2023-2024學年天津市武清區(qū)高二年級下冊期中數(shù)學試題1（含答案）

2023-2024學年天津市武清區(qū)高二下冊期中數(shù)學試題

一、單選題

1.下列四組函數(shù)中，導數(shù)是同一函數(shù)的是()

A./(x)=5,g(x)=5xB./(x)=2x÷l,g(x)=x+l

C./(x)=2+sinr,g(x)=CosxD./(x)=-x2+2,g(x)=-X2+4

【正確答案】D

【分析】根據(jù)選項中的函數(shù)，求得了'(X)和g'(x),結(jié)合同一函數(shù)的判定方法，即可求解.

【詳解】對于A中，由函數(shù)/(x)=5和g(x)=5x,可得解(X)=O和g'(x)=5的對應法則不

同，所以不是同一函數(shù)，所以A不符合題意；

對于B中，函數(shù)/(x)=2x+l和g(x)=x+l,可得/'(x)=2和g'(x)=l的對應法則不同，所

以不是同一函數(shù)，所以B不符合題意；

對于C中，函數(shù)/(x)=2+sinr和g(x)=cosx,可得J"(x)=cosx和g'(x)=—SinX的對應法

則不同，所以不是同一函數(shù)，所以C不符合題意；

對于D中，函［數(shù)"x)=-x2+2,g(x)=-χ2+4,可得/(力=一2工超(同=一2彳的定義域和對

應法則都相同，所以是同一函數(shù)，所以D符合題意.

故選：D.

2.函數(shù)/(x)=x-21nr的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(y,0)和(0,2)B.(2,+∞)C.(→o,2)D.(0,2)

【正確答案】B

【分析】求出導函數(shù)/(X),由r0)>o確定增區(qū)間.

【詳解】∕ω=ι-∣=^,“χ)的定義域為(o,+∞),

由/(x)>0,得χ>2,

.?./(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8).

故選：B.

3.函數(shù)/(x)=±p在X=O處的切線方程為()

A.5x+y+3=0B.5x+y-3=0

C.5x-γ-3=0D.5x-y+3=0

【正確答案】C

【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義及點斜式求切線方程即可.

【詳解】由已知可得：?Γ(x)=τ~涓，

(χ+ι)

所以/KO)=5,而〃())=-3,

所以在X=O處的切線方程為：y-(-3)=5(x-0),即5x-y-3=0.

故選：C

【分析】求出:(X)=gx-sinx,判斷奇偶性，并結(jié)合特殊值驗證，即可判斷出答案.

【詳解】由/(x)=Jχ2+cosX可知XeR/'(X)=；X-SinX,

貝IJr(-x)=-gx+sinx=-f'(x),即:(x)為奇函數(shù)，故A,D錯誤；

又廣(三)=微一:=等＜°，故C錯誤，B正確，

612212

故選：B

5.若函數(shù)/(可=6'卜2+”)在［-2,2］上單遇遞減，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(→Λ,0］B.(→χ>,-8)C.(→o,-8］D.［0,+∞)

【正確答案】C

【分析】先求導，再根據(jù)函數(shù)/(x)=e'(J+α)在［-2,2］上單遇遞減，由((x)≤O在［-2,2］上

恒成立求解.

【詳解】解：因為函數(shù)/(x)=e'(χ2+a),

所以尸(X)=e*(f+2x+a),

因為函數(shù)/(》)=^任+力在［-2,2］上單遇遞減，

所以尸(X)=e*(4+2x+α)≤O在［-2,2］上恒成立，

S∣Ja≤-x2-2x^［-2,2］上恒成立，

令t=—X2—2.x=-(x+1)^+1≥—8，

則α≤-8,

當α=-8時，∕'(x)=e*(f+2χ-8)=e'［(x+1J-9］不恒為零，

所以實數(shù)〃的取值范圍是(-∞,-8］,

故選：C

6.若函數(shù)/")=；/+；(。+2)/+2依+1在χ=-2時取得極小值，則實數(shù)。的取值范圍是

()

A.(2,+∞)B.［0,2］C.(-∞,2)D.(-°°,2)(2,-Hx))

【正確答案】A

【分析】先求導，再根據(jù)函數(shù)/(6=3丁+；(“+2)/+2以+1在χ=-2時取得極小值，利用

極值點的定義求解.

