2023年高考第一次模擬考數(shù)學(xué)試卷上海B卷（解析版）

2023年高考第一次模擬考試卷（上海B卷）

數(shù)學(xué)

一、填空題

1.用列舉法表示［―.

R答案』｛1,2,3,6｝

K解析》因為一^―eN且awN,所以“-1=1或。一1=2或。一1=3或。一1=6,

a-1

解得Q=2或a=3或〃=4或。=7,

所以對應(yīng)的二分別為6、3、2、1,

a-\

即｛亮。aeN卜｛1,2,3,6｝；

故K答案』為：｛1,2,3,6｝

2.已知變量y與x線性相關(guān)，若￡=3,5=10,且y與x的線性回歸直線的斜率為2,則線

性回歸方程是.

K答案U》=2x+4

K解析》設(shè)線性回歸方程為5>=成+&,

T=3,5=10,y與X的線性回歸直線的斜率為2,即5=2，

0=10—2x3=4.

???y關(guān)于X的線性回歸方程為a=2x+4.

故K答案D為：R2X+4.

3.已知函數(shù)^=1211］蛆+￡）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且同W1,則實(shí)數(shù)0的值為

K答案2或1

K解析廠.?函數(shù)y=+的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且同41,

兀兀7??-4X兀兀，兀，一

??coX1=K71,kwZ,或coX1=KUH,攵￡Z

36362

則令k=0,可得實(shí)數(shù)0=-g或。=1,

故K答案』為：或L

4.若函數(shù)〃x)=—L(“eR)是偶函數(shù)，則“X)的單調(diào)遞增區(qū)間是

X—CL

K答案U(。,+8)

K解析》由題意，函數(shù)/(x)=q\(aeR)的定義域為{x|xxa},

若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故。=0,

即/(x)=x2(x*0),

由于y=/為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為x=0,

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：(。,+8).

故K答案》為：(。,+°0)

5.若關(guān)于x的方程/+(r-2，+2比卜=0。€對有純虛數(shù)根，則實(shí)數(shù)，的值為

K答案U2

K解析U設(shè)X=ZH(6GR且6w0)為方程/+(/一2f+2tr)i=0(feR)的根,

貝|J-慶+(產(chǎn)-2f+2Mi)i=0n-/一2必+1—2f)i=0

-b2-2th=0-

=><,nr=2.

/一2/=0

故K答案D為：2.

6.直線2x-y-l=0被圓f+y2=2所截得的弦長為

K答案』竽

H

K解析』依據(jù)題意得圓心為(0,0),半徑r=0,圓心到直線的距離d=

T？TF5,

則直線被圓截得的弦長為2萬二9=21=竽

故K答案》為：述

5

7.已知"X)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時f(x)=e%若/(ln；)=-8,則。=.

K答案U3

K解析』因為/(*)是奇函數(shù)，所以〃T)=—/(X),所以

/[ln^=/(-ln2)=-/(ln2)=-8,所以/(ln2)=8,又當(dāng)x>0時/a)=e*所以

/(ln2)=eak,2=eln^=8,即2"=8,解得。=3.

故K答案H為：3.

8.函數(shù)/(x)=a(x+2)2-l(aw0)的圖象的頂點(diǎn)A在直線，nx+〃y+l=O上，其中加

則上1+2士的最小值為.

mn

K答案X8

K解析》由題意可得頂點(diǎn)A(-2,-1),又點(diǎn)A在直線3+〃y+l=O上,=

,i122m+n4m+2n/n4m/Jn4m

貝m!!—+—=-----+-------=4+—+——..4+2J----------=8o,

mnmnmnvmn

當(dāng)且僅當(dāng)己=網(wǎng)時，等號成立，

mn

故K答案U為：8.

9.電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首

尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式.(結(jié)果用數(shù)值表示)

K答案》48

K解析]由題意，可分步進(jìn)行，

第一步，安排公益廣告，不同的安排方式有A：種，

第二步，安排商業(yè)廣告，不同的安排方式有A：種，

故總的不同安排方式有A；A：=2x24=48種，

故工答案1為：48.

10.圓錐的底面圓直徑A8為2,母線長冊為6,若小蟲P從點(diǎn)A開始繞著圓錐表面爬行一

圈到SA的中點(diǎn)C,則小蟲爬行的最短距離為.

