如圖，矩形/8CO中，/D=248=2,用為8c的中點，將沿直線力加翻折，

構成四棱錐N為的中點，則在翻折過程中，

①對于任意一個位置總有CN//平面AB,M；

②存在某個位置，使得CW1AB］；

③存在某個位置，使得AD1MB、；

試卷第31頁，共33頁

④四棱錐B'~AMCD的體積最大值為變.

上面說法中所有正確的序號是.

三、解答題

16.如圖，在"8。中，AD=-AB,點、E,尸分別是8°的中點.設方=

4

AC=h-

（1）用￡出表而，EF-

（2）如果乙4=60°，AB=2AC,CD,EF有什么關系？用向量方法證明你的結論.

17.如圖，在四棱錐尸_/Be/）中，8c〃平面物。,ADBC'區(qū)尸，"，G分別是

棱Bl,PB,PC,的中點.

試卷第41頁，共33頁

(1)求證：8C〃N。；

(2)判斷直線EF與直線G4的位置關系，并說明理由.

18.如圖，在四棱柱/88_/圈。|"中，，平面Z8CZ)，ADHBC,NB4D=90°，

(1)求三棱錐5,-ABD的體積;

(2)求證：8C//平面ZDZ)/;

(3)求證：AC1B.D-

19.在V/8C中分別°、b'c分別是角A、B、c的對邊，且滿足

^2b-y/3c^cosA=VJizcosC

⑴求角rA\的大小;

⑵現(xiàn)在給出三個條件.：①-耳；②八手；③.試從中選出兩個條件'補充在

下面的問題中，?,求VN8C的面積?

(3)當滿足°=2時，求的取值范圍使得這樣的VN8C有且只有兩個(直接寫出結論)

20.某港口水深夕(米)是時間/(0^524,單位：小時)的函數(shù)，下表是水深數(shù)據(jù):

03691215182124

t(小

試卷第51頁，共33頁

時)

10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

y(米)

根據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)

y=Asin+6的圖象.

I，'」

o*1I'S/*I.M)

⑴試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出y=4sin(yf+6(4>o,0>0力>0)的表達式；

(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃

水度(船底與水面的距離)為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲

當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間？(忽略離港所用的時

間)

21.在平面直角坐標系中，對于任意相鄰三點都不共線的有序整點列(整點即橫縱坐

標都是整數(shù)的點),AnS(n):B},B2?B}>,B"，其中

〃23，若同時滿足：①兩點列的起點和終點分別相同：②線段.MR其中

,=1,2,3,---,/7-1>則稱/(”)與8(〃)互為正交點列.

⑴求4(3)：4(0,2)，4(3,0)，4(5,2)的正交點列8(3)；

⑵判斷N(4)：4(0,0)，4(3/)，4(6,0)，4(9/)是否存在正交點列8(4)?并說明理

由；

(3)Vn>5,〃WN，是否都存在無正交點列的有序整點列/(〃)？并證明你的結論.

試卷第61頁，共33頁

參考答案:

I.D

【分析】求得復數(shù)對應的坐標，從而確定正確選項.

【詳解】復數(shù)2-i對應的點為力，翎:，在第四象限?

故選：D

2.B

【分析】根據(jù)向量運算得％_萬=而.

【詳解】由圖知前一方=前=而，

故選:B.

3.D

【分析】利用長方體的表面積公式即可求解.

【詳解】長方體的長、寬、高分別為5,4,3,

所以該長方體的表面積為(5x4+5x3+4x3)x2=94

故選：D

4.D

【分析】利用平行的坐標公式處理即可.

【詳解】由向量&=(一1,2)3=(2,/?)，且“，

-lxnj_2x2=0,解得：m=-4-

故選：D.

5.C

【分析】建立平面直角坐標系，可得出G=(2,-1)，5=(2,2”0=(1,2),再結合平面向量

坐標的線性運算性質即可求解.

【詳解】??網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，

答案第11頁，共22頁

，如圖，在平面直角坐標系中)=(2,-1)，.=(2,2)，0=(1,2),

/.2a+i=2x(2,-1)+(2,2)=(6,0)'

.-.(2a+^)-c=(6,0)-(1,2)=6-

故選：C.

6.C

【分析】根據(jù)圓錐和圓柱的側面積公式求解即可.