【詳解】解：因為函數(shù)"x)=gχ3+g(α+2)χ2+2αr+ι,

所以/'(%)=%2+(α+2)%+24=(x+2)(x+α),

因為函數(shù)/(x)=gχ3+g(α+2)χ2+20x+l在x=—2時取得極小值，

所以當無<一?；騒>—2時，∕<x)>O,當一OVXV—2時，∕,(x)<0,

則一a<—29即a>2,

所以實數(shù)。的取值范圍是(2,+∞),

故選：A

7.若定義在R上的函數(shù)“X)的導函數(shù)為了'(X),且滿足r(χ)<∕(X)J(O)=1,則不等式

/(x)<e'的解集是()

A.(→o,0)B.(-∞,1)C.(0,÷∞)D.(l,+∞)

【正確答案】C

【分析】令g*)=卒，求導可得g'(x)<0,從而得g(x)在R上單調(diào)遞減，由此得解.

e

(詳解】令g。)=華，貝Ug'(x)=/ay<0,

ee

所以g(χ)=卒在R上單調(diào)遞減，

e

又因為g(o)=犁=ι,

e

所以/(x)<e*等價于/學<1,即g(x)<g(0),

所以x>0,

所以不等式/(x)<e'的解集為(0,+8).

故選：C.

8.若函數(shù)/(x)=lnr+(a-2)x+a有兩個零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,2)B.(0,2)C.(l,+∞)D.(-∞,2)

【正確答案】A

【分析】將函數(shù)∕a)=lnx+(a-2)x+a有兩個零點的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)

y=lnx,y=(2-")x-a的圖象交點個數(shù)問題，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，即可求解.

【詳解】由/(x)=hu+S-2)x+a有兩個零點，即lnx+(a-2)x+a=0有兩個正根，

即函數(shù)y=lnx,y=(2)x-a的圖象有2個交點，

直線y=(2-Cl)X-?？勺?yōu)?心+l)+2x-y=0,

令則丁二一2,即直線y=(2—。口一。過定點P(―1,-2),

當該直線與y=lnx相切時，設(shè)切點為(XO,%),則y'=L,

X

1InXC+2IlC

貝IJ—=-—，即1InXO-—+1=0,

??+l?

令g(x)=InX-L+1,(X>0),則g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

X

又g⑴=。，故8(幻=由十一,+1,(工>0)有唯一零點工=1,

X

故%=1,

即y=(2-α)x-4與曲線y=lnx相切時，切點為(1,0),

則切線斜率為1,

要使函數(shù)y=lnx,y=(2-α)x-α的圖象有2個交點，需滿足0<2-4<l,

故選：A

方法點睛：根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求解參數(shù)范圍，一般方法:

(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，利用導數(shù)解決；

(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題，數(shù)形結(jié)合解決問題；

(3)參變分離法，結(jié)合函數(shù)最值或范圍解決.

二、多選題

9.下列函數(shù)在x=l處的切線傾斜角是銳角的是()

A../(%)??B./(x)=ln(2x+l)

C./(x)=x3-X2D./(x)=e^x

【正確答案】BC

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，繼而求得x=l處的切線的斜率，根據(jù)其正負，即可判斷答案.

【詳解】由〃X)=B可得廣(司=一《，則/'⑴=-ι<o,

故/(X)=T在X=I處的切線傾斜角是鈍角，A錯誤；

由/(x)=∣n(2x+l)可得/(X)=喜，貝IJ/(1)=∣>0,

故/(x)=ln(2x+l)在χ=l處的切線傾斜角是銳角，B正確；

由/(x)=√-X2可得/(力=3/-2X,則⑴=1>O,

故/(x)=χ3-d在X=］處的切線傾斜角是銳角，C正確；

由/(X)=ex可得∕,(x)=Y-,則/⑴=」<O,

e

故/(x)=e-*在χ=l處的切線傾斜角是鈍角，D正確；

故選：BC

10.已知函數(shù)/(x)的導函數(shù)尸(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

B./(x)在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增

C./(x)可能有四個零點

D.若/(x)在區(qū)間(，",〃)上單調(diào)遞減，則”〃?的最大值為6

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)尸(X)的圖象，得出函數(shù)/(x)的單調(diào)性，結(jié)合極值點的概念和單調(diào)區(qū)間，逐

項判定，即可求解.

