中考數(shù)學復習策略（全國通用）18 等腰三角形中的分類討論

第18講等腰三角形中的分類討論

【應對方法與策略】

當給出等腰三角形的一條邊時，我們要確定這條邊到底是腰還是底邊，同時還要確保三角形的兩邊之和大

于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊。如果邊不確定，那么一定要分類討論！

當給出等腰三角形的一個角時，也要確定這個角是底角還是頂角。如果題中沒有明顯說明，那么一定要分

類討論！

【多題一解】【一題多解】

一、解答題

I.(2022秋.河北邯鄲.九年級統(tǒng)考期中)如圖，長方形ABCD中(長方形的對邊平行且相等，每個角都是

90o),AB=6cm,AD=2cm,動點尸，。分別從點A,C同時出發(fā)，點P以2cm?的速度向終點B移動，點

。以ICmZS的速度向點。移動，當有一點到達終點時，另一點也停止運動，設運動的時間為f(s),問：

⑴當f=Is時，四邊形BCQP面積是多少？

(2)當f為何值時，點P和點。距離是3cm?

(3)當f為何值時，以點P,Q,。為頂點的三角形是等腰三角形.

【答案】⑴5cm2；

⑵/=或處包

33

,r?3+-p13-Λ∕T^-IS.6__p.—6+2J33

(3)f=——或———或二或--------.

2253

【分析】當f=l時，CQ=Icm,AP=2cm,可得PB=6-2=4cm,由梯形的面積可得出四邊形BCQP面

積.

分兩種情況，如圖1,當，<2時，作QEJ.A3于E；如圖2,當f>2時，作QELABfE,在

心VPEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可.

分情況討論，如圖3,當PQ=O。時，如圖4,當PD=PQ時，如圖5,當尸。=QD,由等腰三角形的性質(zhì)

及勾股定理建立方程就可以得出結(jié)論.

【詳解】⑴如圖，

???四邊形ABC。是矩形，

.?.AB=CD=6,AD=BC=ZZA=ZB=ZC=ZD=90°,

TCQ=Icm,AP=2cm,

/.PB=6—2=4cm,

,^(l÷4)×2≡5cm2

2

所以四邊形BCQP面積是5cm2.

(2)分以下兩種情況討論：

①如圖1,作QE_LA3于E,

?*?QSzzzzBC-2cm,BE—CQ=t(cm),

VAP=(cm),

.?PE=6-2t-t=(6-3f)cm,

在RfAPQE中，由勾股定理，得(6-3f)2+4=9,解得：f=處好,

?：CQ『,

：.QE=t-(6-2r)=3L6

在RfAPE。中，由勾股定理，得(3f-6)2+4=9,解得：f=心叵.

綜上所述：/=匕5或@*5；

33

(3)分以下3種情況討論：

①如圖3,當PQ=Z)Q時，作QE_LAB于E,

ΛQE=BC=Icva,BE=CQ=t(cm),

VAP=26

.?PE=6-2t-t=6-3tfDQ=6-r,

YPQ=DQ,

：.PQ=6-t,

T)2,解得：f=匹近.

在MAPQE中，由勾股定理，得(6-3r)2+4=(6

2

②如圖4,當PD=PQ時,作PfLLD。于E,

圖4

/.PE=AD=2cm.DE=AP=2tf

YDQ=6-t,

?*?2r=??,解得：t=y；

③如圖5,當尸O=Q。時，

圖5

*：AP=2t,CQ=3

.'.DQ=6-t,

：.PD=6-t,

在RfAAPO中，由勾股定理，得4+4/2=(6-Q2,

6

解得〃=-+2亞,t2=-6-2^3(舍去).

33

綜上所述：f=土立或三立或，或一6+2A.

2253

故答案為：f=色電或土皮或1或~6+2萬.

2253

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類思想的應用，雙動點問題.

2.(2022春?江蘇.九年級專題練習)如圖，半徑為1的M經(jīng)過直角坐標系的原點O,且分別與X軸正半

軸、y軸正半軸交于點A、B,ZOMA=60°,過點8的切線交X軸負半軸于點C,拋物線過點A、B、C.

(1)求點A、8的坐標;

(2)求拋物線的函數(shù)關系式;

(3)若點。為拋物線對稱軸上的一個動點，問是否存在這樣的點。，使得△/?CD是等腰三角形？若存在,

求出符合條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(I)A(1,0),B(0,√3);

(2)尸一乎幾竿"6

(3)符合條件的點。為：(T,√ΓT+√3),(-1,-√Γi+√3),(T,2及)，(-1，-2夜)，(T，0).

【分析】(1)由題意可直接得出點A、B的坐標為A(l,0),B(0,√3);

(2)根據(jù)BC是切線，可求出BC的長，即得出點C的坐標，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;

(3)先假設存在，看能否求出符合條件的點。即可.