【詳解】設圓錐和圓柱的底面半徑為,，

因為圓錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線長為/=2u

則圓錐和圓柱的高為占=,4/=島?

所以圓錐的側面積為￡=；X2TT2%/=r2,

圓柱的側面積為S2=2兀2乂酢?r2,

所以圓錐和圓柱的側面積之比為縣=3,

S23

故選:C.

7.A

【解析】利用線面平行的判定定理和性質定理進行判斷即可.

【詳解】因為“直線/與平面a平行”，所以根據(jù)線面平行的性質定理可知“直線/與平面

答案第21頁，共22頁

a內無數(shù)條直線平行”，反之不成立，因為直線/還可能在平面a內.

故選：A.

【點睛】本題主要考查充要條件的判定，明確語句間的推出關系是求解的關鍵，側重考查

邏輯推理的核心素養(yǎng).

8.D

【分析】根據(jù)正弦定理求解即可

【詳解】因為N/8。=75°,//。8=60"，故/8/C=180°-75°-6(T=45°，由正弦定理，

BCAB

---------=---------1ox——

sinZBACsinZACB2r[7

,故48=——7=^=5V6m

V2

T

故選：D

9.C

【詳解】,??線段4c與線段尸。相交且互相平分，

???四邊形AQCP是平行四邊形，

因4c的長為定值，為了使四邊形40。尸面積最大，

只須P到4c的距離為最大即可，

由正方體的特征可以知道，

當點p位于巴，G，2時，平行四邊形40c尸面積相等，且最大，

則使得四邊形42cp面積最大的點尸有3個.

故選c.

點睛:立體幾何中最值問題，主要解決方法為立體問題平面化，即將空間線面關系轉

化到某個平面上線面關系，結合平面幾何或解析幾何知識進行轉化解決.

答案第31頁，共22頁

10.D

【分析】建立平面直角坐標系，分點尸在CD上，點尸在5C上，點尸在上，點尸在

上，利用數(shù)量積的坐標運算求解.

【詳解】解：建立如圖所示平面直角坐標系：

則/(0,2),8(2,2)，

當點尸在CD上時，設尸(x,0)(0<x<2))

則734=(x,-2),PB=(x-2,-2),

所以質.而=x(x-2)+4=(x-+3e[3,4]；

當點尸在2C上時，設尸(2,尸)(0?尸w2)，

貝IJ萬1=-2),麗=(0,y-2),

2

所以萬1?無=(y-2)e[0,4]:

當點尸在“8上時，設尸(應2)(04x42)，

答案第41頁，共22頁

則應=(x,0),=(x-2)0),

所以%.陽=X(X_2)=(x-_1e［-1,o］:

當點尸在“。上時，設O(o,y)(o4y42)，

則(0,y-2),而=(-2y-2),

所以萬1?屆=(尸-2丫e［0,4］；

綜上：用.而的取值范圍是卜］,4］?

故選：D

【解析】根據(jù)15Hzi以及復數(shù)商的模等于復數(shù)的模的商，計算可得答案?

【詳解】因為2=3,所以|刃=|z|=|2|=—不=-4==&.

1+11+i11+/1vl4-1

故答案為：72

【點睛】本題考查了復數(shù)模的性質，考查了復數(shù)的模長公式，屬于基礎題.

12.-

3

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律求出［力再利用向量夾角公式計算作答.

【詳解】向量a，不滿足|萬|=2，歷|=4,由(在-4)*=0，得15=/=4,

因此cos〈￡［〉=曰=/一△，而°“潮,，則&［〉=？，

⑷⑸2x423

答案第51頁，共22頁

所以“與"的夾角為巴.

3

故答案為：—

3

3V13

【詳解】由三角形的面積公式知，s=1bcsinZ=^，解得°=4,再有余弦定理得

2

a2=b2+c2-2/）ccos60°=13'故a=

14.若a〃/3,mu。，則機Pa

【分析】分三種情況判斷：①②作條件，③作結論；①③作條件，②作結論；②③作條件,

①作結論.只要以上三個命題為真即可.

【詳解】解：將①②作條件，③作結論：若加〃a,a〃P，則機uQ.此命題為假命題

（結論應為mu/5或心〃夕）；

將①③作條件，②作結論：若"?〃a,mu/3,則?！☉?此命題為假命題（結論應為a與

夕相交或a〃?）；

將②③作條件，①作結論：若a〃P，mu0，則機〃a.由兩平面平行的性質定理可知

此命題為真命題.