【詳解】由尸(x)的圖象知，當x<—3時，f↑x)>O,"x)單調(diào)遞增；

當-3<x<3時，∕,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當x>3時，/^x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

即函數(shù)〃x)的在(T?,-3)上單調(diào)遞增，在(-3,3)上單調(diào)遞減，在(3,??)單調(diào)遞增；

對于A中，根據(jù)極值點的概念，可得:

當x=-3時，/(x)取得極大值，當x=3時，/(x)取得極小值，所以A正確；

對于B中，當xe(2,3),/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當x>3時，f↑x)>O,/(x)單調(diào)遞增，所以B不正確；

對于C中，根據(jù)函數(shù)/(x)的單調(diào)性，可得函數(shù)/(x)的圖象最多與X軸有三個交點，

所以函數(shù)/(x)最多有三個零點，所以C不正確；

對于D中，因為函數(shù)/(x)在區(qū)間(-3,3)上單調(diào)遞減，

要使得/(x)在區(qū)間(孫〃)上單調(diào)遞減，可得〃一切的最大值為3-(-3)=6,所以D正確.

故選：AD.

11.已知點尸(1,。)不在函數(shù)〃x)=e”的圖象上，且過點產(chǎn)能作兩條直線與/(x)的圖象相切，

則”的取值可以是()

A.垃B.—C.1D.—1

【正確答案】ABC

【分析】由題意切點為(%，%),利用導數(shù)的幾何意義可得求出切線方程，代入點P(La),

可得"=e'"(2-x0),故可構(gòu)造函數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，利用導數(shù)求

得函數(shù)最值，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解.

【詳解】由題意知/'(x)=e',過點P作直線與/(x)的圖象相切，設(shè)切點為(%,%),

J

則切線斜率為e%,則切線方程為V-%=e?(x-x0),

將點P(La)代入，即4-e"=e"(l-Xo),即α=e%(2-X0),

令g(x)=ev(2-X),則g'(x)=e*(l-?，

當x<l時，g'(x)>O,g(x)在(-8,1)上單調(diào)遞增，

當x〉l時，g'(x)<O,g(x)在(l,+∞)上單調(diào)遞減,

故g(x)maχ=g⑴=e，

作出其大致圖象如圖:

由點P(IM)不在函數(shù)/(x)=e'的圖象上，且過點P能作兩條直線與“X)的圖象相切,

可知awe,且a=e'"(2-%)有兩個解，

即g(x)=e*(2-x)的圖像和丫=。有2個交點，故O<a<e,

則a的取值可以為√i?∣,l,

故選：ABC

12.下列結(jié)論正確的是()

23

A.-<?n?B.91n-<81n-

e34

C.13.1

C.sin—<—s?n-D.si∏i>-

2232π

【正確答案】BCD

(分析］令〃X)=乎，求得∕,(x)=上孚，得到/(x)在(l,+∞)單調(diào)遞減,結(jié)合/(3)<∕(e),

可判定A不正確；令判X)J吧;12,求得定(X)=InI2：；Inx,求得g(χ)在。⑵)單調(diào)

遞增，結(jié)合g(8)<g(9),可判定B正確；令〃(X)=等，求得〃(x)=XCoS：；sinx,求得

冗IIlTr

(O,R上單調(diào)遞減，結(jié)合忙)<丐)和性)>以/，可判定c、D正確.

【詳解】對于A中，令"X)=W,可得r(x)=W=L等，

當xe(e,+∞)時,r(x)<O,“X)單調(diào)遞減,

所以〃3)<∕(e),即史<1,所以3>ln3,所以A不正確;

3ee

UT?/?l∏x-lnl2_.、lnl2e-lnx

對于B中，令g(x)=——--,可z得r1g'(x)=————，

當Xe(0,12e)時，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增,

23

匚匚I、I∕Q?//n?-l∏8-ln!2In8-lnl2In-In-

所以g(8)<g(9),可r4得a——-——<——-——，即3」4

8989

23

即91n§<81nw，所以B正確；

對于C中，令MX）=旦此，可得?。?°s：UinX,

令9（x）=XCOSX—SinX,則￠/（X）=—XSinx,

當x∈(0,?時，√(x)=-xsinx<O,則Q(X)單調(diào)遞減，

所以姒耳<0(0)=0,貝∣J”(x)vO在XG(O,：]恒成立，所以函數(shù)MX)單調(diào)遞減,

1.1

]]Sin—sin—Iql

21

所以〃（5）<〃（3）,即一r<-r,所以sina<3sin3,所以C正確;

23

.I.兀

sin-sin-

又心>吟,即一〉」可得2s[>2?去即嗚>去所以D正確.