K答案』3石

K解析1由題意知底面圓的直徑A2=2,故底面周長等于2兀.

設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為a,展開后扇形的弧長為外|可

根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得27c=比|%|,故a

所以展開圖中NPSC=1TT,

在中，SP=6,SC=3,

由余弦定理得PC?=$尸+SC2-2SPSCCOSZPSC

.,1

=62+32-2X6X3X-=27

2

所以小蟲爬行的最短距離為3百.

故K答案》為：3g.

11.拋物線。：》=2內(nèi)2(0>0)的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為2,過點(diǎn)F的直線與C交于A,B

兩點(diǎn)，C的準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為若zXMAfi的面積為3亞，則%V=.

K答案D2或g

K解析》拋物線C:x=2py2(p>0)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：

???拋物線的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為2

=2,即p=1

4P8

???拋物線方程為V=4x(p>0),焦點(diǎn)/(1,0)

?.,過點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn)

，設(shè)直線AB方程為：x=my+l

與拋物線方程聯(lián)立得：y2-4my-4=0

設(shè)4(耳,乂)，8(%,%),不妨假設(shè)A點(diǎn)在x軸上方，8點(diǎn)在x軸下方.

則%+必=4，"，y,y2=-4

則AB=++y2y-4)、%=/1+/加6m2+16=4(1+，/)

設(shè)點(diǎn)M到直線A3的距離為d

2

y/m2+\

：.SMM=〈AB“/=Jx4(l+叫X-^==4477T=3應(yīng)

22''J〃/+]

解得：疝=：

o

，"z=±X2當(dāng)初=YZ時，、1+%=&，乂%=~^,解得：，'

44[y2=-yJ2

xl=2

此時：1

^=-

-2

3IAFI

.?.|AF|=X+1=3,|網(wǎng)=%+l=5,.?.扇=2,

當(dāng)m=—乙時，乂+%=-亞，兇必=-^，解得：,'廣，此時：<2

4-〔必=一2'2[々=2

3

/.|AF|=XJ+1=—,|BF\=X,+1=3

?IAFIJ

\BF\2

故K答案』為：2或g

12.已知函數(shù)/(x)=log2(4、+l)-x,數(shù)列｛6,｝是公差為4的等差數(shù)列，若

q/(4)+電/(%)+4/(6)+//(%)=°，則數(shù)列｛q｝的前"項和S“=.

K答案H2〃?-8〃

K解析》由函數(shù)〃x)=log2(4*+l)-x可知xeR,

由/(-x)=log2(4^+l)+x=log,+x=log,(4'+1)-Iog24、+x

v

=log2(4+l)-x=/(x),

故/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)丘0時，尸(力=4?2°知，/(力在他內(nèi))上單調(diào)遞增且

/(x)>l>0,

設(shè)g(x)=4(x),則g(x)為奇函數(shù)且xe[O,+a>)時，gz(x)=f(^+xf'(x)>0,

故此時g(x)=j/(x)單調(diào)遞增,則xw(-oo,0)時,g(x)=#(x)單調(diào)遞增，

故結(jié)合奇函數(shù)的對稱性可得g(x)在(fy)單調(diào)遞增，

由題意q/(4)+M(啰)+%/(%)+a"3)=。，

得g(q)+g(O2)+gQ)+g(a4)=0,又｛叫是等差數(shù)列，可得4+%=%+%，

當(dāng)q+q>0時，4>_a4，，g(4)>g(_a4)，，g(aJ>_g(a4)，,g(aJ+g(%)>0，

同理g(電)+gQ)>。，即g(ai)+g(%)+g(4)+g(4)>。，不合題意，

當(dāng)4+4<。時，同理可得g(q)+gQ)+gQ)+g(a4)<0,也不合題意；

所以q+4=0,又公差為4,可得2q+12=0,則q=-6,

所以S“=〃x(-6)+”"；l)x4=2n2-8/J,

故K答案1為：2n2—8n.

二、單選題

13.已知向量。泊滿足|。|=1,|加=g,|a-2回=3,則()

A.-2B.-1C.1D.2

K答案Dc

K解析「；|4-2切2=|a『-4a/+4時，

又?.,|d|=l,|6|=6,\a-2b|=3,

；?9=1—4G"+4x3=13—4G)，

??ab=\

故選：C.