故答案為：若a〃夕，mu0，則加〃a.

15.①④

【分析】證明EA7〃NC,結合線面平行判定判斷①；由皮0〃"C結合/用與不垂直，

答案第61頁，共22頁

判斷②；由線面垂直的判定得出點用與點尸重合，從而判斷③；取4W的中點為G，連接

B}G>當4GJL平面ZMCD時,四棱錐鳥-/A/C。的體積最大,從而判斷④?

【詳解】分別取/用,40的中點為瓦廣，連接EN,EM,B、F,FM-

因為網(wǎng)部的中點分別為E'N,所以EN〃旬〃MC,且硒」仞="0

2

即四邊形ENCW為平行四邊形，故EN〃NC，由線面平行的判定可知對于任意一個位

置總有CN//平面AB.M，故①正確；

因為4B附=90。，所以/4與EN不垂直，由EA/〃MC可知，/4與NC不垂直，故②錯

誤；

由題意/々J.4",若/￡>_1_知8］，則由線面垂直的判定可得朋81_1平面/40.

則因為所以與△A/8Q全等，則44=4。=1，

此時點名與點尸重合，不能形成四棱錐故③錯誤；

取"加的中點為G,連接與G,BG=變，當BQ，平面"M8時，四棱錐4-/MCD

12

的體積最大，最大值為1（i+2）xlx1xE=正，故④正確：

3224

答案第71頁，共22頁

故答案為：①④

CD1EF

16.(1)CD=-a-b,EF=-a；(2)t證明見解析

42

【解析】(1)根據(jù)向量的三角形法則以及中位線定理即可表示出前，EF

(2)設zc=機，則/8=2加，EF=m.計一算麗.而即可。

【詳解】解：(1)CD=AD-AC=-AB-AC=-a-h；

44

——111,1-

EF=-AB=-a.

22

(2)CD1EF,證明如下：設NC=m'則N8=2加'EF=

---------(1一一)1一1一21--1I1。

CD-EF=-a-b\--a=-a——a'b=—x(2mY——x2mxmxcos60

l4)28282

=—Im~,—1tn~)=0八.

22

?''CDLEFJCD1EF-

【點睛】本題主要考查了向量的三角形法則以及利用向量的數(shù)量積判斷直線的關系，屬于

中等題。

17.(1)證明見解析：

(2)直線后尸與直線G“相交，理由見解析.

答案第81頁，共22頁

【分析】(1)根據(jù)線面平行的性質即可求解;

(2)根據(jù)題意可證瓦￡”,G四點共面，又因為所以EGwFH，即得EF與

G4相交.

【詳解】(1)解：因為5c〃平面尸/。，8Cu平面平面尸/Dc平面

ABCD=AD，

所以8C///ZT

(2)解:直線《尸與直線G”相交，理由如下：

連接EG,戶H)

因為E,G分別是棱尸4P。的中點，

所以EG///O,EG=g/￡?,同理可證：FH//BC,FH=^BC,

因為8C//4T所以EG//FH，

所以瓦F,//,G四點共面，

因為XDwBC，所以EGxFH'

所以E尸與G//不平行，即E尸與GH相父?

答案第91頁，共22頁

2

18.(1)-；(2)證明過程見解析；(3)證明過程見解析.

【分析】(1)直接應用棱錐的體積公式進行求解即可；

(2)直接應用線面平行的判定定理進行證明即可；

(3)根據(jù)線面垂直的判定定理，結合線面垂直的性質進行證明即可.

【詳解】⑴三棱錐片-。的體積為：

"81.551.SV^D=1X1X1X2X2=|;

(2)因為4D//8C,/Ou平面8C<Z平面4304，

所以8C//平面

(3)因為_L平面/BCD，/Cu平面/8CO，所以

又因為ZCJ.8。，BDCBB、=8,5。,8片u平面8。片，

所以ZC_L平面因為。々u平面所以/CJL8Q-

19.(1)/=［；

6

(2)答案見解析；

(3)(2.4)-

答案第101頁，共22頁

【分析】（1）用正弦定理求得c°sN=在，即可求出/=9；

26

c=&相矛盾，故這樣的V"8c

（2）選條件①②：直接求出。=工<8,得到c<",這與

6

不存在，舍去.