【詳解】(1)解:'：MO=MA=I,/OMA=60。，：.OA=1,

又乙408=90。，,AB經(jīng)過點M,

NABO=30。，

.,.OB=-Ji,

."(I,O),B(O,√3);

(2)是切線，

/.ZABC=90°,

由(1)知NoAyW=60°,

.?.NACB=30。，

又由(1)可得AB=2,

.?.AC=4,

ΛC(-3,0).

設拋物線的解析式為廣加+法+以將點A、B、C代入得,

α+b+c=0

<C=Wi,

9a-3?+c=0

[6

a=-----

.?.拋物線的解析式為產(chǎn)-@/_2叵x+G；

33

(3)解：設在對稱軸上存在點/),使ABC。是等腰三角形，

由(2)可得對稱軸為直線X=T,所以可設點。(T,m),

分3種情況討論：①BC=B。，則^l+(∕n-√3)2=26,

解得m=±JrT+√3;

②BC=CD,貝1」再版=26，解得加=±2&；

③BD=CD,14+府=Ql+(m-6)，解得：fn=Of

???符合條件的點。的坐標為：

(-1,VH+?/?)?(-1,-VΓT÷>∕3),(-1,2—),(一1，-2及)，(τ,o).

【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線解析式的求法和等腰三角形判定等知識

點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想的運用.

3.(2022春?九年級課時練習)如圖，已知點A在X軸的負半軸上，點B在V軸的正半軸上，AO=3,

AB=5,點P在線段AB上，從點A出發(fā)以每秒5個單位長度的速度向點B運動，設運動時間為＜1)

秒，過點P作PQLy軸于點2.

(2)當尸Q=PA時，求r的值；

(3)在X軸上是否存在點例，使，43根為等腰三角形，若存在，直接寫出點M的坐標，若不存在，說明理

由.

-3

【答案】⑴5

⑵3

'’8

7

(3)存在，M(-8,0),(2,0),(3,0),(-,0)

【分析】(1)由已知可得線段PQ為三角形的中位線，根據(jù)三角形中位線定理可以得到解答;

⑵由已知可得崇翳，把上面等式用含，的代數(shù)式表示出來，然后解方程即可;

(3)MA=MB,AM=AB,BM=BA三種情況討論.

【詳解】(1)解：由題意可得：當t='時，PA=PB,PQ//AO,

嚼■BQ=QO,

：.PQ為三角形ABO的中位線,

13

：.PQ=-AO=-.

3

故答案為

（2）解：由題可知，PA=PQ=5t,：.PB=AB-PA=5-5t

?：PQ//AONBPQ=NBAo

又：BQP=/BoA=90°

；./\BPQS/\BAO

（3）：由題意可設滿足條件的M為（x,0）,則可分三種情況:

如圖，MA=MB,

7

解之可得：X=!

O

7

為（-,0）；

則有k+3∣=5,

解之可得：JFz2或4-8,

：.M為（2,0）或（-8,0）；

如圖，BM=BA,

ΛX2+16=25,

解之可得：Λ=3或廣?s(舍去),

：.M為(3,0)；

7

，滿足條件的M為：(-8,0)或(2,0)或(3,0)或(2，0).

6

【點睛】本題考查三角形的動點問題，熟練掌握三角形中位線的定義和性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)、

等腰三角形的性質(zhì)、方程思想與勾股定理的應用是解題關鍵.

4.(2021?福建福州?統(tǒng)考一模)如圖，直角梯形ABCZ)中,

AD/∕BC,NZMB=90。，AZ)=4,AB=8,BC=IO.點E為線段Z)C的中點，動點P從點A出發(fā)，以每秒

1個單位的速度沿折線ATBTC向點C運動，設點P的運動時間為/.

(1)點P在運動過程中，BP=；(用含?的代數(shù)式表示)

(2)點P在運動過程中，如果以。、P、E為頂點的三角形為等腰三角形，求f的值;

(3)當點尸運動到線段BC上時，過點尸作直線乙〃。C,與線段AB交于點Q,使四邊形。QPE為直角梯

形，求此時直角梯形OQPE與直角梯形ABCD面積之比.

【答案】⑴I8-rI

49

(2)3或丁或12

O

e225i25

⑶二或WT

44854

【分析】(1)分點尸在AB上運動時和點P在BC上運動時列出代數(shù)式即可；

(2)分DE=DP、DP=PE、DE=PE情況求解即可；

⑶分∕EL>β=NOQP=90。時和N￡>EP=/EPQ=90。時兩種情況，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解即

可.

(1)

解：當點尸在AB上運動時，BP=AB-AP=S-?