24Iπ

24

故選：BCD.

方法總結(jié)：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)，從而得出不等關(guān)系；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系;

3、適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

三、填空題

13.已知函數(shù)/(x)=4的導函數(shù)為尸(x),則/(4)=.

【正確答案】>.25

【分析】先求得導函數(shù)f'(x),再代入求解.

【詳解】解：因為函數(shù)/(X)=JL

所以r(χ)=52，

則廣⑷=赤T

14.若直線y=2x+6與函數(shù)/(x)=e*+x-α的圖象相切，則α+b=.

【正確答案】1

【分析】利用導數(shù)的幾何意義即可求得答案.

【詳解】由題意/(x)=e'+x-α,可得T(χ)=e*+1,

因為直線y=2x+b與函數(shù)/(x)=e'+X—α的圖象相切，故設(shè)切點為(x。,%),

則e*+l=2,故Xo=0,則/(O)=I-a”,

故a+8=l,

故1

15.若函數(shù)/(x)=gχ3-χ2在區(qū)間(-2,l+a)上存在最大值，則實數(shù)。的取值范圍是

【正確答案】(一1,2]

【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，判斷單調(diào)性，確定函數(shù)極值，結(jié)合函數(shù)值情況，列出使得函數(shù)/(x)

在區(qū)間(-2,l+a)上存在最大值的不等式，即可求得答案.

[詳解]f?∕(χ)=∣χ3-χ2M∕,(χ)=χ2-2χ,

當x<O或x>2時,.盟x)>0;當0<x<2時,f'(x)<O,

即〃犬)=93--在(_8,0),(2,”)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，

故X=O為函數(shù)的極大值點，且/(0)=0,

令f(x)=gd-Y=。，則X=O或x=3,

故要使函數(shù)/(力=在區(qū)間(-2,1+?)上存在最大值,即X=O時函數(shù)取最大值，

需滿足O<1+。≤3,—1<α≤2,

故(T2]

16.已知對VXe?,e3,不等式鏟㈤+(帆-l)χ.hu-l恒成立，則實數(shù)加的最小值是

【正確答案】4##e-2

e-

[分析]e'""∣+(m—I)X≥Inx-IoInemr+∣+e,,lt+l-l>lnx+x-l,令/(x)=InX+x-l(x>0),

求導后判斷了(x)在(0,y)上單調(diào)遞增，從而問題轉(zhuǎn)化為TXe?,e3,e*≥x恒成立.而

+l

e≡>χθ∕n≥^^,令g(χ)=lilfl,求導得到g(x)mκ=J,進而可求解.

【詳解】e,a1+(/W-1)X≥1ΠΛ:-1=e,m+l+∕nx≥?nx+x-]

<≠>ewt+,+(∕nr+l)-l≥lnx+x-l<=>inenα+,÷emr+,-l≥lnx÷x-l

令J(X)=Inx+X-l(x>O),

則Vxe?,e3,/(ei)≥"x)恒成立.

對/(x)=lnx+xT求導得r(x)=:+l>O,所以"x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

所以TXe-,e-,e"ZNX恒成立.

_e_

_?,—.、Inx-I

而e≥XOmx+?≥?n?<≠>tn≥-------

X

令g(x)Jn：-[,則g，(X)=2；?X

令g'(x)=0,x=e2,

所以當」≤x<e2時,g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增;

e

當e2<x4e3時，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減.

所以g(x)max=g(e2)=5?

故，*≥2,即實數(shù)機的最小值是

ee^

“1

故F

e-

思路點睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，以及數(shù)與數(shù)之

間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

四、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=Λsinr+cosx,x∈(0,2π).

⑴求函數(shù)f(x)在X=兀處的切線方程；

(2)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

【正確答案】(l)xr+y-∕+l=O;

(2)∕(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為恒)，傳，23，單調(diào)遞減區(qū)間為停號)；極大值為不極小

值為-3小TT

【分析】(I)先求得切點坐標，再利用導數(shù)幾何意義求得切線的斜率，利用點斜式方程即可

求解;

(2)求導后判斷導數(shù)的正負，從而得到單調(diào)區(qū)間，進而求得極值.