14.用反證法證明命題①：“已知p3+q3=2,求證：p+"2"時，可假設(shè)“。+〃>2"；命

題②：“若f=4,則x=—2或x=2”時，可假設(shè)“戶-2或戶2”.以下結(jié)論正確的是()

A.①與②的假設(shè)都錯誤B.①與②的假設(shè)都正確

C.①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯誤D.①的假設(shè)錯誤，②的假設(shè)正確

K答案』c

K解析》①P+q42的命題否定為"+夕>2,故①的假設(shè)正確.

x=—2或x=2”的否定應(yīng)是“xx-2且xw2”②的假設(shè)錯誤，

所以①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯誤，故選C.

f點(diǎn)石成金』：本題主要考查反證法，命題的否定，屬于簡單題.用反證法證明時，假設(shè)命

題為假，應(yīng)為原命題的全面否定.

15.嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行

的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛〃,｝：

1A=1_|____________31

優(yōu)=1+—，2〃+1，I,…，依此類推，其中

a.%+一

%

%￡N*供=1,2,-）.則（）

A.々<么B.4C.D.h4<h7

K答案》D

K解析X[方法一]:常規(guī)解法

1—1>-------1--------

因為4EN（%=1,2,）,所以/<%+￡,ax%?1,得到白>打，

21%

1--1

,,CC,H---->tZ.H-

同理a2a,+」-，可得b2cb3,b1>b3

2%

1111

—>-----------j-----，a\+--------「<a\+-------j-----

又因為4%+]—%+],故〃2V%，%>%；

a、+—0323H--------

%%

以此類推，可得4>4>4>…，打>4，故A錯誤;

4>々，故B錯誤；

11

屋）i

2%+],得3<%,故C錯誤；

%十…一

。6

11

%+----------j—>/+--------------j-

%+]%+…1,得用〈巴，故D正確.

%+——

%%

［方法二］:特值法

T…江1r-c,3,5.8,13,21,34,55

不妨設(shè)4,=1，則向=2也=7，b=-,b=-,b=—,b=—,=—^=—,

23345586132134

4<2故D正確.

16.如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=\,E、N分別為邊A3、3c的中點(diǎn)，沿DE

將VADE折起，點(diǎn)A折至4處（A與A不重合），若M,K分別為線段A。、A6的中

點(diǎn)，則在MDE折起過程中，下列選項正確的是（）

A.DE可以與AC垂直

B.不能同時做到〃平面48E且8K〃平面AOE

C.當(dāng)MN_LAQ時，平面AQE

D.直線AE、BK與平面5CDE所成角分別4、4,4、2能夠同時取得最大值

（答案DD

K解析UA：連接EC,假設(shè)DE^AC，

因為Z4ED=N8EC=45。，ZD￡C=90°,所以ZJE_LEC,

因為ACcEC=C,ACECu面AEC,所以。E_L面AEC,

因為AEu面AEC,所以與NAED=45。矛盾，錯誤;