當點P在BC上運動時BP=tS,

故答案為：I8—/I；

(2)

解：過。作OH_LBC于連接EH,則NO”C=NQHB=90。，

.?.NABC=NDAB=90。=NDHB,

.?.四邊形A8HZ)為矩形，

：.DH=AB=S,BH=AD=4,DH//AB,ZADH=90°,

貝IJCH=BC-BH=6,

在RtAOHC中，CD=JDH。+CH?=荷+?=10,

為CD的中點，

/.DE=CE=EH=ICD=5,

①當DE=Z)P時，DP=5,點尸在AB上，

在RtAAOP中，AP=y∣DP2-AD2=√52-42=3>?,?f=3;

②當。P=PE時，點P在AB上，取?！钡闹悬c凡連接EF并延長交AB于°,

又YE為CO的中點，

.?.EF=?CH=3,EF//CH,

：.NCHD=NEFD=NDFQ=90。,則四邊形AQFD為矩形,

：.FQ=AD=A,NAQE=90。，AQ=DF=A,

在Rl?ADP中，DP2=AD2+AP2=l6+t2,

在RtAEPQ中，EQ=EF+FQ=I,PQ=It-4I,

.?.PE2=EQ2+PQ2=49+(/-4)2,

.?.16+/=49+(r-4)2,

49,

解得：f=~~<8>故P不可能在BC上；

O

③當。E=PE時，PE=5,V5<7,點P在BC上，

'JEH=DE=S,

二當P運動到H處時，有DE=PE,此時/=8+4=12；

綜上，滿足條件的，值為3或949或12；

O

解：如圖，當∕Ef>Q=∕OQP=90。時，四邊形OQPE為直角梯形,

過。作OZLLBC于"，

L

由(2)中知，?！?8,CH=6,OE=5,CD=10,NADH=NCHD=9。。,

'：NADQ+/QDH=NCDH+NQDH=90。,

：.ZADQ=ZCDH,又ZA=ZCHD=90。,

二?ADQ^>?HDC,

二處=強=或即±=理=嗎

DHCHCDS610

.?.AQ=3,DQ=5,則8β=48-AQ=8-3=5,

?'PQ∕∕DC,

：.ZHCD=ZBPQ,又NCHD=NB=90°,

J.∕?CDH^∕?PQB,

??喘喑哈祟

若，

1Y25、U

c—X(5H)×5

Q直角梯形。。PE=24_223

448

S直角梯?4B8∣×(4+10)×8

如圖，當/?！辏菏?/后P。=90。時，四邊形。。PE為直角梯形,

由(2)中知，DH=8,CH=6,CE=5,CD=IO,NCHD=90°,

'：ZC=ZC,ZCEP=ZCHD=W,

：.XEPCs叢HDC,

.EPCECPEP5CP

??---=---=---即nπ---=-=---,

DHCHCD86IO

20255

,EP=—,CP=y,貝IjPB=BC-CP=XQ-=-,

"：ΛCDH^ΛPQB,

:喘考日常

?"若，

1氏25、20

,

S∣t角梯形Z)QPE=2*+9X3=25

54

S直角梯形ABCol×(4+10)×8

綜上，直角梯形。QPE與直角梯形ABC。面積之比為二或?

4487547

【點睛】本題考查四邊形的動點問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等

腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運

用，利用分類討論思想求解是解答的關鍵，計算量較大，需要細心計算.

5.(2022秋?浙江?八年級期中)如圖，已知在AABC中，/B=90。，AB=Scm,BC=6cm,P、Q是AABC邊

上的兩個動點，其中點P從點A開始沿4一B方向運動，且速度為每秒ICm,點。從點B開始沿8-C方

向運動，且速度為每秒2cm,它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為，秒，0<f<8.

C

(1)當/=2秒時，求PQ的長：

(2)求出發(fā)時間為幾秒時，APQB是等腰三角形？

(3)若Q沿BTCTA方向運動，則當點。在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時

間.(直接寫答案)

【答案】⑴2

(理秒

【分析】(1)可求得AP和BQ,則可求得BP,在用ABPQ中，由勾股定理可求得PQ的長；

(2)用f可分別表示出BP和8Q,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP=BQ,可得到關于，的方程，可求得

t;

(3)用f分別表示出BQ和CQ,利用等腰三角形的性質(zhì)可分BQ=8C、Cβ=8C和8Q=C0三種情況，分別

得到關于f的方程，可求得f的值.

【詳解】(1)解：BQ=2×2=4cm,BP=AB-AP=S-2×1=6Cm,

?：NB=90°,

在MABPQ中，由勾股定理可得PQ=2;

⑵解:根據(jù)題意得：BQ=BP,即2/=8-3

Q

解得：f=];

Q

即出發(fā)時間為三秒時，APQB是等腰三角形；

（3）解：分三種情況：①當Cβ=BQ時，如圖1所示:

圖1

貝∣J/C=NCBQ,

??ZABC=90o,

：.ZCBQ+ZABQ=90o,ZA+ZC=90o,

.?.ZA=ZABQ

：.BQ=AQ,

：.Ce=AQ=5

.?BC+CQ=??,

.gl÷2=5.5秒.