選條件①③：由余弦定理解得：P,判斷出為等腰三角形，求出c=與‘直接用

面積公式求面積;

選條件②③：由角判斷出VN8C為等腰三角形，直接用面積公式求面積―

（3）利用正弦定理建立不等式，解出分的取值范圍.

【詳解】（1）在"'SC中，對儂-辰卜。sZ=GacosC,用正弦定理得:

(2sin5-V3sinCjcos^=73sinAcosC,所以2sin慶os/=百sinIcosC+百sinCeos/,即

2sinBcosA=V3sin(A+C)-

因為4+8+C="所以sin8=sin(/+C)xO,所以更.

2

因為―萬），所以N=g

6

⑵選條件①②：在刎中，有個…產

由，+8+C=%可得：c=^<5,所以c<',這與°相矛盾，故這樣的"“SC不存在,

6

舍去.

答案第111頁，共22頁

選條件①③：在""SC中，有幺=工，。=后，”2

6

由余弦定理可得：1=b2+'-2bccos",即4=/+3^—2bx^cos&,解得："=?.所以

VZ5C為等腰三角形，所以8"=/,c=?，所以Sy=LbsinC」x2x2x正=5

63%ABC222

a=2

選條件②③：在"/SC中，有力=工，B=生,.

63

由"+8+C="可得：c」.所以38c為等腰三角形，所以c="2,所以

,△ABC=—acsinB=—x2x2x也=5

222

（3）如圖示,

要使符合題意的V/8C有且只有兩個，只需以C為圓心，以〃為半徑作弧與射線（不含

/）有且僅有兩個交點.

過C作C〃_L/8于。則CD=ACsinA

n=<44.CD<a<bb~2<6<4

只需滿足a，即Hn一<2<b,解得：

2

所以6的取值范圍為（2,4>

答案第121頁，共22頁

20.(l)^=3sin-/+10(0</<24)

6

(2)16小時.

【分析】（1）根據(jù)圖象的最高點和最低點可以求出46，由兩個最高點的之間的距離可以

求出",從而可求函數(shù)的表達式：

（2）在當0W24的前提下，解不等式^211.5即可.

【詳解】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，\A+b=U,

[-4+6=7

.?.4=3,b=10,7=15-3=12，

2兀兀

/.CD=---=一,

T6

函數(shù)的表達式為y=35由e/+10（04，（24）；

（2）由題意，水深yN4.5+7，

即3sin二f+10211.5（04fV24），

6

.兀1、

sin—tN一,

62

'兀兀5疝3心「,1%=0i

—te2k,2w—k+—，，1，

6L66J

答案第131頁，共22頁

所以，該船在］：00至5:00或13:00至77:00能安全進港，

若欲于當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過16小時.

21.⑴旦(0,2)，與(2,5)，名(5,2)

(2)不存在，理由見解析

(3)不存在，證明見解析

【分析】(1)由正交點列的定義可知q(0,2)，與(5,2)，設約(x,y)，由正交點列的定義

可知瓦?麗=0,初?瓦瓦=0,即可得出結論；

(2)設點列B,，B、，紇是點列4，4，4，4,的正交點列，則可設

麗=4(-1,3),婀=4(1,3),礴=4(-1,3)，4，4，4eZ，因為4與4，4與&

相同，即可得到結論；

(3)Vn>5,/?eN?都存在整點列4(”)無正交點列.設彳彳二=(a,。),其中q，〃是一對

1=123…拉一1?-i?-1

，“’￡5)壬，

互質整數(shù)，，則有正T,分類討論，即可得出結論.

〃一1〃一1

￡(4。,)=力

./=!/=!

【詳解】(1)設點列4(0,2)，4(3,0)，4(5,2)的正交點列是用，B］，紜，

由正交點列的定義可知4(0,2)，員(5,2)，

設層(x,y)，石=(3,—2),不;=(2,2),瓦瓦=(xj-2),瓦瓦=(5-x,2-y)，

由正交點列的定義可知4石.瓦瓦=0,同4.瓦瓦=0，

答案第141頁，共22頁

即儼-2(y-2)=0,解得卜=2