B：取。E,DC中點(diǎn)G,F,連接GM,GN,FK,FB,則MG//AE,

4

因為MGz面ABE,AEU面ABE,所以MG//面ABE,

因為BE//CD,BE=；CD,則四邊形BEZ)C為梯形，且BE,CO為底,

又G,N分別為DE,BC的中點(diǎn)，所以GN“BE,

因為GNS面ABE,8Eu面ABE,所以GN//面A/E,

因為MGIGN=G,MG,GNu面MGN,所以面MGN//面A/E,

因為MNu面MGM所以MN//面ABE,同理BK〃面AQE,錯誤；

C：連接ME,EN,DN,當(dāng)〃N_LA。時，

MN2=DN2-DM2=CD2+CN2-DM2=CD2=4,

又ME2=EM=3,所以ME'MN'EN：故/wv與ME不垂直，從而MN不垂直于平

4

面4OE,錯誤；

D：因為A在以。E為直徑的球面上，球心為G,

所以4的軌跡為的外接圓（A與尸不重合，尸為co的中點(diǎn)），

連接EC,取EC中點(diǎn)T,連接TK,TB,則TK〃A￡,BT//DE,且

NKTB+ZAiED=l80°,則AKTB=1800-Z/\E￡)=l80°-45°=135°,

在AKTB中，KT=\\E=\,BT=-CE=—,

2222

由余弦定理得BK2=BT2+KT?-2B7?KTcos135。=邕，所以8K=夸，

當(dāng)直線8K與面BCDE所成角取最大值時，K到面BCDE距離最大,

由K為AC的中點(diǎn)，此時A到面BCCE距離最大,

由4E=1,當(dāng)直線AE與面BCZ)E所成角取最大值時，A到面8cOE距離最大,

所以直線AE、BK與面BC￡>E所成角優(yōu)、％能夠同時取得最大值，正確.故選：D.

三、解答題

17.如圖，將邊長為2的正方形ABCO沿對角線8。折疊，使得平面AB。與平面CB。所

成二面角為直角，AE_L平面ABO,且=

(1)求證：直線EC與平面A3。平行；

(2)求點(diǎn)C到平面BED的距離.

(1)證明：取BO的中點(diǎn)/，連接CF、AF,如圖,

依題意，在△88中，BC=CD,BCLCD,則b_L3D,

而平面與平面C8力所成二面角為直角，即平面AB￡)J_平面CBD,

又平面ABDc平面C3Q=3￡),。v匚平面?8。，于是得C尸J_平面筋。，且CF=&,

因/^L平面ABD,且4E=亞，貝I有AE//CF,且AE=CF,

從而得四邊形AFCE為平行四邊形，EC//AF,

又AFu平面ABD,EC仁平面AB￡）,

則EC//平面ABQ；

（2）解：由（1）可得AF_L平面CBO,EC//4REC=AF=&,

于是得EC_L平面CHO,EB^ED=yjEA1+AD2-

=2,SBED=；BD-h=20

則等腰..BED底邊8。上的高〃=

而SBe=2,設(shè)點(diǎn)C到平面BED的距離為d,

由Vc-BED~^E-BCD得gSBED.d=gSBCD.EC,

即2應(yīng)d=2xg,解得d=l,

所以點(diǎn)C到平面BED的距離為1.

18.已知函數(shù)/(X)=2&sin^cos2+zj^cos?2-，^.

222

(1)求函數(shù)/*)在區(qū)間[0,句上的值域；

（2）若方程/（s）=#?〉0）在區(qū)間［0,兀］上至少有兩個不同的解，求①的取值范圍.

解：(1)解")=2應(yīng)sin—cos,+2近c(diǎn)os之弓—近

=V2sinx+V2cosx=2sin(x+—),

4

令(/=%+￥，,.,X￡[0,7i],「.UE

4

兀

由丁二$吊（/的圖像知，sint/e即sinXH-----eF鳥'i]'

4

2sinx+

所以函數(shù)/(x)的值域為卜及，2].

7T

(2)f(cox)=2sin(s+—)(Q>0)

4

Q，2sin((wx+f)=百，即sin((yx+工)=也,

442

xe[O,開I，cox+—E—,am+—,且的+3=2左兀+四(〃eZ)或

4144」43

71_,2兀,“、

cox—=2&兀+—(zk￡Z)

43

由于方程以8)=瓜0)>0)在區(qū)間[0,句上至少有兩個不同的解,

7T2兀5

所以師+—2一，解得04三，

4312

所以0的取值范圍為總+°°]

19.已知函數(shù)〃x)=ln(x+1)+：

(1)若〃x)20在(O,e)上恒成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(2)若函數(shù)/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：⑴由題知〃x)20在(0,e)上恒成立，

即ln(x+l)+曙0,

xG(0,e),

.?只需aN—xln(x+1)即可,

即心(一3心+1))”

記g(x)=-xln(x+l),

，g[x)=Tn(x+l)一^j,

xe(0,e),

.-.-ln(x+l)<0,--—<0,

x+1

:.xw(0,e),g[x)<0,

???g(x)在(0,e)單調(diào)遞減,

?'?g(x)2>g(°)=°

:.a>0;