②當CQ=BC時，如圖2所示：

則BC+CQ=12

.g2÷2=6秒.

③當BC=B。時，如圖3所示：過8點作BE,AC于點E,

則βE=4.8Cem)

CEcmf

CQ=ICEcm,

BC+CQcιn,

Λr=13.2÷2=6.6?J^.

由上可知，當，為5.5秒或6秒或6.6秒時，ABCQ為等腰三角形；

【點睛】本題考查了勾股定理、三角形的面積以及等腰三角形的判定和性質(zhì)；本題有一定難度，注意分類

討論思想的應用.

6.(2023秋?湖南益陽?九年級統(tǒng)考期末)如圖所示，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，四邊形ABCO

是菱形，點A的坐標為(-3,4),點C在X軸正半軸上，直線AC交y軸于點M,AB邊交y軸于點兒

(1)求直線AC的函數(shù)解析式及的長；

(2)連接,動點P從點A出發(fā)，沿折線A→8→C方向以每秒1個單位的速度向終點C勻速運動，設

△PA仍的面積為S(SRo),點尸的運動時間為，秒，求S與f之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量，的取值

范圍；

(3)在(2)的情況下，當點尸在線段A8上運動時，是否存在以BM為腰的等腰三角形P?如存在，直

接寫出f的值；如不存在，說明理由.

【答案】(Dy=_/1彳+］5，MH=j3

-3+=(0,,r<5)

⑵S=I44

v7525

T(5<f,,i0)

44

⑶當t=l或I■時，MWB為以BM為腰的等腰三角形.

【分析】(1)由A點的坐標，利用勾股定理和菱形的性質(zhì)易得點C的坐標，由A,C的坐標可得直線AC

的解析式；令X=0,解得y,得QW的長，易得MH;

(2)設點M到BC的距離為心由ΔABC的面積易得〃，利用分類討論的思想，三角形的面積公式①當P

在直線AB上運動；②當尸運動到直線8C上時分別得ΔP3M的面積；

(3)分類討論：①當M3=Λ∕P時，PH=BH,解得人②當8Λ√=8P時，利用勾股定理可得BM的長，易

得J

【詳解】(1)解：點A的坐標為(-3,4),

??Q=5,即C點的坐標為(5,0),

A4

設直線AC的解析式為y=H+"則仁一+"n=

I?/e^rU—V

k=--

2

解得：s,

b=-

2

???直線AC的解析式為：y=-→+∣,

令X=O得：y=?∣,

即OM=3,

2

(2)解:設點M到BC的距離為6,

由SΔΛ5C=SSBM+Se^CM，

①當夕在直線AB上運動時APBM的面積為S與P的運動時間為，秒關系為:

13315

S=—(5—1)×-,BPS=——∕÷-(0?<5)；

②當。運動到直線BC上時"MB的面積為S與P的運動時間為/秒關系為：

S=/[5—(10—f)χ^J,即S=-/——(5<10),

-2Z+2∣(O,,∕<5)

44

故S=,

→-^(5<A,10)

44

(3)解：存在①當MB=MP時，

點A的坐標為(-3,4),AB=5,MB=MP,MH1,AB,

:.PH=BH,即3τ=2,

.?J=1；

②當BM=BP時，即5τ=J(4-?∣>+22,

解得：r=∣?

綜上所述，當f=l或T時，ΔPMB為以BM為腰的等腰三角形.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，動點問題，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式及待定系數(shù)法求

解析式，解題的關鍵是利用分類討論的思想，數(shù)形結(jié)合的思想求解.

7.（2022秋?福建泉州?九年級?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=V+bx+c與X軸交

于點A、B（點B在點A右側(cè)），與V軸交于點C,且OC=Q3=304=3,E是第四象限內(nèi)拋物線上的動

點.

（1）求拋物線的解析式；

⑵連接OE交5C于點八當SACEF：SAOCF的值最大時，求點E的坐標；

（3）在（2）的條件下：當SACEF：SMCF的值最大時，如圖，過點E作EDj?X軸于點。，交BC于點M,在

X軸上是否存在這樣的點戶，使得以點"，B,P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出所

有點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=χ2-Zr-3

⑶存在，q(0,0),P2色芋,0，喉0)，心件衿,0

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解，由點A在X軸的負半軸上，點8在X軸的正半軸上，點C在y軸負半

軸上，且OC=O3=304=3,確定A、B、C的坐標，再將A、B、C的坐標代入y=∕+fov+c,求解即

可；

(2)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，過點E作功＞，龍軸于點。，交BC于點M,設點廠的橫坐標

為乙用含f的代數(shù)式表示S△即：SMCF,易知ME取最大值時，SACEF?SAOCF最大，再設點E的橫坐標為

X,用含X的代數(shù)式表示點E和點M的坐標及線段ME的長，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(3)由(2)知O(I,θ}M(∣,-1),由勾股定理求出OM=BM=手，由等腰三角形PBN的腰長為∣?