【詳解】(1)由J(X)=XSinX+coSX,得/'(x)=sinx+xcoSX-SinX=Xcosx,

,r

..∕(π)=πcosπ=-πτ

X∕(π)=π?sinπ+cosπ=-1,

.??函數(shù)/(?)在點3/(π))處的切線方程是y+l=-兀X(X-兀)，BPπx÷y-π2+l=0.

(2)因為/(x)=XSinX+cosx,0<x<2π,

所以/'(X)=SinX+xcoSX-SinX=XCoSX,

令T(X)=0,貝IJX=∣≡KΛ=y,

,

所以當0<Y或*x<2τt時，∕(x)>0i

當1<χ得時，/")<°?

所以/(X)在(Om上遞增，在住,用上遞減，在年2兀)上遞增，

所以當X=；時，/(X)取得極大值

當X=半時，/(X)取得極小值/圖=音.

故函數(shù)F(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為歸)，(李同，單調(diào)遞減區(qū)間為仁岑)，極大值為極

小值為一技.

18.已知函數(shù)/(力=三-3加+A在x=2處取得極小值-2.

⑴求實數(shù)。，人的值；

⑵若氣,聲?-2,3],都有成立，求實數(shù)C的取值范圍.

【正確答案】（l）a=l,b=2；

⑵（20,同

f，⑵=O

【分析】（1）根據(jù)已知條件可得.，求解即可.

1./（2）=-2

（2）問題等價于/⑺3-/（XL<c，利用導數(shù)法求得f（x）的最大值和最小值，從而可以

求解.

【詳解】（1）∕,（x）=3√-60r,

因為函數(shù)/（力=1-3加+）在x=2處取得極小值-2,

∕,(2)=012-12?=0

所以,解得

/(2)=-28-I2α+ft=-2b=2

經(jīng)檢驗，當。=1,匕=2時，f(x)在χ=2處取到極小值，

所以4=1,h=2.

(2)由(1)可知，/(X)=X3-3X2+2,則/'(x)=3χ2-6x

令r(x)=3f-6x=0,解得χ=0或χ=2,

而XW[—2,3],所以當-2≤x<0,2<x≤3時,f'(x)>0j(x)單調(diào)遞增;

當0<x<2時，r(x)<0j(x)單調(diào)遞減.

χ∕(-2)≈-8-12+2=-18,∕(0)-2,∕(2)=8-12+2=-2,∕(3)?27-27+2≈2

所以當xw[-2,3]時，/(x)IraX=2j(x)mhι=—18.

若?χ,Λ2e[-2,3],都有fα)-"??)<c成立,

只需/(x)a—/(XLI<c所以c>20?

故實數(shù)C的取值范圍為(20,y).

19.已知函數(shù)/(x)=xlnr-oχ2一χ+],aeR.

(1)若函數(shù)/(x)在X=e處的切線與直線y=x+l垂直，求實數(shù)。的值；

(2)若函數(shù)〃x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(l)a=1

e

⑵〃一

2e

【分析】(1)由函數(shù)/(X)在x=e處的切線與直線y=χ+i垂直，列方程求出實數(shù)。的值；

(2)函數(shù)“χ)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f'(χ)≤O在(0,y)上恒成立，通過參變分離,

構(gòu)造新函數(shù)，求出函數(shù)的最大值，可得實數(shù)”的取值范圍.

【詳解】(1)由題意，"x)在x=e處的切線與直線y=χ+i垂直，

則切線斜率％=r(e)=T,

f?x)=?nx-2ax,.?.∕,(e)=lne-2αe=-l,解得α=L

e

(2)函數(shù)F(X)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，

則/'(x)=lnr-26≤O在(0,+8)上恒成立，且函數(shù)"x)不為常函數(shù)，

分離參變量可得：2a≥-,

X

構(gòu)造g(x)=T,X∈(0,+2θ)

g'(x)=V萼，令g'(x)=O,解得x=e

則g(x)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

g(x)∏ux=g(e)=E

所以24≥L

e

實數(shù)〃的取值范圍是4≥3?

2e

20.已知函數(shù)/(》)=》-￡-2“11?有兩個極值點占,三.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若"%)+"w)>-2e,求實數(shù)a的取值范圍.

【正確答案】(1)(1,+∞)

(2)(l,e)

【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，由題意可知X"、是尸(X)=。即x2-20r+"=0的兩個正根，

由此列出不等式組，即可求得答案；

(2)化簡/a)+/(x2)>-2e可得Hn4<elne,從而構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx,(x>1),判斷其

單調(diào)性，即可求得答案.