(2)由題知,/(力在(O,e)上單調(diào)遞增,

即/'(x)20在(O,e)上恒成立，

即/(力=—恒成立，

x+1X-

丫2

%￡(0,。),.二只需〃工工恒成立,

'X+1

即心

記3)=后,

2x(x+l)-x2_X24-2x

=

x+1)-(X+1)2，

xG(O,e),/.^(%)>0,

???力(%)在(O,e)單調(diào)遞增,

.??力(》),由>力(0)=0,

只需。40即可,

綜上:aWO.

v2

20.如圖,。為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C1:—+w=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為"、尸2，離

雙曲線C2：，一

心率為。=1的左、右焦點(diǎn)分別為4、吊，離心率為Q,已知

位2=乎，且|6閭=后-1?過月作G的不垂直于y軸的弦A3,〃為A3的中點(diǎn)，直線

?！ㄅcG交于P、。兩點(diǎn).

(1)求C|、g的方程;

(2)若四邊形AP8。為平行四邊形，求直線48的方程;

（3）求四邊形A8P。面積的最小值.

（1）解：由題意可得q=Jl-4，e2=Jl+Mqe?=J1-A=*，則a=x/5b,

21

\F2F^^cT+b-yjcr-b=（V3-1）*=^-1,.-.b=\,a=&，

所以，橢圓G的方程為1+丁=1,雙曲線C?的方程為[-y2=]

（2）解：由（1）可知耳（-1,0）,因為直線48不垂直于），軸，設(shè)直線AB的方程為

x=my-19

設(shè)點(diǎn)A（為，X）、Ww，%）、必（/，幾），

x=my—12

聯(lián)立可得（加+2'）y2-2my-1=0,A=4nr+4（M+2）=8（/?i+1）>0,

x2+2y2=2

2m心-七，

由韋達(dá)定理可得“%=中

則獷號‘寸外一『一高'所以'點(diǎn)"（一2m?

+2'+2J'

因為四邊形為平行四邊形,則.為線段尸。的中點(diǎn)'故點(diǎn)（尸4卜會2,m中1’

8—

將點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入雙曲線C?的方程可得即/+8/-4=。,

解得?m=±J2百-4?

因此，直線AB的方程為x=（，2石-4卜+1或x=-（12石-4）y+l.

（3）解：由（2）可得++必上一4%必=""!—-~-1

k0P=-,所以，直線PQ的方程為y=-￡x,

m

v=--X-4

聯(lián)立〈'2可得~所以，2—m2>。,

一-2）,2=22-次

不妨取點(diǎn)P-

所以點(diǎn)P到直線A8的距離為

m2+212-nr-4加2+2

1+,--------1+42-—,I—-=I-—]

y2m2,2-/___________V2-/n2|_V2-m2

d\=

\A+>y/l+W+m2J1+蘇

12+m~2+機(jī)2

1+.1t+.--------

點(diǎn)。到直線AB的距離為,《2m2,2-%產(chǎn)

d2=

Jl+m2J1+"/

2（M+2）

則4+4=

和+.2-1叫'

所以，四邊形APBQ的面積為

22

V2(/n+l)2(m2+2野=20.3-(2-w)

S=g|AB|(4+4)==20

川+2J(1+,2)(2—/2—m2

=272-47

故當(dāng)〃?=0時，四邊形APBQ的面積取最小值2.

21.若項數(shù)為-ZeN*且33）的有窮數(shù)列｛〃”｝滿足：I-%網(wǎng)…？l3-%l，則

稱數(shù)列｛《,｝具有“性質(zhì)M”.

（1）判斷下列數(shù)列是否具有“性質(zhì)M”，并說明理由；

①1,2,4,3；②2,4,8,16.

（2）設(shè)￡=K,-4+J（加=1,2,…，D,若數(shù)列｛/｝具有“性質(zhì)M”，且各項互不相

同.求證：“數(shù)列［a?］為等差數(shù)歹『’的充要條件是“數(shù)列｛篇｝為常數(shù)列”；

（3）己知數(shù)列他“｝具有“性質(zhì)M”.若存在數(shù)列他,｝,使得數(shù)列僅“｝是連續(xù)k個正整數(shù)1,

2,…，&的一個排列，且1《-生1+1%-41+…+1%「％1=&+2,求?的所有可能的值.

⑴解:I2-4H4-3I,.,.該數(shù)列不具有“性質(zhì)””