或述求出。P的長即可得到點戶的坐標.

2

【詳解】(1)解：拋物線y=V+法+c與X軸交于點A、B(點5在點A右側(cè))，與y軸交于點C,且

OC=OB=3OA=3,

???A(T,0),B(3,0),C(O,-3),

A、B、C的坐標代入y=f+feχ+c,

l-?+c=O

得9+3"C=O,解得

c=-3

拋物線的解析式為y=x2-2r-3;

(2)設直線BC的解析式為y="-3,則女-3=0,

解得k=1,

?,?直線BC的解析式為y=x-3,

過點E作_Lx軸于點。，交JBC丁點M,

V

設廠(fJ-3),

ss

CE"F=CcEMM-SΓFCEΛM7=-2-ME-OD--2-ME-'(OD-1?4=-2-ME-t

,SACEF：%CF==

二當ME取最大值時，SACEF?SAOCF有最大值，

設點￡(羽爐一2x-3),M(x,x-3),(0<χ<3),

.,.ME—x—3—^x"—2A'—3)=-x"+3X=--?÷—,

3

二?當X=5，ME最大，S&CEF?SAOCF的值最大，

此時《1，-野

(3)存在,

。I，。，M3_3

2,~2

3

.?.Do=DB=DM=—

2

.X軸于點O,

點＜、p2,P3、B在X軸上，

當點片與點。重合時，EM=BM=呼，6(0,0)；

當BkSM=還時，OP——,小空,θ];

22212J

當點A與點Z)重合時，CM=AB=I,嘿,θ,

當BiM=述時，OR=3+逑=包，B隹;

22212J

綜上所述，片(0,0),P2生￥可，嗚，q，《殳￥斗

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰三角形的判定，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定

理，第3小問注意分類討論，求出所有符號條件的點P坐標.

8.(2022秋.浙江溫州?八年級瑞安市安陽實驗中學校考階段練習)如圖1,在平面直角坐標系中，點A的

坐標為(8,0),點B的坐標是(0,6),連接A8.若動點P從點B出發(fā)沿著線段54以5個單位每秒的速度向終

點A運動，設運動時間為，秒.

(1)求線段AB的長.

(2)連接OP,當-OBP為等腰三角形時，過點P作線段A3的垂線與直線OB交于點〃，求點M的坐標；

(3)已知N點為AB的中點，連接ON,點尸關于直線ON的對稱點記為p(如圖2),在整個運動過程中，若

P'點恰好落在AoB內(nèi)部(不含邊界)，請直接寫出r的取值范圍.

【答案】(I)IO

⑵(。，-?∣),(0T),(0,-6)

14

⑶當77<f<l時，P'點恰好落在408內(nèi)部(不含邊界)

【分析】(1)勾股定理直接求解即可；

(2)分Po=P8,80=BP,08=BP三種情形，分別討論，即可求解；

(3)當〃在上時，過點N作NFLX軸于點尸，過點。作過點P作PG_Ly軸于點G,因

為N點為AB的中點，由(2)可知N(4,3),O￡=y,根據(jù)等面積法求得PG=4r,進而得出BG=3f,

OG=6-3t,產(chǎn)N=5—5,,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出OP=OP,SPON=SPON，繼而求得OP=8-8,，在

Rt△(?PG中，PG2+OG2=OP2,即可求解.

【詳解】(1)解：Y點A的坐標為(8,0),點B的坐標是(0,6),

/.OA=8,OB=6,

?"?AB=J斯+03〉=10；

(2)當PB=PO時，如圖，過點P作PCy軸于點。，PC,X軸于點C,

?：PB=PO,

：?ZPBO=ZPOB9

?.?ZPOB+ZPOA=90o,ZPAO+ZPBO=90o,

：?ZPOA=ZPAOf

：.PO=PA=-AB=5,

2

設OM=x,

在RJPoW中，PM2=PD2+DM-)

在Rt1?8PM中，PM2=MB2-BP2,

PD1+DM1=MB2-BP2

即42+(3+X)2=(6+X)2-52

7

解得：X=-,

.?.M(O,-)