【詳解】⑴由“x)=x-/2nlnx,x>O可得r(χ)=l+十F=三二箸

因為函數(shù)/(x)=x-f-24lnx有兩個極值點片,占，

故5，%是/'(x)=O即/一2以+α=O的兩個正根，則

A=4a2-4a>0

故<X+占=2。>O,即a>1,

x1x2=。?O

即實數(shù)。的取值范圍為(l,y).

(2)由(1)可知％+x2=2α,%X2=。，4>l,

f(F)+/(工2)=玉----2αlnx+x-------2alnx

?l12x22

=N+X)-+W)-2。InXlX)=-2aInaf

玉工2

,

由于/(jη)+∕(jt2)>-2e,?-2a?na>-2e,..a?na<e?ne,

設(shè)g(x)=xlnx,(x>l),g'(x)=lnx+l>0,

故g(x)=xlnX在(l,+∞)上單調(diào)遞增，

故由αIna<e?ne可得g(a)<g(e),.'.l<a<e,

即實數(shù)。的取值范圍為(Le)

21.已知函數(shù)/(x)=qU,αeR.

⑴討論的單調(diào)性;

⑵若對Vx>0,(2χ2+2)〃x)<(x+2)eX恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)答案見解析

3

⑵y，5〕

【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)知識分類討論，判斷導數(shù)正負，可得函數(shù)的單

調(diào)性;

(2)將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，利用導數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，即可求

得答案.

2

【詳解】⑴由f(χ)二駕MR得=(X)=-ax-2x+a

e瑟爺H

(χ2÷D2

(i)當〃=0時，r(x)="+7

故當x>0時，f↑x)>O9〃力在(0,+8)上單調(diào)遞增;

當XVO時，Γ(%)<0,7(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減;

(ii)當〃>0時，由于A=4+4∕>0,

-

j√r￡,(\八2r∕?1iy∣cι~+1ψπ.ι.—1÷÷?-I-?∣cι~+1

故f(X)=0,.,.-ax-2X÷6Z=0,∕.X=----------,止匕時---------->----------,

aaa

則當x>-ι+√7巨或χ<土Yg巨時.,/(x)<o,

aa

即F(X)在(土叵1,+OO),(_8,T-后I上單調(diào)遞減;

aa

當土叵I<x<土叵?時，f↑χ?>o,〃x)在(土叵1,士Hi)上單調(diào)遞

aaaa

增；

(hi)當”0時，±2晝I<土叵三I,

aa

則當x>上叵！或x<士叵！時，制火>0,

aa

即f(x)在(士亞三L,+O0),(Y0,士正三)上單調(diào)遞增；

aa

當-ι+√TTT<χ<-ι-√77I時,r(χ)<o,/(χ)在(土叵1,土H)上單調(diào)遞

aaaa

減；

即當。=0時，/(x)在O+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞,0)上單調(diào)遞減；

當Q〉0時，f(x)在(一——"+1,+∞),(-∞,—....."+1)上單調(diào)遞減；

aa

在上單調(diào)遞增；

c-ι-√7<i-i+7^7T)

a

當α<0時,/(x)在(7-Ql,+8),(-8,-l+"+l)上單調(diào)遞增;

aa

在)上單調(diào)遞減.

(-i+777T-ι-√7Ti

aa

(2)由對VX>0,(2x。+2)∕.(x)<(x+2)e”恒成立，即Vx>0,2(0r+l)<(x+2)e-t恒成立,

即x>O時，射線y=2αt+2全都在函數(shù)y=(x+2)e'的圖象的下面，

令g(x)=(x+2)e*,x>0,則g'(x)=(x+3)e*>O,g(x)在(O,+∞)單調(diào)遞增,

由于當X=O時，y=2Οx+2=2,g(x)=(x+2)e*=2,

故只需y=20r+2的斜率小于等于/(0)=3即可，

3

即2a<3,a<—,

2

3

即實數(shù)。的取值范圍為(-8,

方法點睛：(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性時，因為導數(shù)涉及到含參數(shù)的二次函數(shù)問題，因此要結(jié)合

二次函數(shù)的知識分類討論，判斷導數(shù)正負，進而判斷函數(shù)單調(diào)性;

(2)解決不等式