當3P=3O=6時，如圖，過點尸作尸O?Ly軸于點O,PC,X軸于點C,過點。作QELAB于點E,

??.DO=PC,DP=OC9

?.?S,ΛA<O√OΠ=-AB×OE^-×OB×OA,

.“OB×OA6×824

??OE=----------==—

AB105

?.?SPeK=LXBOxPD=LXBPXOE,

'oh22

：,PD=OE=-

5

設尸C=α,P￡)=4.8,

在RIAPC4中，?2+(8-4.8)2=42,

解得：a=2.4,

即OQ=2.4,

在RL.PZMf中，PM2=PD2+DM2>

在RtABPM中，PM2=MB2-BP2,

PD2+DM2=MB2-BP2，

即4.82+(2,4+X)2=(6+X)2-62,

解得：x=4,

M(0,-4),

當08=0P時，如圖，

,.?OP=OB,

：.NOBP=NOPB,

'：MPlAB,

：.NBPo+NOPM=90°,

又ABMP+AMBP=90°,

.?./OMP=NOPM,

：.OM=OP=OB=6,

ΛM(0,-6),

綜上所述，M(O或M(O,-4)或M(O,-6),

(3)如圖，當〃在Q4上時，過點N作NF_LX軸于點尸，過點。作OELAB,過點P作尸GLy軸于點

G,

YN點為AB的中點，

由(2)可知N(4,3),OE=y,

則NF=3,

,BP=5t,BO=6,AO=8,

?S∩=—BOXPG=—BP×OE,

80rPp22

24

?PG=吆2=匕=短

BO6

?BG=y∣BP2-PG2=3r)

:?OG=6—31,

?：BN=LAB=5,

2

二PiV=5-5/,

Y對稱，??.OP=OP,SPoN=SPON，

???SPON=；PNXoE=S,onΛθP'×NF,

1241

即LX—x(5-5∕)=-OPx3,

25172

,

JOP=OP=8-8t9

在RtZ?OPG中，PG'+OG2^OP1

：.（4z）2+（6-3r）2=（8-8r）2

解得r=2（舍去）或

當點尸運動到點N,此時尸,P',N重合，此時5t=5,解得f=l,

14

.?.當前<f<l時，P點恰好落在AOB內(nèi)部（不含邊界）.

【點睛】本題考查了勾股定理，解一元二次方程，坐標與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題

的關鍵.

9.（2023秋?山東德州?八年級統(tǒng)考期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，,ABC和都是等邊三角形，點

B、D、E在同一條直線上，連接AE.

①NAEC的度數(shù)為；

②線段A￡、BZ）之間的數(shù)量關系為；

（2）拓展探究：如圖②，和aEDC都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,點、B、D、E在同

一條直線上，CM為△￡?C中C）E邊上的高，連接AE,試求NAEB的度數(shù)及判斷線段CM、AE、BE之間

的數(shù)量關系，并說明理由；

（3）解決問題：如圖③，TlBC和△￡￡心都是等腰三角形，ZACB=ZDCE=36。，點、B、D,E在同一條

直線上，請直接寫出/K4B+/EC8的度數(shù).

【答案】（D①120。；②相等；（2）90°；BE=AE+2CM,理由見詳解；（3）180°.

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得EC=OC,AC=8C,NECD=NACB=60。，然后證明

NECA=NDCB,從而可證明AAECgABDC,再利用全等三角形的性質(zhì)，①、②即可求解：

（2）類似（1）中方法，證明AAEC絲Z?B3C,得出NAEB=NeE4—NCEB=90。，根據(jù)等腰直角三角形

的性質(zhì)得到CW=EM=MZ）,即可得到線段CM、AE.BE之間的數(shù)量關系；

（3）根據(jù)C解答即可.

【詳解】（1）解：如圖①所示，

,ABC和AEDC都是等邊三角形，

.?.EC=DC,AC=BC,/ECD=ZACB=ZCDE=60o,

:"ECD-ZACD=ZACB-ZACD,

.?.NECA=NDCB,

在AAEC與.5Z)C中，

EC=DC

,ZECA=NDCB,

AC=BC

.「AEeABDC(SAS)

.?.ZAEC=NBDC,AE=BDf

NCOE=60。，點3、D、E在同一條直線上，

/.ZB/X?=120°,

.?.ZAEC=ZBDC=120°,

故①的答案為：120。；

②的答案為：相等；

(2)解:如圖②所示,

o

.ABC和△￡￡>(?都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90f

.?.EC=DC,AC=BC,ZECD=ZACB=90o,ZCDE=/CED=45°,

.?.ZECD-ZACD=ZACB-ZACD,

?,.NECA=NDCB,

在AAEC與，8DC中，

EC=DC

<ZECA=NDCB,

AC=BC

.;AEC"BDC(SAS)

??.ZAEC=/BDC,AE=BD,

」NCDE=45。，點、B、。、E在同一條直線上，

.?.ZBDC=135。，

二ZAEC=ZBDC=135°f

ZAEB=ZAEC-ZCEB=135o-45°=90°,

△￡DC都是等腰直角三角形，CMtDE,

..CM=EM=MD,

.?.ED=2CM,

.-.BE=BD+DE=AE+2CM,

???NAEB的度數(shù)為90。，線段C0、AE.BE之間的數(shù)量關系為：,3E=AE+2QW；

(3)解：根據(jù)(1)(2)中結(jié)論可知：AiAECgZSBOC,得NAEC=N83C,

一ABC和△￡?C都是等腰三角形，ZACB=NDCE=3G,

NCDE=ZABC=180°^^*°=72°,

2

.?.ZAEC=NBDC=180°-72°=108°,

.?.ZAEC+ZABC=108°+72°=180°,

.?.NEAB+ZECB=360°-180o=l80°.

【點睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形

的性質(zhì)等知識，熟練而靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解答此題的關鍵.

10.(2022?江蘇?九年級專題練習)如圖，四邊形ABCD是矩形，點尸是對角線AC上一動點(不與A、C

重合)，連接PB,過點P作交射線OC于點E,已知AT>=3,AC=5.設4尸的長為x.

(I)AB=;當x=l時，—=；

/D

(2)試探究：否是定值?若是，請求出這個值；若不是，請說明理由;

(3)當PCE是等腰三角形時，請求出X的值.

PE3

【答案】⑴"=4,而北

(2)修PE為定值,PE_3

ΓD~PB~4

7

(3)X=W或x=4

ppPN

【分析】⑴作W舫于M交8于M由MgWWE,推出而=麗,只要求出WBM即可解

決問題；

PE

(2)結(jié)論：籍的值為定值.證明方法類似(1)；

(3)分兩種情形討論求解即可解決問題；

【詳解】(1)解：作PM_LAB于M交CO于N.

圖1

四邊形A88是矩形，

.?.BC=AD=3,AC=5,ZABC=90°,

:.AB=-JAC2-BC2=√52-32=4.

34

在RtΔΛPM中，PA=λ,PM=∣,AM

BM=AB-AM,

MN=AD=3,

,-.PN=MN-PM=—,

5

,NPM8=NPNE=NB尸E=90°,

.?.ZBPM+ZEPN=90o,/EPN+NPEN=90°,

:4PM="EN,

:ΛBMP^∕?PNE,

12

.PEM_3

..=——=—,

PB164

T

3

故答案為4,?.

4

PE

（2）結(jié)論：箴的值為定值.

3443

理由：由2=x,可得PM=Sx.AM=-xfBM=4--X9PN=3--X9

ΛBMP^ΛPNE9

PE=PN二丁二3

4^4

4a----X

5

(3)①當點E在線段CQ上時，連接SE交AC于F.

圖2

ZPEC>90°,所以只能EP=EC,

.?.ZEPC=^ECP,

ZBPE=ZBCE=90°,

.-.ABPC=ABCP,

.-.BP=BC,

.?.BE垂直平分線段PC,

在RtBCF中，cosNBCF=,

BCAC

CF3

T~59

???CF4

IQ

.?.PC=2CF=-

5

.?*5上=Z

55

②當點E在OC的延長線上時，設BC交PE于G.

圖3

ZPCE>90o,所以只能CP=C￡.

.-.ZCPE=ZE,

ZGPB=NGCE=90o,ZPGB=NCGE,

NPBG="=NCPE,

ZABP+ΛPBC=90P,ZAPB+ZCPE=90°,

.?.AB=AP=4,

綜上所述，X的值為（7或4.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題、考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角

形的構(gòu)成條件等重要知識，同時還考查了分類討論的數(shù)學思想，難度較大.

11?（2022?福建廈門?廈門市湖里中學校考模擬預測）閱讀材料：

如圖①，ABC與.QEr都是等腰直角三角形，ZACB=NEDF=9（1°,且點。在AB邊上，AB,EF的中

點均為。，連接8尸、CD、CO,顯然，點C、F、。在同一條直線上，可以證明V8O尸史CO所以

BF=CD.

解決問題:

（1）將圖①中的RfAOE尸繞點O旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，猜想此時線段BF與CO的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)

論.

（2）如圖③，若ABC與1）砂都是等邊三角形，AB,E尸的中點均為0,上述（1）中結(jié)論仍然成立

嗎？如果成立，請說明理由；如果不成立，請求出防與CD之間的數(shù)量關系.

（3）如圖④，若ABC與一?？诙际堑妊切?，AB.EF的中點均為0,且頂角ZACB=NEDF=a,

請直接寫出B尸與C力之間的數(shù)量關系（用含有α的式子表示出來）.

【答案】(I)BF=CD;(2)不成立，見=也;(3)—=tan-

CD3CD2

【分析】（1）如答圖②所示，連接OC、OD,由全等三角形的判定定理S4S證明VB。尸式VCon即可;

（2）如答圖③所示，連接OC、OD,由等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義推知竺=竺?=立,

OCOD3

結(jié)合NBoF=NCOD即可證明VBoFECOD,相似比為正;

3

（3）如答圖④所示，連接OC、OD9由等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義推知

—=tan∣,結(jié)合NBO尸=NCo力即可證明V8O/SVCO￡>,相似比為tan4

【詳解】解：(1)猜想：BF=CD.理由如下：

如答圖②所示，連接OC、OD,

Y..ABC為等腰直角三角形，點0為斜邊AB的中點，

：.OB=OC,NBOC=90。,

YDE尸為等腰直角三角形，點。為斜邊所的中點，

:?OF=OD,ZDOF=90°f

?：/BOF=ZBOC+/CoF=90。+/CoF,

ZCOD=ZDOF+ZCOF=90o+ZCOF,

：?ZBOF=ZCOD,

在.30F與中，

OB=OC

<ZBOF=ZCOD,

OF=OD

:.VBQF期COD(SAS)

.??BF=CD;

如答圖③所示，連接OC、OD,

???_ABC為等邊三角形，點。為邊AB的中點,

Λ-=tan300=-,ZBOC=90°,

OC3

??,_OE尸為等邊三角形，點。為邊EP的中點,

?-=tan30°=-,NDOF=90°,

OD3

.OBOF√3

??==

OCOD3

?：NBoF=/BOC+NCOF=90。+/COF,

ZCOD=ZDOF÷ZCOF=90o÷ZCOF,

：?ZBOF=NCoD,

在二60戶與ACODB,

嚶啜咚々OF="，

：.NBOFKCOD

(3)^j=tany.理由如下：

如答圖④所示，連接OC、OD,

???_ABC為等腰三角形，點。為底邊AB的中點,

-----=tan—,ΛBOC=90°，

OC2

???D所為等腰三角形，點。為底邊吹的中點,

???竺=tan^,NDOF=90。,

OD2

.OBOFa

??---........=tan—,

OCOD2

T/BOF=/BOC+/COF=90。+/CoF,

ZCOD=ZDOF+ZCOF=90o+ZCOF,

：?ZBOF=ZCOD9

在_3。尸與ZXCOD中,

..OBOFa

----=tan—NBoF=ZCOD,

?OCOD2

：.VBOF爾CoD

【點睛】本題是幾何綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換中相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的三

線合一的性質(zhì)、銳角三角函數(shù).解題關鍵是：第一，善于發(fā)現(xiàn)幾何變換中不變的邏輯關系，即

7HOFmCOD或MBOFWCOD第二，熟練運用等腰直角三角形、等邊三角形、等腰三角形的相關性

質(zhì).本題(1)(2)(3)間的解題思路一脈相承，體現(xiàn)了由特殊到一般的解題思想方法.

12.(2022秋?重慶巴南?九年級統(tǒng)考期末)已知拋物線y=αγ2+bx+4(α≠0)與X軸交于點A(-3,0)、B

(2,0),與y軸交于點C,直線V=MV+”經(jīng)過兩點A、C.

(2)如圖1,點P在已知拋物線上，且位于第二象限，當四邊形BlBC的面積最大時，求點尸的坐標.

(3)如圖2,將已知拋物線向左平移T個單位，再向下平移2個單位?記平移后的拋物線為V,若拋物線V

與原拋物線的對稱軸交于點點E是新拋物線P的對稱軸上一動點，在(2)的條件下，當APQE是等

腰三角形時，請直接寫出點E的坐標.

22

【答案】(1)〃=一§,?=~y

⑵P(TT)

(3)(τ"∣烏或(T號與或(-1,2+G)或(-1,2-揚

29

【分析】(1)將A(-3,0),8(2,0)代入、=奴2+版+4,即可得α的值為8的值為-：；

22

(2)連接OP,過戶作PDJ軸于。，作PE_Ly軸于E,設尸(/,-耳/-丁+4),則尸E=τ,

OO

PD=-∣r-∣r+4,而Saβoc=4,故四邊形P4BC的面積最大即是四邊形PAoC面積最大，又

QQQ33

2

?a^Λ0c=5AΛTO+SΛOW=-(/+D+?,可得/=一彳時，SllWa?最大，即四邊形P4BC的面積最大，P(--,

1)；

(3)由y=-<x2-<x+4=一1x+3?+?,得原拋物線對稱軸是直線X=將y=-1》+；尸+§向左平移

J33262326

；個單位，再向下平移2個單位得：y=-∣(χ+i)2+?,即可得Q(-4,2),設E(-l,m),則

/?OZ

22